Примеры нормированных и полунормированных пространств

Примеры нормированных и полунормированных пространств

Примеры нормированных и полунормированных пространств. 1.Набор действительных чисел и набор комплексных чисел образуют линейное пространство норм, когда абсолютное значение числа является нормой. 57.4.Нормы и Семинол пример пространства 427 2.In факт, если «мерное пространство Dn вектора x = {xx xn) норма E D » определяется как его длина(см. и 18.4） \ х \ УБ \ = г \ х +. Dn-линейное нормальное пространство. 3.Комплексная арифметика » размерное пространство Cn (и см. 57.2)、 1 х I = = г \ х±| 2 + \ х | 2, х =(Хм,…(Γ, Γ.) ККЛ. 4.In «реальный расчет» размерного пространства Dn, норма которого соответствует длине / x|, а также его элементу x =(xi …. хы) Энн. Например、 1 * | / пы (/Х1 | П-Б.. + | Х » 1//», 1р + че、 / / х |!ОО = Макс | х,-|. 1 = 1, 2П.

Поскольку каждая из 3-х равных 2-х норм также равна друг другу, это означает, что все нормы любого конечномерного пространства равны. Людмила Фирмаль

• Очевидно, что длина вектора совпадает с нормой| х12. | / х / р, 1 < / > + проверка реализации аксиомы норм ОО. если r = 1, то свойства абсолютного значения числа п п п п п \ Х + ЫБ.= 2 / x, / +21Ы= 1 * | 1 +1Ы / 11 = 1 1 = 1 1 = 1. Для 1 +ω мы применяем неравенство Минковского (см. и 35.8*). /И\ 1 / Р / Р К / р [п \ 1 / п 1х + П | П = ^ 21 * +&1П] ^ _21 ** 1П] +(.2х)= = HP + 1 * 4У нас есть (I X1 I + I Y1 I)^ \ х + Y1oo = = Макс | х,-+ р / (|=Смах {’= 1.2 Р 1 = 1.2 Р БВК + IUNoo^ Макс / X / 1 + Макс / y1 1.2 п Остальные свойства нормы [Цг,, 1C с R°] далее легко проверяются. Упражнение 14 докажите| | х 1 / у =золото / / х е П-00 Определение 23. 2 норма ||x / / норма линейное пространство X\ \ x \ *называется эквивалентным, если существуют константы q 0 и c2 0, в которых неравенства существуют для всех XXX СХ 1 х / / = ЕД 1 х г с-21 х/! § 57.Функциональное пространство 428. Теорема 2.In конечномерное линейное пространство, все нормы эквивалентны.

Доказательство. Пусть X-конечномерная линейная space. As в результате элементы, присутствующие в нем, имеют определенное число оснований{e …en \включен, и для дальнейшего x∈X существует уникальное разложение х = Xxe1 { -.. .\это лучшее. Пусть ТХ|пространство X есть какая-то норма. Показано, должна быть равна средней норме. Я! X|’; 2 * и〜• * * + X%. Во-первых, c, H1H -… обратите внимание, что это + \ enTz 0.Это все k = 1, 2,…, для n, поскольку выполняется неравенство eKΦ0, 1e * || 0.In кроме того, из очевидных неравенств М ^ Г *? + … + * Λ= |!Л.2, k = 1, 2,…Я, используя свойство нормы, получаю неравенство! У!* 1e1+ -. ^ | ХХ | !СХ | + … + 1 хп 1 | / Ж | / ^ (К1 у-••-+ 1!АН-1) » х || 2 = = ІХ | 2. Таким образом, существует cx 0 для любого xeX М х 1 ^ | / х/!Три.

• Здесь мы докажем, что C2 0 существует. 1Х / ^ С2/!Х / 3. если x = 0, то это неравенство очевидно справедливо для всех c2 0, поэтому достаточно доказать его только для x ^ 0. Основание пространства X{eb …выберите en}так, чтобы он состоял из единичного вектора в смысле 2-й нормы ！b1b = … = / в b = 1. {ЕІ …если, e«}является базисом линейного пространства и нормой этого пространства, то это всегда возможно, потому что оно также является базисом, и норма всех его элементов равна 1. ЕК \ = 1, к = 1,2,…、 н. ЕС | 1 в••-/ Она|| 1 || 11 57.4. Нормы и Семинол пример пространства 429 Пространство X с выбранным основанием можно считать арифметическим n-мерным пространством (см. и 18.4).

Для этого используется вектор x-xheh -… для каждого из + xpe достаточно связать порядковый набор из n чисел (xi xn) координаты для данного base. In кроме того, 2-я норма 1x | / 2 это длина вектора x. \ x \ & = UX1F•• +ДД = \ X [. Единичная сфера 5π-1= {x. это пространство x \ + … + x’N-1}компактен, как хорошо известно (см.§ 18.3 и 18.4).Пожалуйста, рассмотрите функцию / )-«!。 От неравенства 1 /（）-/（ /）С1!* Ы!* / 1к1 * y1G)^ = ^ С1!| х-г |!2 = С1 | х/|/, текс, 1 / экс、 Таким образом, эта функция непрерывна во всем пространстве X, а следовательно, и в сфере 5π-1. Для любой точки XE 5 » 1,| / x / / 2 = 1, поэтому xΦ0, а следовательно, по природе 4°стандарта, функция / удовлетворяет неравенству/(x;)=||. x | / C.

Согласно теореме Вейерштрасса, непрерывная функция в компактном множестве достигает своего минимального значения. Людмила Фирмаль

• Минимум достигается в точке x0 e5n-1 функции / сферы 5π-1. C2 = GPN /(x)= f (A’O) 0. hezp 1 Тогда для любого x∈5π-1、 ИКС! ХХ)^} (х0)= С2. Теперь для каждого teX, x ^ 0, point-N Второй * * Б Поэтому для нее [2 \ X X Н1. 2 = 1 1.2 1 * 1к 。 С2 мы получаем 5я-1 на сфере. Н. 1 = Н12(Н1 \ Р ^ С2 \ х \ р、 Иначе говоря X ^ X, X ^ 0. Доказано равенство нормы| |I| и / / x | / 2. Я не уверен. * ’Я использовал неравенство x|/ -] [r C gs] | l-Y. Это справедливо для любого элемента пространства семинольма и легко следует из свойства 21 seminal 3°определения(см. лемму 4 в разделе).

Смотрите также:

Решение задач по математическому анализу

Линейные пространства.	Свойства полунормированных пространств.
Нормированные и полуиормированные пространства.	Свойства нормированных пространств.