Преобразование произведения синусов и косинусов в сумму с примером решения

Преобразование произведения синусов и косинусов в сумму (разность):

Преобразование произведения синусов и косинусов в сумму с примером решения Преобразование произведения синусов и косинусов в сумму с примером решения

Выражение синуса и косинуса через тангенс половинного аргумента:

Преобразование произведения синусов и косинусов в сумму с примером решения Преобразование произведения синусов и косинусов в сумму с примером решения

Пример №42.

Доказать тождества

Преобразование произведения синусов и косинусов в сумму с примером решения

Доказательство. 1) Преобразуем правую часть А первого равенства, пользуясь формулами (23) и (21). Так как

Преобразование произведения синусов и косинусов в сумму с примером решения

то

Преобразование произведения синусов и косинусов в сумму с примером решения

2) Аналогично преобразуется правая часть В второго равенства. Так как

Преобразование произведения синусов и косинусов в сумму с примером решения

Замечание. Тождества примера 9 можно доказать, используя формулы (11) и (12). Из доказанных тождеств следует, что

Преобразование произведения синусов и косинусов в сумму с примером решения

Пример №49.

Найти наибольшее и наименьшее значения выраженияПреобразование произведения синусов и косинусов в сумму с примером решения если по крайней мере одно из чисел a, b не равно нулю, Преобразование произведения синусов и косинусов в сумму с примером решения

Решение:

Так как Преобразование произведения синусов и косинусов в сумму с примером решения то умножив и разделив данное выражение на Преобразование произведения синусов и косинусов в сумму с примером решения запишем его в виде

Преобразование произведения синусов и косинусов в сумму с примером решения

Рассмотрим точку Преобразование произведения синусов и косинусов в сумму с примером решенияЭта точка лежит на окружности радиусаПреобразование произведения синусов и косинусов в сумму с примером решения с центром в начале координат. Поэтому существует угол Преобразование произведения синусов и косинусов в сумму с примером решениятакой, что

Преобразование произведения синусов и косинусов в сумму с примером решения

Тогда

Преобразование произведения синусов и косинусов в сумму с примером решения

Отсюда следует, что наибольшее значение выражения Преобразование произведения синусов и косинусов в сумму с примером решения равно Преобразование произведения синусов и косинусов в сумму с примером решения а наименьшее значение равно Преобразование произведения синусов и косинусов в сумму с примером решения

Замечание. При решении этой задачи получено равенство

Преобразование произведения синусов и косинусов в сумму с примером решения

Метод, примененный при преобразовании выражения Преобразование произведения синусов и косинусов в сумму с примером решенияа к виду Преобразование произведения синусов и косинусов в сумму с примером решения называют методом вспомогательного угла.

Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:

Решение задач по математике

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Формулы понижения степени с примерами решения
Формулы приведения с примерами решения
Арксинус с примером решения
Арккосинус с примерами решения