Для связи в whatsapp +905441085890

Преобразование Лапласа

Преобразование Лапласа

Оригиналы и их изображения

Основными первоначальными понятиями операционного исчисления являются понятия функции-оригинала и функции-изображения.

Пусть Преобразование Лапласа — действительная функция действительного переменного Преобразование Лапласа (под Преобразование Лапласа будем понимать время или координату).

Функция Преобразование Лапласа называется оригиналом, если она удовлетворяет следующим условиям:

  1. Преобразование Лапласа при Преобразование Лапласа.
  2. Преобразование Лапласа — кусочно-непрерывная при Преобразование Лапласа, т. е. она непрерывна или имеет точки разрыва I рода, причем на каждом конечном промежутке оси Преобразование Лапласа таких точек лишь конечное число.
  3. Существуют такие числа Преобразование Лапласа и Преобразование Лапласа, что для всех Преобразование Лапласа выполняется неравенство Преобразование Лапласа, т. е. при возрастании Преобразование Лапласа функция Преобразование Лапласа может возрастать не быстрее некоторой показательной функции. Число Преобразование Лапласа называется показателем роста Преобразование Лапласа.

Условия 1-3 выполняются для большинства функций, описывающих различные физические процессы.

Первое условие означает, что процесс начинается с некоторого момента времени; удобнее считать, что в момент Преобразование Лапласа. Третьему условию удовлетворяют ограниченные функции (для них можно положить Преобразование Лапласа), степенные Преобразование Лапласа и другие (для функций вида Преобразование Лапласа условие 3 не выполняется). Не является оригиналом, например, функция Преобразование Лапласа (не удовлетворяет второму условию).

Замечание. Функция Преобразование Лапласа может быть и комплексной функцией действительно переменного, т. е. иметь вид Преобразование Лапласа она считается оригиналом, если действительные функции Преобразование Лапласа и Преобразование Лапласаявляются оригиналами.

Изображением оригинала Преобразование Лапласа называется функция Преобразование Лапласа комплексного переменного Преобразование Лапласа, определяемая интегралом

Преобразование Лапласа

Операцию перехода от оригинала Преобразование Лапласа к изображению Преобразование Лапласа называют преобразованием Лапласа. Соответствие между оригиналом Преобразование Лапласа и изображением Преобразование Лапласа записывается в виде Преобразование Лапласа или Преобразование Лапласа (принято оригиналы обозначать малыми буквами, а их изображения — соответствующими большими буквами).

Теорема 78.1 (существование изображения). Для всякого оригинала Преобразование Лапласа изображение Преобразование Лапласа существует (определено) в полуплоскости Преобразование Лапласа, где Преобразование Лапласа — показатель роста функции Преобразование Лапласа, причем функция Преобразование Лапласа является аналитической в этой полуплоскости Преобразование Лапласа.

Преобразование Лапласа

Докажем первую часть теоремы. Пусть Преобразование Лапласа произвольная точка полуплоскости Преобразование Лапласа (см. рис. 302). Учитывая, что Преобразование Лапласа, находим:

Преобразование Лапласа
Преобразование Лапласа

так как Преобразование Лапласа и Преобразование Лапласа. Таким образом,

Преобразование Лапласа

Отсюда вытекает абсолютная сходимость интеграла (78.1), т. е. изображение Преобразование Лапласа существует и однозначно в полуплоскости Преобразование Лапласа.

Следствие 78.1 (необходимый признак существования изображения). Если функция Преобразование Лапласа является изображением функции Преобразование Лапласа, то

Преобразование Лапласа

Это утверждение непосредственно вытекает из неравенства (78.2), когда Преобразование Лапласа.

Так как Преобразование Лапласа — аналитическая функция в полуплоскости Преобразование Лапласа, то Преобразование Лапласа при Преобразование Лапласа по любому направлению. Отсюда, в частности, следует, что функции Преобразование Лапласа не могут быть изображениями.

Отметим, что из аналитичности функции Преобразование Лапласа следует, что все ее особые точки должны лежать левее прямой Преобразование Лапласа или на самой этой прямой. Функция Преобразование Лапласа, не удовлетворяющая этому условию, не является изображением функции Преобразование Лапласа. Не является изображением, например, функция Преобразование Лапласа (ее особые точки расположены на всей оси Преобразование Лапласа).


Теорема 78.2 (о единственности оригинала). Если функция Преобразование Лапласа служит изображением двух оригиналов Преобразование Лапласа и Преобразование Лапласа, то эти оригиналы совпадают друг с другом во всех точках, в которых они непрерывны.

Преобразование Лапласа

(Примем без доказательства.)

Пример №78.1.

Найти изображение единичной функции Хевисайда

Преобразование Лапласа

(см. рис. 303).

Решение:

По формуле (78.1) при Преобразование Лапласа находим:

Преобразование Лапласа

т.е. Преобразование Лапласа, или, в символической записи, Преобразование Лапласа, или Преобразование Лапласа.

Замечание. В дальнейшем функцию-оригинал будем кратко записывать в виде Преобразование Лапласа, подразумевая, что

Преобразование Лапласа

Дополнительные примеры:

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Ряды в комплексной плоскости
Понятие вычета и основная теорема о вычетах
Операционный метод решения линейных дифференциальных уравнений и их систем
Произведение матриц