Оглавление:
При нахождении площадей плоских фигур, ограниченных некоторыми линиями, удобно использовать следующий алгоритм:
- Построить фигуру, площадь которой требуется найти.
- В соответствии с таблицей 23.1. определить вид фигуры и составить формулу для вычисления площади фигуры. Следует обратить внимание на границы интегрирования. Если они не следуют непосредственно из условия задачи, а определяются пересечением графиков каких-либо функций, то границы
интегрирования следует находить аналитически, приравнивая соответствующие функции. - Вычислить площадь фигуры. Следует помнить, что площадь есть число положительное.
При составлении таблицы 23.1. учитывалось свойство аддитивности площади: если фигура состоит из двух и более частей, то для нахождения площади фигуры нужно сложить площади ее частей (рис. 23.3).
Таблица 23.1
Виды фигур, площадь которых находится с помощью определенного интеграла
Пример №23.1.
Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями 
, отрезком 
оси 
, прямыми 
и 
.
Решение:
1. Построим заданную фигуру. График функции — синусоида, строится с использованием следующих характерных точек:
Прямые и проходят через соответствующие точки и параллельны оси 
. В итоге получим фигуру, обозначенную штриховкой на рис. 23.4.
2. Согласно таблице 23.1. рассматриваемая фигура соответствует 3 типу. Её площадь находится как сумма площадей двух частей фигуры: части, находящейся выше оси , и части, находящейся ниже оси.
Площадь части, находящейся выше оси , можно найти по формуле 
.
Площадь части, находящейся ниже оси , можно найти по формуле 
.
Вычислим 
и 
: 
Для нахождения общей площади 
, сложим значения и : 
Ответ: 
Пример №23.2.
Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями 
и 
.
Решение:
1. Построим фигуру, ограниченную графиками функций и (рис. 23.5). Линия, задаваемая уравнением — прямая. Построим ее по двум точкам.
1. Построим фигуру, ограниченную графиками функций и (рис. 23.5). Линия, задаваемая уравнением — прямая. Построим ее по двум точкам.
Линия, задаваемая уравнением — парабола, ветви которой направлены вверх. Построим ее методом преобразований: выполним параллельный перенос графика функции 
на 1 единицу вверх.
Получили фигуру, ограниченную двумя графиками функций.
2. Согласно таблице 23.1. рассматриваемая фигура соответствует 6 типу. Её площадь можно вычислить по формуле: 
, где 
— функция, ограничивающая фигуру «сверху» (
), a 
— функция, ограничивающая фигуру «снизу» (
).
Границы интегрирования 
и 
в данном случае не следуют непосредственно из условия задачи. Решив уравнение 
, мы найдем абсциссы точек пересечения графиков соответствующих функций, т.е. и .
. Найдем корни уравнения по теореме, обратной теореме Виета: 
или 
. Следовательно, 
.
Составим формулу для вычисления площади искомой фигуры: 
.
3. Вычислим значение площади:
Ответ: 
Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:
| Интегрирование по частям. |
| Геометрический смысл определенного интеграла |
| Вычисление длины дуги плоской кривой и объема тел вращения. |
| Понятие несобственного интеграла |
