Для связи в whatsapp +905441085890

Применение определенного интеграла к вычислению площадей

Применение определенного интеграла к вычислению площадей

Геометрический смысл определенного интеграла как площади криволинейной трапеции дает возможность применить его к вычислению любых площадей. Однако определенный интеграл в интервале Применение определенного интеграла к вычислению площадей далеко не всегда дает значение площади как физической величины, измеряемой в квадратных единицах. Необходимо учесть, что геометрический смысл построен на формальном приписывании знаков: части функции над осью Применение определенного интеграла к вычислению площадей (и площадь под ними) принимаются со знаком «плюс», а части функции под осью Применение определенного интеграла к вычислению площадей (и площадь над ними) берутся со знаком «минус». Очевидно, что если поставить задачу о вычислении собственно площадей, то обязательно следует учесть строгую положительность понятия площади как физической величины. Чтобы полностью разобраться с разницей между геометрическим смыслом интеграла и площадью, рассмотрим пример: вычислить интеграл Применение определенного интеграла к вычислению площадей и площадь, которую ограничивает подынтегральная функция.

Нарисуем эскиз расчетной области и проведем вычисления по пунктам:

Применение определенного интеграла к вычислению площадей

1. Вычислим интеграл: Применение определенного интеграла к вычислению площадей.

2. По геометрическому смыслу интеграл является алгебраической суммой площадей нижнего и верхнего треугольников, т.е.

Применение определенного интеграла к вычислению площадей

Как и следовало ожидать, результаты совпали. Подсчитаем площадь.

Применение определенного интеграла к вычислению площадей квадратных единиц.

Здесь знак модуля обеспечивает безусловную положительность результатов и соответствие физическому смыслу. Таким образом, общая формула для вычисления площади с применением определенного интеграла будет иметь вид

Применение определенного интеграла к вычислению площадей

где Применение определенного интеграла к вычислению площадей — число подинтервалов, на которые разбивается площадь под кривой Применение определенного интеграла к вычислению площадей; Применение определенного интеграла к вычислению площадей — абсциссы начала и конца подинтервала.

Определение площади следует производить в два этапа. На первом решается уравнение Применение определенного интеграла к вычислению площадей и находится число подинтервалов. На втором этапе применяется формула площади. Рекомендуется выполнить эскиз расчетной области. В трудных случаях можно использовать графическое разложение сложной фигуры на сумму более простых.

Остальные темы находится на этой странице и там же можно заказать любые работы по высшей математике:

Помощь по высшей математике

Обратите внимание на эти страниц, возможно они вам будут полезны:

Формула трапеций
Теорема о среднем определенного интеграла
Уравнения первого порядка с разделяющимися переменными
Систематическое интегрирование