Предприятие для изготовления различных изделий и использует три вида сырья

Оглавление:

Задача 2.65.

Предприятие для изготовления различных изделий и использует три вида сырья. Нормы расхода сырья каждого вида на производство единицы продукции данного вида приведены в табл. 2.38. В ней же указана цена изделия каждого вида.

Изделия и могут производиться в любых соотношениях (сбыт обеспечен). Однако производство ограничено имеющимся в распоряжении предприятия сырьем I вида в количестве 360 кг, II вида — в количестве 192 кг и III вида — в количестве 180 кг.

Найти план производства изделий, реализация которого обеспечивает максимальный выпуск продукции в стоимостном выражении. Одновременно с этим провести анализ устойчивости оптимального плана задачи при условиях возможного изменения цены единицы каждого из изделий.

Решение:

Составим математическую модель задачи. Обозначим планируемый выпуск изделий вида через , изделий вида — через и изделий вида — через . Тогда математическая постановка задачи состоит в определении максимального значения функции

при условиях

Найдем решение задачи (77) —(79) симплексным методом. Оно приведено в табл. 2.39 (подробное решение задачи приведено в § 1,4, см, задачу 1,41).

Из этой таблицы видно, что оптимальным планом производства изделий и является план, согласно которому производится 8 изделий вида , 20 изделий вида и не производятся изделия вида . При этом плане общая стоимость изготовляемой продукции максимальна и равна 400 руб.

Установим теперь возможные границы изменения цен каждого из изделий, внутри которых найденный оптимальный план производства продукции не меняется. Начнем с изделия вида . Предположим, что его цена равна не 9 руб., а руб., где — некоторый параметр (очевидно, можно считать- —9). Тогда требуется найти такие значения параметра , при которых найденный план =(0; 8; 20) реализует максимальное значение функции

при условиях (78) и (79). Чтобы сделать это, будем считать и с учетом этого составим табл. 2.40, в которой первые три строки возьмем из табл. 2.39, а 4-ю строку вычислим по правилам, рассмотренным в § 1.4.

Как видно из табл. 2.40, план = (0; 8; 20) является оптимальным для построенной задачи параметрического программирования при т.е. при . Это означает, что если цена одного изделия вида меньше или равна 14 руб., то задача (77) — (79) имеет оптимальный план = (0; 8; 20), т.е. предприятию нецелесообразно включать в план производства продукции выпуск изделий вида при условии, что цена одного такого изделия не превышает 14 руб. При этом заметим, что, предполагая возможным изменение цены одного изделия , мы считаем, что все остальные исходные данные задачи остаются неизменными.

Аналогично можно показать, что если цена одного изделия вида изменяется от 8 до 20 руб., т. е. если , то оптимальным планом производства продукции является план, согласно которому изготовляется 8 изделий вида и 20 изделий вида С. Отметим, что при изменении цены одного изделия вида мы считаем постоянными все остальные исходные данные задачи. Одновременно с этим заметим, что хотя указанный план и остается оптимальным, значения целевой функции при разных значениях неодинаковы. Наконец, аналогично показывается, что если иена одного изделия вида изменяется or 8 до 20 руб..т. е. то оптимальным планом производства продукции также является план, согласно которому производится 8 изделий вида и 20 изделий вида .

Мы провели анализ чувствительности оптимального плана задачи (77)— (79) при возможном изменении цены каждого из изделий. Аналогично можно провести анализ чувствительности оптимального плана этой задачи при одновременном изменении значений нескольких коэффициентов целевой функции.

Решение задачи, правые части ограничений которой содержат параметр. Алгоритм решения задачи (60) — (62) подобен рассмотренному выше алгоритму решения задачи (57) —(59).

Полагая значение параметра равным некоторому числу , находим решение полученной задачи линейного программирования (60)— (62). При данном значении параметра либо определяем оптимальный план, либо устанавливаем неразрешимость задачи. В первом случае найденный план является оптимальным для любого где

и числа и определены компонентами оптимального плана и зависят от :

Если при , задача <60) — (62) неразрешима, то либо целевая функция задачи (60) не ограничена на множестве планов, либо система уравнений (61) не имеет неотрицательных решений. В первом случае задача неразрешима для всех , а во втором случае определяем все значения параметра , для которых система уравнений (61) несовместна, и исключаем их из рассмотрения.

После определения промежутка, в котором задача (60) — (62) имеет один и тот же оптимальный план или неразрешима, выбираем новое значение параметра , не принадлежащее найденному промежутку, и находим решение полученной задачи линейного программирования. При этом решение новой задачи ищем с помощью двойственного симплекс-метода. Продолжая итерационный процесс, после конечного числа шагов получаем решение задачи (60) —(62).

Итак., процесс нахождения решения задачи (60) — (62) включает следующие основные этапы:

Считая значение параметра равным некоторому числу , находят оптимальный план или устанавливают неразрешимость полученной задачи линейного программирования,
Находят значения параметра , для которых задача (60) — (62) имеет один и тот же план или неразрешима. Эти значения параметра исключают из рассмотрения.
Выбирают значение параметра из оставшейся части промежутка и устанавливают возможность определения нового оптимального плана. В случае существования оптимального плана находят его двойственным симплекс-методом.
Определяют множество значений параметра , для которых задача имеет один и тот же новый оптимальный план или неразрешима. Вычисления проводят до тех пор, пока не будут исследованы все значения параметра .

Задача 2.66.

Для каждого значения параметра найти максимальное значение функции

при условиях

Решение:

Считая значение параметра в системе уравнений (81) равным нулю, находим решение задачи (80) — (82) (табл. 2.41).

Как видно из табл. 2.41,

при = 0 есть оптимальный план задачи. Очевидно, является оптимальным планом и тогда, когда среди его компонент не окажется отрицательных чисел, т. е. при

или при

Таким образом, если

то

оптимальный план задачи (80) —(82). при котором

Исследуем теперь, имеет ли задача оптимальные планы при > 5/3. Если > 5/3, то 5—3<0 и, следовательно, не является планом задачи. Поэтому при > 5/3 нужно перейти к новому плану, который был бы в то же время и оптимальным. Это можно сделать в том случае, когда в строке вектора имеются отрицательные числа . В данном случае это условие выполняется. Поэтому переходим к новому опорному плану, для чего введем в базис вектор и исключим из него вектор (табл. 2.42).

Как видно из табл. 2.42,

оптимальный план задачи для всех , при которых

т.е. при

то

не является планом задачи, так как третья компонента

есть отрицательное число. Поскольку среди элементов 1-й строки табл. 2.42 нет отрицательных, при

исходная задача неразрешима.

Исследуем теперь разрешимость задачи при

В этом случае

(см. табл. 2.41) не является планом задачи, так как третья компонента

есть отрицательное число. Чтобы при данном значении параметра найти оптимальный план (это можно’ сделать, так как в строке вектора стоит отрицательное число —1/2), нужно исключить из базиса вектор и ввести в базис вектор (табл. 2.43).