Для связи в whatsapp +905441085890

Приближенное вычисление определенных интегралов

Приближенное вычисление определенных интегралов

Бесконечные ряды применяются также для приближенного вычисления неопределенных и определенных интегралов в случаях, когда первообразная не выражается в конечном виде через элементарные функции (см. § 34) либо нахождение первообразной сложно.

Пусть требуется вычислить Приближенное вычисление определенных интегралов с точностью до Приближенное вычисление определенных интегралов. Если подынтегральную функцию Приближенное вычисление определенных интегралов можно разложить в ряд по степеням Приближенное вычисление определенных интегралов и интервал сходимости Приближенное вычисление определенных интегралов включит в себя отрезок Приближенное вычисление определенных интегралов , то для вычисления заданного интеграла можно воспользоваться свойством почленного интегрирования этого ряда. Ошибку вычислений определяют так же, как и при вычислении значений функций.

Пример №65.3.

Вычислить интеграл Приближенное вычисление определенных интегралов с точностью до Приближенное вычисление определенных интегралов.

Решение:

Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена, заменяя Приближенное вычисление определенных интегралов на (Приближенное вычисление определенных интегралов) в формуле (64.4):

Приближенное вычисление определенных интегралов

Интегрируя обе части равенства (65.1) на отрезке Приближенное вычисление определенных интегралов, лежащем внутри интервала сходимости Приближенное вычисление определенных интегралов, получим:

Приближенное вычисление определенных интегралов

Получили ряд лейбницевского типа. Так как Приближенное вычисление определенных интегралов Приближенное вычисление определенных интегралов, а Приближенное вычисление определенных интегралов, то с точностью до 0,001 имеем:

Приближенное вычисление определенных интегралов

Замечание. Первообразную Приближенное вычисление определенных интегралов для функции Приближенное вычисление определенных интегралов легко найти в виде степенного ряда, проинтегрировав равенство (65.1) в пределах от 0 до Приближенное вычисление определенных интегралов:

Приближенное вычисление определенных интегралов

Функции Приближенное вычисление определенных интегралов и Приближенное вычисление определенных интегралов играют очень важную роль в теории вероятностей. Первая — плотность стандартного распределения вероятностей, вторая — функция Лапласа Приближенное вычисление определенных интегралов (или интеграл вероятностей). Мы получили, что функция Лапласа представляется рядом

Приближенное вычисление определенных интегралов

который сходится на всей числовой оси.

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена)
Некоторые приложения степенных рядов
Приближенное решение дифференциальных уравнений
Способ последовательного дифференцирования