Предел последовательности с примером решения

Предел последовательности

а) Число а называется пределом последовательности Предел последовательности с примером решения, если для каждого Предел последовательности с примером решения существует номер Предел последовательности с примером решения такой, что для всех Предел последовательности с примером решения выполняется неравенство

Предел последовательности с примером решения

Если а — предел последоватПредел последовательности с примером решенияльности Предел последовательности с примером решения, то пишут Предел последовательности с примером решенияили Предел последовательности с примером решения при Предел последовательности с примером решения. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, а последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.

б) Свойства сходящихся последовательностей.

. Если последовательности Предел последовательности с примером решения, Предел последовательности с примером решения и Предел последовательности с примером решения таковы, что для всех Предел последовательности с примером решения справедливо неравенство Предел последовательности с примером решенияПредел последовательности с примером решения то Предел последовательности с примером решения

. Если Предел последовательности с примером решения Предел последовательности с примером решениято Предел последовательности с примером решенияПредел последовательности с примером решенияПредел последовательности с примером решения Предел последовательности с примером решения (при условии, что Предел последовательности с примером решения).

в) Примеры сходящихся последовательностей.

1°. Предел последовательности с примером решения

. Предел последовательности с примером решения

. Если Предел последовательности с примером решения при всех Предел последовательности с примером решения то Предел последовательности с примером решения

. Предел последовательности с примером решения

Пример №33.

Найти Предел последовательности с примером решения если:

Предел последовательности с примером решения

Решение:

1) Разделив числитель и знаменатель дроби на Предел последовательности с примером решения , получим Предел последовательности с примером решения. Так как Предел последовательности с примером решения то числитель имеет предел, равный 3, а предел знаменателя равен 4. Поэтому Предел последовательности с примером решения в силу свойств пределов.

2) Разделив числитель и знаменатель дроби на Предел последовательности с примером решения, получим Предел последовательности с примером решенияоткуда следует, что Предел последовательности с примером решения так как Предел последовательности с примером решения

3) Используя формулу Предел последовательности с примером решениязапишем Предел последовательности с примером решения в следующем виде Предел последовательности с примером решения Разделив числитель и знаменатель на n, получим Предел последовательности с примером решения Если Предел последовательности с примером решенияи поэтому предел знаменателя равен Предел последовательности с примером решения

Ответ. Предел последовательности с примером решения

Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:

Решение задач по математике

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Числовая последовательность и арифметическая прогрессия с примерами решения
Геометрическая прогрессия с примерами решения
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения
Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла с примером решения