Начертательная геометрия задачи с решением и примерами

Оглавление:

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Здравствуйте на этой странице я собрала примеры решения задач по предмету начертательная геометрия с решением по каждой теме, чтобы вы смогли освежить знания!

Начертательная геометрия

Начертательная геометрия служит теоретической основой построения технических чертежей в виде графических моделей конкретных объектов машиностроения. Инженерная графика вырабатывает у студентов умение и навыки понимания по чертежу конструкции изделия и принципа действия изображенного технического объекта.

Если что-то непонятно — вы всегда можете написать мне в WhatsApp и я вам помогу!

Начертательная геометрия включена в число обязательных дисциплин ведущих технических вузов мира. И связано это, прежде всего, с тем, что она как никакая другая дисциплина развивает логическое конструктивно-геометрическое мышление, пространственное представление и воображение, а также способность к анализу и синтезу пространственных форм.

Задача начертательной геометрии – изучение визуально-образного геометрического языка и технологии его реализации. Она является уникальным техническим языком, информативность которого настолько велика, что заменить его другим практически невозможно. Роль ее в подготовке специалистов и решении прикладных задач возрастает в связи с необходимостью повышения эффективности труда конструктора.

Проецирование геометрических фигур. Параллельное проецирование

Любую геометрическую фигуру рассматривают как множество всех при надлежащих ей точек. Чтобы получить параллельную проекцию фигуры на плоскости (плоскости проекций), необходимо через каждую точку фигуры пронести проецирующие лучи параллельно заранее вы бранному направлению до пересечения с Примеры решения задач по начертательной геометрии (рис. 1).

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Основные свойства параллельного проецирования.

  1. Проекция точки есть точка.
  2. Проекции прямой есть прямая или точка (Примеры решения задач по начертательной геометрии — точка).
  3. Примеры решения задач по начертательной геометрии
  4. Примеры решения задач по начертательной геометрии
  5. Примеры решения задач по начертательной геометрии
  6. Примеры решения задач по начертательной геометрии

Самоконтроль I. На рис. 2 показано проецирование Примеры решения задач по начертательной геометрии и Примеры решения задач по начертательной геометрии на плоскость Примеры решения задач по начертательной геометрии но направлению Примеры решения задач по начертательной геометрии. Какой из треугольников расположен в плоскости, параллельной Примеры решения задач по начертательной геометрии?

Примеры решения задач по начертательной геометрии

1 a . Треугольник Примеры решения задач по начертательной геометрии (с. 55).

2 б. Треугольник Примеры решения задач по начертательной геометрии (с. 56).

Таким образом, Вы отметили еще два свойства параллельного проецировання:

  1. Если фигура расположена в плоскости, параллельной плоскости проекций, то она проецируется на эту плоскость в натуральную величину,
  2. Фигура, принадлежащая проецирующей плоскости, проецируется в отрезок прямой, совпадающей с проекцией плоскости (проецирующая прямая вырождается в точку).

Если направление проецирования Примеры решения задач по начертательной геометрии, получают ортогональные (прямоугольные) параллельные проекции, которыми чаще всею пользуются на практике.

Проекции точки

Проекцией точки называется точка пересечения проецирующего луча, проходящего через точку, с плоскостью проекций.

Одна проекций точки не определяет положение точки в пространстве. Для получения обратимого чертежа ортогональное проецирование осуществляется на две (и более) перпендикулярные плоскости проекций (рис. 3)t которые затем совмещают в одну (метод Монжа). Получается плоское изображение, которое является носителем двух плоскостей. Это изображение называют эпюром или комплексным чертежом.

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Примеры решения задач по начертательной геометрии — горизонтальная плоскость проекций, Примеры решения задач по начертательной геометрии — фронтальная плоскость проекций, Примеры решения задач по начертательной геометрии — ось проекций.

На эпюре горизонтальная и фронтальная проекции точки связаны вертикальной линией связи, т.е Примеры решения задач по начертательной геометрии

Положение точки в пространстве определяется ее расстоянием до плоскостей проекций. При этом Примеры решения задач по начертательной геометрии покрывает расстояние до Примеры решения задач по начертательной геометрии — показывает расстояние до Примеры решения задач по начертательной геометрии.

Самоконтроль 2. Какая из заданных точек (рис. 4) принадлежит плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии?

2а. Точка Примеры решения задач по начертательной геометрии (с. 55) 26. Точка Примеры решения задач по начертательной геометрии (с. 56).

Характерным признаком эпюра точки, принадлежащей плоскости проекций, является то, что одна проекция точки принадлежит оси проекции.

Примеры решения задач по начертательной геометрии

На рис. 5 показано получение трех картинного чертежа точки Примеры решения задач по начертательной геометрии.

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Примеры решения задач по начертательной геометрии — профильная плоскость проекций.

Является очевидным, что Примеры решения задач по начертательной геометрии.

Определитель точки в пространстве — три координаты точки, т.е. расстояние от точки до трех координатных плоскостей Принимается, что плоскости проекций совмещены с координатными плоскостями.

Условная запись определителя точки: Примеры решения задач по начертательной геометрии. Положение проекции точки определяют две координаты: Примеры решения задач по начертательной геометрии Определителем точки на эпюре является совокупность двух проекций точки: Примеры решения задач по начертательной геометрии. Координаты точки устанавливаются измерением (рис. 6).

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Пример задачи №1.

Построить три проекции точки Примеры решения задач по начертательной геометрии.

Решение:

  1. Координатные плоскости принимаем за плоскости проекций и строим на чертеже оси проекций (рис. 7), отмстив на них масштабные единицы.
  2. Последовательно откладываем на соответствующих осях заданные значения Примеры решения задач по начертательной геометрии
  3. Из полученных точек Примеры решения задач по начертательной геометрии проводим прямые, параллельные соотвстствуюхцнм осям, и получаем проекции Примеры решения задач по начертательной геометрии (см. рис. 7).

Проекции прямой

Определитель прямой: две точки. Условная запись: Примеры решения задач по начертательной геометрии. На чертеже прямую определяют двумя проекциями (рис. 8). Примеры решения задач по начертательной геометрии или Примеры решения задач по начертательной геометрии.

Условие принадлежности точки прямой: точка принадлежа прямой, если проекции точки принадлежат одноименным проекциям прямой, (см. точку Примеры решения задач по начертательной геометрии на прямой Примеры решения задач по начертательной геометрии — рис. 8),

След прямой — точка пересечения прямой с плоскостью проекций (рис. 9). Примеры решения задач по начертательной геометрии — горизонтальный след прямой, Примеры решения задач по начертательной геометрии — фронтальный след прямой,

Заметим, что так как Примеры решения задач по начертательной геометрии. Прямую, которая не параллельна ни одной из плоскостей проекций, называют прямой общего положения. Проекции прямой общего положения всегда наклонены к осям проекций (см. рис. 8, 9).

Примеры решения задач по начертательной геометрии
Примеры решения задач по начертательной геометрии
  • Прямые частного положения делятся на прямые уровня и проецирующие прямые.

Прямые уровня — прямые, параллельные одной плоскости проекций (рис. 10).

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Таким образом, направление одной проекции прямой уровня постоянно — параллельно направлению оси проекций. Вторая проекция наклонена к оси под углом.

Проецирующие прямые — прямые, перпендикулярные плоскости проекций (рис. 11).

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Таким образом, одна проекция проецирующей прямой — точка, вторая проекция направлена параллельно линиям ивязи.

Самоконтроль 3. На рис 12 изображен отрезок профильной прямой Примеры решения задач по начертательной геометрии. Можно ли построить горизонтальную проекцию точки Примеры решения задач по начертательной геометрии, которая принадлежит отрезку, не построив профильную проекцию отрезка?

Примеры решения задач по начертательной геометрии

За. Можно (с. 55) 36. Нельзя (с, ,56)

Пример задачи №2.

Достроить фронтальную проекцию отрезка горизонтальной прямой Примеры решения задач по начертательной геометрии (рис. 13а).

Решение:

Так как отрезок Примеры решения задач по начертательной геометрии параллелен горизонтальной плоскости, то фронтальная проекция его должна быть параллельна направлению оси Примеры решения задач по начертательной геометрии. Положение фронтальной проекции точки Примеры решения задач по начертательной геометрии определяем в пересечении линии связи, проведенной с Примеры решения задач по начертательной геометрии вертикально (рис 136), и направления фронтальной проекции прямой.

Пример задачи №3.

Построить проекции фронтально проецирующего отрезка Примеры решения задач по начертательной геометрии, длина которого 20 мм (рис. 14а).

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Решение:

У фронтально проецирующей прямой фронтальная проекция вырожденная — точка, а горизонтальная проекции расположена вертикально,

На горизонтальную плоскость проекций отрезок проецируется без искажения.

Выполненные построения ясны на чертеже (рис. 146).

Взаимное расположение прямых. Прямые параллельны, если одноименные проекции двух прямых параллельны.

Прямые пересекаются, если точки пересечения одноименных проекций двух прямых лежат на одной линии связи.

Если на чертеже отсутствуют признаки параллельности и пересечения, то заданы скрещивающиеся прямые.

Самоконтроль 4. На каком рисунке изображены скрещивающиеся прямые?

4а. На рис. 15а (с. 55)

4б. На рис, 156 (с. 56)

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Теорема о проецировании прямого угла. Если одна сторона прямого угла параллельна, а другая сторона не перпендикулярна плоскости проекций, то прямой угол на эту плоскость проецируется в натуральную величину.

Пример задачи №4.

Через точку Примеры решения задач по начертательной геометрии провести прямую а, пересекающую прямую Примеры решения задач по начертательной геометрии под прямым углом (рис. 16а),

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Решение:

  1. Так как прямая Примеры решения задач по начертательной геометрии параллельна Примеры решения задач по начертательной геометрии, то на фронтальной проекции величина прямого угла сохранится.
  2. Построение начинаем с фронтальной проекции, проведя Примеры решения задач по начертательной геометрии (рис. 16 6),
  3. Отмечаем фронтальную проекцию точки пересечения прямых — Примеры решения задач по начертательной геометрии.
  4. Строим горизонтальную проекцию точки Примеры решения задач по начертательной геометрии.
  5. Примеры решения задач по начертательной геометрии.

Пример задачи №5.

Через точку Примеры решения задач по начертательной геометрии провести горизонтальную прямую, пересекающую отрезок Примеры решения задач по начертательной геометрии (рис. 17а),

Решение:

  1. Так как искомая прямая является горизонтальной, то фронтальная проекция ее должна быть направлена параллельно направлению оси Примеры решения задач по начертательной геометрии. Проводим Примеры решения задач по начертательной геометрии.
  2. Отмечаем фронтальную проекцию точки пересечения прямых: Примеры решения задач по начертательной геометрии (рис. 176).
  3. Строим горизонтальную проекцию Примеры решения задач по начертательной геометрии, учитывая сохранение пропорционального деления отрезка на проекциях.
  4. Примеры решения задач по начертательной геометрии.
Примеры решения задач по начертательной геометрии

Проекции плоскости

Задание плоскости. Плоскость на чертеже задается проекциями ее элементов, которые определяют положении ее в пространстве, а именно; проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой; проекциями параллельных прямых; проекциями пересекающихся прямых; проекциями прямой и точки вне этой прямой, проекциями плоской фигуры; следами.

По отношению к плоскостям проекций плоскости разделяются на плоскости общего и плоскости частного положения. Плоскости частного положения могут быть перпендикулярными к одной из плоскостей (проецирующие) иди к двум плоскостям одновременно {плоскости уровня).

Опознавательным признаком плоскости частного положения является наличие вырожденной проекции (проекции-линии) плоскости на эпюре. Точка и прямая в плоскости. Точка принадлежит плоскости, если она находится на примой, лежащей в данной плоскости.

Прямая лежит в плоскости, если она пересекается с прямыми, задаюшими эту плоскость, или пересекается с одной из них и параллельна другой.

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Признаком принадлежности точки и прямой к плоскости частного положения является совмещение на эпюре их проекций с одноименными вырожденными проекциями данной плоскости.

Самоконтроль 6. На каком рисунке прямая Примеры решения задач по начертательной геометрии принадлежит плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии? 6 а. На рис. 19 а (с. 55) б б. На рис. 19 6 (с. 56).

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Пример задачи №6.

Построить горизонтальную проекцию прямой Примеры решения задач по начертательной геометрии, лежащей в плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии (рис. 20 а).

Решение:

  1. Прямые одной плоскости либо пересекаются, либо параллельны. Так как фронтальная проекция прямой Примеры решения задач по начертательной геометрии пересекает фронтальные проекции прямых Примеры решения задач по начертательной геометрии и Примеры решения задач по начертательной геометрии, то эти прямые в пространстве пересекаются.
  2. Отмечаем фронтальные проекции точек пересечения прямых Примеры решения задач по начертательной геометрии
  3. Строим горизонтальные проекции точек Примеры решения задач по начертательной геометрии и Примеры решения задач по начертательной геометрии, учитывая что Примеры решения задач по начертательной геометрии.
  4. Примеры решения задач по начертательной геометрии (см. рис. 20 б).
Примеры решения задач по начертательной геометрии

Пример задачи №7.

Построить фронтальную проекцию прямой Примеры решения задач по начертательной геометрии, принадлежащей плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии (рис 21 а).

Решение:

Так как фронтальные проекции прямых Примеры решения задач по начертательной геометрии и Примеры решения задач по начертательной геометрии совпадают, то заданная плоскость Примеры решения задач по начертательной геометрии является фронтально проецирующей плоскостью. В этом случае фронтальная проекция плоскости, Примеры решения задач по начертательной геометрии (вырожденная проекция) обладает собирательным свойством и поэтому Примеры решения задач по начертательной геометрии (рис. 216).

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Следует отметить, что для плоскости общего положения на эпюре произвольно можно задавать только одну проекцию любой прямой, принадлежащей плоскости. Вторую проекцию этой прямой необходимо строить, учитывая, что прямые одной плоскости либо пересекаются, либо параллельны.

Для проецирующей плоскости достаточно совпадения соответствующей проекции прямой с вырожденной проекцией плоскости, чтобы эта прямая принадлежала плоскости.

Пример задачи №8.

Построить фронтальную проекцию точки Примеры решения задач по начертательной геометрии, принадлежащей плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии (рис. 22 а).

Решение:

1. Известно, что точка принадлежит плоскости, если она находится на какой-либо прямой, лежащей в данной плоскости. Поэтому через Примеры решения задач по начертательной геометрии и Примеры решения задач по начертательной геометрии (рис. 226) проводим горизонтальную проекцию вспомогательной прямой» лежащей в данной плоскости.

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Главные линии плоскости. К главным линиям плоскости относятся:

  1. Линии уровня плоскости, т.е. прямые плоскости, параллельные плоскостям проекций

Примеры решения задач по начертательной геометрии — горизонталь плоскости; Примеры решения задач по начертательной геометрии — фронталь плоскости.

  1. Линии наибольшего наклона плоскости к плоскостям проекций. Такие прямые принадлежат плоскости и перпендикулярны к линиям уровня плоскости.

Для построения горизонтали Примеры решения задач по начертательной геометрии плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии(рис. 23) необходимо;

Примеры решения задач по начертательной геометрии

На рис. 23 построены проекции линии наибольшего наклона плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии к плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии т.к. Примеры решения задач по начертательной геометрии (согласно теореме о проекциях прямого угла) Линию наибольшего наклона плоскости к плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии называют линией ската.

Аналогично на рис. 24 построены проекции фронтали Примеры решения задач по начертательной геометрии и линии наибольшего наклона плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии к плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии.

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Самоконтроль 7. Можно ли считать заданной плоскость, если на эпюре задана линия ската плоскости?

7 а. Можно (с. 55)

7 б. Нельзя (с. 56)

Пример задачи №9.

Построить проекции отрезка Примеры решения задач по начертательной геометрии, принадлежащею плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии, зная что Примеры решения задач по начертательной геометрии и величина отрезка Примеры решения задач по начертательной геометрии равна 30 мм (рис. 25).

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Решение:

Отрезок Примеры решения задач по начертательной геометрии принадлежит горизонтали плоскости, проходящей через Примеры решения задач по начертательной геометрии. Строим проекции этой горизонтали (рис. 25 а). На горизонтальной проекции горизонтали находим горизонтальную проекцию точки Примеры решения задач по начертательной геометрии, учитывая что Примеры решения задач по начертательной геометрии. Находим фронтальную проекцию точки Примеры решения задач по начертательной геометрии (рис. 25 б).

Параллельность прямой и плоскости двух плоскостей. Признаком параллельности плоскости и прямой является-параллельность прямой некоторой прямой плоскости.

  • Признаком параллельности прямой и плоскости частного положения является параллельность вырожденной проекции плоскости соответствующей проекции прямой.

Признаком параллельности двух плоскостей является параллельность двух пересекающихся прямых одной плоскости, соответственно, двум пересекающимся прямым второй плоскости. Признаком параллельности плоскостей частного положения является взаимная параллельность одноименных вырожденных проекций. У параллельных плоскостей одноименные линии уровня взаимно параллельны.

Пример задачи №10.

Построить горизонтальную проекцию прямой Примеры решения задач по начертательной геометриипроходящей через точку Примеры решения задач по начертательной геометрии и параллельной плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии (рис. 26 а).

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Решение:

(Рис. 26 6).

  1. В плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии проводим фронтальную проекцию Примеры решения задач по начертательной геометрии, прямой Примеры решения задач по начертательной геометрии параллельной прямой Примеры решения задач по начертательной геометрии.
  2. Строим горизонтальную проекцию Примеры решения задач по начертательной геометрии, учитывая принадлежность прямой Примеры решения задач по начертательной геометрии плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии.
  3. Строим Примеры решения задач по начертательной геометрии.

Перпендикулярность прямой и плоскости, двyx плоскостей. Прямая, перпендикулярная плоскости, изображается на фронтальной проекции перпендикулярной к фронтали плоскости, на горизонтальной — к горизонтали плоскости.

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Пример задачи №11.

Опустить перпендикуляр из точки Примеры решения задач по начертательной геометрии на плоскость Примеры решения задач по начертательной геометрии (рис. 27 а).

Решение:

(рис. 27 б).

  1. Проводим произвольные горизонталь и фронталь данной плоскости (рис. 27 б).
  2. Затем проводим проекции перпендикуляра rti эАг А п2-L/2;
Примеры решения задач по начертательной геометрии

Пример задачи №12.

Через прямую Примеры решения задач по начертательной геометрии провести плоскость, перпендикулярную к плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии (рис. 24 а).

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Решение:

(рис. 28 б).

  1. Строим произвольные горизонталь и фронталь плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии.
  2. Выбираем на прямой Примеры решения задач по начертательной геометрии произвольную точку Примеры решения задач по начертательной геометрии.
  3. Из точки Примеры решения задач по начертательной геометрии опускаем перпендикуляр Примеры решения задач по начертательной геометрии на плоскость Примеры решения задач по начертательной геометрии. Это перпендикуляр совместно с прямой Примеры решения задач по начертательной геометрииопределяют искомую плоскость Примеры решения задач по начертательной геометрии.

Поверхность: общие сведения

Поверхность — это совокупность последовательных положений непрерывно перемещающейся в пространстве линии в пространстве линии.

Перемещающуюся в пространстве линию называют образующей. Она может быть прямой, кривой, постоянной или переменной. Образующей может быть также поверхность (рис. 29).

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Закон перемещения может быть оговорен словесно (вращательное, поступательное, винтовое) и задан направляющей, т.е, неподвижной линией, по которой скользит перемещающаяся образующая.

Поверхность, которая может быть получена перемещением прямой линии, называют линейчатой (рис. 29 а).

Поверхность, образующей которой может быть только кривая, называют кривой (рис. 29 6).

По признаку перемещения образующей поверхности делят на поверхности вращения, поверхности переноса, винтовые поверхности.

Поверхности делят также на развертываемые и нераввертываемые.

Задание поверхности на чертеже. Поверхность считается заданной, если в отношении любой точки пространства на чертеже однозначно решается вопрос о принадлежности ее данной поверхности.

Точка принадлежит поверхности, если она принадлежит линии поверхности!.

Поверхность на чертеже может быть задана ее определителем, очерком, каркасом.

Определитель поверхности — это совокупность условий, однозначно определяющих данную поверхность. Определитель поверхности состоит из двух частей: геометричесхой, задающей форму образующей и направляющей, и алгоритмической, определяющей условия перемещения или же изменения образующей.

На рис. 30 задана поверхность конуса. Ее определителем является направляющая Примеры решения задач по начертательной геометрии и образующая Примеры решения задач по начертательной геометрии, пересекающая кривую Примеры решения задач по начертательной геометрии и проходящая через неподвижную точку Примеры решения задач по начертательной геометрии.

Точка Примеры решения задач по начертательной геометрии принадлежит данной поверхности, так как она принадлежит линии Примеры решения задач по начертательной геометрии этой поверхности.

Очерк поверхности — это линия пересечения плоскости проекций с проецирующей на данную плоскость проекций цилиндрической поверхностью, огибающей заданную поверхность (рис. 31).

Линию касания огибающей проецирующей поверхности с данной поверхностью называют линией контура.

Проекцию линии контура на плоскость, перпендикулярную данной плоскости проекций, называют линией видимости.

Линия контура, так же как и линия видимости, делит поверхность на ее видимую и невидимую части в проекции на данную плоскость,

Каркас поверхности — это совокупность линий, принадлежащих поверхности (рис. 32).

Примеры решения задач по начертательной геометрии
Примеры решения задач по начертательной геометрии

Линейчатые поверхности — что те, у которых образующей может быть прямая, линия (рис. 33).

К ним относят торсы, и как частный случай цилиндрические, конические, призматические и пирамидальные поверхности. Эти поверхности развертываемые.

Неразвертываемые линейчатые поверхности это поверхности с плоскостью параллелизма — цилиндроид, коноид, гиперболический параболоид (косая плоскость).

Поверхностью вращения называют поверхность, образованную вращением некоторой линии (кривой или примой) вокруг неподвижной прямой, называемой осью поверхности (рис. 34).

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Окружности, принадлежащие поверхности вращения и лежащие в плоскостих, перпендикулярных оси поверхности, называют параллелями поверхности. Параллель наименьшего радиуса — щрло, наибольшего -экватор.

Любая плоскость, проходящая через ось поверхности вращения, выделяет на поверхности кривую, называемую меридианом поверхности.

Меридианы, проекции которых дают очерки поверхности, называют главными.

Известно, что точка, например, точка Примеры решения задач по начертательной геометрии на рис. 33, 34, принадлежит поверхности, если она принадлежит линии поверхности. В качестве линии на поверхности выбирают графически простые линии — прямые или окружности. Для линейчатых поверхностей — это будут образующие -прямые линии» для поверхностей вращения — параллели — окружности.

На рис. 35, 36 показано решение задач на построение ортогональных проекций точки Примеры решения задач по начертательной геометрии, принадлежащей поверхности.

Примеры решения задач по начертательной геометрии
Примеры решения задач по начертательной геометрии

Решение:

Решение задачи на построение точки, принадлежащей поверхности, проводится в следующей последовательности:

1) одну проекцию точки задаем произвольно в пределах очерка поверхности,

2) через заданную проекцию точки проводим одноименную проекцию вспомогательной линии поверхности;

3) находим другую проекцию проведенной линии исходя из принадлежности ее данной поверхности,

4) на найденной проекции вспомогательной линии отмечаем искомую проекцию точки.

На рис. 35 а, б, в проекции точки Примеры решения задач по начертательной геометрии построены на поверхности наклонной призмы, наклонного конуса, коноида с помощью прямолинейной образующей Примеры решения задач по начертательной геометрии, проходящей через точку, Примеры решения задач по начертательной геометрии.

На рис. 36 а,б,в проекции точки Примеры решения задач по начертательной геометрии, принадлежащей соответственно поверхности вращения общего вида, сфере, тору, построены с помощью вспомогательной окружности-параллели, проходящей через эту точку.

Проекции точки Примеры решения задач по начертательной геометрии, принадлежащей поверхности кругового конуса, могут быть построены как с помощью окружности-параллели, так и с помощью прямолинейной образующей (рис. 36 г,д).

Поверхность может занимать относительно данных плоскостей проекций проецирующее положение (рис. 36 е.ж).

Поверхность является проецирующей относительно той плоскости проекций, которой ее образующие перпендикулярны. Проецирующей может быть только поверхность цилиндра, призмы.

Построение проекций точки, принадлежащей проецирующей поверхности, не требует введения вспомогательных линий поверхности, так как соответствующие ее проекции будут всегда расположены на вырожденной проекции данной поверхности.

Самоконтроль 8. Которая из отмеченных точек принадлежит заданной на рис. 37 поверхности вращения? Ответ:

8 а — точка А (с. 55) 8 б — точка В (с. 56). Построение проекций линии, принадлежащей поверхности, принципиально не отличается от построения проекций точки, принадлежащей поверхности. Различие состоит в том, что определяются проекции не одной, а множества точек, принадлежащих линии.

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Если задана одна проекция линии, принадлежащей поверхности, то решение задачи на построение второй проекции этой линии сводится к следующему:

1) на заданной проекции линии задают проекции некоторых точек;

2) через проекции отмеченных точек проводят одноименные проекции вспомогательных линий поверхности;

3) строят вторую проекцию вспомогательных линий поверхности;

4) находят вторую проекцию отмеченных точек на соответствующих проекциях вспомогательных линий;

5) соединяют построенные проекции отмеченных точек с учетом их видимости и получают искомую проекцию заданной на поверхности линии.

Если необходимо определить проекции линии, принадлежащей проецирующей поверхности, то построения значительно упрощаются за счет наличия вырожденной проекции, обладающей собирательным свойством.

Необходимо отметить, что следует внимательно отнестись к выбору точек, с помощью которых будет строиться вторая проекция заданной линии.

Если нужно строить ломаную линию, то обязательно нужно построить точки излома. Обязательному построению подлежат также точки, лежащие на характерных линиях поверхности (очерковых линиях, ребрах многогранной поверхности), Если заданы закономерные кривые, то необходимо строить характерные точки этой кривой (вершины, точки, определяющие оси симметрии, кривой и т.д.).

На рис. 38-42 приведены примеры построения проекций линий, привадлежащих различным поверхностям. Проследите за выполненными на этих рисунках построениями.

Пример задачи №13.

Задана фронталь проекция линий, принадлежащих поверхности данного тела (рис, 38).

Требуется построить их другие проекции.

Решение:

Боковая поверхность тела — горизонтально проецирующая, поэтому горизонтальные проекции отмеченных на фронтальной проекции точек 1-10 находим на вырожденной проекции тела, т.е. на горизонтальном очерке.

Их профильные проекции строим по двум проекциям — фронтальной и горизонтальной.

Точки 3. 5, 7, 9 — случайные, с их помощью определяют кривизну полученных в профильной проекции кривых.

Пример задачи №14.

Задана горизонтальная проекция линии, принадлежащей поверхности кругового конуса (рис. 39).

Требуется построить отсутствующие проекции этой линии.

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Решение Конус — поверхности общего вида. Заданная линия гипербола. Ее вершина определяется точкой 4, Точка 5 определяет видимость кривой во фронтальной проекции, точка 3 — в профильной. Их проекции отмечаем на главных меридианах поверхности. Случайные точки 2, 6 и высшую точку 4 строим с помощью окружностей параллелей, проведенных через эти точки,

Пример задачи №15.

Задана фронтальная проекция двух линий, принадлежащих поверхности сферы (рис. 40).

Требуется пост роить их горизонтальную и профильные проекции.

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Решение:

Сфера — поверхность общего вида. Каждая из этих линий половина окружности. Полуокружность 3-9 изображается и горизонтальной и профильной проекциях н виде половины эллипсон. Точки 9, 3 определяют одну ось эллипса, точка 6 — другую полуось, В качестве вспомогательных линий при построении проекций отмеченных точек использованы окружности-параллели сферы.

Пример задачи №16.

Задана фронтальная проекция двух линий, принадлежащих поверхности тора (рис. 41).

Требуется построить их горизонтальную и профильные проекции.

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Решение:

Каждую из отмеченных во фронтальной проекции точек находим на других проекциях с помощью окружностей-параллелей, проходящих через эти точки,

Точка 8 определяет видимость кривой 5-10 в горизонтальной проекции. Точка 3 характерна для кривой 1 -5.

Пример задачи №17.

Задана фронтальная проекции линии Примеры решения задач по начертательной геометрии, принадлежащей поверхности гиперболического параболоида — косой плоскости (рис. 42). Требуется построить ее горизонтальную проекцию.

Решение:

Каждую из отмеченных во фронтальной проекции точек 1-4 кривой определяем с помощью прямолинейных образующих поверхности.

Видимость кривой Примеры решения задач по начертательной геометрии в горизонтальной проекции не устанавливаем, считая поверхность гиперболического параболоида прозрачной.

Примеры решения задач по начертательной геометрии
Примеры решения задач по начертательной геометрии

Пересечение фигур

Фигурой пересечения прямой и плоскости является точка, двух плоскостей — примам линия, прямой и поверхности — две точки, плоскости и поверхности — крипая или ломаная линия.

Среди множества точек, принадлежащих кривым пересечения, выделяют характерные и случайные точки.

Алгоритм построения точек общих для двух пересекающихся фигур различен в зависимости от того, какое положение этифигуры занимают относительно данных плоскостей проекций, общее или проецирующее.

Если обе пересекающиеся фигуры или одна из них проецирующие, то алгоритм решения упрощается, так как в этом случае одна или две проекции искомой фигуры пересечения совпадают с вырожденными проекциями проецирующих фигур.

Другие проекции искомых точек фигуры пересечения находят по двум отмеченным их проекциям или же, в случае если одна фигура проецирующая, по принадлежности этих точек фигуре общего вида, участвующей в данном пересечении.

В том случае, если пересекаются две геометрические фигуры общего вида, то для получения точек общих для них используют способ посредников, плоскостей или поверхностей.

Рассмотрим три варианта решения задач на пересечение фигур при их различном положении относительно данных плоскостей проекций.

Если пересекаются две фигуры, занимающие относительно данных плоскостей проекций проецирующее положение, то две проекции искомой фигуры пересечения совпадают с вырожденными проекциями проецирующих фигур, третью прсекцию находят по двум отмеченным.

Пример задачи №18.

Построить линию пересечения поверхности цилиндра с плоскостью Примеры решения задач по начертательной геометрии (рис. 44).

Решение:

Анализируя пересекающиеся фигуры, устанавливаем, что боковая поверхность цилиндра горизонтально проецирующая, я плоскость Примеры решения задач по начертательной геометрии фронтально проецирующая. Отсюда следует, что горизонтальная проекция фигуры пересечения совпадает с вырожденной проекцией цилиндра, т.е. с окружностью, фронтальная — со следом Примеры решения задач по начертательной геометрии.

Наметив на фронтальной и горизонтальной проекциях фигуры пересечения ряде точек (точки 1-5), строим их профильные проекции (см. значение Примеры решения задач по начертательной геометрии для точки 4). Кривой пересечения будет эллипс.

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Пример задачи №19.

Построить линию пересечения двух цилиндров (рис. 45).

Решение:

Меньший цилиндр горизонтально проецирующий, больший — профильно проецирующий, следовательно горизонтальные и профильные проекции точек, принадлежащих линии пересечения, могут быть отмечены ла соответствующих вырожденных проекциях цилиндров.

Фронтальную проекцию искомой линии находим но двум имеющимся проекциям (см. Примеры решения задач по начертательной геометрии и Примеры решения задач по начертательной геометрии).

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Пересекаются две геометрические фигуры из которых одна общего положения, другая — проецирующая

В этом случае одна проекция фигуры пересечения совпадаете вырожденной проекцией проецирующей фигуры, другую ее проекцию находим по принадлежности искомых точек фигуре общего вида, участвующей в пересечении,

Пример задачи №20.

Построить пересечение прямой Примеры решения задач по начертательной геометрии с плоскостью Примеры решения задач по начертательной геометрии (рис. 46 а).

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Решение:

Так как прямая Примеры решения задач по начертательной геометрии фронтально проецирующая, то фронтальная проекция искомой точки Примеры решения задач по начертательной геометрии (рис. 46 б) совпадает с вырожденной проекцией прямой Примеры решения задач по начертательной геометрии. Горизонтальную проекцию Примеры решения задач по начертательной геометрии находим по принадлежности точки Примеры решения задач по начертательной геометрии фигуре общего вида, т.е. плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии. Делаем это с помощью вспомогательной прямой 1-2.

Видимость прямой Примеры решения задач по начертательной геометрии относительно безграничной непрозрачной плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии устанавливается по правилу конкурирующих точек (см. Примеры решения задач по начертательной геометрииПримеры решения задач по начертательной геометрии). Проекция Примеры решения задач по начертательной геометрии выше, а Примеры решения задач по начертательной геометрии значит проекция Примеры решения задач по начертательной геометрии в окрестности выбранных конкурирующих точек будет невидима. Видимость проекции прямой меняется после точки пересечения.

Пример задачи №21.

Построить линию пересечения двух плоскостей Примеры решения задач по начертательной геометрии и Примеры решения задач по начертательной геометрии (рис. 47 а).

Решение:

Примеры решения задач по начертательной геометрии — горизонтальная плоскость и в тоже время фронтально проецирующая, следовательно, фронтальная проекция линии пересечения совпадает со следом Примеры решения задач по начертательной геометрии (рис. 47 б Примеры решения задач по начертательной геометрии), горизонтальную проекцию строим по принадлежности этой линии фигуре общего вида, т.е плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии.

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Пример задачи №22.

Определить точки пересечения прямой Примеры решения задач по начертательной геометрии с поверхностью конуса (рис. 48).

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Решение:

Прямая Примеры решения задач по начертательной геометрии — фронтально проецирующая, значит Примеры решения задач по начертательной геометрии. проекции Примеры решения задач по начертательной геометрии и Примеры решения задач по начертательной геометрии находим по принадлежности искомых точек Примеры решения задач по начертательной геометрии поверхности общего вида, т.е. конусу, для чего используем вспомогательные образующие Примеры решения задач по начертательной геометрии.

Пример задачи №23.

Построить линию пересечения наклонного цилиндра с плоскостью Примеры решения задач по начертательной геометрии (рис. 49).

Решение:

Искомая линия будет кривой. Плоскость Примеры решения задач по начертательной геометрии — горизонтально проецирующая, следовательно, горизонтальная проекция искомой кривой совпадает со следом Примеры решения задач по начертательной геометрии

Отмечаем на следе Примеры решения задач по начертательной геометрии точки, подлежащие определению во фронтальной проекции, выделив при атом обязательно точки, принадлежащие очерковым образующим.

Каждую изотчеченнык точек находим во фронтальной проекции по принадлежности поверхности цилиндра. Делаем это с помощью образующих цилиндра.

Проследите по чертежу за этими построениями. Точки Примеры решения задач по начертательной геометрии принадлежат горизонтальному очерку цилиндра, Примеры решения задач по начертательной геометрии — фронтальному очерку. Точки 1, 2 — случайные.

Заметим, что видимой считаем точку, которая принадлежит видимой на данной проекции образующей. Точки 1, 2 во фронтальной проекции обе невидимы, в горизонтальной точка 2 — видима, Примеры решения задач по начертательной геометрии — невидима.

Пример задачи №24.

Построить линию пересечения тора и цилиндра (рис. 50).

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Решение:

Цилиндр — профильно проецирующий, следовательно с его профильной проекцией совпадает профильная проекция искомой линии пересечения.

Намечаем на ней точки, подлежащие определению в других проекциях, и находим каждую ил них по принадлежности фигуре общего вида, т.е. поверхности тора. Делаем это с помощью окружностей — параллелей,

Точки Примеры решения задач по начертательной геометрии — характерные, Точки Примеры решения задач по начертательной геометрии определяют видимость кривой в горизонтальной проекции, Точки 1,2- случайные.

Пример задачи №25.

Построить линию пересечения пирамиды и цилиндра (рис. 51).

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Решение:

Цилиндр — горизонтально проецирующий, следовательно его горизонтальной проекцией совпадает горизонтальная проекция искомой линии. Фронтальные проекции точек, отмеченных на этой линии, находим по принадлежности и к поверхности пирамиды. Делаем Это с помощью линий, параллельны основанию пирамиды.

Проследите за этими построениями на примере точек I, 2.

Пример задачи №26.

Построить линию пересечения тора и призмы (рис. 52).

Решение:

Призма — горизонтампроецирующая, следовательно с ее горизонтальной проекцией совпадает горизонтальная проекция искомой линии пересечения.

Намечаем на ней точки 1-4, подлежащие определению но фронтальной и профильной проекциях

Точка 3 — случайная. Ее фронтальная проекция построена с помощью окружности — параллели, проведенной через эту точку. Радиус параллели для точки 3 определяется положением точки Примеры решения задач по начертательной геометрии.

Точка 2 принадлежит фронтальному очерку тора. Радиус параллели для точки 4 определяется положением точки Примеры решения задач по начертательной геометрии.

Самоконтроль 10. Назовите плоскость, которая пересекает поверхность конуса по гиперболе (рис. 53).

Ответ: 10 а — плоскость Примеры решения задач по начертательной геометрии (с. 55). 10 б — плоскость Примеры решения задач по начертательной геометрии (с. 56).

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Пересекаются две геометрические фигуры общего положения

Для построения проекций их пересечения используют способ посредников. Посредником может быть плоскость или поверхность*

Сущность способа посредников следующая.

Обе заданные фигуры Примеры решения задач по начертательной геометрии и Примеры решения задач по начертательной геометрии (рис. 54) пересекают посредником Примеры решения задач по начертательной геометрии, находят линии Примеры решения задач по начертательной геометрии и Примеры решения задач по начертательной геометрии пересечения заданных фигур с посредником и в пересечении полученных линий отмечают точки Примеры решения задач по начертательной геометрии, общие для пересекающихся фигур.

Примеры решения задач по начертательной геометрии

При выборе посредника руководствуются тем, чтобы линии, получаемые в пересечении посредника с заданными фигурами, был и графически простыми. Количество посредников зависит от вида пересекающихся фигур,

В случае пересечения прямой с плоскостью или поверхностью плоскость посредник, чаще всего проецирующую, проводят через прямую (рис. 55).

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Использование плоскостей посредников

Пример задачи №27.

Определить точку пересечения прямой Примеры решения задач по начертательной геометрии с плоскостью Примеры решения задач по начертательной геометрии (рис. 56 а).

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Решение:

Так как прямая Примеры решения задач по начертательной геометрии и плоскость Примеры решения задач по начертательной геометрии — фигуры общего вида, то для решения задачи используют способ посредников.

Посредник, плоскость Примеры решения задач по начертательной геометрии проводим через прямую Примеры решения задач по начертательной геометрии (см. рис. 56 бПримеры решения задач по начертательной геометрии) и строим линию пересечения посредника с заданной плоскостью Примеры решения задач по начертательной геометрии, линию Примеры решения задач по начертательной геометрии. Линию Примеры решения задач по начертательной геометрии определяют точки 1, 2.

В пересечении линии Примеры решения задач по начертательной геометрии с заданной прямой Примеры решения задач по начертательной геометрии отмечаем искомую точку Примеры решения задач по начертательной геометрии.

Видимость прямой Примеры решения задач по начертательной геометрии относительно непрозрачной плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрииустанавливаем по правилу конкурирующих точек. Так видимость прямой Примеры решения задач по начертательной геометрии в горизонтальной проекции определяем с помощью горизонтально конкурирующие точек 3, 4 (см, Примеры решения задач по начертательной геометрии).

Так как точка 3, принадлежащая прямой Примеры решения задач по начертательной геометрии, т.е. плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии во фронтальной проекции расположена выше, чем точка 4, принадлежащая прямой Примеры решения задач по начертательной геометрии, то плоскость Примеры решения задач по начертательной геометрии закрывает в горизонтальной проекции прямую Примеры решения задач по начертательной геометрии, следовательно, прямая Примеры решения задач по начертательной геометрии в этой части чертежа невидима.

Во фронтальной проекции видимость прямой Примеры решения задач по начертательной геометрии относительно непрозрачной плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии устанавливаемой по фронтально конкурирующим точкам Примеры решения задач по начертательной геометрии Так как проекция Примеры решения задач по начертательной геометрии ближе к глазу наблюдателя, чем проекция Примеры решения задач по начертательной геометрии то прямая в этой части чертежа видима.

Пример задачи №28.

Определить точки пересечения прямой Примеры решения задач по начертательной геометрии с поверхностью вращения (рис.57).

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Решение:

Так как пересекаются геометрические фигуры общего вила, то через прямую, также как и в предыдущем примере, проводим фронтально проецирующую плоскость Примеры решения задач по начертательной геометрии и строим линию пересечения плоскости-посредника с поверхностью вращения, линию Примеры решения задач по начертательной геометрии. В пересечении полученной линии Примеры решения задач по начертательной геометрии с прямой Примеры решения задач по начертательной геометрии отмечаем искомые точки Примеры решения задач по начертательной геометрии.

Проекции Примеры решения задач по начертательной геометрии — видимые, Примеры решения задач по начертательной геометрии — невидимая.

Пример задачи №29.

Определить линию пересечения двух плоскостей Примеры решения задач по начертательной геометрии (рис.58).

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Решение:

Обе плоскости общего положения, поэтому дли определении точек Примеры решения задач по начертательной геометрии и Примеры решения задач по начертательной геометрии, общих для них, используем способ посредников. В качестве посредников выбраны плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии и Примеры решения задач по начертательной геометрии.

Пример задачи №30.

Определить линию пересечении сферы и тора (рис. 59).

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Решение:

Обе поверхности общею вида, поэтому дли решении задачи используем способ посредников.

Посредники, плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии и Примеры решения задач по начертательной геометрии перпендикулярны плоскости Примеры решения задач по начертательной геометрии и оси тора Примеры решения задач по начертательной геометрии.

Плоскость Примеры решения задач по начертательной геометрии пересекает сферу и тор по окружностям Примеры решения задач по начертательной геометрии и Примеры решения задач по начертательной геометрии, радиусы которых определяют точки Примеры решения задач по начертательной геометрии и Примеры решения задач по начертательной геометрии. В пересечении окружностей Примеры решения задач по начертательной геометрии получаем точки, общие для сферы и тора, точки 1, 2.

С помощью посредника Примеры решения задач по начертательной геометрии получаем точку Примеры решения задач по начертательной геометрии, положение которой в горизонтальной проекции определяет переход кривой от ее видимой части к невидимой.

Использование сфер-посредников

Соосные поверхности пересекаются по окружностям. Сфера соосна с любой поверхностью вращения, если ее центр расположен на оси поверхности вращении.

Использование концентрических сфер в качестве посредников возможно, ели (рис. 60);

пересекаются поверхности вращения; оси поверхностей вращения пересекаются;

плоскость, образованная осями пересекающихся поверхностей, параллельна плоскости проекций.

Примеры решения задач по начертательной геометрии

На рис. 60 а показано определение точек Примеры решения задач по начертательной геометрии общих для конуса Примеры решения задач по начертательной геометрии и цилиндра Примеры решения задач по начертательной геометрии, с помощью введения посредника — сферы Примеры решения задач по начертательной геометрии Сфера Примеры решения задач по начертательной геометрии пересекает конус по окружностям Примеры решения задач по начертательной геометрии и Примеры решения задач по начертательной геометрии, цилиндр по окружностям Примеры решения задач по начертательной геометрии и Примеры решения задач по начертательной геометрии. В их пересечении отмечаем точки Примеры решения задач по начертательной геометрии общие для сферы Примеры решения задач по начертательной геометрии, конуса и цилиндра,

На рис. 60 б построена линия пересечения конуса и цилиндра.

Проведено множество сфер- посредников, среди которых особо нужно выделить сферу с Примеры решения задач по начертательной геометрии, который определяется размером максимальной нормали.

Горизонтальные проекции полученных точек определяем исходя из принадлежности их поверхности конуса.

Кстати готовые на продажу задачи тут, и там же теория из учебников может быть вам поможет она.

Теорема г. монжа

Если две поверхности второго порядка описаны около третьей поверхности, второго порядка или вписаны а нее), то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки касания.

На рис- 61 построены проекции линии пересечения конуса и цилиндра, описанных вокруг сферы.

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Линией их пересечения являются два эллипса, фронтальные проекции которых изображаются на чертеже в виде прямых линий.

На рис. 62, 6J даны примеры пересекающихся поверхностей, когда проекции линии пересечения, согласно теореме Г.Монжа, представляют собой отрезки прямых линий.

Примеры решения задач по начертательной геометрии

Примеры решения задач по всем темам начертательной геометрии

Начертательная геометрия – это раздел геометрии, в котором пространственные фигуры изучаются с помощью их изображений на плоскости (чертежей). Разработка методов построения и чтения чертежей, решения геометрических и технических задач является предметом изучения начертательной геометрии. В начертательной геометрии используются графические методы решения задач, поэтому к чертежам предъявляются особые требования – обратимость, точность, наглядность и другие.

Правила построения изображений фигур основано на методе проецирования. Наиболее распространенными в начертательной геометрии являются чертежи, полученные при проецировании фигур на две плоскости – комплексные чертежи в системе двух плоскостей проекций. Под фигурой будем понимать любое множество точек.

Изображением точки, которая является элементом фигуры, является пара точек – две связанные между собой проекции точки. Каждой точке пространства соответствует единственная пара точек плоскости чертежа и каждой паре точек плоскости чертежа соответствует единственная точка пространства. Пара точек плоскости чертежа является геометрической моделью точки пространства.

Изображения фигур пространства, получаемые методами начертательной геометрии, являются геометрическими моделями этих фигур на плоскости. Между фигурой и ее изображением устанавливается строгая геометрическая связь, что позволяет судить о форме и размерах фигуры по ее изображению.

Задачи в начертательной геометрии обычно делятся на позиционные (задачи на определение общих элементов заданных фигур), метрические (задачи на определение значений геометрических величин – длин отрезков, размеров углов и т.д.) и конструктивные (задачи на построение фигур, удовлетворяющих заданным условиям). Знание элементарной геометрии, методов решения позиционных и метрических задач дает возможность решать и конструктивные задачи.

Метод проекций

Для того чтобы чертеж соответствовал изображаемому предмету и передавал его свойства, он должен быть построен по определенным геометрическим законам. Правила построения изображений в инженерной геометрии основаны на методе проекций.

Метод проекций предполагает наличие плоскости проекций, объекта проецирования и проецирующих лучей.

Проекцией точки Решение задач по начертательной геометрии на плоскость Решение задач по начертательной геометрии называется точка пересечения Решение задач по начертательной геометрии с этой плоскостью проецирующего луча Решение задач по начертательной геометрии, проходящего в пространстве через точку Решение задач по начертательной геометрии (рис. 1.1).

Различают два метода проецирования: центральное и параллельное.

Центральное и параллельное проецирование

При центральном проецировании все проецирующие лучи проходят через точку Решение задач по начертательной геометрии, называемую центром проекций и не лежащую в плоскости проекций. Для построения проекций некоторых точек Решение задач по начертательной геометрии (рис. 1.2) проводим через эти точки и центр проекций Решение задач по начертательной геометрии проецирующие лучи до пересечения с плоскостью Решение задач по начертательной геометрии. На плоскости проекций Решение задач по начертательной геометрии каждой точке будет соответствовать единственная точка — проекции Решение задач по начертательной геометрии.

Решение задач по начертательной геометрии

Центральное проецирование обладает наглядностью, оно используется при построении изображений архитектурно-строительных объектов, но даст значительное искажение размеров, вследствие чего не применяется для выполнения чертежей.

При параллельном проецировании проецирующие лучи параллельны заданному направлению Решение задач по начертательной геометрии (рис. 1.3). Точки пересечения проецирующих лучей, проходящих через точки Решение задач по начертательной геометрии с плоскостью проекций Решение задач по начертательной геометрии — параллельные проекции Решение задач по начертательной геометрии на плоскости Решение задач по начертательной геометрии.

Параллельное проецирование можно рассматривать как частный случай центрального при бесконечно удаленном центре проекций. В зависимости от направления проецирующих лучей относительно плоскости проекций параллельное проецирование может быть прямоугольным (проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций) и косоугольным (проецирующие лучи составляют с плоскостью проекций угол, не равный Решение задач по начертательной геометрии).

Прямоугольной (ортогональной) проекцией точки Решение задач по начертательной геометрии (рис. 1.4) является основание перпендикуляра Решение задач по начертательной геометрии, проведенного из точки Решение задач по начертательной геометрии на плоскость Решение задач по начертательной геометрии. Динамический рисунок с перемещением точек Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии в пространстве относительно плоскости проекций можно посмотреть здесь.

Ортогональное проецирование имеет ряд преимуществ перед центральным и косоугольным параллельным проецированием.

Решение задач по начертательной геометрии

Для разработки чертежей применяется в основном прямоугольное (ортогональное) проецирование. Прямоугольное проецирование включает в себя все свойства центрального и параллельного проецирования.

  1. Каждая точка и прямая в пространстве имеют единственную проекцию на плоскости, так как через любую точку в пространстве можно провести только один проецирующий луч (рис. 1.4).
  2. Каждая точка на плоскости проекций может быть проекцией множества точек, если через них проходит общий проецирующий луч (рис. 1.5).
  3. Если точка принадлежит прямой, то проекция точки принадлежит проекции этой прямой (рис. 1.6).
Решение задач по начертательной геометрии
  1. Отношение отрезков прямой равно отношению их проекций (рис. 1.6):
Решение задач по начертательной геометрии
  1. Проекции параллельных прямых параллельны. Если Решение задач по начертательной геометрии, то Решение задач по начертательной геометрии (рис. 1.7). Если прямая перпендикулярна плоскости проекций, то проекцией этой прямой является точка (прямая Решение задач по начертательной геометрии, рис. 1.8).
Решение задач по начертательной геометрии
  1. Если отрезок прямой параллелен плоскости проекций, то на эту плоскость отрезок проецируется в натуральную величину (прямая Решение задач по начертательной геометрии, рис. 1.8).

Точка в системе двух и трех плоскостей проекций

Возьмем в пространстве две взаимно перпендикулярные плоскости. Одна из них располагается горизонтально — ее называют горизонтальной плоскостью проекций и обозначают буквой Решение задач по начертательной геометрии. Другая плоскость перпендикулярна горизонтальной и называется фронтальной плоскостью проекций. Эта плоскость обозначается буквой Решение задач по начертательной геометрии (рис. 1.9). Линия пересечения плоскостей проекций называется осью проекций. Ось проекций Решение задач по начертательной геометрии разделяет каждую из плоскостей на две полуплоскости.

Решение задач по начертательной геометрии

Спроецируем точку Решение задач по начертательной геометрии на плоскости проекций Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии. Горизонтальной проекцией точки называют прямоугольную проекцию точки на горизонтальной плоскости проекций. Горизонтальную проекцию находим как точку пересечения перпендикуляра, проведенного из точки Решение задач по начертательной геометрии, с плоскостью Решение задач по начертательной геометрии. Обозначим ее символом Решение задач по начертательной геометрии. Проведем из точки Решение задач по начертательной геометрии в плоскости Решение задач по начертательной геометрии перпендикуляр на ось Решение задач по начертательной геометрии и отметим вспомогательную точку Решение задач по начертательной геометрии.

Фронтальной проекцией точки называют прямоугольную проекцию точки на фронтальной плоскости проекций. Фронтальную проекцию находим как точку пересечения перпендикуляра, проведенного из точки Решение задач по начертательной геометрии, с плоскостью Решение задач по начертательной геометрии. Обозначим ее Решение задач по начертательной геометрии.

Для получения плоского чертежа точки необходимо совместить плоскость Решение задач по начертательной геометрии с плоскостью Решение задач по начертательной геометрии поворотом вокруг оси Решение задач по начертательной геометрии. При этом отрезки Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии образуют один отрезок Решение задач по начертательной геометрии, перпендикулярный к оси Решение задач по начертательной геометрии. Отрезок Решение задач по начертательной геометрии называется линией проекционной связи (рис. 1.10). Без обозначения плоскостей Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии этот чертеж будет выглядеть так, как показано на рис. 1.11. Полученный чертеж имеет название эпюр Монжа (Epure — чертеж (франц.)), в честь основоположника начертательной геометрии французского ученого Гаспара Монжа.

Решение задач по начертательной геометрии

Иногда двух проекций геометрического элемента бывает недостаточно, чтобы определить его форму и истинные размеры. Тогда выполняют построение изображения на третьей плоскости. Введем в систему Решение задач по начертательной геометрии, Решение задач по начертательной геометрии третью плоскость проекций, перпендикулярную плоскостям Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии. Ее называют профильной плоскостью проекций и обозначают Решение задач по начертательной геометрии (рис. 1.12).

Решение задач по начертательной геометрии

Три взаимно перпендикулярные плоскости проекций называются координатными плоскостями. Они пересекаются по трем взаимно перпендикулярным прямым Решение задач по начертательной геометрии которые называются осями координат и обозначаются Решение задач по начертательной геометрии. Общая точка Решение задач по начертательной геометрии — начало координат.

Рассмотрим построение трех проекций некоторой точки пространства. Зададимся произвольной точкой Решение задач по начертательной геометрии (рис. 1.12). Проецирование на плоскости Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии выполняется аналогично приведенному выше примеру проецирования точки Решение задач по начертательной геометрии на две плоскости проекций. Профильной проекцией точки является прямоугольная проекция точки на профильной плоскости проекций Решение задач по начертательной геометрии. Обозначим ее Решение задач по начертательной геометрии.

Часто с осями проекций совмещают декартову систему координат. Из рис. 1.12 видно, что:

Решение задач по начертательной геометрии (высота Решение задач по начертательной геометрии точки Решение задач по начертательной геометрии — аппликата);

Решение задач по начертательной геометрии (глубина Решение задач по начертательной геометрии точки Решение задач по начертательной геометрии — ордината);

Решение задач по начертательной геометрии (широта Решение задач по начертательной геометрии точки Решение задач по начертательной геометрии — абсцисса).

Чтобы перейти к плоскому изображению, повернем плоскость Решение задач по начертательной геометрии вниз вокруг оси Решение задач по начертательной геометрии и плоскость яз вправо вокруг оси Решение задач по начертательной геометрии до совмещения с плоскостью Решение задач по начертательной геометрии. При развороте плоскостей Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии ось Решение задач по начертательной геометрии воспроизводится дважды.

На рис. 1.13 показано расположение проекций Решение задач по начертательной геометрии точки Решение задач по начертательной геометрии после совмещения плоскостей проекций.

Решение задач по начертательной геометрии

Прямые, соединяющие на чертеже две проекции одной и той же точки, являются линиями проекционной связи, между Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии — вертикальная линия связи, между Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии — горизонтальная линия связи, между проекциями Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии — ломаная линия связи. Переход от оси Решение задач по начертательной геометрии плоскости Решение задач по начертательной геометрии к оси Решение задач по начертательной геометрии плоскости Решение задач по начертательной геометрии может осуществляться при помощи дуги или вспомогательной прямой, проведенной под углом Решение задач по начертательной геометрии к оси Решение задач по начертательной геометрии.

На рис. 1.14 выполнено построение профильной проекции Решение задач по начертательной геометрии точки Решение задач по начертательной геометрии по заданной горизонтальной Решение задач по начертательной геометрии и фронтальной Решение задач по начертательной геометрии. Построение выполняется следующим образом.

  1. Проводим через проекцию Решение задач по начертательной геометрии горизонтальную линию связи, на которой находится профильная проекция Решение задач по начертательной геометрии.
  2. Проводим ломаную линию связи через Решение задач по начертательной геометрии до пересечения с горизонтальной линией связи, проведенной через фронтальную проекцию Решение задач по начертательной геометрии.

Профильную проекцию Решение задач по начертательной геометрии можно получить, откладывая на горизонтальной линии связи от точки Решение задач по начертательной геометрии отрезок, равный координате Решение задач по начертательной геометрии.

Решение задач по начертательной геометрии

Как известно, положение точки в пространстве может быть задано при помощи трех ее координат (абсциссы Решение задач по начертательной геометрии, ординаты Решение задач по начертательной геометрии, аппликаты Решение задач по начертательной геометрии), т. е. трех чисел, выражающих расстояния от этой точки до трех плоскостей проекций. Запись координат точки производится в такой форме: Решение задач по начертательной геометрии. Например, задана точка Решение задач по начертательной геометрии. Эта запись означает, что точка Решение задач по начертательной геометрии определяется координатами Решение задач по начертательной геометрии.

Если масштаб для построения чертежа задан или выбран, то построение проводят так, как показано на рис. 1.13, 1.14 — откладывается на оси Решение задач по начертательной геометрии от точки Решение задач по начертательной геометрии отрезок Решение задач по начертательной геометрии, а на перпендикуляре к этой оси, проведенном из точки Решение задач по начертательной геометрии,откладывают отрезки Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии. Затем строят профильную проекцию Решение задач по начертательной геометрии, как описано выше.

Проекции отрезка прямой линии

Как известно из элементарной геометрии, прямая линия определяется двумя точками, поэтому чтобы построить проекции этой прямой, необходимо иметь проекции двух точек, принадлежащих этой прямой.

Возьмем на произвольной прямой две точки Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии (рис. 1.15). Их проекции Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии на плоскости по определяют прямую, которую можно рассматривать как линию пересечения плоскости Решение задач по начертательной геометрии с плоскостью Решение задач по начертательной геометрии, определяемой прямой Решение задач по начертательной геометрии и проецирующими лучами Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии. Линия пересечения плоскостей Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии проходит через проекции Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии на плоскости Решение задач по начертательной геометрии. Эта линия и является проекцией прямой на плоскости проекций Решение задач по начертательной геометрии.

Одна проекция прямой не определяет ее положения в пространстве. Для однозначного определения прямой в пространстве необходимы как минимум две проекции.

Решение задач по начертательной геометрии

Прямые общего и частного положения

Прямые в пространстве могут занимать относительно плоскостей проекций различное положение. Прямую, не параллельную ни одной из плоскостей проекций, называют прямой общего положения. На рис. 1.16, а дано пространственное изображение, а на рис. 1.16,6-чертеж прямой Решение задач по начертательной геометрии.

Точки Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии находятся на разных расстояниях от каждой из плоскостей проекций, т. е. прямая Решение задач по начертательной геометрии не параллельна ни одной из них. Значит, прямая Решение задач по начертательной геометрии общего положения.

Решение задач по начертательной геометрии

На представленном примере показан перемещающийся в пространстве отрезок Решение задач по начертательной геометрии и его проекции на три плоскости.

По двум известным проекциям отрезка прямой всегда можно построить третью проекцию, так как любая пара проекций содержит все три координаты конечных точек отрезка.

Прямые, параллельные или перпендикулярные к плоскостям проекций, называются прямыми частного положения.

Прямая, параллельная плоскости проекций, называется прямой уровня. Существуют три линии уровня.

Решение задач по начертательной геометрии

Прямая, перпендикулярная к плоскостям проекций, называется проецирующей. Различают три вида проецирующих прямых.

Решение задач по начертательной геометрии

Определение натуральной величины отрезка прямой и углов наклона прямой к плоскостям проекций

Отрезки прямых общего положения не проецируются в натуральную величину ни на одну из плоскостей проекций. Длину (натуральную величину — Решение задач по начертательной геометрии) отрезка можно определить на основании свойства ортогонального проецирования.

Из рисунка 1.17 видно, что натуральная величина отрезка Решение задач по начертательной геометрии общего положения является гипотенузой прямоугольного треугольника Решение задач по начертательной геометрии. В этом треугольнике один катет Решение задач по начертательной геометрии параллелен плоскости Решение задач по начертательной геометрии и равен по длине горизонтальной проекции отрезка Решение задач по начертательной геометрии, а величина второго катета равна разности расстояний точек Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии до плоскости проекций Решение задач по начертательной геометрии, т. е. Решение задач по начертательной геометрии.

Угол Решение задач по начертательной геометрии — угол наклона отрезка Решение задач по начертательной геометрии к горизонтальной плоскости проекций Решение задач по начертательной геометрии.

Решение задач по начертательной геометрии

Таким образом, на горизонтальной проекции отрезка Решение задач по начертательной геометрии (рис. 1.18) можно построить прямоугольный треугольник, взяв вторым катетом Решение задач по начертательной геометрии. Гипотенуза этого треугольника Решение задач по начертательной геометрии будет натуральной величиной отрезка Решение задач по начертательной геометрии, а угол Решение задач по начертательной геометрии определяет угол наклона отрезка Решение задач по начертательной геометрии к горизонтальной плоскости проекций Решение задач по начертательной геометрии.

Аналогичное построение можно сделать на фронтальной плоскости проекций, взяв в качестве второго катета разность расстояний концов отрезка (Решение задач по начертательной геометрии) до фронтальной плоскости проекций Решение задач по начертательной геометрии. Отрезок Решение задач по начертательной геометрии -натуральная величина отрезка Решение задач по начертательной геометрии, угол Решение задач по начертательной геометрии — угол наклона Решение задач по начертательной геометрии к плоскости Решение задач по начертательной геометрии.

Относительное положение точки и прямой

Точка и прямая в пространстве могут занимать различное положение относительно друг друга. Если точка принадлежит прямой, то проекции этой точки лежат на одноименных проекциях данной прямой. Точка Решение задач по начертательной геометрии принадлежит прямой Решение задач по начертательной геометрии (рис. 1.19), так как се проекции Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии лежат на одноименных проекциях прямой Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии. Точки Решение задач по начертательной геометрии не принадлежат прямой Решение задач по начертательной геометрии, так как одна из проекций этих точек не лежит на соответствующей проекции прямой.

Решение задач по начертательной геометрии

Задание плоскости на чертеже

Плоскостью называется поверхность, образуемая перемещением прямой линии, которая движется параллельно самой себе по неподвижной направляющей прямой.

На чертеже плоскость можно изобразить только в том случае, если она проецируется в линию. На рис. 1.20 плоскость Решение задач по начертательной геометрии, расположенная перпендикулярно к плоскости Решение задач по начертательной геометрии, проецируется на нее прямой линией Решение задач по начертательной геометрии.

Если плоскость не перпендикулярна к плоскости проекций, то изобразить ее на чертеже невозможно, так как проекции плоскости занимают полностью всю плоскость проекций.

Однако ее можно задать на чертеже, изобразив отдельные геометрические элементы, определяющие ее.

Решение задач по начертательной геометрии
Решение задач по начертательной геометрии

Такими элементами являются:

  • три точки, не лежащие на одной прямой (рис. 1.21, а);
  • прямая и точка, не лежащая на ней (рис. 1.21, б);
  • пересекающиеся прямые (рис. 1.21, в);
  • две параллельные прямые (рис. 1.21, г);
  • плоская фигура (рис. 1.21, <)).

Плоскости общего и частного положения

Плоскость, не перпендикулярную ни к одной из плоскостей проекций, называют плоскостью общего положения (рис. 1.22). Эти плоскости имеют наибольшее распространение. Причем плоскость не ограничивается задающей ее плоской фигурой, а является бесконечной (если иное не оговорено в условии задачи).

Решение задач по начертательной геометрии

К плоскостям частного положения относятся плоскости, перпендикулярные или параллельные плоскостям проекций.

Если плоскости перпендикулярны к одной из плоскостей проекций, то они называются проецирующими.

Различают горизонтально-проецирующую, фронтально-проецирующую и профильно-проецирующую плоскости.

Плоскости, параллельные какой-либо плоскости проекций, называются плоскостями уровня.

К ним относятся:

  1. горизонтальная плоскость уровня — параллельная плоскости проекций Решение задач по начертательной геометрии;
  2. фронтальная плоскость уровня — параллельная плоскости Решение задач по начертательной геометрии;
  3. профильная плоскость уровня — параллельная плоскости Решение задач по начертательной геометрии.

Прямая и точка в плоскости

К числу основных задач, решаемых на плоскости, относятся: построение прямой, принадлежащей заданной плоскости; построение недостающих проекций точки, лежащей в плоскости. Решение указанных задач основано на известных положениях геометрии, перечисленных ниже.

  • Прямая принадлежит плоскости, если две ее точки принадлежат этой плоскости.

Например, плоскость задана параллельными прямыми Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии (горизонтальные проекции Решение задач по начертательной геометрии и фронтальные проекции Решение задач по начертательной геометрии на рис. 1.23). Требуется построить горизонтальную проекцию Решение задач по начертательной геометрии прямой Решение задач по начертательной геометрии, лежащей в этой плоскости, если известна ее фронтальная проекция Решение задач по начертательной геометрии.

Прямые Решение задач по начертательной геометрии лежат в одной плоскости, поэтому точки Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии являются точками пересечения соответственно прямых Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии. По линиям связи определяем горизонтальные проекции точек Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии. Через проекции точек Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии проводим горизонтальную проекцию прямой.

Решение задач по начертательной геометрии
  1. Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через точку этой плоскости параллельно какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости.

Например, плоскость задана треугольником Решение задач по начертательной геометрии (проекции Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии на рис. 1.24). Требуется построить прямую, лежащую в плоскости Решение задач по начертательной геометрии и проходящую через точку Решение задач по начертательной геометрии. Через точку Решение задач по начертательной геометрии проводим прямую Решение задач по начертательной геометрии, параллельную Решение задач по начертательной геометрии.

Следует отметить, что через точку Решение задач по начертательной геометрии в плоскости треугольника можно провести множество прямых.

Точка принадлежит плоскости, если она находится на прямой, лежащей в этой плоскости. Например, необходимо определить фронтальную проекцию точки Решение задач по начертательной геометрии, принадлежащей плоскости, заданной треугольником Решение задач по начертательной геометрии (рис. 1.25). Через точку Решение задач по начертательной геометрии проведем горизонтальную проекцию прямой Решение задач по начертательной геометрии и построим Решение задач по начертательной геометрии. Проекции точки принадлежат одноименным проекциям прямой Решение задач по начертательной геометрии. По линии связи находим фронтальную проекцию Решение задач по начертательной геометрии точки Решение задач по начертательной геометрии.

Прямые особого положения в плоскости

К числу прямых, занимающих особое положение в плоскости, относятся горизонтали, фронтали, профильные линии. Прямая, принадлежащая данной плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций Решение задач по начертательной геометрии, называется горизонталью плоскости. Фронтальная проекция горизонтали параллельна оси Решение задач по начертательной геометрии. Построение проекций горизонтали треугольника Решение задач по начертательной геометрии, представленного проекциями Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии на рис. 1.26, начинается с проведения из вершины Решение задач по начертательной геометрии фронтальной проекции горизонтали Решение задач по начертательной геометрии, затем по линиям проекционной связи строится горизонтальная проекция Решение задач по начертательной геометрии.

Решение задач по начертательной геометрии

На рис. 1.27 построение фронтали (линии, параллельной фронтальной плоскости проекций) треугольника Решение задач по начертательной геометрии удобно начать с горизонтальной проекции Решение задач по начертательной геометрии, затем с помощью линий проекционной связи строится фронтальная проекция Решение задач по начертательной геометрии.

Задачи с решением №1

Задача №1.

По заданным координатам точки Решение задач по начертательной геометрииРешение задач по начертательной геометрии построить ее проекции.

Решение:

По оси Решение задач по начертательной геометрии откладываем Решение задач по начертательной геометрии (точка Решение задач по начертательной геометрии на рис. 1.28). В точке Решение задач по начертательной геометрии восстанавливаем перпендикуляр к оси (линия связи) и, отложив на нем Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии, получаем Решение задач по начертательной геометрии — горизонтальную и Решение задач по начертательной геометрии — фронтальную проекции точки Решение задач по начертательной геометрии.

Затем из точки Решение задач по начертательной геометрии проведем перпендикуляр к оси Решение задач по начертательной геометрии (точка Решение задач по начертательной геометрии). Радиусом Решение задач по начертательной геометрии переносим точку Решение задач по начертательной геометрии на ось Решение задач по начертательной геометрии на профильной проекции.

Из точки Решение задач по начертательной геометрии проводим горизонтальную линию связи. В пересечении линий связи получим точку Решение задач по начертательной геометрии — профильную проекцию точки Решение задач по начертательной геометрии.

Задача №2.

Через точку Решение задач по начертательной геометрии (проекции Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии на рис. 1.29) провести фронтальную прямую Решение задач по начертательной геометрии длиной Решение задач по начертательной геометрии под углом Решение задач по начертательной геометрии к плоскости Решение задач по начертательной геометрии и отложить на ней отрезок Решение задач по начертательной геометрии.

Решение:

Прямая Решение задач по начертательной геометрии параллельна фронтальной плоскости проекций яг и спроецирустся на эту плоскость в натуральную величину.

Из точки Решение задач по начертательной геометрии проводим прямую под углом Решение задач по начертательной геометрии к оси Решение задач по начертательной геометрии и откладываем на ней отрезок Решение задач по начертательной геометрии.

На фронтальной проекции Решение задач по начертательной геометрии откладываем отрезок Решение задач по начертательной геометрии. По линии связи определяем горизонтальную проекцию точки Решение задач по начертательной геометрии.

Вопросы для контроля

  1. Как называются и обозначаются плоскости проекций?
  2. Сформулируйте основные свойства прямоугольного проецирования.
  3. Какие координаты определяют положение фронтальной проекции точки?
  4. Какая прямая называется прямой общего положения?

Относительное положение двух прямых в пространстве

Прямые в пространстве могут занимать различное взаимное положение — они могут быть параллельными, пересекаться и скрещиваться. Из свойств параллельного проецирования следует, что если прямые параллельны (рис. 2.1), то их проекции также параллельны. На рис. 2.2 приведен чертеж параллельных прямых Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии. Проекции Решение задач по начертательной геометрииРешение задач по начертательной геометрии.

Решение задач по начертательной геометрии

Если прямые в пространстве пересекаются, то их проекции также пересекаются и точка пересечения лежит на одной общей линии связи. Пересекающиеся прямые Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии, приведенные на рис. 2.3, а, имеют общую точку Решение задач по начертательной геометрии.

Решение задач по начертательной геометрии

Поэтому горизонтальная (Решение задач по начертательной геометрии) и фронтальная (К») проекции этой точки лежат на пересечении одноименных проекций данных прямых. На рис. 2.3, б проекции точки Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии соединены линией связи (находятся на одном перпендикуляре к оси проекций).

Если две прямые не параллельны и не пересекаются, то они называются скрещивающимися. Как видно из рис. 2.4, а и б, горизонтальные проекции точек Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии прямых Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии, заданных проекциями Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии, и фронтальные проекции точек Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии сливаются в одну, так как расположены на одной проецирующей прямой. Но эти точки пересечения одноименных проекций (Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии) не являются общими для двух прямых, и, следовательно, прямые Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии скрещиваются.

Решение задач по начертательной геометрии

Пары точек Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии, лежащие на горизонтально-проецирующей прямой, или Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии, лежащие на фронтально-проецирующей прямой, называются конкурирующими.

Параллельность прямой и плоскости

Прямая, не лежащая в плоскости, может быть параллельна плоскости или пересекаться с ней. Решение вопроса о параллельности прямой и плоскости основывается на следующем свойстве: прямая параллельна плоскости, если она параллельна одной из прямых, лежащих в этой плоскости.

Задача и решение №2

Через точку Решение задач по начертательной геометрии требуется провести горизонтальную прямую, параллельную плоскости треугольника Решение задач по начертательной геометрии (рис. 2.5).

Построение следует начинать с проведения в плоскости треугольника Решение задач по начертательной геометрии произвольной прямой — горизонтали Решение задач по начертательной геометрии, например через вершину Решение задач по начертательной геометрии.

Затем через заданную точку Решение задач по начертательной геометрии проводим прямую Решение задач по начертательной геометрии, параллельную Решение задач по начертательной геометрии.

Если заданы плоскость и прямая, то для определения их параллельности нужно попытаться построить в плоскости прямую, параллельную заданной.

Решение задач по начертательной геометрии

Параллельность двух плоскостей

Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые, принадлежащие одной плоскости, параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. Так, на рис. 2.6 плоскость треугольника Решение задач по начертательной геометрии параллельна плоскости двух пересекающихся прямых Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии, проходящих через точку Решение задач по начертательной геометрии, так как две стороны Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии соответственно параллельны прямым Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии.

Решение задач по начертательной геометрии

Задача:

Через точку Решение задач по начертательной геометрии требуется провести плоскость, параллельную плоскости параллельных прямых Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии (рис. 2.7, а).

Решение. Через точку Решение задач по начертательной геометрии проводим прямую Решение задач по начертательной геометрии, параллельную прямым Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии, задающим плоскость (рис. 2.7, б).

Решение задач по начертательной геометрии

Для того чтобы получить вторую прямую, проводим в заданной плоскости произвольную прямую 1-2. Затем проводим через точку Решение задач по начертательной геометрии прямую Решение задач по начертательной геометрии, параллельную прямой 1-2. Прямые Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии пересекаются и параллельны двум пересекающимся прямым заданной плоскости, следовательно, плоскости параллельны.

Пересечение двух плоскостей

Линией пересечения двух плоскостей является прямая, которая строится по двум точкам, общим для обеих плоскостей (рис. 2.8). Линия пересечения, по которой пересекаются между собой две плоскости, проходит через точки Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии, в которых прямые Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии плоскости треугольника пересекают вторую плоскость, т. е. точки Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии принадлежат обеим плоскостям.

Решение задач по начертательной геометрии

Для нахождения точек пересечения приходится выполнять целый ряд вспомогательных построений.

На рис. 2.9 приведен пример построения линии пересечения двух плоскостей: плоскости общего положения, заданной треугольником Решение задач по начертательной геометрии, и фронтально-проецирующей плоскости треугольника Решение задач по начертательной геометрии. В данном случае решение упрощается, так как одна из плоскостей занимает частное положение. Общими точками для этих двух плоскостей будут точки пересечения Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии сторон Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии треугольника Решение задач по начертательной геометрии с «вырожденной» проекцией треугольника Решение задач по начертательной геометрии. Фронтальная проекция Решение задач по начертательной геометрии линии пересечения совпадает с проекцией Решение задач по начертательной геометрии. Горизонтальные проекции Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии строятся при помощи линий связи.

При рассмотрении фронтальных проекций видно, что часть Решение задач по начертательной геометрии треугольника Решение задач по начертательной геометрии расположена над проекцией Решение задач по начертательной геометрии и на горизонтальной проекции будет видна («накрывает» плоскость треугольника Решение задач по начертательной геометрии). Часть Решение задач по начертательной геометрии располагается под Решение задач по начертательной геометрии и «накрывается» плоскостью треугольника Решение задач по начертательной геометрии.

Теперь рассмотрим общий случай построения линии пересечения двух плоскостей. Пусть в пространстве (рис. 2.10) заданы две плоскости общего положения Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии, плоскость Решение задач по начертательной геометрии — двумя пересекающимися прямыми Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии, плоскость Решение задач по начертательной геометрии — двумя параллельными прямыми Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии. Для построения линии их пересечения необходимо найти две точки, общие для обеих плоскостей.

Для определения этих точек заданные плоскости пересекают двумя вспомогательными плоскостями. В качестве таких плоскостей применяют плоскости частного положения. В данном случае использованы горизонтальные плоскости Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии. Плоскость Решение задач по начертательной геометрии пересекает плоскости Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии по горизонталям 1-2 и 3-4 соответственно. Эти горизонтали, пересекаясь, определяют точку Решение задач по начертательной геометрии, общую для плоскостей Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии. Вторая вспомогательная плоскость Решение задач по начертательной геометрии пересекает заданные плоскости по горизонталям 5-6 и 7-8, которые, пересекаясь, определяют вторую общую точку Решение задач по начертательной геометрии. Прямая Решение задач по начертательной геометрииРешение задач по начертательной геометрии — искомая линия пересечения плоскостей Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии. На рис. 2.11 описанный метод применен для решения этой задачи на проекционном чертеже.

Решение задач по начертательной геометрии
Решение задач по начертательной геометрии

Пересечение прямой линии с плоскостью частного положения

Так как плоскости частного положения проецируются на перпендикулярную к ней плоскость проекций в виде прямой линии, то на этой прямой должна находиться соответствующая проекция точки пересечения прямой с проецирующей плоскостью. Примеры определения точек пересечения прямой с плоскостью частного положения даны на рис. 2.12.

Решение задач по начертательной геометрии

На рис. 2.12, а прямая Решение задач по начертательной геометрии общего положения пересекается с фронтально-проецирующей плоскостью, заданной треугольником Решение задач по начертательной геометрии. Фронтальная проекция Решение задач по начертательной геометрии точки пересечения находится в точке пересечения фронтальной проекции Решение задач по начертательной геометрии прямой с проекцией Решение задач по начертательной геометрии. Горизонтальная проекция Решение задач по начертательной геометрии построена при помощи линий связи.

На рис. 2.12,6 прямая Решение задач по начертательной геометрии общего положения пересекается с горизонтальной плоскостью Решение задач по начертательной геометрии, заданной проекцией Решение задач по начертательной геометрии. В этом случае фронтальная проекция точки пересечения Решение задач по начертательной геометрии определена в пересечении фронтальной проекции прямой Решение задач по начертательной геометрии с проекцией плоскости Решение задач по начертательной геометрии. Горизонтальная проекция Решение задач по начертательной геометрии построена при помощи линии связи.

Во всех случаях плоскость считается «непрозрачной» — та часть прямой, которая закрывается плоскостью, показывается штриховой линией.

Пересечение прямой с плоскостью общего положения

Для определения точки пересечения прямой с плоскостью общего положения следует выполнить следующие построения:

  • провести через прямую вспомогательную плоскость;
  • построить линию пересечения вспомогательной плоскости с заданной;
  • найти точку пересечения заданной прямой и построенной;
  • определить видимые части проекций данной прямой.

На рис. 2.13 приведено построение точки пересечения прямой Решение задач по начертательной геометрии (проекции Решение задач по начертательной геометрии, Решение задач по начертательной геометрии) с плоскостью, заданной треугольником Решение задач по начертательной геометрии (проекции Решение задач по начертательной геометрии).

Через прямую Решение задач по начертательной геометрии проведена вспомогательная горизонтально-проецирующая плоскость Решение задач по начертательной геометрии. По горизонтальным проекциям Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии точек 1 и 2 находим фронтальные Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии, соединяя которые получаем фронтальную проекцию линии пересечения Решение задач по начертательной геометрии. Проекция Решение задач по начертательной геометрии пересекает фронтальную проекцию Решение задач по начертательной геометрии в точке Решение задач по начертательной геометрии, с помощью линии связи определяем горизонтальную проекцию Решение задач по начертательной геометрии точки Решение задач по начертательной геометрии. Видимость прямой и плоскости на горизонтальной плоскости проекций определяется с помощью горизонтально-конкурирующих точек 2 и 3. Точка 2 лежит на стороне Решение задач по начертательной геометрии а 3 — на прямой Решение задач по начертательной геометрии.

Их фронтальные проекции Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии показывают, что точка 2 находится ниже точки 3, поэтому на горизонтальной плоскости проекций горизонтальная проекция Решение задач по начертательной геометрии точки 2 будет закрыта проекцией Решение задач по начертательной геометрии точки 3. Отсюда следует, что проекция Решение задач по начертательной геометрии расположена ниже проекции Решение задач по начертательной геометрии и участок этой прямой с левой стороны до Решение задач по начертательной геометрии будет видимым. Относительную видимость на фронтальной плоскости проекций можно определить с помощью фронтально-конкурирующих точек 4 и 5.

На рис. 2.14 изображена горизонтально-проецирующая прямая Решение задач по начертательной геометрии, пересекающаяся с плоскостью общего положения, заданной треугольником Решение задач по начертательной геометрии.

Решение задач по начертательной геометрии

Положение горизонтальной проекции Решение задач по начертательной геометрии точки пересечения Решение задач по начертательной геометрии известно Решение задач по начертательной геометрии а положение фронтальной проекции определено при помощи прямой Решение задач по начертательной геометрии треугольника Решение задач по начертательной геометрии.

Перпендикулярность прямой и плоскости

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости.

На рис. 2.15 показано построение перпендикуляра из точки Решение задач по начертательной геометрии к плоскости треугольника Решение задач по начертательной геометрии. Направление проекций перпендикуляра определяется горизонталью Решение задач по начертательной геометрии (прямая Решение задач по начертательной геометрии) и фронталью Решение задач по начертательной геометрии (прямая Решение задач по начертательной геометрии) плоскости треугольника.

Горизонтальная проекция Решение задач по начертательной геометрии перпендикуляра проведена под прямым углом к проекции Решение задач по начертательной геометрии горизонтали, а фронтальная проекция Решение задач по начертательной геометрии расположена под прямым углом к фронтальной проекции Решение задач по начертательной геометрии фронтали.

Задача и решение №3

Пусть требуется построить плоскость, проходящую через точку Решение задач по начертательной геометрии и перпендикулярную данной прямой Решение задач по начертательной геометрии (рис. 2.16).

Искомую плоскость задаем двумя пересекающимися прямыми (горизонталью Решение задач по начертательной геометрии и фронталью Решение задач по начертательной геометрии), проходящими через точку Решение задач по начертательной геометрии.

Решение задач по начертательной геометрии

Горизонтальная проекция Решение задач по начертательной геометрии горизонтали Решение задач по начертательной геометрии перпендикулярна горизонтальной проекции Решение задач по начертательной геометрии прямой Решение задач по начертательной геометрии, фронтальная проекция фронтали Решение задач по начертательной геометрии перпендикулярна фронтальной проекции Решение задач по начертательной геометрии.

Если плоскости занимают частное положение, то перпендикуляры к этим плоскостям располагаются параллельно плоскостям проекций. Так, перпендикуляром к горизонтально-проецирующей плоскости Решение задач по начертательной геометрии (проекция Решение задач по начертательной геометрии) является горизонталь Решение задач по начертательной геометрии (рис. 2.17, а). Фронтальная прямая Решение задач по начертательной геометрии перпендикулярна фронтально-проецирующей плоскости Решение задач по начертательной геометрии (проекция Решение задач по начертательной геометрии рис. 2.17, б). Горизонтально-проецирующая прямая Решение задач по начертательной геометрии является перпендикуляром к горизонтальной плоскости Решение задач по начертательной геометрии (проекция Решение задач по начертательной геометрии рис. 2.17, в).

Решение задач по начертательной геометрии
Решение задач по начертательной геометрии

Взаимно перпендикулярные прямые общего положения образуют прямой угол, который проецируется на плоскости проекций с искажением. В общем случае перпендикуляр к прямой можно построить с помощью плоскости, расположенной перпендикулярно к этой прямой.

На рис. 2.18 показано построение перпендикуляра из точки Решение задач по начертательной геометрии к прямой Решение задач по начертательной геометрии. Сначала через точку Решение задач по начертательной геометрии проводим плоскость, перпендикулярную к прямой Решение задач по начертательной геометрии. Эта плоскость задается двумя пересекающимися прямыми: горизонталью Решение задач по начертательной геометрии и фронталью Решение задач по начертательной геометрии (при этом горизонтальная проекция Решение задач по начертательной геометрии перпендикулярна к горизонтальной проекции Решение задач по начертательной геометрии, а фронтальная проекция Решение задач по начертательной геометрии перпендикулярна к фронтальной проекции Решение задач по начертательной геометрии).

Затем определяем точку пересечения Решение задач по начертательной геометрии прямой Решение задач по начертательной геометрии с проведенной плоскостью. Для этого через прямую Решение задач по начертательной геометрии проводим фронтально-проецирующую плоскость Решение задач по начертательной геометрии, которая пересекает плоскость, заданную горизонталью Решение задач по начертательной геометрии и фронталью Решение задач по начертательной геометрии, по линии 1-2 (проекции Решение задач по начертательной геометрии.

Решение задач по начертательной геометрии
Решение задач по начертательной геометрии

В пересечении прямой 1-2 с прямой Решение задач по начертательной геометрии получается точка Решение задач по начертательной геометрии. Прямая Решение задач по начертательной геометрии является искомым перпендикуляром, так как пересекает прямую Решение задач по начертательной геометрии и находится в плоскости, перпендикулярной прямой Решение задач по начертательной геометрии.

При построении проекций перпендикуляра к прямым частного положения задача упрощается, так как одна из сторон прямого угла параллельна плоскости проекции и прямой угол на эту плоскость проекций проецируется без искажения.

Так на рис. 2.19, а показано построение проекций перпендикуляра, проведенного из точки Решение задач по начертательной геометрии к горизонтали Решение задач по начертательной геометрии. Горизонтальная проекция Решение задач по начертательной геометрии перпендикуляра Решение задач по начертательной геометрии располагается под прямым углом к горизонтальной проекции Решение задач по начертательной геометрии прямой Решение задач по начертательной геометрии. Фронтальная проекция Решение задач по начертательной геометрии определяется при помощи линий связи (точка Решение задач по начертательной геометрии принадлежит прямой Решение задач по начертательной геометрии). На рис. 2.19, б показано построение проекций перпендикуляра, проведенного из точки Решение задач по начертательной геометрии к фронтально-проецирующей прямой Решение задач по начертательной геометрии. Построение фронтальной проекции Решение задач по начертательной геометрии перпендикуляра очевидно из рисунка, а его горизонтальная проекция Решение задач по начертательной геометрии перпендикулярна к горизонтальной проекции Решение задач по начертательной геометрии прямой Решение задач по начертательной геометрии.

Перпендикулярность двух плоскостей

Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой. На рис. 2.20 показано построение плоскости, перпендикулярной к плоскости, заданной треугольником Решение задач по начертательной геометрии. Дополнительным условием здесь служит то, что искомая плоскость должна проходить через прямую Решение задач по начертательной геометрии. Следовательно, искомая плоскость определяется прямой Решение задач по начертательной геометрии и перпендикуляром к плоскости треугольника. Для проведения этого перпендикуляра в плоскости Решение задач по начертательной геометрии взяты горизонталь Решение задач по начертательной геометрии и фронталь Решение задач по начертательной геометрии(Решение задач по начертательной геометрии). Через точку Решение задач по начертательной геометрии прямой Решение задач по начертательной геометрии проведены проекции перпендикуляра Решение задач по начертательной геометрии к плоскости Решение задач по начертательной геометрии.

Образованная пересекающимися прямыми Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии плоскость перпендикулярна к плоскости Решение задач по начертательной геометрии, так как проходит через перпендикуляр к этой плоскости.

Решение задач по начертательной геометрии

Задачи с решением

Задача №1.

Построить фронтальную проекцию отрезка прямой Решение задач по начертательной геометрии, принадлежащую плоскости, заданной двумя параллельными прямыми Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии (рис. 2.21).

Решение:

Обозначим горизонтальные проекции точек пересечения прямой Решение задач по начертательной геометрии с прямыми Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии соответственно Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии.

По линиям связи определяем их фронтальные проекции Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии и проводим искомую проекцию Решение задач по начертательной геометрии.

На примере здесь можно проследить ход решения подобной задачи.

Решение задач по начертательной геометрии

Задача №2.

В плоскости, заданной прямой Решение задач по начертательной геометрии и точкой Решение задач по начертательной геометрии, провести горизонталь на расстоянии 15 мм от горизонтальной плоскости проекций Решение задач по начертательной геометрии (рис. 2.22).

Решение:

Зададим исходную плоскость двумя пересекающимися прямыми. Для этого из точки Решение задач по начертательной геометрии проведем прямую Решение задач по начертательной геометрииРешение задач по начертательной геометрии, пересекающую прямую Решение задач по начертательной геометрии в точке Решение задач по начертательной геометрии. Затем на расстоянии 15 мм от оси Решение задач по начертательной геометрии проведем фронтальную проекцию горизонтали Решение задач по начертательной геометрии. По линиям связи определим горизонтальные проекции точек Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии и через них проведем горизонтальную проекцию Решение задач по начертательной геометрии горизонтали.

Решение задач по начертательной геометрии

Задача №3.

Построить линию пересечения двух плоскостей, заданных треугольниками Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии (условие на рис. 2.23).

Решение задач по начертательной геометрии

Решение:

Для построения линии пересечения двух плоскостей общего положения используем вспомогательные плоскости. На рис. 2.24, а приведено построение линии пересечения Решение задач по начертательной геометрии.

Точка Решение задач по начертательной геометрии найдена как точка пересечения прямой Решение задач по начертательной геометрии с плоскостью треугольника Решение задач по начертательной геометрии. Для ее построения через сторону Решение задач по начертательной геометрии проведена фронтально-проецирующая плоскость Решение задач по начертательной геометрии (на рисунке проекция Решение задач по начертательной геометрии совпадает с проекцией Решение задач по начертательной геометрии). Плоскость Решение задач по начертательной геометрии пересекает плоскость треугольника Решение задач по начертательной геометрии по прямой 1-2; точка Решение задач по начертательной геометрии получается как точка пересечения прямых Решение задач по начертательной геометрии и 1-2. Сначала находим горизонтальную проекцию точки Решение задач по начертательной геометрии, затем по линии связи строим фронтальную проекцию Решение задач по начертательной геометрии. Точка Решение задач по начертательной геометрии линии пересечения треугольников получена с помощью второй плоскости Решение задач по начертательной геометрии, которая проведена через прямую Решение задач по начертательной геометрии треугольника Решение задач по начертательной геометрии.

Фронтальная проекция Решение задач по начертательной геометрии совпадает с проекцией Решение задач по начертательной геометрии. Плоскость Решение задач по начертательной геометрии пересекает треугольник Решение задач по начертательной геометрии по линии 3-4. На пересечении прямых Решение задач по начертательной геометрии и 3-4 получается точка Решение задач по начертательной геометрии, принадлежащая линии пересечения двух треугольников. Сначала находится горизонтальная проекция точки Решение задач по начертательной геометрии, затем по линии связи определяется фронтальная проекция Решение задач по начертательной геометрии.

Для определения видимости сторон треугольников надо сравнить положение двух точек, из которых одна принадлежит стороне треугольника Решение задач по начертательной геометрии, вторая — стороне треугольника Решение задач по начертательной геометрии и у которых совпадают либо горизонтальные, либо фронтальные проекции (конкурирующие точки). В первом случае устанавливается, какая из этих точек «закрывает» другую по отношению к горизонтальной плоскости проекций, во втором — относительно фронтальной плоскости проекций.

На рис. 2.24, б в качестве примера приведены две горизонтально-конкурирующие точки — Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии. У этих точек совпадают горизонтальные проекции (Решение задач по начертательной геометрии). Но точка Решение задач по начертательной геометрии принадлежит стороне Решение задач по начертательной геометрии треугольника Решение задач по начертательной геометрии и расположена выше, чем точка Решение задач по начертательной геометрии, принадлежащая стороне Решение задач по начертательной геометрии треугольника Решение задач по начертательной геометрии. Следовательно, для наблюдателя, смотрящего на плоскость Решение задач по начертательной геометрии сверху, точка Решение задач по начертательной геометрии «закрывает» точку Решение задач по начертательной геометрии, а это значит, что данная часть треугольника Решение задач по начертательной геометрии, которой принадлежит точка Решение задач по начертательной геометрии, закрывает треугольник Решение задач по начертательной геометрии. Поэтому часть горизонтальной проекции Решение задач по начертательной геометриистороны, закрытой треугольником Решение задач по начертательной геометрии, показывается штриховой линией.

Для определения видимости фронтальных проекций треугольников рассмотрим относительное положение двух фронтально-конкурирующих точек Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии (рис. 2.24, б), у которых фронтальные проекции совпадают Решение задач по начертательной геометрии.

Решение задач по начертательной геометрии

Точка Решение задач по начертательной геометрии, расположенная на стороне Решение задач по начертательной геометрии треугольника Решение задач по начертательной геометрии, находится ближе к глазу наблюдателя, смотрящего на плоскость Решение задач по начертательной геометрии, чем точка Решение задач по начертательной геометрии, расположенная на стороне Решение задач по начертательной геометрии треугольника Решение задач по начертательной геометрии. Это значит, что часть треугольника Решение задач по начертательной геометрии, которой принадлежит точка Решение задач по начертательной геометрии, закрывает треугольник Решение задач по начертательной геометрии. Поэтому часть фронтальной проекции стороны Решение задач по начертательной геометрии, закрытой треугольником Решение задач по начертательной геометрии, показывается штриховой линией.

Вопросы для контроля

  1. Какая плоскость называется плоскостью общего положения?
  2. Какая плоскость называется проецирующей?
  3. Как проверить принадлежность точки плоскости?
  4. Какие линии в плоскости называются горизонталями, фронталями?
  5. Каковы признаки параллельности прямой и плоскости, двух плоскостей?
  6. Как построить точку пересечения прямой с плоскостью общего положения?

Способы преобразования проекций геометрических объектов

Решение задач значительно упрощается, если прямые линии и плоскости занимают частное положение относительно плоскостей проекций. В этом случае ответ получается или непосредственно по данному чертежу, или при помощи простейших построений.

Переход от общего положения геометрических элементов к частному выполняется следующими способами:

  • введением дополнительных плоскостей проекций, расположенных либо параллельно, либо перпендикулярно рассматриваемому геометрическому элементу;
  • изменением положения линии или плоской фигуры в пространстве при неизменной системе плоскостей проекций.

Основные задачи преобразования:

  1. прямая линия общего положения становится прямой уровня;
  2. прямая линия общего положения становится проецирующей прямой;
  3. плоскость общего положения становится проецирующей плоскостью;
  4. плоскость общего положения становится плоскостью уровня.

Способ замены плоскостей проекций

Сущность способа заключается в том, что положение заданных элементов (точек, линий, фигур, поверхностей) в пространстве остается неизменным, а система плоскостей проекций Решение задач по начертательной геометрии дополняется новыми плоскостями, по отношению к которым элементы задачи (прямая, плоскость) занимают частное положение.

На рис. 3.1 показана точка Решение задач по начертательной геометрии, заданная в системе плоскостей проекций Решение задач по начертательной геометрии. Заменим Решение задач по начертательной геометрии другой вертикальной плоскостью Решение задач по начертательной геометрии и построим новую фронтальную проекцию Решение задач по начертательной геометрии на эту плоскость. Так как плоскость проекций Решение задач по начертательной геометрии является общей для систем Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии, то координата Решение задач по начертательной геометрии точки Решение задач по начертательной геометрии остается неизменной. Следовательно, расстояние от новой фронтальной проекции до новой оси Решение задач по начертательной геометрии равно расстоянию от заменяемой проекции до оси Решение задач по начертательной геометрии. При этом проекция Решение задач по начертательной геометрии определена как основание перпендикуляра, опущенного из Решение задач по начертательной геометрии на Решение задач по начертательной геометрии. Горизонтальная проекция Решение задач по начертательной геометрии остается прежней, а координата Решение задач по начертательной геометрии в системе Решение задач по начертательной геометрии будет теперь иной и определяется расстоянием от точки Решение задач по начертательной геометрии до плоскости Решение задач по начертательной геометрии.

Для получения плоского чертежа плоскость Решение задач по начертательной геометрии вращением совмещается с Решение задач по начертательной геометрии. Также с Решение задач по начертательной геометрии совмещается новая фронтальная проекция Решение задач по начертательной геометрии, которая располагается на общем перпендикуляре с оставшейся без изменения горизонтальной проекцией Решение задач по начертательной геометрии (рис. 3.2).

Решение задач по начертательной геометрии

Аналогично можно заменить горизонтальную плоскость проекций на новую, перпендикулярную Решение задач по начертательной геометрии. В этом случае измеряется величина координаты Решение задач по начертательной геометрии, которая определяет расстояние от точки до общей для двух систем плоскости Решение задач по начертательной геометрии.

Преобразование прямой общего положения в положение прямой уровня

Для преобразования прямой Решение задач по начертательной геометрии в прямую уровня (т. е. параллельную плоскости проекций) (рис. 3.3) вводят новую плоскость проекций Решение задач по начертательной геометрии так, чтобы ось проекций Решение задач по начертательной геометрии была параллельна какой-либо проекции Решение задач по начертательной геометрии (в данном случае — Решение задач по начертательной геометрии). Затем проводятся линии связи перпендикулярно оси Решение задач по начертательной геометрии и откладываются координаты Решение задач по начертательной геометрии для построения проекций Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии, равные координатам Решение задач по начертательной геометрии проекций Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии. Новая проекция прямой Решение задач по начертательной геометрии даст натуральную величину отрезка Решение задач по начертательной геометрии и позволяет определить угол наклона Решение задач по начертательной геометрии этого отрезка к плоскости проекций Решение задач по начертательной геометрии. Угол наклона отрезка Решение задач по начертательной геометрии к фронтальной плоскости проекций Решение задач по начертательной геометрии можно определить, построив его изображение на дополнительной плоскости проекций Решение задач по начертательной геометрии (рис. 3.4). Ось Решение задач по начертательной геометрии параллельна фронтальной проекции отрезка Решение задач по начертательной геометрии. Проекция Решение задач по начертательной геометрии также будет представлять собой натуральную величину отрезка Решение задач по начертательной геометрии.

Решение задач по начертательной геометрии

На примере здесь можно проследить последовательность построений при решении задачи с использованием способа замены плоскостей.

Преобразование прямой общего положения в проецирующую

Преобразование прямой общего положения в проецирующее положение требует двойной замены плоскостей проекций, так как плоскость, перпендикулярная прямой, не будет перпендикулярна ни к Решение задач по начертательной геометрии, и к Решение задач по начертательной геометрии.

На рис. 3.5 выполнено преобразование прямой Решение задач по начертательной геометрии общего положения в проецирующее. В результате первой замены происходит преобразование прямой Решение задач по начертательной геометрии в прямую, параллельную плоскости па- Для этого проводится новая ось проекций Решение задач по начертательной геометрии‘ и находится проекция Решение задач по начертательной геометрии .

Затем выполняется вторая замена плоскостей проекций, переход к системе плоскостей Решение задач по начертательной геометрии. При этом ось проекций Решение задач по начертательной геометрии проводится перпендикулярно к Решение задач по начертательной геометрии. В результате прямая Решение задач по начертательной геометрии располагается перпендикулярно к плоскости проекций Решение задач по начертательной геометрии и проецируется в виде точки.

Решение задач по начертательной геометрии

Преобразование плоскости общего положения в проецирующее положение

Известно, что если одна плоскость перпендикулярна другой, то она должна содержать прямую, перпендикулярную этой плоскости. В качестве такой прямой для преобразований плоскости в проецирующее положение следует взять прямую уровня, например горизонталь Решение задач по начертательной геометрии (рис. 3.6).

Плоскость Решение задач по начертательной геометрии, перпендикулярная к горизонтали Решение задач по начертательной геометрии и плоскости Решение задач по начертательной геометрии, является плоскостью, перпендикулярной к плоскости треугольника Решение задач по начертательной геометрии. Новая ось проекций Решение задач по начертательной геометрии проводится перпендикулярно проекции горизонтали Решение задач по начертательной геометрии. Затем определяются проекции вершин треугольника на плоскость Решение задач по начертательной геометрии. Проекция Решение задач по начертательной геометрии вырождается в прямую, что свидетельствует о том, что плоскость треугольника перпендикулярна плоскости Решение задач по начертательной геометрии. При этом угол Решение задач по начертательной геометрии наклона плоскости треугольника Решение задач по начертательной геометрии к плоскости Решение задач по начертательной геометрии на плоскость Решение задач по начертательной геометрии проецируется без искажения.

Аналогичное преобразование выполнено на рис. 3.7, где плоскость Решение задач по начертательной геометрии заменена плоскостью Решение задач по начертательной геометрии, перпендикулярной Решение задач по начертательной геометрии и плоскости треугольника Решение задач по начертательной геометрии. Для этого в плоскости Решение задач по начертательной геометрии проведена фронталь Решение задач по начертательной геометрии, перпендикулярно к которой располагается плоскость Решение задач по начертательной геометрии. Новая ось Решение задач по начертательной геометрии проведена перпендикулярно Решение задач по начертательной геометрии.

Решение задач по начертательной геометрии

На линиях связи, проведенных из вершин треугольника Решение задач по начертательной геометрии перпендикулярно оси Решение задач по начертательной геометрии откладывают отрезки, равные Решение задач по начертательной геометрии Плоскость треугольника относительно Решение задач по начертательной геометрии стала проецирующей. Угол Решение задач по начертательной геометрии наклона плоскости треугольника Решение задач по начертательной геометрии к плоскости Решение задач по начертательной геометрии на плоскости Решение задач по начертательной геометрии проецируется без искажения.

Преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня

Преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня требует двойной замены плоскостей проекций, так как плоскость, параллельная заданной плоскости, не будет перпендикулярна ни Решение задач по начертательной геометрии ни Решение задач по начертательной геометрии, т. е. она не образует с плоскостью проекций ортогональной системы. На рис. 3.8 показано преобразование плоскости треугольника Решение задач по начертательной геометрии общего положения в положение уровня.

При первой замене (Решение задач по начертательной геометрии па Решение задач по начертательной геометрии) используется горизонталь треугольника Решение задач по начертательной геометрии. Новая ось проекций Решение задач по начертательной геометрии проводится перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали Решение задач по начертательной геометрии. Спроецировав треугольник Решение задач по начертательной геометрии на новую плоскость проекций Решение задач по начертательной геометрии, получим проекцию Решение задач по начертательной геометрии. Эти построения описаны выше.

На втором этапе преобразуем плоскость треугольника Решение задач по начертательной геометрии в плоскость уровня. Для этого перейдем от системы Решение задач по начертательной геометрии к системе Решение задач по начертательной геометрии. Новая плоскость Решение задач по начертательной геометрии устанавливается параллельно треугольнику, а значит, новая ось Решение задач по начертательной геометрии на чертеже проводится параллельно прямой, на которой расположены точки Решение задач по начертательной геометрии.

Решение задач по начертательной геометрии

Через указанные точки проводят перпендикуляры — линии связи к новой оси Решение задач по начертательной геометрии и откладывают на них в плоскости Решение задач по начертательной геометрии отрезки, равные по длине расстояниям от оси Решение задач по начертательной геометрии до вершин Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии соответственно. Полученная проекция Решение задач по начертательной геометрии определяет истинную величину треугольника.

Подобные двойные преобразования используются для решения задач на определение углов при вершинах треугольника, построение высот и биссектрис его углов, центра вписанной (описанной) окружности и т. п., так как эти задачи требуют определения натуральных величин треугольников.

При вращении вокруг неподвижной прямой (оси вращения) каждая точка геометрического элемента перемещается в плоскости, перпендикулярной к оси вращения (плоскости вращения). Точка перемещается по окружности, центр которой находится в точке пересечения оси с плоскостью вращения, а радиус вращения равен расстоянию от вращаемой точки до центра. Если точка находится на оси вращения, то она остается неподвижной.

Вращение точки вокруг проецирующих прямых. На рис. 3.9 точка Решение задач по начертательной геометрии, вращаясь вокруг оси Решение задач по начертательной геометрии, описывает окружность, плоскость а которой перпендикулярна Решение задач по начертательной геометрии. Центр окружности Решение задач по начертательной геометрии (центр вращения) расположен в точке пересечения оси вращения Решение задач по начертательной геометрии с плоскостью Решение задач по начертательной геометрии, а радиус вращения Решение задач по начертательной геометрии равен длине отрезка Решение задач по начертательной геометрии.

Так как плоскость вращения Решение задач по начертательной геометрии параллельна плоскости Решение задач по начертательной геометрии, то проекция траектории вращающейся точки на плоскость представляет собой окружность радиуса Решение задач по начертательной геометрии, а на плоскость Решение задач по начертательной геометрии — отрезок прямой, параллельной оси Решение задач по начертательной геометрии. Через Решение задач по начертательной геометрии обозначено новое положение точки Решение задач по начертательной геометрии, которое она занимает после поворота на угол Решение задач по начертательной геометрии.

На рис. 3.10 приведен ортогональный чертеж точки Решение задач по начертательной геометрии, вращающейся вокруг горизонтально-проецирующей оси Решение задач по начертательной геометрии. После поворота на угол Решение задач по начертательной геометрии точка Решение задач по начертательной геометрии займет новое положение Решение задач по начертательной геометрии (Решение задач по начертательной геометрии — плоскость вращения, Решение задач по начертательной геометрии — центр вращения, Решение задач по начертательной геометрии — радиус вращения).

Если ось вращения Решение задач по начертательной геометрии расположена перпендикулярно плоскости Решение задач по начертательной геометрии (рис. 3.11), то фронтальная проекция точки Решение задач по начертательной геометрии будет перемещаться по окружности, а горизонтальная — по прямой, перпендикулярной линиям связи. Новое положение точки, которое она занимает после поворота на угол Решение задач по начертательной геометрии — точка Решение задач по начертательной геометрии. Плоскость вращения — фронтальная плоскость Решение задач по начертательной геометрии.

Решение задач по начертательной геометрии

Для поворота отрезка прямой на заданный угол необходимо повернуть на этот угол две точки, определяющие отрезок. Каждая из этих точек вращается в плоскости, перпендикулярной оси вращения, и будет иметь свой радиус вращения.

Плоскопараллельное перемещение отрезка

При плоскопараллельном перемещении все точки геометрической фигуры движутся в плоскостях, параллельных плоскости проекций, т. е. сохраняется основной принцип вращения вокруг проецирующих осей. На рис. 3.12 приведено наглядное изображение плоскопараллельного перемещения отрезка Решение задач по начертательной геометрии.

Решение задач по начертательной геометрии

На рис. 3.12, а дано исходное положение отрезка Решение задач по начертательной геометрии — прямой, занимающей относительно плоскостей проекций общее положение. На рис. 3.12, б отрезок Решение задач по начертательной геометрии перемещен в новое положение, при этом точка Решение задач по начертательной геометрии движется в плоскости Решение задач по начертательной геометрии, точка Решение задач по начертательной геометрии — в плоскости Решение задач по начертательной геометрии. Обе плоскости параллельны горизонтальной плоскости проекций.

При таком перемещении угол наклона Решение задач по начертательной геометрии отрезка к плоскости Решение задач по начертательной геометрии сохраняется неизменным, поэтому не изменяется и длина горизонтальной проекции отрезка, т. е. Решение задач по начертательной геометрии. Последнее свойство имеет важное значение для решения задач.

На рис. 3.13 приведен пример плоскопараллельного перемещения отрезка Решение задач по начертательной геометрии в новое положение, параллельное фронтальной плоскости проекций. На этом чертеже отрезок Решение задач по начертательной геометрии перемещается в новое положение параллельно фронтальной плоскости проекций. При этом сначала перемещается в новое положение, параллельное оси Решение задач по начертательной геометрии, горизонтальная проекция отрезка, причем Решение задач по начертательной геометрии. Затем по линиям связи строится фронтальная проекция Решение задач по начертательной геометрии.

Решение задач по начертательной геометрии

После перемещения отрезка Решение задач по начертательной геометрии в новое положение Решение задач по начертательной геометрии он станет параллельным плоскости Решение задач по начертательной геометрии и его новая фронтальная проекция будет равна натуральной величине. Соответственно, угол Решение задач по начертательной геометрии наклона проекции Решение задач по начертательной геометрии к оси проекций будет равен углу наклона отрезка Решение задач по начертательной геометрии к плоскости Решение задач по начертательной геометрии.

На рис. 3.14 приведено двойное плоскопараллельное перемещение отрезка Решение задач по начертательной геометрии с целью преобразования его в фронтально-проецирующее положение. Вначале произведено перемещение фронтальной проекции в положение, параллельное оси Решение задач по начертательной геометрии, причем Решение задач по начертательной геометрии. Отрезок Решение задач по начертательной геометрии занял положение, параллельное плоскости Решение задач по начертательной геометрии, и его горизонтальная проекция Решение задач по начертательной геометрии равна длине отрезка. Затем горизонтальная проекция перемещается в положение, перпендикулярное оси Решение задач по начертательной геометрии, причем Решение задач по начертательной геометрии.

Отрезок Решение задач по начертательной геометрии занял фронтально-проецирующее положение и его фронтальная проекция Решение задач по начертательной геометрии.

На рис. 3.15 показано перемещение треугольника Решение задач по начертательной геометрии, расположенного в плоскости общего положения, в положение плоскости уровня. При первом движении треугольник Решение задач по начертательной геометрии переводится во фронтально-проецирующее положение. Для этого в плоскости треугольника строится горизонтальная прямая Решение задач по начертательной геометрии, затем горизонтальная проекция Решение задач по начертательной геометрии перемещается в проецирующее положение (на свободном поле чертежа проводится отрезок Решение задач по начертательной геометрии перпендикулярно оси Решение задач по начертательной геометрии).

Решение задач по начертательной геометрии

В процессе перемещения размеры и форма горизонтальной проекции треугольника не изменяются. Построение вершин Решение задач по начертательной геометрии и Решение задач по начертательной геометрии выполняется засечками с помощью циркуля. Все вершины треугольника на фронтальной плоскости проекций перемещаются по горизонтальным линиям связи, пересечение которых с линиями связи, проведенными из соответствующих вершин новой горизонтальной проекции треугольника Решение задач по начертательной геометрии, образует новую фронтальную проекцию Решение задач по начертательной геометрии, перпендикулярную фронтальной плоскости проекций.

При втором движении все точки треугольника перемещаются в плоскостях, параллельных фронтальной плоскости проекций, в результате чего он займет положение горизонтальной плоскости уровня и его вырожденная фронтальная проекция Решение задач по начертательной геометрии расположится перпендикулярно линиям связи, оставаясь неизменной по длине. Новая горизонтальная проекция Решение задач по начертательной геометрии треугольника Решение задач по начертательной геометрии будет равна его натуральной величине.

Задачи с решением №4

Задача №1.

Определить расстояние между скрещивающимися прямыми Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением (рис. 3.16).

Решение:

Расстояние между скрещивающимися прямыми измеряется длиной перпендикуляра, общего к заданным прямым. Для решения задачи используем способ замены плоскостей проекций

Начертательная геометрия задачи с решением

Если в результате преобразования одна из прямых займет положение проецирующей относительно какой-либо плоскости проекций, т. е. будет представлять собой точку, то перпендикуляр, опущенный из этой точки на другую прямую, будет параллелен этой плоскости проекций и спроецируется на нее в натуральную величину. Прямая Начертательная геометрия задачи с решением преобразуется в проецирующую двойной заменой плоскостей проекций.

Сначала построим проекции Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением на плоскости Начертательная геометрия задачи с решением, расположенной параллельно прямой Начертательная геометрия задачи с решением (проводим Начертательная геометрия задачи с решением).

Затем найдем проекции прямых Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением на плоскость Начертательная геометрия задачи с решением, перпендикулярную прямой Начертательная геометрия задачи с решением. На плоскость Начертательная геометрия задачи с решением прямая Начертательная геометрия задачи с решением спроецируется в точку (Начертательная геометрия задачи с решением ), а расстояние между нею и проекцией Начертательная геометрия задачи с решением (отрезок Начертательная геометрия задачи с решением) будет искомой натуральной величинои расстояния между заданными прямыми.

Далее путем обратного проецирования строим проекцию отрезка Начертательная геометрия задачи с решением на плоскость Начертательная геометрия задачи с решением, при этом точку Начертательная геометрия задачи с решением находим, проведя перпендикуляр из точки Начертательная геометрия задачи с решением к проекции Начертательная геометрия задачи с решением. Прямой угол здесь на искажается, так как проекция Начертательная геометрия задачи с решением параллельна плоскости Начертательная геометрия задачи с решением. С помощью линий связи находим проекции отрезка Начертательная геометрия задачи с решением сначала на плоскости Начертательная геометрия задачи с решением а затем на плоскости Начертательная геометрия задачи с решением.

Задача №2.

Повернуть точку Начертательная геометрия задачи с решением вокруг оси Начертательная геометрия задачи с решением до совмещения ее с плоскостью Начертательная геометрия задачи с решением общего положения, заданной пересекающимися прямыми ВС и CD (рис. 3.17).

Начертательная геометрия задачи с решением

Решение:

Точка Начертательная геометрия задачи с решением вращается вокруг оси Начертательная геометрия задачи с решением, перпендикулярной к плоскости проекций Начертательная геометрия задачи с решением. Через точку Начертательная геометрия задачи с решением проведена плоскость Начертательная геометрия задачи с решением, перпендикулярная к оси вращения и, следовательно, параллельная Начертательная геометрия задачи с решением. Горизонтальная плоскость Начертательная геометрия задачи с решением пересекает заданную (Начертательная геометрия задачи с решением) по горизонтали Начертательная геометрия задачи с решением. При вращении точка Начертательная геометрия задачи с решением описывает окружность радиуса Начертательная геометрия задачи с решением, величина которого определяется длиной перпендикуляра, проведенного из точки Начертательная геометрия задачи с решением на ось.

Окружность проецируется на плоскость Начертательная геометрия задачи с решением без искажения и пересекается с проекцией горизонтали Начертательная геометрия задачи с решением в точках Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением, которые являются горизонтальными проекциями точки Начертательная геометрия задачи с решением, т. е. задача имеет два решения.

По линиям связи находим фронтальные проекции точек Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением, лежащих на горизонтали Начертательная геометрия задачи с решением.

Вопросы для контроля

  1. Сформулируйте основные задачи преобразования чертежа.
  2. Перечислите способы преобразования чертежа.
  3. В чем заключается способ замены плоскостей проекций?
  4. Как перемещаются проекции точки при вращении ее вокруг проецирующих осей?
  5. В чем заключается способ плоскопараллельного перемещения?

Многогранники

Одним из видов пространственных форм являются многогранники — замкнутые пространственные фигуры, ограниченные плоскими многоугольниками. Эти многоугольники образуют грани. Общие стороны многоугольников называются ребрами’, вершины многогранных углов, образованных его гранями, сходящихся в одной точке, — вершинами многогранника. Наибольший практический интерес представляют собой призмы, пирамиды и правильные многогранники.

Призма — многогранник, две грани которого представляют равные многоугольники с взаимно параллельными сторонами (основаниями) (рис. 4.1). Ребра, не принадлежащие основаниям и параллельные друг другу, называют боковыми. Призму, ребра которой перпендикулярны к основаниям, называют прямой. Прямая призма называется правильной, если ее основаниями являются правильные многоугольники.

Начертательная геометрия задачи с решением

Пирамида — многогранник, одна грань которого — плоский Начертательная геометрия задачи с решением-угольник (основание), а остальные грани — треугольники с общей вершиной (рис. 4.2). Если основанием пирамиды является правильный многоугольник и высота ее проходит через центр этого многоугольника, пирамиду называют правильной.

Многогранник называют правильным, если его грани представляют собой правильные и равные многоугольники.

Точка и прямая линия на поверхности многогранника

Точки на гранях призмы и пирамиды строятся при помощи вспомогательных прямых, принадлежащих соответствующим плоскостям граней. Чтобы определить по заданной фронтальной проекции Начертательная геометрия задачи с решением точки 1, лежащей на грани призмы Начертательная геометрия задачи с решением, горизонтальную проекцию Начертательная геометрия задачи с решением (рис. 4.3), нужно провести через точку Начертательная геометрия задачи с решением фронтальную проекцию вспомогательной прямой Начертательная геометрия задачи с решением, параллельную ребрам призмы.

Фронтальная проекция Начертательная геометрия задачи с решением точки 2, лежащей на грани Начертательная геометрия задачи с решением, построена с помощью вспомогательной прямой Начертательная геометрия задачи с решением, проведенной через проекцию Начертательная геометрия задачи с решением. Недостающую проекцию точки 3, расположенную на ребре Начертательная геометрия задачи с решением определим с помощью линии связи.

На рис. 4.4 показано построение недостающих проекций точек, находящихся на боковой поверхности пирамиды Начертательная геометрия задачи с решением. Фронтальная проекция Начертательная геометрия задачи с решением точки 1, расположенная на грани Начертательная геометрия задачи с решением, представляющей собой профильно-проецирующую плоскость, построена с помощью линий связи.

Начертательная геометрия задачи с решением

Чтобы определить по заданной проекции Начертательная геометрия задачи с решением точки 2, лежащей на грани Начертательная геометрия задачи с решением, проекцию Начертательная геометрия задачи с решением (рис. 4.4), используем горизонталь Начертательная геометрия задачи с решением.

Фронтальная проекция горизонтали Начертательная геометрия задачи с решением проведена через проекцию Начертательная геометрия задачи с решением до пересечения с проекцией Начертательная геометрия задачи с решением ребра Начертательная геометрия задачи с решением в точке Начертательная геометрия задачи с решением.

Горизонтальная проекция Начертательная геометрия задачи с решением горизонтали Начертательная геометрия задачи с решением проходит через точку Начертательная геометрия задачи с решением параллельно проекции Начертательная геометрия задачи с решением стороны Начертательная геометрия задачи с решением.

Чтобы определить по заданной проекции точки Начертательная геометрия задачи с решением, расположенной на грани Начертательная геометрия задачи с решением, проекцию Начертательная геометрия задачи с решением, используем прямую Начертательная геометрия задачи с решением. Фронтальная проекция Начертательная геометрия задачи с решением точки 4, расположенной на ребре Начертательная геометрия задачи с решением, построена с помощью линий связи.

Пересечение многогранников плоскостью

При пересечении многогранника плоскостью в сечении получается многоугольник.

Определение вершин многоугольника сводится к построению точек пересечения прямых (ребер многогранника) с плоскостью — способ ребер. При определении сторон многоугольника решаются задачи на пересечение двух плоскостей — способ граней.

На рис. 4.5 показано построение проекций линии пересечения прямой четырехугольной призмы фронтально-проецирующей плоскостью Начертательная геометрия задачи с решением (проекция Начертательная геометрия задачи с решением).

Пересечение проекции а» с фронтальными проекциями боковых ребер призмы дает проекции Начертательная геометрия задачи с решением вершин многоугольника сечения. Горизонтальные проекции этих вершин совпадают с «вырожденными» проекциями соответствующих ребер, так как призма прямая. Профильные проекции Начертательная геометрия задачи с решением вершин определим при помощи горизонтальных линий связи на соответствующих проекциях ребер призмы.

Начертательная геометрия задачи с решением

Натуральная величина многоугольника еечения найдена способом плоскопараллсльного перемещения. Переместим фронтальную проекцию сечения в горизонтальное положение.

Проекция Начертательная геометрия задачи с решением — натуральная величина многоугольника сечения.

Развертка поверхности призмы

Разверткой называется фигура, полученная при совмещении поверхности геометрического тела с плоскостью (без наложения элементов поверхности друг на друга).

Начертательная геометрия задачи с решением

Развертки необходимы при изготовлении изделий из листового материала. Построение разверток поверхностей многогранников рассмотрим на примерах призмы и пирамиды.

Развертка боковой поверхности призмы, представленной на рис. 4.5, состоит из четырех прямоугольников, у которых одна сторона равна высоте призмы, а другие стороны равны сторонам основания призмы (рис. 4.6).

Для построения развертки боковой поверхности усеченной призмы наносим на развертку точки Начертательная геометрия задачи с решением расположенные на соответствующих ребрах. Чтобы получить полную развертку усеченной части призмы, к одному из участков линии пересечения Начертательная геометрия задачи с решением пристраиваем натуральную величину сечения.

Развертку усеченной части призмы обводим сплошной толстой основной линией, линии сгиба — штрихпунктирной с двумя точками линией. Достроив к сторонам прямоугольника верхнее и нижнее основание призмы, получим полную развертку ее поверхности.

Пересечение пирамиды проецирующей плоскостью

На рис. 4.7 приведено построение проекций линии пересечения четырехугольной пирамиды Начертательная геометрия задачи с решением фронтально-проецирующей плоскостью Начертательная геометрия задачи с решением.

Начертательная геометрия задачи с решением

Фронтальные проекции Начертательная геометрия задачи с решением вершин многоугольника сечения находятся в пересечении следа-проекции Начертательная геометрия задачи с решением плоскости Начертательная геометрия задачи с решением с фронтальными проекциями боковых ребер пирамиды. Проекции Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением точек 2 и 3, лежащих на ребрах Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением, совпадают, так как грань Начертательная геометрия задачи с решением является фронтально-проецирующей плоскостью. Горизонтальные и профильные проекции точек 1, 2, 3, 4 определяются по линиям связи на соответствующих ребрах пирамиды. Натуральная величина многоугольника сечения найдена способом перемены плоскостей проекций. Это четырехугольник Начертательная геометрия задачи с решением.

Развертка поверхности пирамиды

Развертка боковой поверхности пирамиды состоит из четырех треугольников — боковых граней пирамиды (рис. 4.8). Для построения развертки необходимо знать натуральную величину всех фигур, составляющих развертку.

В данном случае одна из сторон боковых граней определяется натуральной величиной горизонтальной проекции ребра основания пирамиды, поскольку основание пирамиды занимает горизонтальное положение. На рис. 4.7 видно, что ребро Начертательная геометрия задачи с решением параллельно фронтальной плоскости, следовательно проекция Начертательная геометрия задачи с решением — его истинная величина. Для определения натуральной величины других боковых ребер используем способ вращения вокруг оси, проходящей через вершину Начертательная геометрия задачи с решением перпендикулярно плоскости Начертательная геометрия задачи с решением.

Поворачиваем ребра Начертательная геометрия задачи с решением до положения, параллельного плоскости Начертательная геометрия задачи с решением. Длины проекций Начертательная геометрия задачи с решением являются натуральными длинами соответствующих ребер.

На рис. 4.8 представлено построение полной развертки усеченной пирамиды. Вначале на плоскости чертежа строим треугольники — боковые грани пирамиды — по трем сторонам, последовательно достраивая треугольники друг к другу боковыми ребрами. Пристроив к стороне Начертательная геометрия задачи с решением одного из треугольников четырехугольное основание пирамиды, получим полную развертку ее поверхности.

Начертательная геометрия задачи с решением

Чтобы выделить на развертке усеченную часть пирамиды, находим положение вершины Начертательная геометрия задачи с решением фигуры сечения на ребре Начертательная геометрия задачи с решением. Зная натуральную величину многоугольника сечения Начертательная геометрия задачи с решением, последовательно засекаем на ребрах развертки точки Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением, используя величину сторон многоугольника сечения.

Полученные на развертке точки соединяем отрезками прямых. Пристраиваем затем натуральную величину сечения Начертательная геометрия задачи с решением к одному из участков линии пересечения Начертательная геометрия задачи с решением. Полученную полную развертку поверхности усеченной пирамиды обводим сплошной толстой основной линией, а линии сгиба — штрихпунктирной с двумя точками линией.

Задача с решением №5

Задача №1.

Правильная треугольная пирамида усечена двумя плоскостями: фронтально-проецирующей Начертательная геометрия задачи с решением и профильной Начертательная геометрия задачи с решением (рис. 4.9). Построить недостающие проекции усеченной пирамиды.

Начертательная геометрия задачи с решением

Решение:

Плоскость а пересекает грань Начертательная геометрия задачи с решением по отрезку 1-2, грань Начертательная геометрия задачи с решением по отрезку 2-3, грань Начертательная геометрия задачи с решением по отрезку 1-4.

Плоскость р пересекает грань Начертательная геометрия задачи с решением по отрезку 3-5, а грань Начертательная геометрия задачи с решением по отрезку 4-5. При построении проекций точек, принадлежащих линии пересечения, следует учитывать, что профильные проекции Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением‘ совпадают, так как грань SAB пирамиды является профильно-проецирующей плоскостью.

Недостающие проекции точки 1, расположенной на ребре Начертательная геометрия задачи с решением, и точки 5, расположенной на ребре Начертательная геометрия задачи с решением, построены при помощи линий связи. Проекции точки 2, расположенной на ребре Начертательная геометрия задачи с решением, определены при помощи линий связи сначала на профильной проекции ребра, а затем на горизонтальной.

Горизонтальные проекции точек 3 и 4 получены с помощью вспомогательной прямой Начертательная геометрия задачи с решением, принадлежащей грани Начертательная геометрия задачи с решением, и прямой Начертательная геометрия задачи с решением, принадлежащей грани Начертательная геометрия задачи с решением.

Построив горизонтальные проекции Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением этих прямых, по линии связи определим горизонтальные проекции точек 3 и 4, а затем их профильные проекции.

Плоскости Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением пересекаются по фронтально-проецирующей прямой 3-4. Соединив построенные проекции точек, получим проекции линии пересечения.

Вопросы для контроля

  1. Какая фигура называется многогранником?
  2. Дайте определение призмы, пирамиды, правильного многогранника.
  3. Как определить недостающую проекцию точки на поверхности многогранника?
  4. Что представляет собой сечение многогранника плоскостью?
  5. В чем различие способов ребер и граней?
  6. Как используется способ перемены плоскостей проекций при построении сечения многогранника плоскостью?

Поверхности вращения

Поверхность вращения (рис. 5.1) получается вращением прямолинейной или криволинейной образующей Начертательная геометрия задачи с решением вокруг неподвижной прямой Начертательная геометрия задачи с решением — оси поверхности. За ось вращения обычно принимается вертикальная прямая. Каждая точка образующей (например, точка Начертательная геометрия задачи с решением) описывает при своем вращении окружность с центром на оси Начертательная геометрия задачи с решением. Эти окружности называются параллелями. Наибольшая из этих параллелей — экватор, наименьшая — горло.

Плоскости, проходящие через ось вращения, пересекают поверхность по меридианам. Меридиан, расположенный в плоскости, параллельной Начертательная геометрия задачи с решением, называется главным.

Поверхность вращения называют закрытой, если криволинейная образующая пересекает ось поверхности в двух точках. Если образующая — прямая линия, то получается линейчатая поверхность вращения, если кривая — нелинейчатая.

Замкнутую область пространства вместе с ее границей (поверхностью) называют геометрическим телом.

Цилиндр вращения (рис. 5.2) образуется вращением прямой Начертательная геометрия задачи с решением вокруг параллельной ей оси Начертательная геометрия задачи с решением. Все точки образующей Начертательная геометрия задачи с решением (например, точка Начертательная геометрия задачи с решением) описывают окружности (параллели), равные окружностям оснований цилиндра.

Начертательная геометрия задачи с решением

Конус вращения (рис. 5.3) образуется вращением прямой Начертательная геометрия задачи с решением вокруг пересекающейся с ней оси Начертательная геометрия задачи с решением. Все точки образующей Начертательная геометрия задачи с решением описывают окружности различных радиусов (для точки Начертательная геометрия задачи с решением — радиус Начертательная геометрия задачи с решением). Величина радиуса изменяется от нуля до радиуса окружности основания конуса.

Начертательная геометрия задачи с решением

Сфера (рис. 5.4) образуется вращением окружности вокруг ее оси Начертательная геометрия задачи с решением. Каждая точка образующей сферы при таком перемещении описывает свою окружность, радиус которой уменьшается при перемещении точки к полюсам. Например, точка Начертательная геометрия задачи с решением описывает параллель наибольшего радиуса (экватор). Для сферы экватор и меридианы — равные между собой окружности.

Построение точек лежащих на поверхности вращения

Точка принадлежит поверхности, если она находится на линии, лежащей на этой поверхности. В качестве таких линий могут быть выбраны образующие, параллели, меридианы и др. На рис. 5.5 показано построение проекций точек Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением, принадлежащих боковой поверхности цилиндра.

Начертательная геометрия задачи с решением

Горизонтальные проекции точек Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением (Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением) лежат на окружности. Профильные проекции этих точек Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением находятся при помощи линий связи.

Очерковые (крайние) образующие цилиндра разделяют фронтальную и профильные проекции на видимую и невидимые части. Так, образующие Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением делят цилиндрическую поверхность на видимую спереди и невидимую, образующие Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением — на видимую слева и невидимую. Невидимые проекции точки В указаны в скобках.

На рис. 5.6, а показано построение горизонтальной Начертательная геометрия задачи с решением и профильной Начертательная геометрия задачи с решением проекций точки Начертательная геометрия задачи с решением по заданной фронтальной проекции Начертательная геометрия задачи с решением на поверхности конуса.

Начертательная геометрия задачи с решением

Если задана горизонтальная проекция Начертательная геометрия задачи с решением точки Начертательная геометрия задачи с решением (рис. 5.6, а), то построение начинается с проведения горизонтальной проекции Начертательная геометрия задачи с решением образующей Начертательная геометрия задачи с решением, на которой находится точка Начертательная геометрия задачи с решением. Определив фронтальную проекцию Начертательная геометрия задачи с решениемэтой образующей, по линиям связи находим фронтальную проекцию Начертательная геометрия задачи с решением точки Начертательная геометрия задачи с решением, а затем и профильную Начертательная геометрия задачи с решением.

Образующие Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением разделяют коническую поверхность на видимую спереди и невидимую, а образующие Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением — на видимую слева и невидимую.

Проекции Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением находятся на невидимой части конуса. Горизонтальная проекция поверхности конуса является видимой.

На рис. 5.6, б показано построение недостающих проекций точек Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением при помощи параллелей. Через заданные проекции Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением проводятся проекции Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением параллелей Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением. Используя точки 1 и 2, лежащие на очерковых образующих, определим положение проекций Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением проведенных параллелей. По линиям связи найдем положение проекций Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением точки Начертательная геометрия задачи с решением и проекций Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением точки Начертательная геометрия задачи с решением.

На рис. 5.7 приведены проекции сферы, которые ограничены экватором Начертательная геометрия задачи с решением, фронтальным меридианом Начертательная геометрия задачи с решением и профильным Начертательная геометрия задачи с решением. Каждый из них проецируется на соответствующую плоскость проекций в виде окружности, на остальные — в виде отрезков прямых длиной, равной диаметру сферы. На этом же рисунке показано построение недостающих проекций точек Начертательная геометрия задачи с решением, Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением по заданным фронтальным проекциям этих точек. Точка Начертательная геометрия задачи с решением находится на экваторе Начертательная геометрия задачи с решением, точка Начертательная геометрия задачи с решением — на фронтальном меридиане Начертательная геометрия задачи с решением, точка Начертательная геометрия задачи с решением — на профильном меридиане Начертательная геометрия задачи с решением. Недостающие проекции определяются по линиям связи. Направление построений указано стрелками.

Начертательная геометрия задачи с решением

Экватор Начертательная геометрия задачи с решением разделяет сферу на видимую (верхняя половина на фронтальной проекции) и невидимую части на горизонтальной проекции. Фронтальный меридиан Начертательная геометрия задачи с решением разделяет сферу на видимую (нижняя половина горизонтальной проекции) и невидимую части на фронтальной проекции.

Профильный меридиан п разделяет сферу на видимую (левая половина на фронтальной проекции) и невидимую части на профильной проекции.

Так, на рис. 5.7 горизонтальная проекция Начертательная геометрия задачи с решением точки Начертательная геометрия задачи с решением невидимая (взята в скобки), так как находится на нижней (невидимой) половине сферы. На поверхности сферы можно провести множество параллелей, соответствующих плоскостям проекций. Эти параллели используются для построения проекций точек на сфере.

По фронтальной проекции Начертательная геометрия задачи с решением точки Начертательная геометрия задачи с решением найдена горизонтальная Начертательная геометрия задачи с решением как принадлежащая горизонтальной параллели Начертательная геометрия задачи с решением. Для построения горизонтальной проекции Начертательная геометрия задачи с решением использована точка 1, принадлежащая фронтальному меридиану. Профильная проекция Начертательная геометрия задачи с решением точки Начертательная геометрия задачи с решением построена при помощи линий связи и находится на невидимой (правой половине) части сферы.

Пересечение поверхностей вращения плоскостью

Линия пересечения кривой поверхности с плоскостью представляет собой плоскую кривую. Для построения этой кривой линии на чертеже находят проекции ее отдельных точек, соединяемых с помощью лекала.

Для нахождения точек линии пересечения применяются вспомогательные секущие плоскости (проецирующие или плоскости уровня). Вспомогательные плоскости выбираются так, чтобы в пересечении с кривой поверхностью получались простейшие линии — прямые и окружности. Задача на построение линии пересечения кривой поверхности плоскостью значительно упрощается, если заданные секущие плоскости являются плоскостями частного положения.

Пересечение цилиндра плоскостью

При пересечении цилиндра вращения плоскостью возможны случаи:

  1. секущая плоскость параллельна оси — в сечении цилиндрической поверхности получаются две прямые (образующие) (рис. 5.8, я);
  2. секущая плоскость перпендикулярна оси — в сечении получается окружность, равная окружностям оснований (рис. 5.8, б);
  3. секущая плоскость наклонна к оси — в сечении получается эллипс, малая ось которого всегда равна диаметру цилиндра, а большая зависит от угла Начертательная геометрия задачи с решением (рис. 5.8, в).
Начертательная геометрия задачи с решением

Пример модели цилиндра, усеченного плоскостями, приведен здесь. На рис. 5.9 показано построение проекций цилиндра вращения, усеченного плоскостями частного положения Начертательная геометрия задачи с решением

Начертательная геометрия задачи с решением

Горизонтальная плоскость Начертательная геометрия задачи с решением пересекает поверхность цилиндра по части окружности, профильная плоскость Начертательная геометрия задачи с решением — по прямым Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением (образующим цилиндра), фронтально-проецирующая плоскость Начертательная геометрия задачи с решением — по части эллипса. Фронтальная проекция линий пересечения совпадает со следами-проекциями секущих плоскостей Начертательная геометрия задачи с решением, а горизонтальная -с окружностью основания цилиндра.

Построение профильной проекции сводится к построению профильных проекций точек по двум заданным (направление линий связи указано стрелками).

Обычно для построения точек линий сечения пользуются образующими, равноотстоящими друг от друга. Поэтому горизонтальная проекция цилиндра (окружность) разделена на 12 частей (точки 1,2, …, 12). Этой равномерной «разметкой» удобно пользоваться для создания не только проекций сечений, но и развертки.

Развертка поверхности цилиндра

Для построения развертки поверхности вращения, усеченной плоскостями, используется соответствующая многогранная фигура, вписанная в эту поверхность. Развертка получается приближенной, погрешность определяется количеством сторон многоугольника, вписанного в основание поверхности.

Построение развертки боковой поверхности цилиндра, приведенного на рис. 5.9, начинают с вычерчивания горизонтальной прямой, на которой откладывают длину окружности основания Начертательная геометрия задачи с решением и делят ее, например, на 12 равных частей. Из точек деления проводят перпендикуляры к отрезку Начертательная геометрия задачи с решением (рис. 5.10) и на них откладывают длины образующих от основания цилиндра до секущих плоскостей Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением.

Начертательная геометрия задачи с решением

Для построения точек Начертательная геометрия задачи с решением на развертке использовано расположение этих точек на горизонтальной проекции цилиндра (от точек деления откладывают длины дуг Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением). Точки Начертательная геометрия задачи с решением соединены прямыми линиями. Точки Начертательная геометрия задачи с решением соединяют плавной линией. К верхней части боковой развертки достраивают натуральные фигуры сечения плоскостями (часть эллипса, прямоугольник, сегмент окружности).

Пересечение конуса плоскостью

При пересечении конуса получаются различные виды кривых второго порядка.

  1. Эллипс (Начертательная геометрия задачи с решением) — секущая плоскость Начертательная геометрия задачи с решением пересекает весь конус (рис. 5.11).
  2. Окружность — секущая плоскость перпендикулярна оси конуса (рис. 5.12).
  3. Парабола — секущая плоскость Начертательная геометрия задачи с решением параллельна образующей конуса (рис. 5.13).
Начертательная геометрия задачи с решением
Начертательная геометрия задачи с решением
  1. Гипербола — плоскость Начертательная геометрия задачи с решением параллельна двум образующим конуса (рис. 5.14).
  2. Прямые линии — секущая плоскость проходит через вершину конуса (рис. 5.15).

На примере здесь показана последовательность построения линий пересечения конуса плоскостями.

На рис. 5.16 показано построение проекций усеченного конуса вращения плоскостями частного положения Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением.

Конус пересекают фронтально-проецирующие плоскости Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением. Фронтальная проекция линий пересечения совпадает с проекциями этих плоскостей.

Для построения точек линий сечения использованы образующие, равноотстоящие друг от друга. Поэтому горизонтальная проекция основания конуса (окружность) разделена на 12 равных частей (точки I, II, …, XII). Это позволяет использовать равноотстоящие образующие для построения развертки конуса.

Фронтальные проекции образующих пересекают проекцию Начертательная геометрия задачи с решением в точках Начертательная геометрия задачи с решениемНачертательная геометрия задачи с решением. Эти точки по линиям связи находятся на горизонтальных проекциях образующих, причем точки 4 и 10 определяются на профильной проекции, а затем на горизонтальной.

Вспомогательная плоскость Начертательная геометрия задачи с решением пересекает плоскость а по фронтально-проецирующей прямой, а конус — по окружности радиуса Начертательная геометрия задачи с решением. В пересечении прямой и дуги радиуса Начертательная геометрия задачи с решением определим горизонтальные проекции Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением.

Построения профильных проекций точек эллипса (Начертательная геометрия задачи с решением) сводится к построению проекций точек по двум заданным (по линиям проекционной связи).

Для построения точек, принадлежащих гиперболе, использованы точки Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением, находящиеся на образующих II и XII, а также точки Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением, принадлежащие вспомогательной горизонтальной плоскости Начертательная геометрия задачи с решением.

Построение развертки конуса

Построение развертки начинают с проведения из точки Начертательная геометрия задачи с решением (рис. 5.17) дуги окружности радиусом, равным длине образующей конуса Начертательная геометрия задачи с решением.

Длина дуги определяется центральным углом Начертательная геометрия задачи с решением:

Начертательная геометрия задачи с решением

где Начертательная геометрия задачи с решением — диаметр окружности основания конуса; Начертательная геометрия задачи с решением — длина образующей.

Дугу делят на 12 частей и полученные точки соединяют с точкой Начертательная геометрия задачи с решением. От вершины Начертательная геометрия задачи с решением на образующих откладывают действительные длины отрезков образующих от вершины конуса до секущих плоскостей. Действительные длины данных отрезков находят способом вращения их вокруг оси конуса. Для этого достаточно из фронтальных проекций точек фигур сечений провести горизонтальную прямую до пересечения с контурной образующей конуса, являющейся действительной ее длиной.

Для построения точек Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением, лежащих на основании конуса, следует отложить от точек III и XI соответствующие дуги (эти дуги на рис. 5.16 и 5.17 отмечены одной черточкой-штрихом).

Для построения точек Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением на развертке находят положения образующих, на которых есть эти точки, откладывая от точек II и XII соответствующие дуги (эти дуги отмечены двумя черточками-штрихами). Положение точек Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением на образующих находим, используя действительные длины отрезков Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением.

Для получения полной развертки пристраивают к развертке боковой поверхности часть основания конуса и натуральные величины сечений.

Начертательная геометрия задачи с решением

Натуральная величина эллипса построена по его осям (использован способ перемены плоскостей проекций), натуральная величина сечения профильной плоскостью Начертательная геометрия задачи с решением находится на профильной проекции (рис. 5.16).

Вопросы для контроля

  1. Какие линии получаются при пересечении цилиндра плоскостью?
  2. Какие линии получаются при пересечении конуса плоскостью?
  3. Какие поверхности вращения являются развертывающимися?
  4. Как построить развертку цилиндра?
  5. Какой метод используется для построения развертки конуса?

Пересечение прямой линии с многогранниками и поверхностями вращения

Точки пересечения прямой линии с геометрическими телами называют также точками встречи, одна из них является точкой входа, другая — точкой выхода.

Частные случаи определения точек пересечения

Частный способ определения указанных точек основывается на том, что пересекаемая грань перпендикулярна плоскости проекций, т. е. ее проекция представлена на этой плоскости в виде прямой и проекция искомой точки пересечения совпадает с проекцией точки пересечения этой прямой и заданной прямой. Другая проекция определяется по линиям связи из условия принадлежности точки прямой.

На рис. 6.1 показано построение точек пересечения прямых линий Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением поверхностью четырехугольной прямой призмы. Боковая поверхность призмы — проецирующая (грани перпендикулярны горизонтальной плоскости проекций). Поэтому горизонтальные проекции Начертательная геометрия задачи с решением точек пересечения находятся на «вырожденных» проекциях боковых граней, представляющих собой прямые линии. Фронтальные проекции этих точек определяются по линиям связи на фронтальных проекциях прямых Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением. Вторая точка пересечения (точка Начертательная геометрия задачи с решением) прямой Начертательная геометрия задачи с решением находится на пересечении с верхним основанием призмы, которое является горизонтальной плоскостью. Сначала отмечаем фронтальную проекцию Начертательная геометрия задачи с решением, а затем по линии связи находим горизонтальную Начертательная геометрия задачи с решением.

Видимость фронтальных проекций точек пересечения прямых Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением определяется видимостью граней, на которых лежат указанные точки. Так, точка Начертательная геометрия задачи с решением лежит на невидимой грани Начертательная геометрия задачи с решением, и поэтому участок прямой Начертательная геометрия задачи с решением от проекции Начертательная геометрия задачи с решениемдо ребра Начертательная геометрия задачи с решением невидим. Участки прямых, расположенных внутри тел, изображаются невидимыми. Участок горизонтальной прямой Начертательная геометрия задачи с решением от точки Начертательная геометрия задачи с решением видим, так как точка Начертательная геометрия задачи с решением расположена на верхнем основании призмы.

На рис. 6.2 показано построение точек пересечения прямых Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением с поверхностью цилиндра вращения.

Начертательная геометрия задачи с решением

Горизонтальные проекции точек Начертательная геометрия задачи с решением находятся на пересечении окружности (горизонтальной проекции боковой поверхности цилиндра) с проекциями прямых, фронтальная проекция точки Начертательная геометрия задачи с решением — на пересечении горизонтальной плоскости верхнего основания с проекцией прямой.

При определении видимости фронтальных проекций прямых Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением следует учесть, что проекции Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением расположены на невидимой части цилиндра и поэтому участки прямых Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением от проекций Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением до очерковой образующей невидимы.

Горизонтальная проекция точки Начертательная геометрия задачи с решением расположена на верхнем основании цилиндра, поэтому проекция Начертательная геометрия задачи с решением до точки Начертательная геометрия задачи с решением видима.

На рис. 6.3 показано построение точек пересечения проецирующих прямых Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением с поверхностью пирамиды. Фронтальные проекции Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением точек пересечения фронтально-проецирующей прямой Начертательная геометрия задачи с решением совпадают с «вырожденной» проекцией прямой, а горизонтальные проекции находятся на прямых Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением граней Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением.

Горизонтальные проекции точек пересечения Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением горизонтально-проецирующей прямой Начертательная геометрия задачи с решением совпадают с «вырожденной» проекцией прямой, фронтальная проекция точки Начертательная геометрия задачи с решением находится на прямой Начертательная геометрия задачи с решением грани Начертательная геометрия задачи с решением. Точка Начертательная геометрия задачи с решением находится на горизонтальной плоскости основания пирамиды.

На рис. 6.4 показано построение точек пересечения проецирующих прямых Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением с поверхностью конуса вращения. Проекции Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением определяются с помощью параллели (окружности радиуса Начертательная геометрия задачи с решением) конуса, проекция Начертательная геометрия задачи с решением — с помощью образующей Начертательная геометрия задачи с решением. Точка Начертательная геометрия задачи с решением расположена на горизонтальной плоскости основания конуса.

Начертательная геометрия задачи с решением

На рис. 6.5 для нахождения горизонтальных проекций точек пересечения Начертательная геометрия задачи с решением проецирующих прямых Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением с поверхностью сферы использованы параллели (окружности) сферы. Точки Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением находятся на параллели радиуса Начертательная геометрия задачи с решением, а точки Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением — на параллели радиуса Начертательная геометрия задачи с решением. Точки пересечения Начертательная геометрия задачи с решением расположены на видимых участках проекций сферы.

Определение точек пересечения прямой с поверхностью

В общем случае точки пересечения прямой линии с поверхностью геометрических тел находятся следующим образом:

  • через данную прямую проводится вспомогательная плоскость;
  • строится линия пересечения геометрического тела вспомогательной плоскостью;
  • определяются точки пересечения построенной линии и заданной прямой. Эти точки являются искомыми;
  • определяется видимость участков прямой линии.

Вспомогательную секущую плоскость выбирают так, чтобы она пересекала поверхность геометрического тела по линии, легко определяемой на чертеже, например состоящей из прямых или окружностей. Обычно в качестве вспомогательной плоскости выбирают проецирующую плоскость, проходящую через заданную прямую.

На рис. 6.6 показано нахождение точек пересечения прямой общего положения Начертательная геометрия задачи с решением с поверхностью пирамиды Начертательная геометрия задачи с решением.

Начертательная геометрия задачи с решением

Через прямую Начертательная геометрия задачи с решением проведена вспомогательная фронтально-проецирующая плоскость Начертательная геометрия задачи с решением, пересекающая поверхность пирамиды по линии 1-2-3. На пересечении этой линии с прямой Начертательная геометрия задачи с решением находятся искомые точки пересечения. Видимость участков прямой линии определяется видимостью граней, на которых лежат точки пересечения Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением. Так, на горизонтальной проекции (рис. 6.6, б) точки Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением расположены на видимых проекциях Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением граней Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением, а на фронтальной проекции точка Начертательная геометрия задачи с решением лежит на невидимой грани Начертательная геометрия задачи с решением. Поэтому участок фронтальной проекции Начертательная геометрия задачи с решением от Начертательная геометрия задачи с решением до ребра Начертательная геометрия задачи с решением невидим.

Для нахождения точек пересечения конуса вращения с горизонтальной прямой Начертательная геометрия задачи с решением (рис. 6.7) использована вспомогательная горизонтальная плоскость Начертательная геометрия задачи с решением пересекающая конус по окружности. На рис. 6.8 для определения точек пересечения сферы с фронтальной прямой Начертательная геометрия задачи с решением использована фронтальная плоскость Начертательная геометрия задачи с решением. В заключение определяется видимость участков прямых относительно точек пересечения.

Вопросы для контроля

  1. Поясните способ определения точек пересечения прямой с поверхностью геометрических тел.
  2. С помощью каких преобразований можно упростить задачу построения точек пересечения прямой общего положения с конусом?

Взаимное пересечение поверхностей геометрических тел

Линия пересечения поверхностей геометрических тел в общем случае является пространственной и может распадаться на две и более частей. Линию пересечения строят по точкам, которые подразделяются на характерные (опорные) и промежуточные.

Общим способом построения этих точек является способ вспомогательных секущих плоскостей. При пересечении заданных поверхностей вспомогательной плоскостью определяются линии пересечения ее с данными поверхностями, а в пересечении этих линий получаются точки, принадлежащие искомой линии пересечения.

В качестве вспомогательных секущих плоскостей чаще всего используют плоскости, параллельные одной из плоскостей проекций. Положение их выбирают такое, чтобы они пересекали заданные поверхности по простейшим линиям — прямым или окружностям.

Построение линии пересечения многогранников

При решении задач используется один из следующих способов:

  1. способ ребер (пересечение прямой линии с плоскостью);
  2. способ граней (взаимное пересечение плоскостей).

Преимущество отдается тому из способов, который дает более простое решение.

Рассмотрим построение линии пересечения пирамиды с призмой (рис. 7.1).

Грань Начертательная геометрия задачи с решением призмы — горизонтальная плоскость Начертательная геометрия задачи с решением, пересекающая боковую поверхность пирамиды по ломаной линии, звенья которой параллельны сторонам основания Начертательная геометрия задачи с решением пирамиды. По фронтальной проекции точки Начертательная геометрия задачи с решением, расположенной на ребре Начертательная геометрия задачи с решением пирамиды, найдем ее горизонтальную проекцию Начертательная геометрия задачи с решением и, проведя звенья ломаной линии, определим точки Начертательная геометрия задачи с решением Начертательная геометрия задачи с решением

Горизонтальные проекции Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением точек пересечения ребер Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением с гранями призмы определяются с помощью линий связи. Горизонтальные проекции Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением точек пересечения ребра Начертательная геометрия задачи с решением призмы с поверхностью пирамиды определим с помощью горизонтальной плоскости Начертательная геометрия задачи с решением, проведенной через ребро Начертательная геометрия задачи с решением призмы. Плоскость Начертательная геометрия задачи с решением пересекает поверхность пирамиды по линиям, параллельным сторонам основания пирамиды. Спроецировав точку Начертательная геометрия задачи с решением, лежащую на ребре Начертательная геометрия задачи с решением пирамиды, через проекцию Начертательная геометрия задачи с решением проведем линии, параллельные Начертательная геометрия задачи с решением

Начертательная геометрия задачи с решением

и Начертательная геометрия задачи с решением. Эти линии пересекаются с горизонтальной проекцией ребра Начертательная геометрия задачи с решением призмы в точках Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением.

На рис. 7.2 показано построение линии пересечения двух призм, боковые поверхности которых являются проецирующими.

Начертательная геометрия задачи с решением

Рассматривая положение горизонтальных и профильных проекций многогранников, отмечаем, что призма Начертательная геометрия задачи с решением пересекает боковую поверхность призмы Начертательная геометрия задачи с решением. При пересечении получаются две замкнутые ломаные линии: одна из них — пространственная (пересекаются две грани призмы Начертательная геометрия задачи с решением), другая — плоская (пересекается одна грань).

Горизонтальная проекция линий пересечения совпадает с горизонтальной проекцией вертикальной призмы, а профильная — с профильной проекцией горизонтальной призмы. Отмечая точки пересечения Начертательная геометрия задачи с решением горизонтальных проекций ребер Начертательная геометрия задачи с решением с горизонтальной проекцией призмы Начертательная геометрия задачи с решением при помощи линий связи находим их фронтальные проекции.

Фронтальные проекции Начертательная геометрия задачи с решением точек пересечения ребра Начертательная геометрия задачи с решением с боковой поверхностью призмы Начертательная геометрия задачи с решением определим по линиям связи, используя их профильные проекции Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением. Последовательно соединяя найденные точки пересечения, принадлежащие одним и тем же граням, построим две ломаные линии 1-3-8-5-7-1 и 2-4-6-2.

Построение линии пересечения поверхностей вращения с многогранниками

Линия пересечения многогранника с телом вращения в общем случае состоит из отдельных участков кривых линий, получающихся при пересечении граней многогранника с поверхностью вращения. Точки перехода от одного участка к другому находятся на пересечении ребер многогранника с телом вращения.

Пример пространственной модели конуса, пересекающегося с треугольной призмой.

Последовательность операций при построении линии пересечения на чертеже следующая:

  • определяются точки пересечения ребер многогранника с поверхностью вращения;
  • находятся точки, принадлежащие линиям пересечения отдельных граней многогранника с телом вращения. Построение начинают с определения характерных (опорных) точек линии — высшие и низшие, ближайшие и наиболее удаленные, крайние слева и справа и т. д. Точки определяются визуально по чертежу;
  • определяется видимость проекций участков линии пересечения.

Рассмотрим построение линии пересечения поверхности прямой трехгранной призмы с поверхностью цилиндра вращения (рис. 7.3). Боковые грани призмы являются горизонтально-проецирующими плоскостями, а ось цилиндра перпендикулярна профильной плоскости проекций.

Начертательная геометрия задачи с решением

При построении точек линии пересечения многогранников с телами вращения используют вспомогательные секущие плоскости. Их располагают так, чтобы они пересекали данные поверхности по простым линиям (прямым или окружностям).

Грань призмы Начертательная геометрия задачи с решением параллельна оси цилиндра и пересекает поверхность цилиндра по прямой 2-3 (образующая цилиндра).

Грани Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением наклонены к оси цилиндра и пересекают его поверхность по кривым (частям эллипсов).

Горизонтальная проекция линии пересечения совпадает с проекцией боковой поверхности призмы, а профильная проекция совпадает с проекцией боковой поверхности цилиндра.

Характерными точками линии пересечения являются точки пересечения 1, 2, 3 ребер призмы с поверхностью цилиндра (фронтальные проекции этих точек определяем с помощью линий связи, проведенных через их профильные проекции). Точки 4 и 5 разделяют фронтальную проекцию линии пересечения на видимую и невидимую части.

Построение промежуточных точек 6, 7, 8, 9 выполняем следующим образом. На одной из имеющихся проекций линии пересечения (горизонтальной или профильной) намечаем проекции точек и с помощью линий связи строим недостающие проекции.

По построенным точкам проводим фронтальную проекцию линии пересечения. Видимой является часть Начертательная геометрия задачи с решением, расположенная на видимой проекции цилиндра. Часть фронтальных проекций ребер Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением закрывается очерком цилиндра.

На рис. 7.4 приведено построение линии пересечения сферы с прямой трехгранной призмой. Боковые ребра призмы перпендикулярны горизонтальной плоскости проекций. Характерными точками линии пересечения являются точки 1 и 2 — точки пересечения ребер призмы со сферой (обозначение точек линии пересечения приведено лишь на одной симметричной части). Для построения этих точек использованы фронтальные плоскости Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением, проведенные через ребра призмы и пересекающие сферу по окружностям радиусов Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением.

Начертательная геометрия задачи с решением

Фронтальную проекцию Начертательная геометрия задачи с решением точки 1 можно определить и по профильной проекции с помощью линий связи. Так как грань призмы Начертательная геометрия задачи с решением является фронтальной плоскостью, то плоскость Начертательная геометрия задачи с решением позволяет определить дугу окружности, по которой она пересекает сферу. Точка 3 — высшая точка этой дуги.

Грани Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением призмы пересекают сферу по дугам окружностей, которые на фронтальную и профильную плоскости проекций проецируются в виде частей эллипсов. Фронтальная проекция линии пересечения этих граней представляет собой две симметричные части, а профильные проекции совпадают.

Характерными точками фронтальной проекции линии пересечения являются также точки Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением. Точка 4 разделяет линию на видимую и невидимую части, точка 5 — высшая точка линии пересечения. Проекция Начертательная геометрия задачи с решением находится на очерке сферы — фронтальном меридиане, проекция Начертательная геометрия задачи с решением определена с помощью фронтальной плоскости Начертательная геометрия задачи с решением.

Для построения промежуточных точек Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением фронтальной проекции использованы фронтальные плоскости Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением. Каждая из фронтальных плоскостей пересекает сферу по окружности определенного радиуса, а призму — по горизонтально-проецирующим прямым.

Видимой частью фронтальной проекции линии пересечения является часть эллипса Начертательная геометрия задачи с решением, на профильной проекции симметричные части линии пересечения изображаются видимой линией. На фронтальной проекции части ребер Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением закрываются контуром сферы.

Построение линии пересечения поверхностей вращения

Линия пересечения двух поверхностей вращения в общем случае представляет пространственную кривую. Здесь приведен пример модели пересекающихся конуса и цилиндра. Линию пересечения поверхностей на чертеже строят по точкам.Общим способом построения является способ вспомогательных секущих поверхностей. В качестве поверхностей-посредников применяются плоскости или сферы.

Способ вспомогательных секущих плоскостей

Если одна из поверхностей является цилиндрической проецирующей поверхностью, то построение линии пересечения упрощается, так как в этом случае одна проекция линии пересечения совпадает с окружностью — проекцией цилиндра на перпендикулярную плоскость проекций.

На рис. 7.5 показано построение линии пересечения двух цилиндров вращения, оси которых скрещиваются. Ось горизонтального цилиндра — профильно-проецирующая, а ось вертикального — горизонтально-проецирующая.

Линией пересечения цилиндров является пространственная кривая, горизонтальная проекция которой совпадает с окружностью — горизонтальной проекцией вертикального цилиндра. Отмстим на этой окружности точки, принадлежащие линии пересечения: опорные 1, 2, 3, 4, лежащие на крайних образующих цилиндров, и промежуточную 5. Точки обозначены только на одной симметричной части линии пересечения.

Фронтальные проекции точек Начертательная геометрия задачи с решением лежащие на ближней, верхней и нижней образующих горизонтального цилиндра, определяем с помощью линий связи.

Начертательная геометрия задачи с решением

Для построения фронтальных проекций точек Начертательная геометрия задачи с решением использованы вспомогательные фронтальные плоскости Начертательная геометрия задачи с решением пересекающие оба цилиндра по образующим. Положение образующих вертикального цилиндра найдем по их горизонтальным

Начертательная геометрия задачи с решением

проекциям при помощи вертикальных линий связи. Для построения образующих горизонтального цилиндра использована его профильная проекция.

На рис. 7.6 показано построение линии пересечения конуса вращения и цилиндра вращения, у которых оси скрещиваются под прямым углом. Линией пересечения указанных тел является пространственная кривая, фронтальная проекция которой совпадает с окружностью цилиндра. Отметим здесь точки линии пересечения: опорные (1, 2, 3, 4, 5, 6) и промежуточные (7, 8, 9). Горизонтальные проекции точек 1 и 2 определим с помощью линий связи. Для построения горизонтальных проекций точек 3 и 4 использованы вспомогательные плоскости Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением.

Плоскость Начертательная геометрия задачи с решением пересекает цилиндр по крайней левой образующей, а конус — по окружности (параллели) радиуса Начертательная геометрия задачи с решением, пересечение которых определяет горизонтальную проекцию Начертательная геометрия задачи с решением точки 3.

Плоскость Начертательная геометрия задачи с решением, касающаяся цилиндра по его нижней образующей, позволяет построить горизонтальную проекцию Начертательная геометрия задачи с решением точки 4. Подобным образом с помощью горизонтальных плоскостей Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением находятся горизонтальные проекции точек 5 и 6, расположенных на ближней образующей конуса, а также горизонтальные проекции промежуточных точек 7, 8, 9.

Видимой частью горизонтальной проекции линии пересечения является линия Начертательная геометрия задачи с решением, принадлежащая верхней части цилиндра.

На примере здесь приведена пространственная модель конуса с цилиндрическим отверстием.

На рис. 7.7 показано построение линии пересечения полусферы с цилиндром вращения. Поскольку ось цилиндра перпендикулярна к горизонтальной плоскости проекций, то горизонтальная проекция линии пересечения совпадает с окружностью — горизонтальной проекцией цилиндра. Отметим на этой окружности опорные точки линии пересечения Начертательная геометрия задачи с решением и промежуточные Начертательная геометрия задачи с решением.

Точки Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением (низшая и высшая точки) расположены в горизонтально-проецирующей плоскости Начертательная геометрия задачи с решением, горизонтальный след-проекция Начертательная геометрия задачи с решением которой пройдет через горизонтальные проекции Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением осей тел вращения.

Чтобы определить фронтальные проекции Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением этих точек, повернем плоскость Начертательная геометрия задачи с решением с лежащими на ней линиями сечения сферы и цилиндра вокруг оси сферы до фронтального положения. Новое положение образующих цилиндра и контура сферы на плоскости проекций Начертательная геометрия задачи с решением даст точки Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением, по которым определяем проекции Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением.

Начертательная геометрия задачи с решением

Фронтальные проекции точек Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением, расположенных на фронтальном меридиане сферы, определим с помощью линий связи.

Для построения фронтальных проекций опорных точек Начертательная геометрия задачи с решением размещенных на крайних образующих цилиндра, и точек Начертательная геометрия задачи с решением находящихся на профильном меридиане сферы, использованы вспомогательные фронтальные плоскости Начертательная геометрия задачи с решением. Фронтальные проекции промежуточных точек Начертательная геометрия задачи с решением построены с помощью фронтальных плоскостей Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением. Эти плоскости пересекают цилиндр по образующим — прямым, а полусферу — по полуокружности. Так, вспомогательная плоскость Начертательная геометрия задачи с решением пересекает цилиндр по образующим, а полусферу — по дуге радиуса Начертательная геометрия задачи с решением.

Пересечение фронтальных проекций указанных линий сечения и даст точки Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением. Видимой частью фронтальных проекции является линия Начертательная геометрия задачи с решением, принадлежащая видимой (передней) части цилиндра.

Способ вспомогательных сфер

В некоторых случаях для построения линии пересечения двух поверхностей вращения целесообразно применять в качестве секущих поверхностей сферы. Этот способ основан на свойстве сферы пересекаться с любой поверхностью вращения, ось которой проходит через центр сферы, по окружности.

Чтобы сфера одновременно пересекала две поверхности по окружностям, необходимо выполнить следующие условия:

  1. оси поверхностей вращения должны пересекаться (точку пересечения принимают за центр вспомогательных концентрических сфер);
  2. оси поверхностей вращения должны располагаться параллельно какой-либо плоскости проекций.

На рис. 7.8 показано построение линии пересечения двух конусов с пересекающимися осями, параллельными плоскости Начертательная геометрия задачи с решением.

Начертательная геометрия задачи с решением

Линия пересечения — симметричная пространственная кривая. Фронтальные проекции симметричных половин совпадают и образуют кривую 2-го порядка. Точки 1 и 2, находящиеся в пересечении образующих конусов, очевидны. Остальные точки определены с помощью вспомогательных сфер с центром в точке Начертательная геометрия задачи с решением — точке пересечения осей конусов. С помощью сферы Сф. 1 (наименьшей из всех возможных) построена крайняя левая точка фронтальной проекции линии пересечения.

Эта сфера касается поверхности конуса с вертикальной осью по окружности радиуса Начертательная геометрия задачи с решением и пересекает другой конус по окружности радиуса Начертательная геометрия задачи с решением. В пересечении этих окружностей получается фронтальная проекция Начертательная геометрия задачи с решением. Для определения фронтальной проекции точки 4, расположенной на ближайшей образующей конуса с горизонтальной осью, использована сфера Сф. 2.

Радиус Начертательная геометрия задачи с решением этой сферы подобран так, чтобы окружность пересечения ее с поверхностью вертикального конуса лежала в плоскости Начертательная геометрия задачи с решением С помощью сферы Сф. 3 определена фронтальная проекция Начертательная геометрия задачи с решением точки 5.

Применение способа сфер позволяет построить линию пересечения поверхностей вращения, пользуясь только одной проекцией.

Особые случаи пересечения

При пересечении между собой кривых поверхностей линиями пересечения являются пространственные кривые, которые в ряде случаев могут распадаться на более простые линии. Рассмотрим несколько таких примеров.

Начертательная геометрия задачи с решением
  1. Два цилиндра с параллельными осями пересекаются по образующим.

На рис. 7.9 изображены пересекающиеся между собой цилиндры вращения с параллельными осями. Линиями пересечения являются общие образующие Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением.

  1. Если две поверхности второго порядка описаны около третьей или вписаны в нее, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка. Плоскости этих кривых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линий касания.

На рис. 7.10 изображены пересекающиеся между собой цилиндр и конус, касающиеся сферы радиуса Начертательная геометрия задачи с решением. Линии касания -окружности, плоскости которых параллельны фронтальной и профильной плоскостям проекций.

Плоскости касания пересекаются между собой по фронтально-проецирующей прямой Начертательная геометрия задачи с решением. Фронтальная проекция линии пересечения — два эллипса, плоскости которых проходят через прямую Начертательная геометрия задачи с решением и являются фронтально-проецирующими плоскостями. Большие оси эллипсов — отрезки 1-2 и 3-4, а малые равны диаметру цилиндра. Горизонтальная проекция линии пересечения находится из условия принадлежности ее точек поверхности конуса.

  1. Соосные поверхности вращения (т. е. поверхности с общей осью) пересекаются по окружностям.

Если ось вращения соосных поверхностей перпендикулярна к какой-либо плоскости проекций, то линия их пересечения проецируется на эту плоскость в виде окружности, а на другую плоскость проекций — в прямую линию.

На рис. 7.11 даны примеры пересечения соосных поверхностей вращения (ось вращения перпендикулярна плоскости Начертательная геометрия задачи с решением). На рис. 7.11, а приведены цилиндр и конус, б — конус и сфера, в — две сферы. За ось сферы можно принять любой ее диаметр. Поэтому сфера, центр которой находится на оси поверхности вращения, пересекается с этой поверхностью по окружности.

Начертательная геометрия задачи с решением
Начертательная геометрия задачи с решением

Вопросы для контроля

  1. Поясните общий способ построения линии пересечения двух поверхностей.
  2. Какие точки линии пересечения являются характерными (опорными)?
  3. Как определяется видимость линии пересечения?
  4. Что представляет собой линия пересечения тела вращения с многогранником?
  5. При каком взаимном положении поверхностей вращения возможно применение вспомогательных секущих сфер?
  6. Какие линии образуются при взаимном пересечении: а) цилиндров с параллельными осями; б) конусов с общей вершиной?

Аксонометрические проекции

Теоретические основы построения аксонометрических проекций

Аксонометрическая проекция, или просто аксонометрия, даст наглядное изображение предмета на одной плоскости. Слово аксонометрия означает оссизмерение.

Способ аксонометрического проецирования состоит в том, что данную фигуру вместе с осями прямоугольных координат, к которым она отнесена в пространстве, параллельно проецируют на некоторую плоскость, принятую за плоскость аксонометрических проекций (ее называют также картинной плоскостью). При различном взаимном расположении осей координат в пространстве и плоскости аксонометрической проекции, а также при разном направлении проецирования можно получить множество аксонометрических проекций, отличающихся одна от другой направлением аксонометрических осей и масштабами по ним.

В конструкторской документации аксонометрические проекции стандартизованы в ГОСТ 2.317-69. Он предусматривает три вида аксонометрических проекций:

  • прямоугольная изометрия;
  • прямоугольная диметрия;
  • фронтальная косоугольная диметрия.

Рассмотрим, как будут направлены аксонометрические оси, а также как будет осуществляться масштабирование по ним в случае направления проецирования, перпендикулярного аксонометрической плоскости проекций, т. е. для прямоугольной аксонометрической проекции. На рис. 8.1 изображена пространственная система прямоугольных координат Начертательная геометрия задачи с решением а также единичные отрезки Начертательная геометрия задачи с решением на осях координат и их проекции в направлении Начертательная геометрия задачи с решением на некоторую (картинную) плоскость Начертательная геометрия задачи с решением, являющуюся аксонометрической плоскостью проекций.

Проекции Начертательная геометрия задачи с решением: отрезка Начертательная геометрия задачи с решением на соответствующих аксонометрических осях Начертательная геометрия задачи с решением в общем случае не равны отрезку в и не равны между собой.

Эти проекции являются единицами измерения по аксонометрическим осям — аксонометрическими масштабами.

Отношения: Начертательная геометрия задачи с решением называют коэффициентами искажения по аксонометрическим осям.

В частном случае положение картинной плоскости можно выбрать таким, что аксонометрические единицы — отрезки Начертательная геометрия задачи с решением — будут равны между собой или будет равна между собой пара этих отрезков.

При Начертательная геометрия задачи с решением аксонометрическую проекцию называют изометрической, искажения по всем осям в ней одинаковы. При равенстве аксонометрических единиц по двум осям, обычно при Начертательная геометрия задачи с решением, имеем диметрическую проекцию.

Отрезки Начертательная геометрия задачи с решением являются аксонометрическими проекциями отрезков Начертательная геометрия задачи с решением. Обозначим углы между осями координат и их проекциями на плоскости Начертательная геометрия задачи с решением через Начертательная геометрия задачи с решением. Тогда Начертательная геометрия задачи с решением. Эти отношения являются коэффициентами искажения, т. е. Начертательная геометрия задачи с решением Поскольку треугольники Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением прямоугольные, то сумма квадратов направляющих косинусов равна единице:

Начертательная геометрия задачи с решением

Отсюда Начертательная геометрия задачи с решением или Начертательная геометрия задачи с решением следовательно, Начертательная геометрия задачи с решением Таким образом: Начертательная геометрия задачи с решением т. е. сумма квадратов коэффициентов искажения равна 2.

Прямоугольная изометрическая проекция

Прямоугольная (ортогональная) изометрическая проекция образуется при прямоугольном проецировании предмета и его координатных осей на плоскость аксонометрических проекций, одинаково наклоненную к каждой координатной оси.

При таком проецировании все три коэффициента искажений будут равны между собой: Начертательная геометрия задачи с решением тогда Начертательная геометрия задачи с решением откуда Начертательная геометрия задачи с решением. Углы между аксонометрическими осями будут равны Начертательная геометрия задачи с решением.

При построении изометрической проекции размеры предмета, откладываемые по аксонометрическим осям, необходимо умножать на 0,82. ГОСТ 2.317-69 допускает для упрощения построений принимать коэффициенты искажений равными единице. При этом увеличение изображения предмета составляет Начертательная геометрия задачи с решением. Каждый отрезок, направленный по осям Начертательная геометрия задачи с решением или параллельно им, сохраняет свою величину.

Расположение осей изометрической проекции показано на рис. 8.2, а.

Начертательная геометрия задачи с решением

Все отрезки прямых, которые были параллельны осям Начертательная геометрия задачи с решением на комплексном чертеже, останутся параллельными соответствующим осям в изометрической проекции. На рис. 8.2, б приведена изометрическая проекция отрезка Начертательная геометрия задачи с решением, расположенного перпендикулярно профильной плоскости проекций.

На рис 8.3 показано построение эллипсов, в которые проецируются окружности, лежащие в плоскостях проекций или в плоскостях, параллельных им. Размер большой оси эллипса равен Начертательная геометрия задачи с решением малой — Начертательная геометрия задачи с решением где Начертательная геометрия задачи с решением — диаметр исходной окружности.

В учебных чертежах рекомендуется вместо эллипсов применять овалы, очерченные дугами окружностей. На этом же рисунке показано расположение осей овалов и один из способов построения овалов в прямоугольной изометрической проекции.

На рис. 8.4, а приведен чертеж цилиндра, усеченного несколькими плоскостями, и его изометрическая проекция (рис. 8.4, б), на которой показано построение точки Начертательная геометрия задачи с решением, принадлежащей одной из линий сечения.

Начертательная геометрия задачи с решением

Здесь используются все три оси координат. Сначала по оси Начертательная геометрия задачи с решением откладывается значение Начертательная геометрия задачи с решением, измеренное на горизонтальной проекции цилиндра, далее из этой точки проводится линия, параллельная оси Начертательная геометрия задачи с решением, на которой откладывается величина Начертательная геометрия задачи с решением, измеренная также на горизонтальной проекции. В конечной точке этого отрезка проводится вертикальная линия длиной Начертательная геометрия задачи с решением, измеренной на фронтальной проекции цилиндра. Аналогично находятся остальные точки сечения цилиндра в количестве, необходимом для получения качественной линии пересечения.

Начертательная геометрия задачи с решением

Прямоугольная диметрическая проекция

Прямоугольная (ортогональная) диметрическая проекция образуется при прямоугольном проецировании предмета и связанных с ним координатных осей на плоскость аксонометрических проекций, одинаково наклоненную к двум координатным осям.

Коэффициенты искажений в диметрической проекции имеют следующие значения: Начертательная геометрия задачи с решением Начертательная геометрия задачи с решением Тогда Начертательная геометрия задачи с решением

В целях упрощения построений в соответствии с ГОСТ 2.317 приведенные коэффициенты искажений по осям Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением принимают равными единице; а по оси Начертательная геометрия задачи с решением коэффициент искажения равен 0,5. Следовательно, по осям Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением или параллельно им все размеры откладывают в натуральную величину, а по оси Начертательная геометрия задачи с решением размеры уменьшают вдвое. Увеличение в этом случае составляет Начертательная геометрия задачи с решением (выражается числом 1,06 = 1 / 0,94).

Расположение осей в диметрической проекции показано на рис. 8.5. Ось Начертательная геометрия задачи с решением наклонена по отношению к горизонтальной линии под углом Начертательная геометрия задачи с решением, а ось Начертательная геометрия задачи с решением — под углом Начертательная геометрия задачи с решением.

Начертательная геометрия задачи с решением

В диметрической проекции изображения геометрических тел строят так же, как в изометрической, с учетом коэффициента искажений по оси у, вдоль которой размеры уменьшаются вдвое. Все отрезки прямых, которые были параллельны осям Начертательная геометрия задачи с решением на комплексном чертеже, останутся параллельными соответствующим осям в диметрической проекции.

На рис. 8.6 приведены окружности в диметрической проекции с указанием соответствующих значений величин осей эллипсов.

Большая ось Начертательная геометрия задачи с решением эллипсов во всех случаях равна Начертательная геометрия задачи с решением, где Начертательная геометрия задачи с решением — диаметр окружности. Малые оси Начертательная геометрия задачи с решением эллипсов, расположенных на плоскостях, параллельных плоскостям проекций Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением, равны Начертательная геометрия задачи с решением, а на плоскости, параллельной фронтальной плоскости Начертательная геометрия задачи с решением.

Косоугольная фронтальная диметрия

Если аксонометрическая проекция параллельна одной из координатных плоскостей, то изображения, лежащие в этой плоскости, на аксонометрической проекции не искажаются. При этом ортогональное проецирование недопустимо, так как координатная ось, перпендикулярная указанной координатной плоскости, изобразится точкой и изображение будет лишено наглядности. Поэтому пользуются косоугольным проецированием, при котором направление оси у выбирают так, чтобы углы между ней и осями Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением равнялись бы Начертательная геометрия задачи с решением (рис. 8.7), а показатель искажения — 0,5. Такая косоугольная аксонометрия называется фронтальной диметрией.

Начертательная геометрия задачи с решением

На рис. 8.8 показаны проекции окружностей, расположенных в плоскостях, параллельных координатным. Окружность, расположенная в плоскости Начертательная геометрия задачи с решением, проецируется на плоскость проекций без искажения, а окружности, расположенные в плоскостях, параллельных координатным плоскостям Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением, спроецируются в виде эллипсов. Эти эллипсы обычно строят по сопряженным диаметрам. Большая ось эллипсов равна Начертательная геометрия задачи с решением, а малая ось — Начертательная геометрия задачи с решением (Начертательная геометрия задачи с решением — диаметр окружности).

Задачи с решением №6

Задача №1.

Построить изометрическую проекцию точки Начертательная геометрия задачи с решением, представленной проекциями Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением (рис. 8.9, а).

Решение:

Если даны прямоугольные проекции точки, то это значит, что известны все три координаты Начертательная геометрия задачи с решением, позволяющие построить изометрическую проекцию. Построение

начинаем с изометрических осей, которые проводим под углом Начертательная геометрия задачи с решением друг к другу (рис. 8.9, б). Далее от начала координат 0 по оси Начертательная геометрия задачи с решением откладываем отрезок Начертательная геометрия задачи с решением. Из полученной точки Начертательная геометрия задачи с решением проводим прямую, параллельную оси Начертательная геометрия задачи с решением, и на ней откладываем отрезок Начертательная геометрия задачи с решением. Из точки Начертательная геометрия задачи с решением проводим прямую, параллельную оси Начертательная геометрия задачи с решением, на которой откладываем отрезок, равный координате Начертательная геометрия задачи с решением точки Начертательная геометрия задачи с решением, —Начертательная геометрия задачи с решением. Полученная точка Начертательная геометрия задачи с решением — искомая изометрическая проекция точки Начертательная геометрия задачи с решением.

Задача №2.

Построить изометрическую проекцию куба.

Решение:

Центр нижнего основания куба размещается в точке 0 пересечения изометрических осей (рис. 8.10). В направлении осей Начертательная геометрия задачи с решением откладываем расстояния, равные половине длины стороны куба Начертательная геометрия задачи с решением. Из полученных точек проводим стороны основания куба, равные полной длине Начертательная геометрия задачи с решением. Линии проводим параллельно осям. Затем из точки 0 вдоль оси Начертательная геометрия задачи с решением откладываем расстояние а и строим верхнее основание куба.

Задача №3.

По заданным проекциям построить изометрическую проекцию цилиндра и точки Начертательная геометрия задачи с решением, лежащей на его боковой поверхности (рис. 8.11).

Начертательная геометрия задачи с решением

Решение:

Проводим изометрические оси Начертательная геометрия задачи с решением и строим эллипс нижнего основания. Затем определяем центр верхнего основания цилиндра и строим второй эллипс. Оба эллипса соединяем вертикальными образующими. Для построения точки Начертательная геометрия задачи с решением отмечаем точку Начертательная геометрия задачи с решением на нижнем основании цилиндра (откладывая координаты Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением точки Начертательная геометрия задачи с решением). Затем на вертикальной образующей, проходящей из точки Начертательная геометрия задачи с решением на высоте Начертательная геометрия задачи с решением отмечаем точку Начертательная геометрия задачи с решением.

Задача №4.

Построить прямоугольную диметрическую проекцию куба со стороной, равной Начертательная геометрия задачи с решением.

Решение:

Начало координат разместим на пересечении граней куба. Нижнее основание куба размещаем в плоскости Начертательная геометрия задачи с решением (рис. 8.12). В направлении оси Начертательная геометрия задачи с решением откладываем расстояние, равное полной длине куба Начертательная геометрия задачи с решением. В направлении оси Начертательная геометрия задачи с решением откладываем расстояние, равное половине длины стороны куба Начертательная геометрия задачи с решением. Из полученных точек проводим стороны основания куба параллельно осям Начертательная геометрия задачи с решением и Начертательная геометрия задачи с решением. Затем из точки 0 вдоль оси Начертательная геометрия задачи с решением вверх откладываем расстояние а и строим верхнее основание куба аналогично нижнему. Вершины нижнего и верхнего оснований соединяем вертикальными линиями.

Начертательная геометрия задачи с решением
Начертательная геометрия задачи с решением

Задача №5.

Построить фронтальную косоугольную диметрическую проекцию шестигранника.

Решение:

Разместим основание шестиугольной призмы Начертательная геометрия задачи с решением параллельно плоскости Начертательная геометрия задачи с решением (рис. 8.13). В этом случае шестиугольник проецируется на аксонометрическую плоскость проекций без искажений. Затем из вершин шестиугольника Начертательная геометрия задачи с решением проводим прямые, параллельные оси Начертательная геометрия задачи с решением. На этих прямых откладываем отрезки, равные половине длине боковых ребер призмы. Соединив полученные точки, получаем второе основание призмы. В заключение определяем видимые и невидимые линии призмы.

Вопросы для контроля

  1. Дайте определение аксонометрической проекции.
  2. Что называется коэффициентом искажения?
  3. Какие виды аксонометрии вы знаете?
  4. Как располагаются оси прямоугольной изометрии?

Интерактивные графические системы проектирования. Основы компьютерных геометрических построений

Этапы развития систем проектирования. Зд-моделирование

Современный инженер должен быть знаком и уметь применять в своей деятельности новые технологии. В условиях динамично развивающихся систем автоматизированного проектирования знание основ трехмерного моделирования, параметризации, технологии создания чертежей в CAD-системе является необходимым для студентов, получающих высшее техническое образование.

В основе ЗЭ-моделирования заложен математический аппарат, реализованный в ядре графической системы и производящий трехмерные изображения. Математические зависимости, описывающие формирование цифровой модели реальных объектов, а также алгоритмы для расчета виртуального пространства, были разработаны еще в 1960-х годах. Со временем геометрические формы создаваемых на экране моделей усложнялись: наряду с простыми геометрическими примитивами и их комбинациями (куб, сфера, тор, различные тела, описываемые несложными алгебраическими уравнениями) появилась возможность поверхностного моделирования. При этом формируемая модель представляет собой поверхность, которая может состоять из множества полигонов (чаще всего треугольников). Развитие поверхностного моделирования стало большим шагом вперед и позволило создавать модели практически любой формы.

Стабильный рост производительности персональных компьютеров в 90-х годах прошлого века дал толчок развитию относительно недорогих приложений для трехмерного моделирования. Появление таких программных пакетов сделало 3D доступным для простых пользователей. Легкость в освоении, относительно небольшие требования к аппаратному обеспечению и широкие возможности таких систем обеспечили им быстрое распространение.

Следом за дизайном трехмерная графика проникла и в инженерное проектирование. Исторически сложилось так, что сфера промышленного проектирования жестко ограничена требованиями стандартов, которые касаются лишь плоского черчения. По этой причине переход на трехмерное моделирование в машиностроительном проектировании не был безболезненным. Однако большие возможности по созданию моделей сложных форм, легкость в проектировании и планировке, намного лучшие возможности для выявления ошибок на этапе проектирования и, самое главное, более наглядное представление объекта проектирования сделали свое дело. С середины 1990-х годов трехмерная графика стала широко применяться в инженерии.

Чертежи, выполняемые вручную карандашом на кульмане, ушли в прошлое. Точность таких чертежей невысока, времени на их изготовление затрачивается много, а редактирование невозможно. По мере совершенствования компьютерных технологий развивалась и сфера конструирования. В графических редакторах появилась возможность создавать библиотеки типовых элементов, оформлять чертежи и другую документацию в соответствии со стандартами ЕСКД.

Постепенно в промышленном проектировании стало применяться трехмерное моделирование. Кроме лучшего визуального представления проектируемых изделий, ЗD-графика на порядок повышает точность проектирования составных объектов, позволяет легко редактировать трехмерную модель. Ассоциативная связь, устанавливаемая в инженерных ЗD-системах между моделью изделия, его чертежами, а также документацией на изделие (например, спецификацией), позволяет при внесении изменений в ЗD-модель автоматически отобразить все эти изменения в других документах, связанных с моделью.

В данной лекции в рамках курса «Инженерная геометрия и графика» рассматривается применение ЗD-модслирования только для решения геометрических задач.

Материал лекции рассчитан на студентов, прошедших ознакомительные лабораторные работы в объеме 10 часов и освоивших графический редактор и приемы плоского черчения в системе КОМПАС.

В связи с ограниченностью объема данного издания рассматривается порядок построения моделей лишь простых геометрических фигур — призмы, пирамиды, цилиндра, конуса, сферы, а также моделей взаимно пересекающихся фигур. Конечной целью построений является создание чертежа, содержащего 3 проекции смоделированного объекта со всеми линиями пересечений.

Основные команды построения трехмерных моделей

Система KOMПAC-3D является наиболее приближенной к требованиям стандартов ЕСКД, изучаемых в курсе «Инженерная геометрия и графика», поэтому вопросы трехмерного моделирования далее рассматриваются на основе этой системы. Все операции по созданию и редактированию трехмерных моделей системы КОМПАС-ЗО предназначены для работы с твердыми телами.

Твердое тело — область трехмерного пространства, состоящая из однородного материала и ограниченная замкнутой поверхностью, которая сформирована из одной или нескольких граней. Любое твердое тело состоит из базовых трехмерных элементов: граней, ребер и вершин (рис. 9.1).

Контур формы тела определяется плоской фигурой, называемой эскизом, а сама форма создается путем перемещения этого эскиза в пространстве (вращение вокруг оси, выдавливание перпендикулярно плоскости эскиза, перемещение по траектории и пр.).

Начертательная геометрия задачи с решением

Эскиз — это обычное двухмерное изображение, размещенное на плоскости в трехмерном пространстве. В эскизе могут присутствовать любые графические элементы.

Последовательность построения эскиза для формообразующей операции такова:

  1. Выделяется в дереве построения плоскость, на которой планируется разместить эскиз (плоскость может быть стандартной или вспомогательной).
  2. Открывается эскиз (кнопка Начертательная геометрия задачи с решением) на панели инструментов Текущее состояние. Модель изменит ориентацию таким образом, чтобы выбранная плоскость разместилась параллельно экрану (т. е. по нормали к линии взгляда).
  3. После запуска процесса создания эскиза компактная панель инструментов изменит свой вид. На ней будут доступны панели инструментов с командами для двухмерных построений. В этом режиме создается эскиз изображения. Для завершения еще раз нажимается кнопка Эскиз.

Все команды для построения и редактирования объемной детали расположены на панели инструментов Редактирование детали (рис. 9.2).

Начертательная геометрия задачи с решением

Все трехмерные операции в КОМПАС-ЗЭ делятся на основные (формообразующие) и дополнительные. Основные операции включают команды для добавления и удаления материала детали, булевы операции. Дополнительные операции представляют собой команды для реализации конструкторских элементов на детали (фаски, скруглсния, отверстия, ребра жесткости и т. д.).

Существует три основных способа формирования трехмерных элементов:

  1. Выдавливание. Форма трехмерного элемента образуется путем смещения эскиза операции (рис. 9.3) строго по нормали к его плоскости. Эскизом может быть один замкнутый контур;
  2. Вращение. Формообразующий элемент является результатом вращения эскиза (рис. 9.4) в пространстве вокруг произвольной оси. Вращение может происходить на угол 360° или меньше. Ось вращения не должна пересекать изображение эскиза!
  3. Кинематическая операция. Поверхность элемента формируется в результате перемещения эскиза операции вдоль произвольной трехмерной кривой (рис. 9.5). Эскиз должен содержать обязательно замкнутый контур, а траектория перемещения начинаться в плоскости эскиза.
Начертательная геометрия задачи с решением

В контекстном меню (правая клавиша мыши) для каждой операции с трехмерными элементами есть несколько полезных команд:

  • Удалить — удаляет трехмерный элемент из модели и дерева построения. При удалении определенного элемента из детали его эскиз не удаляется, но удаляются все зависящие от него трехмерные элементы (операции);
  • Скрыть — управляет отображением элемента детали, выбранного в дереве построения. После выполнения данной команды элемент будет скрыт в модели;
  • Исключить из расчета — исключает из расчета выбранную операцию, вследствие чего модель перестраивается так, как будто исключенной операции вообще нет в модели.

При редактировании эскиза трехмерная операция, в которую он входит, а также все операции в модели, следующие за этой операцией в дереве построения, блокируются (становятся недоступными). Данные операции нельзя выделить, изменить до тех пор, пока не будет завершено редактирование эскиза. После выхода из режима редактирования эскиза все эти операции будут перестроены с учетом изменений в эскизе.

Построение модели призмы

Рассмотрим построение трехмерной модели призмы, часть которой отсечена несколькими плоскостями частного положения. На рис. 9.6 в качестве исходных данных приведены две проекции призмы с необходимыми размерами.

Сразу после запуска программы КОМПАС появляется окно Выбор типа создаваемого документа (рис. 9.7).
В диалоговом окне Новый документ выбирается тип файла Деталь Начертательная геометрия задачи с решением Этот документ содержит трехмерное изображение (ЗD-модель) объекта, сформированного при помощи формообразующих операций (выдавливание, вырезание, булевы операции).

Начертательная геометрия задачи с решением

Система создаст новый документ, при этом главное меню и панели инструментов будут иметь вид, представленный на рис. 9.8.

Команды, необходимые для моделирования, можно выбирать в главном меню (Системное меню — Операции на рис. 9.8) или на компактной панели инструментов под кнопкой Начертательная геометрия задачи с решением.

Расположение инструментальных панелей на рис. 9.8 дано для режима настройки «по умолчанию», т. е. как предлагают разработчики системы. Пользователь может перемещать панели в любое удобное для него место экрана, но в этом случае расположение кнопок выполняемых в дальнейшем команд не будет совпадать с приведенными в лекции примерами.

Начертательная геометрия задачи с решением

Кратко рассмотрим этапы построения модели призмы.

  1. Открыть в дереве модели Начало координат.
  2. Выбрать плоскость Начертательная геометрия задачи с решением.
  3. Перейти в режим Эскиза Начертательная геометрия задачи с решением
  4. Построить тонкой линией окружность диаметром 120 мм. Ориентацию эскиза не трогать и не менять!
  5. Построить основной линией равносторонний треугольник, вписанный в эту окружность. Окружность удалить.
  6. Выйти из режима Эскиза (повторно нажать на знак Начертательная геометрия задачи с решением).
  7. В дереве модели указать этот эскиз, выбрать команду Редактирование детали Начертательная геометрия задачи с решением и операцию Выдавливание Начертательная геометрия задачи с решением
  8. В строке Свойства задать Направление Прямое и размеры призмы: Расстояние 1 (высота): 120 мм.
  9. Завершить операцию, нажав на кнопку Начертательная геометрия задачи с решением в строке Свойства.
  10. Указать команду Ориентация Начертательная геометрия задачи с решением и установить Вид Спереди. Закрыть окно, нажав Выход.
  11. В дереве модели выбрать Плоскость Начертательная геометрия задачи с решением.
  12. Перейти в режим Эскиз Начертательная геометрия задачи с решением
  13. Открыть инструментальную панель Геометрия Начертательная геометрия задачи с решением Непрерывную линию и построить на призме контур сечения, соблюдая размеры, указанные в задании (рис. 9.9). В этом режиме деталь можно уменьшать (увеличивать) колесиком мыши, а для перемещения дополнительно нажимать клавишу Shift. Контур обязательно должен быть замкнутым.
Начертательная геометрия задачи с решением
  1. Выйти из режима Эскиз (повторно нажать на знак Начертательная геометрия задачи с решением).
  2. В дереве модели указать этот эскиз, а на панели Редактирование детали выбрать Вырезать выдавливанием (кнопка Начертательная геометрия задачи с решением).
  3. В строке Свойства указать Направление Два направления и размеры: Расстояние 1: 60 мм, Расстояние 2: 60 мм. Модель можно повернуть, наблюдая за изменениями секущих плоскостей.
  4. Завершить операцию, нажав на кнопку Начертательная геометрия задачи с решением в строке Свойства.
  5. На призме должен сформироваться вырез, соответствующий построенному контуру (рис. 9.10). Проверить правильность полученных видов, выбрав в команде Ориентация Вид Спереди (установить), Сверху (установить), Слева (установить). Выйти из команды (Выход) и сохранить модель. После того как получена модель призмы, можно перейти к автоматизированному построению чертежа, содержащему три стандартных вида призмы — спереди, сверху и слева. Для получения этого чертежа необходимо выполнить следующие команды.
  1. Выбрать в основном меню: Файл — Создать — Чертеж.
  2. Изменить формат чертежа с А4 на A3 с помощью менеджера Начертательная геометрия задачи с решением
  3. Открыть окно Виды или выбрать в меню Вставка модели — Стандартные.
  4. В открывшемся окне выбрать файл с моделью призмы и открыть его.
Начертательная геометрия задачи с решением
  1. В строке Свойства выбрать схему видов и изменить расстояние между видами с 15 мм (по умолчанию) на 50 мм по горизонтали и 25 мм по вертикали (рис. 9.11).
  2. В этой же строке Свойства нажать кнопку Линии и включить Невидимые линии и Линии переходов.
  3. Разместить виды в центре чертежа (рис. 9.12) и нажать Начертательная геометрия задачи с решением
  4. Достроить оси на всех видах. Номер вида выбирается в строке Текущее состояние Начертательная геометрия задачи с решением(обычно находится в верхней части экрана). Виды являются ассоциативно связанными и никакие изменения на них не допускаются. Можно редактировать только модель
  5. Обозначить точки на линиях пересечения на всех проекциях, подписать вершины основания призмы. Заполнить основную надпись.
Начертательная геометрия задачи с решением
Начертательная геометрия задачи с решением

Построение развертки боковой поверхности призмы

Компьютерные системы проектирования позволяют строить развертки различными способами. Здесь рассмотрим один из возможных вариантов.

  1. Построить модель призмы.
  2. Создать новый чертеж. Для этого выбрать команды Файл — Создать — Чертеж.
  3. Изменить формат чертежа с А4 на A3 с помощью менеджера документа Начертательная геометрия задачи с решением
  4. Вернуться к модели призмы.
  5. Выбрать боковую грань и построить относительно ее смещенную плоскость: Операции — Плоскости — Смещенная плоскость — Расстояние 1 мм.
  6. Завершить операцию, нажав на кнопку в строке Свойства.
  7. Указать в дереве построений эту плоскость и перейти в режим Эскиз Начертательная геометрия задачи с решением.
  8. Построить основной линией контур этой грани со всеми вырезами (рис. 9.13).
  9. Обвести контур рамкой и скопировать его в буфер, указав точку привязки на этой грани (в любом месте, потом эта точка будет использоваться для вставки на чертеже развертки).
  10. Выйти из режима Эскиз (повторно нажать на кнопку Начертательная геометрия задачи с решением).
  11. Перейти в окно с чертежом развертки и выполнить вставку скопированной грани на поле чертежа.
  12. Вернуться к модели призмы.
  13. Выбрать следующую боковую грань и построить относительно ее еще одну смещенную плоскость: Операции — Плоскости — Смещенная плоскость — Расстояние 1 мм.
  14. Завершить операцию, нажав на Начертательная геометрия задачи с решением в строке Свойства.
  15. Указать в дереве построений эту плоскость и перейти в режим Эскиз Начертательная геометрия задачи с решением
  16. Открыть инструментальную панель Геометрия Начертательная геометрия задачи с решением , выбрать Непрерывную линию и построить основной линией контур грани. В этом режиме деталь можно уменьшать или увеличивать колесиком мыши, а для перемещения необходимо дополнительно нажимать клавишу Shift.
  17. Обвести контур рамкой и скопировать его в буфер, указав точку привязки на этой грани (в любом месте).
  18. Выйти из режима Эскиз (повторно нажать на кнопку Начертательная геометрия задачи с решением).
  19. Перейти в окно с чертежом развертки и выполнить вставку скопированной грани на поле чертежа.
  20. Повторить приведенные выше операции столько раз, сколько граней на призме.
  21. На чертеже должна сформироваться развертка, содержащая столько прямоугольников, сколько боковых граней в призме (рис. 9.14).

Линии, разделяющие внутренние сгибы развертки должны иметь специальную форму — штрихпунктирные с двумя точками, как показано на рис. 9.14.

В завершении необходимо обозначить точки на линии пересечения граней плоскостями и подписать вершины основания призмы.

Построение развертки боковой поверхности любой фигуры в системах КОМПАС-ЗD версий 15 и выше возможно с помощью команд библиотеки Машиностроение (Механика) -Оборудование — Развертки Начертательная геометрия задачи с решением Эта библиотека входит в отдельный пакет MCAD, устанавливаемый вместе с системой КОМПАС.

Начертательная геометрия задачи с решением
Начертательная геометрия задачи с решением

Построение модели пирамиды, усеченной плоскостями

На рис. 9.15 представлен чертеж-задание пирамиды, усеченной плоскостями. Порядок построения модели пирамиды следующий.

  1. Выбрать Файл — Создать — Деталь.
  2. Открыть в дереве модели Начало координат и выбрать Плоскость Начертательная геометрия задачи с решением.
  3. Создать эскиз на этой плоскости, для этого нажать кнопку Начертательная геометрия задачи с решением , построить треугольник основания, вписанный в окружность диаметром 120 мм.
  4. Выйти из эскиза Начертательная геометрия задачи с решением .
  5. Выделить этот эскиз в дереве построений, включить Выдавливание Начертательная геометрия задачи с решением и выдавить треугольник на высоту 120 мм. Направление Прямое. Расстояние 1: 120 мм. Угол внутрь: 14-15°. Угол может быть другой, надо следить за вершиной, чтобы получить одну точку (рис. 9.16).
  6. В верхнем меню Ориентация выбрать Вид Спереди (нажать Установить и Выход).
  7. В дереве модели выбрать плоскость Начертательная геометрия задачи с решением.
  8. Включить Эскиз Начертательная геометрия задачи с решением и на этой плоскости построить контур сечения пирамиды плоскостями (по заданным размерам). Контур строить Непрерывной линией. Линия контура должна быть замкнутой (рис. 9.17).
  9. Выйти из эскиза Начертательная геометрия задачи с решением
  10. Выбрать этот эскиз в дереве модели и указать операцию. Вырезать выдавливанием Начертательная геометрия задачи с решением
  11. Для выдавливания выбрать Два направления, расстояния примерно 30 мм. Завершить операцию, нажав Начертательная геометрия задачи с решением на строке Свойства.
  12. Проверить соответствие видов: в меню Ориентация выбрать Вид Сверху (установить), Слева (установить).
  13. Сохранить модель.

Теперь создадим чертеж построенной модели. Для этого следует выполнить следующие действия.

  1. Выбрать в основном меню: Файл — Создать — Чертеж. Установить формат чертежа A3.
  2. Выбрать Вставка — Вид — Вид с модели — Стандартные. В открывшемся окне выбрать файл модели пирамиды и открыть его.
  3. Графический редактор КОМПАС-ЗD предложит стандартную схему построения чертежа из 3 видов: Спереди, Сверху и Слева. Изменять схему не нужно, надо только расширить расстояние между проекциями: в строке Свойства (в нижней части экрана) выбрать кнопку Схема и задать расстояния по горизонтали 50 мм, а по вертикали 25 мм.
  4. Выбрать отрисовку невидимых линий: для этого на панели свойств открыть вкладку Линии и включить Невидимые. Завершить построение, нажав Начертательная геометрия задачи с решением. Начертить оси.
  5. Обозначить вершины пирамиды, точки на линии сечения на всех проекциях.
  6. Заполнить основную надпись и сохранить чертеж.
  7. Распечатать чертеж, используя масштаб 99 (режим Обрезать по размеру страницы).
Начертательная геометрия задачи с решением

Построение модели цилиндра, пересеченного плоскостями

На рис. 9.18 приведен чертеж-задание для построения модели цилиндра. Процедура построения модели цилиндра состоит из следующих этапов.

Начертательная геометрия задачи с решением
  1. Выбрать в основном меню: Файл — Создать — Деталь.
  2. Открыть в дереве модели Начало координат.
  3. Выбрать плоскость Начертательная геометрия задачи с решением.
  4. Перейти в режим Эскиз Начертательная геометрия задачи с решением
  5. Построить окружность диаметром 120 мм. Ориентацию не трогать и не менять!
  6. Выйти из режима Эскиз (нажать на кнопку Начертательная геометрия задачи с решением).
  7. В дереве модели указать этот эскиз, затем выбрать команду Редактирование детали Начертательная геометрия задачи с решением и Выдавливание Начертательная геометрия задачи с решением.
  8. В строке Свойства задать Направление Прямое и размеры цилиндра: Расстояние 1 (высота): 120 мм.
  9. Завершить операцию, нажав на Начертательная геометрия задачи с решением в строке Свойства.
  10. Указать команду Ориентация Начертательная геометрия задачи с решением и установить Вид Спереди. Закрыть окно, нажав Выход.
  11. В дереве модели выбрать плоскость Начертательная геометрия задачи с решением.
  12. Перейти в режим Эскиз Начертательная геометрия задачи с решением
  13. Открыть инструментальную панель Геометрия Начертательная геометрия задачи с решением и построить на цилиндре контур сечения, соблюдая размеры, указанные в задании (рис. 9.19). В этом режиме деталь можно уменьшать или увеличивать колесиком мыши, а для перемещения дополнительно нажимать клавишу Shift. Контур обязательно должен быть замкнутым.
  14. Выйти из режима Эскиз (нажать на знакНачертательная геометрия задачи с решением).
  15. На панели Редактирование детали выбрать команду Вырезать выдавливанием (кнопка 1Mb). В дереве модели указать последний эскиз.
  16. В строке свойств указать Направление Два направления, Расстояние 1: 60 мм и Расстояние 2: 60 мм. Модель можно повернуть, рассматривая вырез со всех сторон. Рис. 9.19
  17. Завершить операцию, нажав Начертательная геометрия задачи с решением.
  18. На цилиндре должен сформироваться вырез, соответствующий заданному контуру (рис. 9.20). Проверить правильность полученных видов, выбрав в команде Ориентация Вид Спереди (установить), Сверху (установить), Слева (установить). Выйти из команды (Выход) и сохранить модель.
Начертательная геометрия задачи с решением
Начертательная геометрия задачи с решением

После того как построена модель цилиндра, можно приступить к формированию чертежа, содержащего 3 стандартных вида объекта.

  1. Выбрать в основном меню: Файл — Создать — Чертеж. Изменить формат чертежа с А4 на A3 с помощью менеджера документа Начертательная геометрия задачи с решением
  2. Открыть окно Виды или выбрать в меню Вставка — Вид — Вид с мо-дели — Стандартные.
  3. В открывшемся окне выбрать файл с моделью цилиндра и открыть его.
  4. В строке свойств выбрать схему видов и изменить расстояние между видами с 15 мм (по умолчанию) на 50 мм по горизонтали и 25 мм по вертикали.
  5. В этой же строке свойств нажать кнопку Линии и включить Невидимые линии и Линии переходов.
  6. Расставить виды на поле чертежа и нажать Начертательная геометрия задачи с решением.
  7. Достроить оси на каждом виде и обозначить точки на линиях пересечения на всех проекциях. Номер вида выбирается из строки Текущее состояние. Виды являются ассоциативно связанными и никакие изменения на видах не допускаются. Можно редактировать только модель.

Построение трехмерной модели конуса с горизонтальным и вертикальным отверстиями

Большинство реальных технических деталей имеет форму в виде взаимно пересекающихся геометрических тел — конических, призматических, цилиндрических и др. Построению таких тел посвящено много задач дисциплины «Инженерная геометрия и графика». Здесь рассмотрим один из способов построения подобных тел на примере модели усеченного конуса с двумя взаимно перпендикулярными сквозными отверстиями (рис. 9.21).

Процедура построений следующая.

  1. Выбрать в основном меню: Файл — Создать — Деталь.
  2. Открыть в дереве модели Начало координат и выбрать плоскость Начертательная геометрия задачи с решением.
  3. Перейти в режим Эскиз Начертательная геометрия задачи с решением
  4. Построить окружность диаметром 110 мм. Ориентацию не трогать и не менять!
  5. Выйти из режима Эскиз (повторно нажать кнопку Начертательная геометрия задачи с решением).
  6. В дереве модели указать этот эскиз, выбрать команду Редактирование детали Начертательная геометрия задачи с решением и Выдавливание Начертательная геометрия задачи с решением
  7. В строке Свойства задать Направление Прямое и размеры конуса: Расстояние 1 (высота): 120 мм, Уклон внутрь: 12°. Рис. 9.21
  8. Завершить операцию, нажав на Начертательная геометрия задачи с решением в строке свойств.

9-1. Проверить полученное верхнее основание конуса (оно должно иметь диаметр 60 мм). Для этого построить смещенную плоскость относительно плоскости Начертательная геометрия задачи с решением на расстоянии 120 мм. На этой плоскости построить эскиз Начертательная геометрия задачи с решением, содержащий окружность диаметром 60 мм.

9-2. Выйти из эскиза, нажав Начертательная геометрия задачи с решением

9-3. При необходимости изменить диаметр верхнего основания конуса, подвести курсор в дереве модели к ранее выполненной операции выдавливания — Операция выдавливания: 1, нажать правую кнопку мыши, выбрать в контексном меню команду Редактировать и изменить угол выдаваливания, чтобы диаметр основания соответствовал диаметру окружности на смещенной плоскости.

9-4. Завершить операцию, нажав на Начертательная геометрия задачи с решением в строке свойств.

  1. Указать команду Ориентация Начертательная геометрия задачи с решением и установить Вид Спереди. Закрыть окно, нажав Выход.
  2. В дереве модели выбрать плоскость Начертательная геометрия задачи с решением.
    содержащий окружность диаметром 60 мм.
  3. Перейти в режим Эскиз (нажать кнопку Начертательная геометрия задачи с решением).
  4. Открыть инструментальную панель Геометрия Начертательная геометрия задачи с решением построить на этой плоскости окружность диаметром 70 мм (рис. 9.22).
  5. Выйти из режима Эскиза (нажать кнопку Начертательная геометрия задачи с решением).
  6. На панели Редактирование детали выбрать Вырезать выдавливанием (кнопка Начертательная геометрия задачи с решением).
  7. В строке свойств указать Направление Два направления, Расстояние 1: 70 мм и Расстояние 2: 70 мм. Модель можно повернуть, наблюдая за линией пересечения.
  8. Завершить операцию, нажав на Начертательная геометрия задачи с решением в строке свойств.
Начертательная геометрия задачи с решением
Начертательная геометрия задачи с решением
Начертательная геометрия задачи с решением
  1. На конусе образуется сквозное горизонтальное отверстие.
  2. Осталось построить сквозное вертикальное отверстие. Для этого выбрать построенную ранее смещенную плоскость относительно основания на 120 мм. На этой плоскости в режиме эскиза построить окружность диаметром 50 мм (рис. 9.23).
  3. Выйти из эскиза и вырезать выдавливанием Начертательная геометрия задачи с решением сквозное вертикальное отверстие в конусе.
  4. Завершить операцию, нажав на Начертательная геометрия задачи с решением в строке свойств.
  5. Проверить правильность полученных видов, выбрав команду Ориентация и Вид Спереди (установить), Сверху (установить), Слева (установить).
  6. Выйти из команды (Выход) и сохранить модель.

Создание чертежа из модели конуса

  1. Выбрать в основном меню: Файл — Создать — Чертеж.
  2. Изменить формат чертежа с А4 на A3 с помощью менеджера документа.
  3. Открыть окно Виды или выбрать в меню Вставка — Вид — Вид с модели — Стандартные.
  4. В открывшемся окне выбрать файл с моделью конуса и открыть его.
  5. В строке свойств выбрать Схему видов и изменить расстояние между видами с 15 мм (по умолчанию) на 50 мм по горизонтали и 25 мм по вертикали.
  6. В этой же строке свойств нажать кнопку Линии и включить Невидимые линии и Линии переходов.
  7. Расставить виды на поле чертежа и нажать Начертательная геометрия задачи с решением.
  8. Достроить оси на каждом виде и обозначить точки на линиях пересечения на всех проекциях. Виды являются ассоциативно связанными и никакие изменения на видах не допускаются. Можно редактировать только трехмерную модель.
  9. Заполнить основную надпись.

Вопросы для контроля

  1. Какую роль выполняет эскиз при построении трехмерных моделей?
  2. На какой плоскости располагается эскиз?
  3. Перечислите основные команды создания объемных моделей и их свойства.
  4. Из каких геометрических элементов можно построить сферу? Какие операции используются для построения сферы?

Готовые задачи с решением по начертательной геометрии

Начертательная геометрия представляет собой раздел геометрии, занимающийся изучением форм предметов реального мира и абстрактных закономерностей с использованием «плоских эквивалентов многомерного пространства»- чертежей.

Если что-то непонятно — вы всегда можете написать мне в WhatsApp и я вам помогу!

Начертательная геометрия является одной из базовых учебных дисциплин в вузах и колледжах России. Однако методы ее преподавания и изучения до сих пор практически не претерпели изменений: те же лекции с традиционной линейкой, те же практические занятия с заготовками для задач в рабочих тетрадях, все те же ветшающие в библиотеках старые учебники, которых все более и более не хватает.

В этой связи содержание начертательной геометрии можно свести к следующим двум основным вопросам:

  • разработке способов построения изображений (чертежей) пространственных фигур на двумерной плоскости;
  • изучению способов решения и исследования пространственных задач при помощи «плоских эквивалентов» (чертежей).

Начертательная геометрия является одной из базовых учебных дисциплин в вузах и колледжах России. Однако методы ее преподавания и изучения до сих пор практически не претерпели изменений: те же лекции с традиционной линейкой, те же практические занятия с заготовками для задач в рабочих тетрадях, все те же ветшающие в библиотеках старые учебники, которых все более и более не хватает.

Построение проекции плоского контура по заданному условию

Задача №1.

Построить проекции плоского контура по заданному условию. Задача имеет два варианта условий.

Варианты 1-15: построить фронтальную и горизонтальную проекции ромба Задачи по начертательной геометрии с диагоналями Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии по заданному условию: вершина ромба, точка Задачи по начертательной геометрии, дана, а диагональ Задачи по начертательной геометрии лежит на заданной прямой уровня Задачи по начертательной геометрии вторая диагональ ромба Задачи по начертательной геометрии равна 130 мм и проходит через заданную точку Задачи по начертательной геометрии. Диагональ ромба Задачи по начертательной геометрии определяется построениями. Определить углы наклона диагонали ромба Задачи по начертательной геометрии к плоскостям проекций Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии.

Варианты 16-30: построить проекции квадрата Задачи по начертательной геометрии с диагоналями Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии но заданному условию: вершина квадрата, точка Задачи по начертательной геометрии, дана, а диагональ Задачи по начертательной геометрии лежит на заданной прямой Задачи по начертательной геометрии; вторая диагональ квадрата проходит через заданную точку Задачи по начертательной геометрии. Диагонали квадрата определяются построениями. Определить углы наклона диагонали квадрата Задачи по начертательной геометрии к плоскостям проекций Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии.

Данные всех вариантов представлены координатами Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии точек Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии в табл. 4.1.

На образце показан пример решения задачи 1 по условию вариантов 1-15, т.е. построены проекции ромба Задачи по начертательной геометрии.

Для решения задачи рассмотрим ромб как геометрическую фигуру: диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения (точка Задачи по начертательной геометрии) делятся пополам.

Задачи по начертательной геометрии

По заданным в табл. 4.1 координатам точек построить на левой половине листа 1 графическое условие задачи: проекции фронтальной прямой уровня Задачи по начертательной геометрии и проекции точки Задачи по начертательной геометрии. В левом верхнем углу выполнить таблицу с координатами точек своего варианта.

План графических действий для решения задачи 1 :

1-е действие. Построить фронтальную и горизонтальную проекции прямой общего положения Задачи по начертательной геометрии, проходящей через точку Задачи по начертательной геометрии, на которой будет лежать диагональ ромба Задачи по начертательной геометрии:

  • фронтальная проекция Задачи по начертательной геометрии этой прямой перпендикулярна фронтальной проекции Задачи по начертательной геометрии прямой уровня Задачи по начертательной геометрии (в соответствии с теоремой о проекции прямого угла) и проходит через фронтальную проекцию Задачи по начертательной геометрии точки Задачи по начертательной геометрии;

-фронтальная проекция Задачи по начертательной геометрии точки пересечения диагоналей ромба определяется на пересечении фронтальных проекций заданной прямой уровня Задачи по начертательной геометрии и построенной прямой Задачи по начертательной геометрии, а ее горизонтальная Задачи по начертательной геометрии проекция построена по линии связи на проекции Задачи по начертательной геометрии прямой Задачи по начертательной геометрии;

горизонтальная проекция прямой Задачи по начертательной геометрии проходит через горизонтальные проекции точек Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии.

2-е действие. Построить на прямой общего положения Задачи по начертательной геометрии проекции отрезка Задачи по начертательной геометрии (половина второй диагонали ромба Задачи по начертательной геометрии, построение см. на рис. 4.11 и 4.12), т.е. построить проекции вершины Задачи по начертательной геометрии ромба.

3-е действие. Построить проекции вершин ромба Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии. отложив на диагоналях от точки Задачи по начертательной геометрии отрезки, равные построенным проекциям половин диагоналей Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии.

4-е действие. Достроить проекции ромба Задачи по начертательной геометрии, соединив прямыми линиями построенные проекции его вершин.

5-е действие. Определить углы наклона половины диагонали ромба — отрезка Задачи по начертательной геометрии к плоскостям проекций Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии: построить натуральную величину отрезка Задачи по начертательной геометрии способом прямоугольного треугольника относительно горизонтальной Задачи по начертательной геометрии проекции этого отрезка и определить искомые углы:

-угол Задачи по начертательной геометрии наклона отрезка Задачи по начертательной геометрии к плоскости проекций Задачи по начертательной геометрии определяется между проекцией Задачи по начертательной геометрии половины диагонали и гипотенузой Задачи по начертательной геометрии построенного прямоугольного треугольника Задачи по начертательной геометрии;

  • угол Задачи по начертательной геометрии наклона отрезка Задачи по начертательной геометрии к плоскости проекций Задачи по начертательной геометрии определяется между проекцией Задачи по начертательной геометрии половины диагонали и гипотенузой Задачи по начертательной геометрии построенного относительно горизонтальной проекции Задачи по начертательной геометрии прямоугольного треугольника Задачи по начертательной геометрии.

Построение фронтальной и горизонтальной проекции линии пересечения двух плоскостей общего положения

Задача №2.

Построить фронтальную и горизонтальную проекции линии пересечения двух плоскостей общего положения. Задача имеет два варианта графических условий.

Варианты 1-15: построить проекции линии пересечения двух плоскостей общего положения Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии, заданных треугольными отсеками.

Варианты 16-30: построить проекции линии пересечения треугольника Задачи по начертательной геометрии и параллелограмма Задачи по начертательной геометрии, предварительно достроив проекции вершины Задачи по начертательной геометрии параллелограмма.

Данные всех вариантов представлены координатами Задачи по начертательной геометрии, точек Задачи по начертательной геометрии Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии в табл. 4.2.

На образце дан пример решении задачи 2 но графическому условию вариантов 1-15.

Поскольку проекции заданных плоскостей общего положения Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии на чертеже накладываются, то для построения линии их пересечения используем графический алгоритм построения точки пересечения прямой общего положения с плоскостью общею положения, изложенный выше (см. описания к рис. 4.37 и 4.38). Графические действия алгоритма следует выполнить дважды, гак как прямая пересечения плоскостей проходит через две общие точки.

План графических действий для решения задачи 2:

Построить точку Задачи по начертательной геометрии пересечения прямой Задачи по начертательной геометрии с плоскостью Задачи по начертательной геометрии:

1-е действие. Заключить прямую Задачи по начертательной геометрии (сторону треугольника Задачи по начертательной геометрии) во вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость Задачи по начертательной геометрии и обозначить ее фронтальный след Задачи по начертательной геометрии.

2-е действие. Построить проекции линии пересечения Задачи по начертательной геометрии вспомогательной плоскости Задачи по начертательной геометрии с другим треугольником Задачи по начертательной геометрии.

3-е действие. Определить проекции точки пересечения Задачи по начертательной геометрии стороны Задачи по начертательной геометрии с плоскостью Задачи по начертательной геометрии, продлив горизонтальную проекцию построенной вспомогательной линии Задачи по начертательной геометрии до пересечения с горизонтальной Задачи по начертательной геометрии проекцией стороны Задачи по начертательной геометрии.

II. Повторить графические действия алгоритма и построить проекции второй точки Задачи по начертательной геометрии пересечения прямой Задачи по начертательной геометрии с плоскостью Задачи по начертательной геометрии, заключив ее во вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость Задачи по начертательной геометрии. и обозначить ее горизонтальный след Задачи по начертательной геометрии; соединить прямыми одноименные проекции построенных точек (в пределах треугольников можно рассматривать линию Задачи по начертательной геометрии).

4-е действие. Определить относительную видимость плоскостей Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии. рассмотрев две пары конкурирующих точек: точки 1-5 для определения видимости на фронтальной проекции и точки 3-6 для определения видимости на горизонтальной проекции.

!!! Внимание! К листу 1 выполнить приложение, изложив на листах писчей бумаги планы решения задач 1 и 2.

Для решения задач 3 и 4 следует усвоить материал начертательной геометрии по теме.

Тема 2:

  • перпендикулярность прямой и плоскости;
  • теорема о проекции прямого угла (см. рис. 4.17, 4.18. 4.19 — повторить);
  • перпендикулярность плоскостей.

Перпендикулярности прямой и плоскости

Решение задач на тему перпендикулярности прямой и плоскости основано на двух теоремах геометрии:

1-я теорема: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

2-я теорема: о проекции прямого угла (изложена выше — см. рис. 4.17, 4.18 и 4.19 к листу 1) — если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая ей не перпендикулярна, то на эту плоскость проекций угол проецируется прямым.

Из этих двух теорем следует, что на чертеже проекции перпендикуляра к плоскости можно провести только к проекциям фронтали и горизонтали, то есть к двум пересекающимся прямым уровня, которые можно провести в плоскости.

!!! Запомните:

  • фронтальная проекция Задачи по начертательной геометрии перпендикулярной прямой к плоскости перпендикулярна к фронтальной проекции Задачи по начертательной геометрии фронтали этой плоскости — Задачи по начертательной геометрии;
  • горизонтальная проекция Задачи по начертательной геометрии перпендикулярной прямой к плоскости перпендикулярна к горизонтальной проекции Задачи по начертательной геометриигоризонтали этой плоскости — Задачи по начертательной геометрии

Задачи на тему перпендикулярности прямой и плоскости можно разделить натри группы:

1-я группа. Провести от точки, лежащей в плоскости, перпендикуляр в пространство.

2-я группа. Провести из точки, не лежащей в плоскости, перпендикуляр к этой плоскости.

3-я группа. Построить плоскость, перпендикулярную к прямой общего положения (построить геометрическое место точек — ГМТ).

Задачи по начертательной геометрии

Первая группа задач требует по условию проведения перпендикуляра от плоскости (восстановить перпендикуляр) в пространство (рис. 4.39).

В этой группе задач требуется, как правило, построить на проведенном перпендикуляре проекции отрезка заданной величины Графические действия по построению проекций отрезка заданной величины на проекциях прямой общего положения изложены ранее (см. рис. 4.12 к листу 1).

На рис. 4.39 показано решение примерной задачи первой группы: построить плоскость Задачи по начертательной геометрии параллельную заданной плоскости Задачи по начертательной геометрии, на расстоянии 15 мм.

Эта задача относится к первой группе, поскольку для построения параллельной плоскости Задачи по начертательной геометрии нужно предварительно построить произвольную точку на расстоянии 15 мм от заданной плоскости Задачи по начертательной геометрии, то есть из произвольной точки плоскости провести перпендикуляр в пространство.

Для решения задачи требуется выполнить следующий графический алгоритм :

1-е действие. Провести в заданной плоскости общего положения Задачи по начертательной геометрии проекции фронтали Задачи по начертательной геометрии и горизонтали Задачи по начертательной геометрии:

  • Задачи по начертательной геометрии — построить по вспомогательной точке 1;
  • Задачи по начертательной геометрии — построить по вспомогательной точке 2.

2-е действие. Провести от точки плоскости, например, от вершины Задачи по начертательной геометрии в пространство проекции перпендикуляра Задачи по начертательной геометрии:

  • фронтальную проекцию Задачи по начертательной геометрии перпендикулярно Задачи по начертательной геометрии;
  • горизонтальную проекцию Задачи по начертательной геометрии перпендикулярно Задачи по начертательной геометрии.

3-е действие. На проекциях перпендикуляра Задачи по начертательной геометрии построить проекции отрезка заданной величины 15 мм. для чего выполнить следующие графические действия:

  1. Ограничить построенную прямую Задачи по начертательной геометрии произвольным отрезком Задачи по начертательной геометрии.
  2. Построить натуральную величину этого отрезка (см. рис. 4.11) способом прямоугольного треугольника — это гипотенуза Задачи по начертательной геометрии.
  3. На построенной гипотенузе отложить заданную величину Задачи по начертательной геометрии и построить проекции отрезка Задачи по начертательной геометрии заданной величины (см. построения), т.е. проекции точки Задачи по начертательной геометрии, находящейся на расстоянии 15 мм от плоскости Задачи по начертательной геометрии.

4-е действие. Построить плоскость Задачи по начертательной геометрии, параллельную заданной плоскости Задачи по начертательной геометрии, проведя через проекции точку Задачи по начертательной геометрии две пересекающиеся прямые Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии, соответственно параллельные двум пересекающимся прямым Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии плоскости Задачи по начертательной геометрии:

  • Задачи по начертательной геометрии;
  • Задачи по начертательной геометрии, то есть Задачи по начертательной геометрии.

К первой группе относится задача 3 графической работы № 2.

Вторая группа задач требует по условию проведения перпендикуляра из точки в пространстве к плоскости (опустить перпендикуляр). В этой группе задач, как правило, требуется построить точку пересечения построенного перпендикуляра с заданной плоскостью.

Построение точки пересечения прямой общего положения с плоскостью общего положения было рассмотрено выше (см. рис. 4.37).

На рис. 4.40 показано решение примерной задачи второй группы: определить расстояние от точки Задачи по начертательной геометрии до заданной плоскости Задачи по начертательной геометрии.

Эта задача относится ко второй группе, так как расстояние от точки Задачи по начертательной геометрии до заданной плоскости Задачи по начертательной геометрии определяется величиной перпендикуляра, проведенного из точки к плоскости.

Для решения задачи требуется выполнить следующий графический алгоритм:

1-е действие. Провести в плоскости фронталь Задачи по начертательной геометрии и горизонталь Задачи по начертательной геометрии.

2-е действие. Провести через заданную точку Задачи по начертательной геометрии проекции перпендикуляра Задачи по начертательной геометрии к плоскости Задачи по начертательной геометрии:

Задачи по начертательной геометрии перпендикулярноЗадачи по начертательной геометрии;

Задачи по начертательной геометрии перпендикулярно Задачи по начертательной геометрии.

Задачи по начертательной геометрии

3-е действие. Построить точку пересечения Задачи по начертательной геометрии перпендикуляра Задачи по начертательной геометрии с заданной плоскостью общего положения Задачи по начертательной геометрии. выполнив промежуточный графический алгоритм:

  1. Заключить прямую Задачи по начертательной геометрии во вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость Задачи по начертательной геометрии
  2. Построить вспомогательную линию пересечения 3-4 заданной плоскости Задачи по начертательной геометрии со вспомогательной плоскостью Задачи по начертательной геометрии:
  • Задачи по начертательной геометрии — определяется на следе Задачи по начертательной геометрии;
  • Задачи по начертательной геометрии — строится по принадлежности точек 3 и 4 сторонам Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии треугольника Задачи по начертательной геометрии.
  1. Определить проекции искомой точки пересечения Задачи по начертательной геометрии на пересечении проекций построенной вспомогательной линии пересечения 3-4 с проекциями перпендикуляра Задачи по начертательной геометрии.

4-е действие. Построить натуральную величину отрезка Задачи по начертательной геометрии способом прямоугольного треугольника, то есть определить расстояние от точки Задачи по начертательной геометрии до плоскости Задачи по начертательной геометрии.

Ко второй группе относится задача 4 графической работы № 2.

Третья группа задач требует по условию построения некоторой вспомогательной плоскости (геометрического места точек), перпендикулярной к прямой общего положения. Эту перпендикулярную плоскость можно задать двумя пересекающимися прямыми, каждая из которых должна быть перпендикулярна прямой общего положения (теорема о перпендикулярности прямой и плоскости, т.е. признак перпендикулярности прямой и плоскости). На чертеже плоскость, перпендикулярную к прямой общего положения, можно задать только проекциями пересекающихся прямых уровня — фронтальной (параллельной плоскости проекций Задачи по начертательной геометрии и горизонтальной (параллельной плоскости Задачи по начертательной геометрии), что соответствует теореме о проекции прямого угла. В задачах этой группы, как правило, требуется по условию определить точку пересечения заданной прямой со вспомогательной перпендикулярной плоскостью.

Па рис. 4.41 показано решение примерной задачи третьей группы: определить расстояние от точки Задачи по начертательной геометрии до прямой общего положения Задачи по начертательной геометрии.

Эта задача относится к третьей группе, поскольку на чертеже провести перпендикуляр к прямой общего положения, но которому определяется расстояние от точки Задачи по начертательной геометрии до заданной прямой Задачи по начертательной геометрии. нельзя (прямой угол в этом случае не проецируется

Задачи по начертательной геометрии

прямым). Следовательно, для решения нужно построить вспомогательную плоскость Задачи по начертательной геометрии, перпендикулярную к заданной прямой, которая будет геометрическим местом всех перпендикуляров к этой прямой.

Для решения задачи требуется выполнить следующий графический алгоритм:

1-е действие. Построить вспомогательную плоскость Задачи по начертательной геометрии, перпендикулярную заданной прямой Задачи по начертательной геометрии, задав ее двумя пересекающимися прямыми уровня Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии:

  • горизонтальной прямой Задачи по начертательной геометрии;
  • фронтальной прямой Задачи по начертательной геометрии.

2-е действие. Построить точкуЗадачи по начертательной геометриипересечения заданной прямой Задачи по начертательной геометрии со вспомогательной плоскостью Задачи по начертательной геометрии по алгоритму построения точки пересечения прямой общего положения с плоскостью общего положения (см. рис. 4.40).

3-е действие. Соединить одноименные проекции точек Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии: полученный отрезок общего положения Задачи по начертательной геометрии и есть расстояние от точки до прямой, искаженное на проекциях по величине.

4-е действие. Построить натуральную величину построенного отрезка Задачи по начертательной геометрии способом прямоугольного треугольника (см. рис. 4.40).

Образец выполнения листа 2 с задачами 3 и 4 показан на рис. 4 42, а и б. Задачи выполнить на формате A3 чертежной бумаги

Задача №3. выполняется на левой половине поля чертежа.

По заданному условию своего варианта построить графическое условие задачи: фронтальную и горизонтальную проекции плоскости общего положения Задачи по начертательной геометрии — основания прямой призмы (рассматривается решение задачи по условию вариантов 1-15).

Рассмотрим прямую правильную призму. Из геометрии известно: ребра и основания у любой призмы равны и параллельны, ау прямой призмы -ребра перпендикулярны основанию.

План графических действий решения задачи:

1-е действие. Провести в плоскости Задачи по начертательной геометрии проекции фронтали Задачи по начертательной геометрии и горизонтали Задачи по начертательной геометрии.

2-е действие. Провести проекции перпендикуляраЗадачи по начертательной геометрии из вершины Задачи по начертательной геометрии плоскости основания в пространство, т.е. построить направление ребер призмы.

3-е действие. Построить на перпендикуляре Задачи по начертательной геометрии проекции отрезка Задачи по начертательной геометрии заданной величины 65 мм, т.е. проекции ребра призмы.

4-е действие. Провести из вершин основания Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии прямые, параллельные и равные построенному отрезку Задачи по начертательной геометрии. и достроить второе основание призмы.

5-е действие. Определить относительную видимость граней призмы на ее проекциях по конкурирующим точкам.

Задача №4. выполняется на правой половине поля чертежа.

По заданному условию своего варианта построить графическое условие задачи: фронтальные и горизонтальные проекции плоскости общего положения Задачи по начертательной геометрии и отрезка общего положения Задачи по начертательной геометрии (рассматривается решение задачи по условию вариантов 16-30).

Задачи по начертательной геометрии

Заданная плоскость общего положения Задачи по начертательной геометрии по условию задачи является плоскостью проекций, и проецирующие лучи из концов отрезка Задачи по начертательной геометрии должны быть перпендикулярны этой плоскости.

План графических действий для решения задачи:

1-е действие. Провести в заданной плоскости Задачи по начертательной геометрии фронталь Задачи по начертательной геометрии и горизонталь Задачи по начертательной геометрии.

2-е действие. Провести проекции перпендикуляров (проецирующих лучей) из конечных точек Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии отрезка к плоскости Задачи по начертательной геометрии.

3-е действие. Построить точки Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии пересечения перпендикуляров-лучей с плоскостью проекций Задачи по начертательной геометрии, полученные проекции отрезка Задачи по начертательной геометрии, лежащего в плоскости проекций Задачи по начертательной геометрии, и есть прямоугольная проекция отрезка Задачи по начертательной геометрии на эту его плоскость.

!!! Внимание. К листу 2 выполнить приложение, изложив на листах писчей бумаги планы решения задач 3 и 4.

Задача №5. Задача имеет два варианта графических условий.

Варианты 1-15. Построить проекции центра окружности, описанной вокруг плоскости общего положения, заданной треугольником Задачи по начертательной геометрии, способом замены плоскостей проекций.

Варианты 16-30. Построить проекции центра сферы, вписанной в плоский угол Задачи по начертательной геометрии, способом -замены плоскостей проекций.

Задача №6. Задача имеет два варианта графических условий.

Варианты 1-15. Построить натуральную величину заданного треугольника Задачи по начертательной геометрии (из задачи 5) способом вращения вокруг линии уровня — фронтали или горизонтали (линия уровня указана для каждого варианта в табл. 4.4).

Варианты 16-30. Построить натуральную величину заданного угла Задачи по начертательной геометрии (из задачи 5) способом вращения вокруг линии уровня (указана для каждого варианта в табл. 4.4).

Данные всех вариантов представлены координатами Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии точек Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии в табл. 4.4.

Задачи по начертательной геометрии
Задачи по начертательной геометрии

Задание прямых линий и плоскостей в частных положениях относительно плоскостей проекций

Задание прямых линии и плоскостей в частных положениях относительно плоскостей проекций значительно упрощает построения и решение различных задач. Существует несколько способов преобразования чертежа, которые позволяют переходить от общих положений геометрических элементов в условиях задач к частным. Рассмотрим эти способы.

I. Способ замены (перемены) плоскостей проекции:

Способ замены плоскостей проекций даст возможность изменить общие положения прямых и плоскостей относительно плоскостей проекций Н или V на частные положения введением дополнительных плоскостей проекций.

Сущность способа:

  • положение предмета в пространстве не меняется, а изменяется положение плоскостей проекций относительно этого предмета так. чтобы в дополнительной системе плоскостей проекций предмет занял частное положение (проецирующее или положение уровня), удобное для решения задачи;
  • проецирование предмета на дополнительные плоскости проекций выполняется по методу Г. Монжа — методу параллельного прямоугольного проецирования на взаимно перпендикулярные плоскости, то есть сохраняется взаимная перпендикулярность основных и дополнительных плоскостей проекций.

На рис. 4.43 изображена наглядная картина построения фронтальной проекции отрезка Задачи по начертательной геометрии на дополнительную плоскость проекций Задачи по начертательной геометрии.

Образована дополнительная система перпендикулярных плоскостей проекций Задачи по начертательной геометрии с новой осью проекции Задачи по начертательной геометрии. Обратите внимание, что координаты Задачи по начертательной геометрии фронтальных проекций Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии конечных точек отрезка на дополнительной плоскости Задачи по начертательной геометрии равны координатам Задачи по начертательной геометрии фронтальных проекций Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии точек в заданной системе Задачи по начертательной геометрии. Для получения чертежа дополнительную плоскость Задачи по начертательной геометрии поворачивают вокруг новой оси проекций Задачи по начертательной геометрии до совмещения с плоскостью проекций Задачи по начертательной геометрии.

Задачи по начертательной геометрии

На рис. 4.44 показан чертеж (эпюр) произвольного преобразования отрезка Задачи по начертательной геометрии общего положения двумя последовательными заменами плоскостей проекций, для чего выполнены следующие графические действия:

I замена.

1-е действие. Введена первая дополнительная система Задачи по начертательной геометрии, ось проекций Задачи по начертательной геометрии которой расположена произвольно на поле чертежа.

2-е действие. Построена в дополнительной плоскости проекций Задачи по начертательной геометрии фронтальная проекция Задачи по начертательной геометрии отрезка Задачи по начертательной геометрии:

  • проведены линии связи от горизонтальных Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии проекций конечных точек отрезка, перпендикулярные оси проекций Задачи по начертательной геометрии
  • от оси проекций Задачи по начертательной геометрии отложены координаты Задачи по начертательной геометрии, равные координатам Задачи по начертательной геометрии фронтальных Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии проекций точек Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии в заданной системе Задачи по начертательной геометрии.

II замена.

3-е действие. Введена вторая дополнительная система Задачи по начертательной геометрии, ось проекций Задачи по начертательной геометрии которой расположена произвольно на поле чертежа.

4-е действие. В дополнительной плоскости проекций Задачи по начертательной геометрии построена горизонтальная проекция Задачи по начертательной геометрии отрезка Задачи по начертательной геометрии:

  • от построенных в первой дополнительной системе фронтальных проекций точек Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии проведены линии связи, перпендикулярные оси проекций
  • от оси проекций Задачи по начертательной геометрии отложены координаты Задачи по начертательной геометрии, взятые из предыдущей системы Задачи по начертательной геометрии: от оси Задачи по начертательной геометрии до горизонтальных Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии проекций точек Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии.

Поскольку на рис. 4.44 рассмотрен пример произвольного, без всяких условий, двойного преобразования прямой общего положения, то и в первой, и во второй дополнительных системах этот отрезок преобразовался также в прямую общего положения.

Для преобразования прямой или плоскости общего положения в прямую или плоскость частного положения рассмотрим четыре основные задачи преобразования способом замены плоскостей проекций, применяемые как отдельные графические действия для решения различных задач.

Задачи по начертательной геометрии

Задача №1. Преобразовать прямую общего положения в прямую уровня.

На рис. 4.45 показано преобразование прямой общего положения Задачи по начертательной геометрии во фронтальную прямую уровня. Для решения задачи выполнен следующий графический алгоритм:

1-е действие. Ввести дополнительную систему плоскостей проекций Задачи по начертательной геометрии расположив ось проекций Задачи по начертательной геометрии параллельно горизонтальной проекции Задачи по начертательной геометрииЗадачи по начертательной геометрии отрезка Задачи по начертательной геометрии.

2-е действие. Построить фронтальную проекцию Задачи по начертательной геометрии отрезка в дополнительной плоскости Задачи по начертательной геометрии по координатам Задачи по начертательной геометрии, взятым из предыдущей системы Задачи по начертательной геометрии.

В результате преобразования отрезок Задачи по начертательной геометрии в дополнительной системе занял положение, параллельное дополнительной плоскости проекций Задачи по начертательной геометрии, т.е. преобразовался во фронтальную прямую уровня. Следовательно, построены также натуральная величина отрезка и угол его наклона Задачи по начертательной геометрии к плоскости проекций Задачи по начертательной геометрии.

Задачи по начертательной геометрии

Па рис 4.46 показано преобразование прямой общего положения Задачи по начертательной геометрии в горизонтальную прямую уровня. Для решения задачи введена дополнительная система плоскостей проекций Задачи по начертательной геометрии Задачи по начертательной геометрииЗадачи по начертательной геометрии и выполнены аналогичные графические действия.

Задача №2. Преобразовать прямую уровня в проецирующую прямую.

На рис. 4.47 показано преобразование фронтальной прямой Задачи по начертательной геометрии в горизонтально-проецирующую прямую. Для решения задачи выполнен следующий графический алгоритм:

1-е действие. Ввести дополнительную систему плоскостей проекций Задачи по начертательной геометрии расположив ось проекций Задачи по начертательной геометрии перпендикулярно фронтальной проекции Задачи по начертательной геометрии отрезка Задачи по начертательной геометрии.

2-е действие. Построить горизонтальные совпадающие проекции Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии точек Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии отрезка в дополнительной плоскости проекций Задачи по начертательной геометрии по координатам Задачи по начертательной геометрии взятым из предыдущей системы Задачи по начертательной геометрии.

В результате преобразования горизонтальный отрезок Задачи по начертательной геометрии в дополнительной системе занял положение, перпендикулярное

дополнительной плоскости проекций Задачи по начертательной геометрии, т.е. преобразовался в горизонтально-проецирующую прямую.

На рис. 4 48 показано преобразование горизонтальной прямой уровня Задачи по начертательной геометрии во фронтально-проецирующую прямую. Для решения задачи введена дополнительная система плоскостей проекций Задачи по начертательной геометрии и выполнены аналогичные графические действия.

Задачи по начертательной геометрии

Задачи №3. Преобразование плоскости общею положения в проецирующую плоскость.

Чтобы понять сущность графических действий этого преобразования, напомним, что у проецирующих плоскостей, перпендикулярных Задачи по начертательной геометрии или Задачи по начертательной геометрии, одна из линий уровня -или фронталь, или горизонталь — является проецирующей прямой.

На рис. 4.49 показано, что у горизонтально-проецирующей плоскости Задачи по начертательной геометрии, горизонтальная проекция которой вырождается в линию, фронталь плоскости Задачи по начертательной геометрии занимает положение горизонтально-проецирующей прямой, т.е. она перпендикулярна плоскости проекций Задачи по начертательной геометрии (горизонтальная проекция Задачи по начертательной геометрии вырождается в точку).

На рис 4.50 показано, что у фронтально-проецирующей плоскости Задачи по начертательной геометрии, фронтальная проекция которой вырождается в линию, горизонталь плоскости Задачи по начертательной геометрии занимает положение фронтально-проецирующей прямой, т.е. она перпендикулярна фронтальной плоскости проекций Задачи по начертательной геометрии (ее фронтальная проекция Задачи по начертательной геометрии вырождается в точку).

Задачи по начертательной геометрии
Задачи по начертательной геометрии
Задачи по начертательной геометрии

На рис. 4.51 преобразование плоскости положения во фронтально-проецирующую плоскость Для решения задачи выполнен следующий графический алгоритм:

1-е действие. Провести в плоскости Задачи по начертательной геометрии проекции горизонтали Задачи по начертательной геометрии.

2-е действие. Ввести дополнительную систему плоскостей Задачи по начертательной геометрии расположив ось проекций Задачи по начертательной геометрии перпендикулярно горизонтальной проекции Задачи по начертательной геометрии горизонтали плоскости.

3-е действие. Построить в дополнительной плоскости проекций Задачи по начертательной геометрии фронтальную проекцию Задачи по начертательной геометрии плоскости Задачи по начертательной геометрии по координатам Задачи по начертательной геометрии, взятым (проекция плоскости выродилась в прямую).

В результате преобразования плоскость общего положения Задачи по начертательной геометрии в дополнительной системе заняла положение, перпендикулярное дополнительной плоскости проекций Задачи по начертательной геометрии, т.е. преобразовалась во фронтально-проецирующую. Следовательно, построен также угол наклона Задачи по начертательной геометрии плоскости Задачи по начертательной геометрии к плоскости проекций Задачи по начертательной геометрии.

На рис. 4.52 показано преобразование плоскости общего положения Задачи по начертательной геометрии в горизонтально-проецирующую плоскость. Для решения задачи в плоскости проведены проекции фронтали Задачи по начертательной геометрии. Введена дополнительная система плоскостей Задачи по начертательной геометрии ось Задачи по начертательной геометрии которой перпендикулярна фронтальной проекции Задачи по начертательной геометрии фронтали плоскости, и выполнены аналогичные графические действия.

Задача №4. Преобразовать проецирующую плоскость в плоскость уровня.

На рис. 4.53 показано преобразование фронтально-проецирующей плоскости Задачи по начертательной геометрии в горизонтальную плоскость уровня. Для решения задачи выполнен следующий графический алгоритм.

Задачи по начертательной геометрии

1-е действие. Ввести дополнительную систему плоскостей проекций Задачи по начертательной геометрии расположив ось проекций Задачи по начертательной геометрии параллельно вырожденной фронтальной проекции Задачи по начертательной геометрии плоскости Задачи по начертательной геометрии.

2-е. действие. Построить горизонтальную проекцию Задачи по начертательной геометрии в дополнительной плоскости Задачи по начертательной геометрии по координатам Задачи по начертательной геометрии, взятым из предыдущей системы Задачи по начертательной геометрии.

В результате преобразования фронтально-проецирующая плоскость Задачи по начертательной геометрии в дополнительной системе заняла положение, параллельное дополнительной плоскости проекций Задачи по начертательной геометрии т.е. преобразовалась в горизонтальную плоскостью уровня. Следовательно, построена натуральная величина этой плоскости.

На рис. 4.54 показано преобразование горизонтально-проецирующей плоскости Задачи по начертательной геометрии во фронтальную плоскость уровня. Для решения задачи введена дополнительная система Задачи по начертательной геометрии и выполнены аналогичные графические действия.

II. Способ вращения вокруг проецирующей оси (фронтально-проецирующей или горизонтально-проецирующей прямой):

Сущность способа в том, что предмет, занимающий общее положение относительно плоскостей проекций, вращают вокруг проецирующей оси, изменяя его положение в пространстве так, чтобы предмет занял частное положение относительно тех же плоскостей проекций, т.е. стал перпендикулярным (проецирующим) либо параллельным (уровня) плоскости проекций Задачи по начертательной геометрии или Задачи по начертательной геометрии.

На рис. 4.55 показана наглядная картина способа на примере вращения точки Задачи по начертательной геометрии вокруг фронтально-проецирующей оси Задачи по начертательной геометрии.

Точка Задачи по начертательной геометрии перемещается в положение вращаясь по окружности Задачи по начертательной геометрии вокруг фронтально-проецирующей оси Задачи по начертательной геометрии в некоторой плоскости Задачи по начертательной геометрии, перпендикулярной плоскости проекций Задачи по начертательной геометрии.

На плоскость проекций Задачи по начертательной геометрии эта окружность проецируется в прямую вращения Задачи по начертательной геометрии.

Па плоскость проекций Задачи по начертательной геометрии окружность Задачи по начертательной геометрии вращения точки Задачи по начертательной геометрии проецируется в окружность Задачи по начертательной геометрии с центром в точке Задачи по начертательной геометрии, которая является вырожденной проекцией фронтально-проецирующей оси вращения Задачи по начертательной геометрии.

Задачи по начертательной геометрии

Па рис. 4.56 и 4.57 показаны примеры применения способа вращения вокруг проецирующей оси для построения натуральной величины отрезка Задачи по начертательной геометрии общего положения

На чертеже натуральную величину имеют прямые уровня, параллельные плоскости проекций Задачи по начертательной геометрии или Задачи по начертательной геометрии (профильную прямую не рассматриваем). Характерный признак прямых уровня на чертеже — одна из проекций параллельна оси проекций Задачи по начертательной геометрии: горизонтальная проекция для фронтальной прямой и фронтальная проекция для горизонтальной прямой.

Следовательно, для решения задачи отрезок Задачи по начертательной геометрии общего положения нужно повернуть (вращать) вокруг проецирующей оси так. чтобы он занял положение, параллельное плоскости проекций Задачи по начертательной геометрии или Задачи по начертательной геометрии.

Для решения задачи выполнен следующий графический алгоритм:

1-е действие. Выбрать ось вращения Задачи по начертательной геометрии, проходящую через любую конечную точку отрезка (на рис 4.56 фронтально-проецирующая ось вращения проведена через точку Задачи по начертательной геометрии, и обозначить се проекции Задачи по начертательной геометрии на чертеже.

2-е действие. Повернуть фронтальную проекцию точки Задачи по начертательной геометрии вокруг оси Задачи по начертательной геометрии по часовой стрелке (можно против) так, чтобы фронтальная проекция отрезка Задачи по начертательной геометрии заняла горизонтальное положение Задачи по начертательной геометрии параллельное оси проекций Задачи по начертательной геометрии.

3-е действие. Построить натуральную проекцию Задачи по начертательной геометрии отрезка Задачи по начертательной геометрии, переместив горизонтальную проекцию точки Задачи по начертательной геометрии перпендикулярно горизонтальной проекции оси вращения Задачи по начертательной геометрии (параллельно оси проекций Задачи по начертательной геометрии) до пересечения с вертикальной линией связи от точки Задачи по начертательной геометрии.

Задачи по начертательной геометрии

В результате преобразования отрезок Задачи по начертательной геометрии занял положение горизонтальной прямой уровня.

!!! Конечная точка отрезка Задачи по начертательной геометрии при вращении остается неподвижной, так как лежит на оси вращения Задачи по начертательной геометрии.

Задачи по начертательной геометрии

На рис. 4.57 показано построение натуральной величины отрезка общего положения Задачи по начертательной геометрии вращением вокруг горизонтально-проецирующей оси аналогичными графическими действиями (отрезок Задачи по начертательной геометрии занял положение фронтальной прямой уровня).

Плоскопараллельное перемещение

Частный случай способа крашения вокруг проецирующей оси — вращение предмета без указания на чертеже осей вращения, который называют способом плоскопараллельного перемещения. Способ удобен тем, что повернутые вокруг предполагаемой проецирующей оси проекции предмета перемещают и располагают на свободном поле чертежа без взаимного их наложения.

На рис. 4.58 показано построение натуральной величины плоскости общего положения, заданной треугольником ABC, способом плоскопараллельного перемещения.

Для решения задачи плоскость Задачи по начертательной геометрии должна занять положение плоскости уровня — или фронтальной Задачи по начертательной геометрии, или горизонтальной Задачи по начертательной геометрии. Следовательно, плоскость нужно вращать и одновременно перемешать по полю чертежа, чтобы она последовательно заняла сначала проецирующее положение, а затем положение плоскости уровня.

Для двух последовательных преобразований нужно выполнить следующий графический алгоритм.

Задачи по начертательной геометрии

Первое перемещение. Плоскость общего положения Задачи по начертательной геометрии вращением вокруг предполагаемой, например, горизонтально-проецирующей, оси преобразовать во фронтально-проецирующую плоскость, выполнив следующие графические действия:

1-е действие. Провести в плоскости горизонталь Задачи по начертательной геометрии.

2-е действие. Повернуть горизонтальную проекцию Задачи по начертательной геометрии треугольника, вращая вокруг предполагаемой горизонтально-проецирующей оси (например, проходящей через точку Задачи по начертательной геометрии) и одновременно перемещая вправо на свободное поле чертежа так, чтобы горизонталь Задачи по начертательной геометрии плоскости заняла положение фронтально-проецирующей прямой, т.е. Задачи по начертательной геометрии должна расположиться перпендикулярно оси Задачи по начертательной геометрии. Повернутую проекцию треугольника Задачи по начертательной геометрии относительно проекции горизонтали /Задачи по начертательной геометрии построить с помощью дуговых засечек, на пересечении которых определяются вершины.

3-е действие. Построить фронтальную проекцию Задачи по начертательной геометрии треугольника, переместив заданные фронтальные Задачи по начертательной геометрии проекции вершин треугольника параллельно оси проекций Задачи по начертательной геометрии до пересечения с вертикальными линиями связи от точек Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии повернутой проекции: фронтальная проекция выродилась в линию, т.е. треугольник преобразовался во фронтально-проецирующую плоскость.

Второе перемещение. Плоскость фронтально-проецирующую вращением вокруг предполагаемой фронтально-проецирующей оси преобразовать в горизонтальную плоскость уровня, продолжая графические действия.

4-е действие. Повернуть построенную вырожденную проекцию Задачи по начертательной геометрии треугольника, вращая вокруг предполагаемой фронтально-проецирующей оси, проходящей через точку Задачи по начертательной геометрии, и одновременно перемещая вправо на свободное ноле чертежа так, чтобы эта проекция расположилась параллельно оси проекций Задачи по начертательной геометрии: проекция Задачи по начертательной геометрии оси Задачи по начертательной геометрии.

5-е Действие. Построить новую горизонтальную проекцию Задачи по начертательной геометрии треугольника, переместив горизонтальные проекции Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии вершин треугольника параллельно оси проекций Задачи по начертательной геометрии до пересечения вертикальными линиями связи от фронтальных проекций Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии вершин; построенная горизонтальная проекция Задачи по начертательной геометрии треугольника и есть его натуральная величина, так как после второго перемещения треугольник преобразовался в горизонтальную плоскость уровня.

III. Способ вращения вокруг прямой уровня — горизонтальной или фронтальной прямой.

Сущность способа в том, что плоскость общего положения изменяет свое положение в пространстве относительно плоскостей проекций вращением вокруг линии уровня до положения, параллельного плоскости проекций Задачи по начертательной геометрии (или Задачи по начертательной геометрии).

На рис. 4.59 показана наглядная картина вращения плоскости общего положения Задачи по начертательной геометрии вокруг горизонтальной прямой. Пусть сторона Задачи по начертательной геометрии, треугольника Задачи по начертательной геометрии, лежит в плоскости Задачи по начертательной геометрии, параллельной плоскости проекций Задачи по начертательной геометрии. и является горизонтальной прямой Задачи по начертательной геометрии, вокруг которой и будет повернута плоскость Задачи по начертательной геометрии.

Задачи по начертательной геометрии

Поскольку вершины Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии треугольника лежат на оси вращения Задачи по начертательной геометрии и, следовательно, неподвижны, то требуется повернуть вокруг прямой уровня Задачи по начертательной геометрии только вершину Задачи по начертательной геометрии так, чтобы она совместилась с плоскостью Задачи по начертательной геометрии. Вершина Задачи по начертательной геометрии вращается вокруг горизонтальной прямой Задачи по начертательной геометрии (стороны Задачи по начертательной геометрии) в плоскости Задачи по начертательной геометрии перпендикулярной оси вращения Задачи по начертательной геометрии.

После поворота треугольник Задачи по начертательной геометрии лежит в плоскости Задачи по начертательной геометрии и, следовательно. параллелен плоскости Задачи по начертательной геометрии. Точка Задачи по начертательной геометрии имеет радиус вращения Задачи по начертательной геометрии и на плоскость у этот радиус проецируется в натуральную величину.

Рассмотрим проекцию этой картины на плоскость проекций Задачи по начертательной геометрии. На горизонтальной проекции видно, что натуральную величину Задачи по начертательной геометрии треугольника Задачи по начертательной геометрии определяет натуральная величина радиуса вращения Задачи по начертательной геометрии точки Задачи по начертательной геометрии.

На рис. 4.60 показано построение на чертеже натуральной величины плоскости Задачи по начертательной геометрии способом вращения вокруг-горизонтальной прямой уровня Задачи по начертательной геометрии. В ком случае выполняется вращение горизонтальной проекции Задачи по начертательной геометрии треугольника, т.е. вращение выполняется относительно плоскости проекций, которой параллельна ось вращения.

Для решения задачи выполнен следующий графический алгоритм:

1-е действие. К заданной плоскости Задачи по начертательной геометрии провести проекции горизонтали Задачи по начертательной геометрии, которая является осью вращения.

2-е действие. Провести следы плоскостей Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии перпендикулярно Задачи по начертательной геометрии в которых будут вращаться вершины Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии вокруг оси вращения Задачи по начертательной геометрии точка Задачи по начертательной геометрии будет неподвижна, так как лежит на оси вращения.

3-е действие. Определить проекции отрезка Задачи по начертательной геометрии, т.е. радиуса Задачи по начертательной геометрии вращения точки Задачи по начертательной геометрии вокруг горизонтали Задачи по начертательной геометрии, и построить любым рассмотренным графическим способом натуральную величину радиуса вращения Задачи по начертательной геометрии. В примере натуральная величина Задачи по начертательной геометрии построена способом вращения отрезка общего положения Задачи по начертательной геометрии вокруг фронтально-проецирующей оси, вырожденная проекция которой совпадает с проекцией точки Задачи по начертательной геометрии (см. рис. 4.56).

Задачи по начертательной геометрии

4-е действие. Построенную натуральную величину радиуса вращения Задачи по начертательной геометрии повернуть и расположить на следе плоскости Задачи по начертательной геометрии в которой вращается точка Задачи по начертательной геометрии треугольника, построив вершину Задачи по начертательной геометрии в повернутом положении.

5-е действие. Достроить повернутую проекцию треугольника Задачи по начертательной геометрии, определив повернутую проекцию Задачи по начертательной геометрии вершины Задачи по начертательной геометрии на пересечении следа плоскости вращения Задачи по начертательной геометрии с прямой, проходящей через точки Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии, т.е. натуральную величину радиуса вращения для точки Задачи по начертательной геометрии определять нет необходимости: ее повернутое положение Задачи по начертательной геометрии определяется графическим построением.

В результате преобразования проекция Задачи по начертательной геометрии треугольника заняла положение, параллельное горизонтальной плоскости проекций Задачи по начертательной геометрии, и, следовательно, определяет его натуральную величину

!!! Построение на чертеже натуральной величины плоскости Задачи по начертательной геометрии вращением вокруг фронтальной прямой уровня Задачи по начертательной геометрии выполняется аналогичными графическими действиями, только вращать следует фронтальную проекцию Задачи по начертательной геометрии треугольника, так как ось вращения Задачи по начертательной геометрии параллельна фронтальной плоскости проекций. Треугольник после вращения занимает положение фронтальной плоскости уровня, которая определяет его натуральную величину.

Образец выполнения листа 3 с задачами 5 и 6 показан на рис. 4 61, а и Г). Задачи выполнить на одном листе формата A3 чертежной бумаги

Задача №5 имеет два варианта графических условий:

Варианты 1-15. Построить проекции центра окружное!и, описанной вокруг плоскости общего положения Задачи по начертательной геометрии, способом замены плоскостей проекций.

Bарианты 16-30. Построить проекции центра сферы радиусом 20 мм, вписанной в плоский угол Задачи по начертательной геометрии, способом замены плоскостей проекций.

Задача №6 имеет два варианта графических условий:

Варианты 1-15. Построить натуральную величину заданной плоскости общего положения Задачи по начертательной геометрии , способом вращения вокруг линии уровня — фронтали или горизонтали (линия уровня указана для каждого варианта в табл. 4.4).

Варианты 1 6-30. Построить натуральную величину заданного угла Задачи по начертательной геометрии способом вращения вокруг линии уровня (указана для каждого варианта в табл. 4.4).

Данные для своего варианта взять из табл. 4.4. Условия всех вариантов представлены координатами Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии точек Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии.

По заданным координатам точек построить на левой и правой половине поля чертежа графическое условие задач — проекции плоскости общего положения, заданной треугольником Задачи по начертательной геометрии. В таблице для каждого варианта указаны линии, относительно которых нужно выполнять преобразование чертежа для 5-й и 6-й задач.

План графических действий для решения задачи 5 (по вариантам 1-15).

Для определения центра окружности, описанной вокруг заданного треугольника Задачи по начертательной геометрии, плоскость треугольника должна занять положение плоскости уровня -горизонтальной или фронтальной. Преобразовать плоскость общего положения в плоскость уровня можно двумя последовательными заменами плоскостей проекций (см. задачи 3 и 4 преобразования способом замены, рис. 4.51-4.54). Для решения задачи выполнены следующие графические действия:

Задачи по начертательной геометрии

Вторая замена.

2-е действие Ввести первую дополнительную систему плоскостей проекций Задачи по начертательной геометрии, расположив ось проекций Задачи по начертательной геометрии перпендикулярно фронтальной проекции фронтали Задачи по начертательной геометрии.

3-е действие. Построить горизонтальную проекцию Задачи по начертательной геометрии на дополнительной плоскости Задачи по начертательной геометрии по координатам у из системы Задачи по начертательной геометрии. Плоскость Задачи по начертательной геометрии спроецировалась в прямую (выродилась в линию), т.е. преобразовалась в горизонтально-проецирующую плоскость, перпендикулярную дополнительной плоскости проекций Задачи по начертательной геометрии.

4-е действие. Ввести вторую дополнительную систему плоскостей проекций Задачи по начертательной геометрии и расположив ось проекций Задачи по начертательной геометриипараллельно построенной (вырожденной) проекции треугольника Задачи по начертательной геометрии.

5-е действие. Построить фронтальную проекцию плоскости Задачи по начертательной геометрии на дополнительной плоскости проекций Задачи по начертательной геометрии по координатам Задачи по начертательной геометрии из предыдущей системы Задачи по начертательной геометрии: построенная проекция Задачи по начертательной геометрии является натуральной величиной треугольника Задачи по начертательной геометрии, так как плоскость преобразовалась во фронтальную плоскость уровня, параллельную дополнительной плоскости проекций Задачи по начертательной геометрии.

6-е действие. Определить центр окружности (точку Задачи по начертательной геометрии), описанной вокруг треугольника Задачи по начертательной геометрии, который находится на пересечении перпендикуляров, проведенных через середины сторон треугольника,

7-е действие. Обратным проецированием определить проекции построенного центра описанной окружности Задачи по начертательной геометрии на заданных проекциях треугольника, используя вспомогательную линию Задачи по начертательной геометрии, на которой лежит точка Задачи по начертательной геометрии.

План графических действий для решения задачи 6 (по вариантам I 15).

Натуральную величину определяет только плоскость уровня. Следовательно, заданную плоскость общего положения Задачи по начертательной геометрии нужно преобразовать вращением вокруг линии уровня в плоскость уровня, например, в горизонтальную. Для решения задачи на чертеже выполнены следующие графические действия

1-е действие. Провести в заданной плоскости Задачи по начертательной геометрии проекции горизонтали Задачи по начертательной геометрии следовательно, вращать следует горизонтальную проекцию Задачи по начертательной геометрии треугольника.

2-е действие. Провести следы плоскостей Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии, в которых будут вращаться точки Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали Задачи по начертательной геометрии.

3-е действие. Определить проекции отрезка Задачи по начертательной геометрии, т.е. проекции радиуса вращения Задачи по начертательной геометрии точки Задачи по начертательной геометрии вокруг горизонтали Задачи по начертательной геометрии, и построить способом вращения вокруг фронтально проецирующей оси Задачи по начертательной геометрии натуральную величину отрезка Задачи по начертательной геометрии.

4-е действие. Построенную натуральную величину радиуса Задачи по начертательной геометрии повернуть и расположить на следе плоскости Задачи по начертательной геометрии, в которой вращается точка Задачи по начертательной геометрии построив вершину Задачи по начертательной геометрии.

5-е действие. Достроить повернутую проекцию Задачи по начертательной геометрии треугольника Задачи по начертательной геометрии, которая определяет его натуральную величину. Вершина Задачи по начертательной геометрии определяется на пересечении следа плоскости Задачи по начертательной геометрии и прямой, проходящей через точки Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии (без построения натуральной величины Задачи по начертательной геометрии).

!!! Внимание. К листу 3 выполнить приложение, изложив на листах писчей бумаги планы решения задач 5 и 6.

Многогранники, призма и пирамиды

Многогранником называют геометрическое тело, поверхность которого ограничена плоскостями (гранями). Многогранник называют четырех-, пяти-, шестигранником и т.д. по количеству граней (включая основания), образующих его поверхность На чертеже многогранник задают проекциями его граней и ребер (ребро — линия пересечения граней).

Рассмотрим призму и пирамиду — геометрические многогранники (тела), которые часто применяются при формообразовании различных деталей. Основанием призмы и пирамиды может быть любой многоугольник, по количеству сторон которого призму и пирамиду называют треугольной, четыреч-угольной и т.д. Такое название более соответствует изображению этих много-гранников на чертеже, по которому определяется многоугольник основания, что позволяет создать в воображении соответствующий пространственный образ.

Призма как геометрическое тело имеет два параллельных основания, боко-вые грани и параллельные ребра. Призму называют правильной, если ее основаниями являются правильные многоугольники, вписанные в окружность. Призму называю! прямой, если ее ребра перпендикулярны основанию, и наклонной, если ребра не перпендикулярны основанию

Пирамида как геометрическое тело имеет одно основание и вершину, обьединяющую все ее ребра. Пирамиду называю! правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, вписанный в окружность, а высота пирамиды проходит через центр этой окружности (т.е. пирамида прямая).

Пирамида может быть наклонной, если основание высоты не лежит в центре окружности, в которую вписан многоугольник основания пирамиды. Пирамида со срезанной вершиной имеет два основания и называется усеченной.

Задача №7.

Построить фронтальную, горизонтальную и профильную проекции прямой правильной призмы со срезами плоскостями частного положения по заданному условию.

Задача №8.

Построить фронтальную, горизонтальную и профильную проекции правильной пирамиды со срезами плоскостями частного положения по заданному условию.

Задачи 7 и 8 выполнить на одном листе формата A3 чертежной бумаги.

Графические условия вариантов задач 7 и 8 взять из табл. 4.5.

План графических действий для решения задачи 7 (рис. 4.66, а) соответствует предложенному графическому алгоритму (к рис. 4.64).

1-е действие. На левой половине чертежа построить тонкими сплошными линиями фронтальную, горизонтальную и профильную проекции прямой правильной призмы без срезов по графическому условию и размерам шестиугольную призму заданной высоты Задачи по начертательной геометрии. Затем выполнить на ее фронтальной проекции заданные срезы плоскостями частного положения: срезы фронтально-проецирующей плоскостью Задачи по начертательной геометрии и профильной плоскостью Задачи по начертательной геометрии и сквозной паз. образованный двумя симметричными фронтально-проецирующими плоскостями Задачи по начертательной геометрии.

Задачи по начертательной геометрии

Базовую ось (б.о.) на горизонтальной проекции и базовую ось Задачи по начертательной геометрии для профильной проекции взять на осях симметрии горизонтальной и профильной проекций. Обозначить ребра буквами Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии (на нижнем основании призмы).

2-е действие. Обозначить на фронтальной проекции характерные точки пересечения плоскостей срезов с ребрами и гранями призмы:

  • совпадающие точки Задачи по начертательной геометрии лежат на ребрах Задачи по начертательной геометрии и Задачи по начертательной геометрии;
  • совпадающие точки Задачи по начертательной геометрии лежат на ребрах