Пример №59.3.
Исследовать сходимость ряда
Решение:
Данный ряд расходится, т. к.
Теорема 59.1 дает необходимое условие сходимости ряда, но не достаточное: из условия 
не следует, что ряд сходится. Это означает, что существуют расходящиеся ряды, для которых .
В качестве примера рассмотрим так называемый гармонический ряд
Очевидно, что . Однако ряд (59.7) расходится. Покажем это.
Как известно (см. (17.14)), 
. Отсюда следует, что при любом 
имеет место неравенство 
. Логарифмируя это неравенство по основанию 
, получим:
т.е.
Подставляя в полученное неравенство поочередно 
получим:
Сложив почленно эти неравенства, получим 
. Поскольку 
, получаем 
, т. е. гармонический ряд (59.7) расходится.
В качестве второго примера можно взять ряд
Здесь 
. Однако этот ряд расходится.
Действительно,
т.е. 
. Следовательно, 
при 
, ряд расходится.
Благодаря этой странице вы научитесь сами решать такие примеры, на ней содержится полный курс лекций с примерами решения:
Другие примеры с решением возможно вам они будут полезны:
