Для связи в whatsapp +905441085890

Предел монотонной ограниченной последовательности

Предел монотонной ограниченной последовательности. Число e. Натуральные логарифмы

Не всякая последовательность имеет предел. Сформулируем без доказательства признак существования предела последовательности.

Теорема 15.3 (Вейерштрасс). Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

В качестве примера на применение этого признака рассмотрим последовательность Предел монотонной ограниченной последовательности.

По формуле бинома Ньютона

Предел монотонной ограниченной последовательности

Полагая Предел монотонной ограниченной последовательности, получим

Предел монотонной ограниченной последовательности

или

Предел монотонной ограниченной последовательности

Из равенства (15.3) следует, что с увеличением Предел монотонной ограниченной последовательности число положительных слагаемых в правой части увеличивается. Кроме того, при увеличении Предел монотонной ограниченной последовательности число Предел монотонной ограниченной последовательности убывает, поэтому величины Предел монотонной ограниченной последовательности возрастают. Поэтому последовательность Предел монотонной ограниченной последовательности — возрастающая, при этом

Предел монотонной ограниченной последовательности

Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства (15.3) на единицу; правая часть увеличится, получим неравенство

Предел монотонной ограниченной последовательности

Усилим полученное неравенство, заменив числа 3, 4, 5,…, стоящие в знаменателях дробей, числом 2:

Предел монотонной ограниченной последовательности

Сумму в скобке найдем по формуле суммы членов геометрической прогрессии:

Предел монотонной ограниченной последовательности

Поэтому

Предел монотонной ограниченной последовательности

Итак, последовательность ограничена, при этом для Предел монотонной ограниченной последовательности выполняются неравенства (15.4) и (15.5):

Предел монотонной ограниченной последовательности

Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса последовательность Предел монотонной ограниченной последовательности, имеет предел, обозначаемый обычно буквой Предел монотонной ограниченной последовательности:

Предел монотонной ограниченной последовательности

Число Предел монотонной ограниченной последовательности называют неперовым числом. Число Предел монотонной ограниченной последовательности иррациональное, его приближенное значение равно Предел монотонной ограниченной последовательности. Число Предел монотонной ограниченной последовательности принято за основание натуральных логарифмов: логарифм по основанию Предел монотонной ограниченной последовательности называется натуральным логарифмом и обозначается Предел монотонной ограниченной последовательности, т. е. Предел монотонной ограниченной последовательности.

Найдем связь между натуральным и десятичным логарифмами. По определению логарифма имеем Предел монотонной ограниченной последовательности. Прологарифмируем обе части равенства по основанию 10:

Предел монотонной ограниченной последовательности

Пользуясь десятичными логарифмами, находим Предел монотонной ограниченной последовательности . Значит, Предел монотонной ограниченной последовательности. Из этой формулы следует, что Предел монотонной ограниченной последовательности, т.е. Предел монотонной ограниченной последовательности. Полученные формулы дают связь между натуральными и десятичными логарифмами.

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Числовые промежутки
Предельный переход в неравенствах
Непрерывность функции в точке
Непрерывность функции в интервале и на отрезке