Теория автоматического управления задачи с решением и примерами

Оглавление:

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Здравствуйте на этой странице я собрала теорию и практику с примерами решения задач по предмету теория автоматического управления с решением по каждой теме, чтобы вы смогли освежить знания!

Если что-то непонятно — вы всегда можете написать мне в WhatsApp и я вам помогу!

Теория автоматического управления

Теория автоматического управления (ТАУ), — научная дисциплина, предметом изучения которой являются информационные процессы, протекающие в системах управления техническими и технологическими объектами. ТАУ выявляет общие закономерности функционирования, присущие автоматическим системам различной физической природы, и на основе этих закономерностей разрабатывает принципы построения высококачественных систем управления.

Одномерные линейные непрерывные системы

Как правило, по структурной схеме при известных функциях передачи отдельных звеньев требуется найти эквивалентную передаточную функцию (ПФ) некоторого объединения звеньев (объекта, регулятора), либо всей системы в целом. Для этого используют правила преобразования последовательного, параллельного и встречно-параллельного (с обратной связью) соединений.

Эквивалентная передаточная функция последовательно соединенных звеньев равна произведению передаточных функций этих звеньев. Считают, что перестановка последовательно включенных по пути сигнала звеньев не влияет на результат, т. е.

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Эквивалентная передаточная функция параллельно соединенных звеньев равна сумме передаточных функций этих звеньев (с учетом знака входа сумматора на пути сигнала).

Путь от входа к выходу системы называется прямой связью, от выхода ко входу — обратной связью. Если сигнал на пути меняет знак (обычно на инвертирующем входе сумматора), обратная связь называется отрицательной (ООС), если не меняет знак — положительной (ПОС). Замкнутый путь называется контуром, например, замкнутый контур обратной связи (ЗКОС). Эквивалентная передаточная функция соединения с обратной связью равна дроби, в числителе которой записана ПФ звена на прямом пути, а в знаменателе — единица минус произведение ПФ звеньев по замкнутому контуру обратной связи. Величина Примеры решения задач по теории автоматического управления. называется определителем ЗКОС.

Особенности этого вида соединения звеньев:

  • если в системе есть хоть одна обратная связь, передаточная функция системы будет всегда представлять собой дробь;
  • знак перед произведением ПФ звеньев в знаменателе (в определителе ЗКОС) обычно противоположен знаку обратной связи.

Для систем с перекрещивающимися (мостиковыми) связями применяют правило переноса: в переносимую ветвь вводят фиктивное звено с передаточной функцией, равной ПФ потерянного, либо обратной ПФ появившегося при переносе элемента.

По Мейсону структурная схема может быть описана целиком, без деления на звенья. Передаточная функция многоконтурной системы образует дробь, числитель которой равен сумме произведений передаточных функций прямых путей на совокупные определители ЗКОС, не касающихся этих путей, а знаменатель — единица минус сумма произведений определителей несоприкасающихся ЗКОС и передаточных функций общих ЗКОС. Следует внимательно относиться к ветвям, которые заходят извне в контур ОС, т.к. они могут образовывать неявные прямые пути по цепям обратных связей.

Предмет теория автоматического управления тау

Пример №1

Определить передаточную функцию схемы (рисунок 1.1,а).

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Решение:

Видно, что без преобразований нельзя начинать сворачивать схему, в частности, нельзя объединить звенья Примеры решения задач по теории автоматического управления и Примеры решения задач по теории автоматического управления, как последовательно включенные, из-за связи в точке Примеры решения задач по теории автоматического управления. Перенесем ветвь из узла Примеры решения задач по теории автоматического управления в узел Примеры решения задач по теории автоматического управления (рисунок 1.1,6).

В исходной схеме на пути от точки Примеры решения задач по теории автоматического управления к входному сумматору не было звеньев, преобразующих сигнал, а в новой схеме на пути между теми же точками появляется звено с передаточной функцией Примеры решения задач по теории автоматического управления. Следовательно, в цепь переносимого воздействия нужно ввести фиктивное звено с обратной передаточной функцией, т. е. Примеры решения задач по теории автоматического управления или Примеры решения задач по теории автоматического управления.

После переноса начнем свертывание схемы, заменяя каждый раз несколько звеньев одним эквивалентным на основе правил 1-3 и увеличивая границы преобразуемого участка. Промежуточные (вспомогательные) ПФ обычно индексируют римскими цифрами, их используют временно и обязательно заменяют в итоге на ПФ с реально существующими индексами.

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Конечный результат всегда представляется в виде простой рациональной дроби и выражается только через исходные передаточные функции. Сигнал не может пройти через одну и ту же точку дважды, поэтому появление в выражении кратных величин вида Примеры решения задач по теории автоматического управления или Примеры решения задач по теории автоматического управления и т. п. является признаком допущенной при преобразованиях ошибки.

Пример №2

Определить передаточную функцию схемы (рисунок 1.2).

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Решение:

Применим правило Мейсона. В системе имеются обратные связи, поэтому ПФ представляет собой дробь. Прямой путь от входа Примеры решения задач по теории автоматического управления к выходу Примеры решения задач по теории автоматического управления только один, его касаются все пять ЗКОС, поэтому в числителе ПФ пишем просто произведение Примеры решения задач по теории автоматического управления. Знаменатель начинаем описывать с несоприкасающихся контуров — контур I не имеет общих точек с контуром III и вложенным в него контуром И, поэтому записываем сначала произведение их определителей. Контур IV соприкасается с контурами I и III, поэтому просто добавляем произведение звеньев по нему Примеры решения задач по теории автоматического управления, но умножаем его на определитель контура И, так как этот ЗКОС не имеет общих точек с IV. И в конце просто добавляем произведение звеньев Примеры решения задач по теории автоматического управления контура V, поскольку он соприкасается со всеми остальными ЗКОС

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Дифференциальное уравнение

Поведение линейных, непрерывных, стационарных систем с сосредоточенными параметрами описывается во времени обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ) с постоянными коэффициентами Примеры решения задач по теории автоматического управления

Примеры решения задач по теории автоматического управления

где слева — выходная функция Примеры решения задач по теории автоматического управления и ее производные (результат), справа — входная функция Примеры решения задач по теории автоматического управления и ее производные.

Для записи передаточной функции используется комплексная переменная Лапласа Примеры решения задач по теории автоматического управления (иногда обозначаемая символом Примеры решения задач по теории автоматического управления). Чтобы получить ПФ, достаточно в ОДУ заменить производные Примеры решения задач по теории автоматического управления на Примеры решения задач по теории автоматического управления в соответствующей степени, отбросить символы функций Примеры решения задач по теории автоматического управления и Примеры решения задач по теории автоматического управления и разделить многочлен правой части дифференциального уравнения на многочлен левой части.

При нулевых начальных условиях передаточная функция может быть получена и как отношение реакции (выходного сигнала) системы к входному сигналу, записанных в виде изображений по Лапласу.

Она может быть записана триадой: корни многочлена числителя (нули), корни многочлена знаменателя (полюса) и общий коэффициент усиления. На комплексной плоскости нули обозначают кружком, полюса — крестиком; общий коэффициент усиления отобразить невозможно и он должен указываться отдельно.

При переходе от разомкнутой системы к замкнутой, охваченной общей единичной отрицательной обратной связью (ООС), достаточно к знаменателю ПФ разомкнутой системы добавить ее числитель, чтобы получить ПФ замкнутой системы.

Пример №3

Определить передаточную функцию объекта регулирования, модель которого задана дифференциальным уравнением

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Решение:

Сопоставляя производным соответствующую степень Примеры решения задач по теории автоматического управления, отбрасывая символы функций Примеры решения задач по теории автоматического управления и Примеры решения задач по теории автоматического управления и деля многочлен правой части дифференциального уравнения на многочлен левой части, получаем ПФ

Примеры решения задач по теории автоматического управления
Решение задач по теории автоматического управления

Пример №4

При единичном скачке Примеры решения задач по теории автоматического управления на входе реакция звена описывается функцией Примеры решения задач по теории автоматического управления. Найти передаточную функцию звена.

Решение:

Преобразуем по Лапласу входной и выходной сигналы, пользуясь таблицей соответствия оригиналов и изображений (приложение Примеры решения задач по теории автоматического управления). Изображение входного воздействия равно Примеры решения задач по теории автоматического управления, изображение реакции звена после приведения к общему знаменателю

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Здесь единичный скачок не учитываем, хотя он и имеется в исходной функции, так как это просто указание на то, что сигнал на выходе появился скачком. Такое указание может и отсутствовать.

Делим изображение реакции на изображение входного воздействия и получаем передаточную функцию звена

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Пример №5

Система имеет нуль -3, комплексные сопряженные полюса Примеры решения задач по теории автоматического управления и коэффициент усиления Примеры решения задач по теории автоматического управления. Определить ПФ системы после её замыкания единичной ООС.

Решение:

Передаточная функция разомкнутой системы равна

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Добавляя к знаменателю числитель, получаем ПФ замкнутой системы

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Принципиальная схема

Если анализируется принципиальная электрическая схема, передаточная функция составляется с учетом известных закономерностей работы таких схем. Для индуктивных элементов (катушек, дросселей) операторное реактивное сопротивление равно Примеры решения задач по теории автоматического управления для емкостных элементов Примеры решения задач по теории автоматического управления, где Примеры решения задач по теории автоматического управления — индуктивность (Генри), Примеры решения задач по теории автоматического управления -емкость (Фарад), Примеры решения задач по теории автоматического управления — комплексная переменная Лапласа.

В схемах с операционными усилителями (ОУ) учитывают, что инвертирующий вход изменяет знак (полярность) проходящего сигнала. Коэффициент усиления каскада на ОУ равен отношению эквивалентного сопротивления в цепи обратной связи к эквивалентному сопротивлению на входе усилителя.

По передаточной функции объекта можно записать дифференциальное уравнение, предполагая, что сокращение одинаковых нулей и полюсов не производилось. По изображению некоторого сигнала можно записать его оригинал.

Пример №6

Определить передаточную функцию схемы (рисунок 1.12).

Решение:

Схема представляет собой делитель напряжения с коэффициентом

Примеры решения задач по теории автоматического управления

поэтому передаточная функция равна

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Пример №7

Определить передаточную функцию схемы (рисунок 1.13).

Решение:

Эквивалентное операторное сопротивление в цепи отрицательной обратной связи равно сумме

Примеры решения задач по теории автоматического управления

в итоге передаточная функция схемы на инвертирующем операционном усилителе будет равна

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Пример №8

Составить структурную схему по дифференциальному уравнению объекта

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Решение:

Прежде всего уравнение нормируют (делят все коэффициенты на коэффициент Примеры решения задач по теории автоматического управления при старшей производной левой части), получим

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Затем составляют структурную схему, используя блоки интегрирования (т.е. деления на переменную Лапласа Примеры решения задач по теории автоматического управления), их число равно порядку системы Примеры решения задач по теории автоматического управления (в данном случае трём). С выхода каждого интегратора организуют обратные связи к общему (входному) сумматору с инвертирующим входом, начиная с коэффициента Примеры решения задач по теории автоматического управления при Примеры решения задач по теории автоматического управления-1 производной. С выхода интеграторов организуют связи с коэффициентами из правой части ОДУ к выходному сумматору объекта (если производные здесь отсутствуют, то выходной сумматор не нужен, а блок с коэффициентом Примеры решения задач по теории автоматического управления можно поместить и на выходе, и на входе системы, до главного сумматора). Полученная схема показана на рисунке 1.14.

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Пример №9

Определить порядок объекта, записать его дифференциальное уравнение по передаточной функции

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Решение:

Порядок объекта равен трем. Обозначив в соответствии с индексами передаточной функции выходную величину Примеры решения задач по теории автоматического управления, входную величину Примеры решения задач по теории автоматического управления, заменяем комплексную переменную Лапласа производной по времени соответствующего порядка

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Временные характеристики. Реакция на произвольное воздействие

Для решения дифференциального уравнения (нахождения реакции системы) с помощью преобразования Лапласа необходимо:

  • найти корни характеристического уравнения Примеры решения задач по теории автоматического управления;
  • найти изображение реакции умножением ПФ на изображение входа по Лапласу Примеры решения задач по теории автоматического управления и записать его в виде суммы простых дробей по теореме разложения в соответствии с корнями характеристического уравнения;
  • найти коэффициенты числителей дробей (вычеты в полюсах);
  • найти оригинал для каждой дроби по таблице соответствия и записать конечное решение в виде суммы отдельных оригиналов.

Рекомендуется:

а) перед вычислением корней обязательно нормировать ПФ по старшему коэффициенту при Примеры решения задач по теории автоматического управления знаменателя;

б) не сокращать существующие нули и полюса с положительной действительной частью, ведущие к неустойчивости системы, если их части не являются целыми числами; остальные нули и полюса могут быть сокращены перед переходом во временную область;

в) для кратных полюсов записывать дробями все степени корня от наибольшей до первой в порядке их убывания;

г) комплексные сопряженные корни представлять одним общим квадратным трехчленом.

После разложения на простые дроби и вычисления вычетов полезно проверить правильность результата. Первое правило проверки -сумма дробей правой части должна быть равна изображению в левой части равенства. Второе правило проверки — сумма всех составляющих оригинала при Примеры решения задач по теории автоматического управления (начальное значение оригинала) в соответствии со свойствами преобразования Лапласа должна быть равна Примеры решения задач по теории автоматического управления.

Пример №10

Используя преобразование Лапласа, найти оригинал реакции на воздействие Примеры решения задач по теории автоматического управления системы с ПФ Примеры решения задач по теории автоматического управления. Находим изображение по Лапласу входного воздействия Примеры решения задач по теории автоматического управления, умножаем его на передаточную функцию системы, получаем изображение реакции

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Решение:

При переходе от изображения к оригиналу коэффициент 4 сохраняется, полюс -2 образует составляющую Примеры решения задач по теории автоматического управления, а поскольку он кратный (два одинаковых корня), то появляется составляющая Примеры решения задач по теории автоматического управления и, наконец, оператор сдвига Примеры решения задач по теории автоматического управления при Примеры решения задач по теории автоматического управления с создаёт запаздывание во времени, которое отображается скачком со сдвигом вида Примеры решения задач по теории автоматического управления или, в данном случае, Примеры решения задач по теории автоматического управления. Окончательно оригинал равен Примеры решения задач по теории автоматического управленияПримеры решения задач по теории автоматического управления

Пример №11

Найти начальное, конечное значения и аналитическую запись для оригинала, если изображение по Лапласу отклика системы равно

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Решение:

Начальное значение оригинала (при Примеры решения задач по теории автоматического управления) вычисляется как предел

Примеры решения задач по теории автоматического управления

для производной по времени Примеры решения задач по теории автоматического управления-го порядка от функции Примеры решения задач по теории автоматического управления производится умножение изображения на Примеры решения задач по теории автоматического управления т.е.

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Поэтому

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Конечное значение оригинала (при Примеры решения задач по теории автоматического управления) для устойчивых систем также вычисляется как предел

Примеры решения задач по теории автоматического управления
Примеры решения задач по теории автоматического управления

Для полной записи оригинала разлагаем изображение на простые дроби в соответствии с полюсами, находим вычеты Примеры решения задач по теории автоматического управления и Примеры решения задач по теории автоматического управления в полюсах методом подстановки полюсов (приложение Б)

Примеры решения задач по теории автоматического управления

По таблице соответствия оригиналов и изображений (приложение А) записываем оригинал в виде формулы Примеры решения задач по теории автоматического управления. Проверка: при Примеры решения задач по теории автоматического управления значение оригинала равно нулю, при Примеры решения задач по теории автоматического управления соответственно 3.

Переходная и импульсная функции

К типовым функциям времени (реакциям системы) относятся переходная и импульсная переходная (весовая) функции.

Переходной функцией Примеры решения задач по теории автоматического управления называется реакция системы на единичный скачок при нулевых начальных условиях. Реакция на скачок произвольной величины называется кривой разгона.

Импульсной (весовой) функцией Примеры решения задач по теории автоматического управления или Примеры решения задач по теории автоматического управления называется реакция системы на единичный импульс при нулевых начальных условиях. Она является оригиналом передаточной функции.

Поскольку всегда Примеры решения задач по теории автоматического управления то

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Для оценки начального и конечного (установившегося) значений переходной характеристики объекта нужно найти отношение коэффициентов при Примеры решения задач по теории автоматического управления в степени Примеры решения задач по теории автоматического управления числителя и знаменателя ПФ в первом случае, и отношение свободных членов передаточной функции во втором (если объект устойчив).

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Связь между импульсной и переходной функциями определяется соотношением

Примеры решения задач по теории автоматического управления

откуда

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Иначе говоря, импульсная функция является производной по времени от переходной функции.

Решение задач по ТАУ

Пример №12

Для системы Примеры решения задач по теории автоматического управления найти Примеры решения задач по теории автоматического управления и Примеры решения задач по теории автоматического управления.

Решение:

Поскольку порядок многочлена числителя ПФ Примеры решения задач по теории автоматического управления равен порядку многочлена знаменателя Примеры решения задач по теории автоматического управления, начальное значение переходной функции равно

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Коэффициент усиления в установившемся режиме равен

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Пример №13

Определить передаточную функцию объекта регулирования, если его весовая функция равна

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Решение:

По таблице соответствия АЛ находим изображение весовой функции (а это уже и есть передаточная функция объекта)

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Приведя все дроби к общему знаменателю, получим ПФ в стандартном виде

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Пример №14

Найти весовую функцию системы, если переходная функция равна

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Решение:

Весовая функция равна производной по времени от переходной

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Другой путь решения — через преобразование Лапласа

Примеры решения задач по теории автоматического управления

убираем нулевой корень s в знаменателе, принадлежащий входному воздействию — скачку, получаем ПФ или изображение весовой функции

Примеры решения задач по теории автоматического управления

откуда весовая функция

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Свободное движение системы

В общем случае реакция системы состоит из вынужденной и свободной составляющих Примеры решения задач по теории автоматического управления, изображения которых имеют одинаковый знаменатель (характеристический полином системы)

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Вынужденная составляющая Примеры решения задач по теории автоматического управления является реакцией системы на входное воздействие при нулевых начальных условиях Примеры решения задач по теории автоматического управления. Свободная составляющая Примеры решения задач по теории автоматического управления или переходный процесс автономной системы является решением однородного дифференциального уравнения (без правой части) и определяется начальными условиями.

Используют два способа вычисления совокупного переходного процесса. В первом случае система обычно задается ОДУ, производят в соответствии со свойством дифференцирования преобразования Лапласа индивидуальное преобразование каждого члена дифференциального уравнения, вычисляются одновременно вынужденная и свободная составляющие.

По второму способу выполняют независимое вычисление вынужденной и/или свободной составляющих, при этом система обычно задана ПФ или структурной схемой. Для вычисления Примеры решения задач по теории автоматического управления по Примеры решения задач по теории автоматического управления используется формула (схожая, но не равная вычислению производной)

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Если рассчитывается полное движение системы с учетом ненулевых начальных условий, запрещается производить сокращения в левой части ОДУ (в характеристическом полиноме Примеры решения задач по теории автоматического управления системы). Вид характеристического полинома определяет свободную составляющую переходного процесса, т.е. реакцию на начальные условия.

Если начальные условия не заданы, то по умолчанию они считаются нулевыми. После получения результата стоит проверить, соответствует ли величина реакции на выходе при Примеры решения задач по теории автоматического управления заданным начальным условиям.

Пример №15

Для системы, заданной ОДУ Примеры решения задач по теории автоматического управления, найти реакцию на начальные условия Примеры решения задач по теории автоматического управления.

Решение:

Преобразуем индивидуально каждый член ОДУ по Лапласу с учетом свойств дифференцирования оригинала при ненулевых начальных условиях

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Группируем и переносим подобные члены, подставляем значения Примеры решения задач по теории автоматического управления

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Находим корни характеристического уравнения Примеры решения задач по теории автоматического управления по известной формуле

Примеры решения задач по теории автоматического управления

записываем разложение на простые дроби, вычисляем вычеты в полюсах (смотри приложение Б), переходим к оригиналу по таблице А.1

Примеры решения задач по теории автоматического управления

При Примеры решения задач по теории автоматического управления начальное значение Примеры решения задач по теории автоматического управления, как и было задано.

Пример №16

Система задана ОДУ

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Найти реакцию системы, если

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Решение:

Прежде всего находим изображение входного воздействия по Лапласу Примеры решения задач по теории автоматического управления из таблицы А.1. Вычисляем передаточную функцию и вынужденную составляющую переходного процесса

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Определяем по характеристическому полиному числитель Примеры решения задач по теории автоматического управления и свободную составляющую переходного процесса

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Полное описание переходного процесса

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Частотные характеристики. Основные частотные характеристики

Аналитическое выражение для комплексного коэффициента передачи Примеры решения задач по теории автоматического управления можно получить по операторной передаточной функции Примеры решения задач по теории автоматического управления, приравняв в переменной Лапласа Примеры решения задач по теории автоматического управления действительную часть а нулю. Из комплексной передаточной функции

Примеры решения задач по теории автоматического управления

получают амплитудную (АЧХ) Примеры решения задач по теории автоматического управления, фазовую (ФЧХ) Примеры решения задач по теории автоматического управления, действительную (ВЧХ) Примеры решения задач по теории автоматического управления и мнимую (МЧХ) Примеры решения задач по теории автоматического управления частотные характеристики, связанные соотношениями

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Если представить комплексный коэффициент передачи в виде дроби

Примеры решения задач по теории автоматического управления

то амплитудная характеристика будет равна

Примеры решения задач по теории автоматического управления

а фазовая характеристика

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Обобщающей является амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ или просто АФХ) — кривая (годограф), которую чертит на комплексной плоскости конец вектора Примеры решения задач по теории автоматического управления при изменении частоты Примеры решения задач по теории автоматического управления от 0 до Примеры решения задач по теории автоматического управления.

В ходе расчетов следует отбросить отрицательные, мнимые и комплексные частоты и по возможности сократить получающиеся выражения для действительной и мнимой частей на со.

При построении частотных характеристик учитывают гладкость кривой (при разрывах годограф изменяется асимптотически), указывают на графике стрелкой направление увеличения частоты и/или крайние частоты. В каком бы порядке не были расположены частоты в таблице, построение кривой следует всегда производить по возрастанию значений частоты.

Быстрая проверка правильности расчетов:

  • АФЧХ и АЧХ начинаются при значении Примеры решения задач по теории автоматического управления;
  • АФЧХ и АЧХ заканчиваются в нуле Примеры решения задач по теории автоматического управления или при Примеры решения задач по теории автоматического управления (для Примеры решения задач по теории автоматического управления);
  • АФЧХ устойчивой системы, не имеющей нулей, проходит по часовой стрелке столько квадрантов, каков порядок характеристического полинома.

Реакцию системы на гармоническое воздействие любой частоты со в показательной форме получают путем умножения на Примеры решения задач по теории автоматического управления амплитуды входного сигнала и добавления Примеры решения задач по теории автоматического управления к его фазе.

Примеры решения задач по ТАУ

Пример №17

Построить частотные характеристики системы с ПФ Примеры решения задач по теории автоматического управления.

Решение:

Подставляем Примеры решения задач по теории автоматического управления учитывая, что Примеры решения задач по теории автоматического управления, снижаем порядок Примеры решения задач по теории автоматического управления (Примеры решения задач по теории автоматического управления и т.п.), избавляемся от мнимости в знаменателе, умножая числитель и знаменатель дроби на комплексное выражение, сопряженное стоявшему в знаменателе, отделяем действительную и мнимую части, приводим в знаменателе подобные члены

Примеры решения задач по теории автоматического управления

В данном случае числители и знаменатели дробей (действительной и мнимой частей) на Примеры решения задач по теории автоматического управления сократить нельзя. Составляем таблицу (таблица 1), используя обязательные значения частот (можно взять больше точек, но не меньше), и подставляем эти значения:

  • крайние частоты 0 и Примеры решения задач по теории автоматического управления;
  • частоты пересечения характеристик с осями (определяются путем приравнивания числителей дробей мнимой и действительной части к нулю и решения полученного уравнения);
  • частоты разрыва характеристики (находят, приравнивая знаменатель нулю и решая уравнение) и близкие к ним (чуть больше-чуть меньше) частоты;
  • прочие частоты для повышения точности расчета.
Примеры решения задач по теории автоматического управления

Приравнивая Примеры решения задач по теории автоматического управления, получаем Примеры решения задач по теории автоматического управления, откуда Примеры решения задач по теории автоматического управления = 2,45.

Приравнивая Примеры решения задач по теории автоматического управления, получаем 10Примеры решения задач по теории автоматического управления = 0, откуда Примеры решения задач по теории автоматического управления = 0.

По виду биквадратного уравнения Примеры решения задач по теории автоматического управления определяем, что частот разрыва (действительных корней) нет. Частоты 1 и 3 рад/с добавлены произвольно для более точного построения графика.

По одной таблице можно построить АФЧХ на комплексной плоскости (рисунок 1.25, а), индивидуально ВЧХ и МЧХ (рисунок 1.25, б), и после дополнительных расчетов АЧХ и ФЧХ (рисунок 1.25, В).

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Пример №18

Записать аналитически реакцию системы с известными АЧХ и ФЧХ (рисунок 1.26) на воздействие Примеры решения задач по теории автоматического управления

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Решение:

Общий вид гармонического сигнала Примеры решения задач по теории автоматического управления. Следовательно, входное воздействие характеризуется параметрами: амплитуда 3,5, фаза 0 рад, частота Примеры решения задач по теории автоматического управления = 1 рад/с. Находим для этой частоты по графику

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Отсюда амплитуда выходной величины равна 3,5 0,36 = 1,26; фаза выходной величины 0 — 0.785 рад и окончательный вид реакции

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Пример №19

При воздействии Примеры решения задач по теории автоматического управления найти сигнал на выходе системы с передаточной функцией Примеры решения задач по теории автоматического управления.

Решение:

Получаем по ПФ аналитические выражения для АЧХ и ФЧХ

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Для известной частоты 10 рад/с значения АЧХ и ФЧХ равны

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Выражение для выходного гармонического сигнала

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Логарифмические частотные характеристики

Зависимость Примеры решения задач по теории автоматического управления от Примеры решения задач по теории автоматического управления называется логарифмической амплитудной частотной характеристикой (ЛАЧХ) или ЛАХ. Зависимость Примеры решения задач по теории автоматического управления от Примеры решения задач по теории автоматического управления называется логарифмической фазной частотной характеристикой (ЛФЧХ) или просто ЛФХ. Частоту откладывают либо в логарифмах (в декадах), либо в радианах, но с учетом логарифмического масштаба. Декада соответствует изменению частоты в 10 раз, Примеры решения задач по теории автоматического управления откладывают в децибелах (дБ), Примеры решения задач по теории автоматического управления в градусах.

Для упрощения при построении вручную действительную ЛАЧХ заменяют асимптотической, т.е. ломаной линией из прямых отрезков, имеющих стандартный наклон, кратный ±20дБ/дек.

Частоты пересечения отрезков со а называются частотами сопряжения, они соответствуют корням ПФ. Частоты пересечения ЛАЧХ с осью абсцисс Примеры решения задач по теории автоматического управления называются частотой среза, они соответствуют значению Примеры решения задач по теории автоматического управления или Примеры решения задач по теории автоматического управления (усиление или ослабление сигнала на частоте среза отсутствует). Для удобства построения через значения сопрягающих частот проводят на графике вертикальные линии, а на свободном поле графика — вспомогательные линии со стандартными наклонами Примеры решения задач по теории автоматического управления(-20) дБ/дек.

Частоты сопряжения находят по корням (постоянным времени Примеры решения задач по теории автоматического управления) простых дробей, на которые разбивают ПФ, или типовых звеньев, из которых состоит структурная схема системы регулирования.

Звено первого порядка (один действительный корень)

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Звено второго порядка (комплексные сопряженные корни)

Примеры решения задач по теории автоматического управления

где Примеры решения задач по теории автоматического управления — показатель затухания (коэффициент демпфирования), характеризует величину резонанса в звене. При Примеры решения задач по теории автоматического управления = 1 резонанс отсутствует, при Примеры решения задач по теории автоматического управления резонансный выброс Примеры решения задач по теории автоматического управления стремится к бесконечности. При значениях Примеры решения задач по теории автоматического управления < 0,6 асимптотическую ЛАЧХ корректируют на величину выброса Примеры решения задач по теории автоматического управления, определяемого по формуле Примеры решения задач по теории автоматического управления где Примеры решения задач по теории автоматического управления — число одинаковых корней (кратность корня), либо по типовым характеристикам (таблица 2) и графикам.

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Левую (начальную) часть ЛАЧХ (низкочастотную или НЧ-асимптоту) или ее продолжение проводят через точку с координатами Примеры решения задач по теории автоматического управления и Примеры решения задач по теории автоматического управления слева направо с наклоном Примеры решения задач по теории автоматического управления(-20 дБ/дек) до первой (наименьшей) частоты сопряжения. Здесь Примеры решения задач по теории автоматического управления это степень астатизма, Примеры решения задач по теории автоматического управления — число нулевых корней знаменателя, Примеры решения задач по теории автоматического управления — числителя; добротность Примеры решения задач по теории автоматического управления — отношение свободных членов полиномов числителя и знаменателя ПФ после удаления нулевых корней.

Двигаясь вправо, на каждой частоте сопряжения продолжают ЛАЧХ с отклонением от предыдущего направления: для корня числителя вверх (+20 дб/дек); для корня знаменателя вниз (-20 дБ/дек). Если кратность корня Примеры решения задач по теории автоматического управления, наклон асимптоты изменяется в Примеры решения задач по теории автоматического управления раз. Общий наклон ЛАЧХ в конце равен Примеры решения задач по теории автоматического управления-(-20 дБ/дек). Выбросы при комплексных корнях откладывают вверх для корней знаменателя, вниз для корней числителя, близкие выбросы суммируются графически.

ЛФЧХ устойчивых систем строят по шаблону, неустойчивых -по вычисляемым точкам. Приближенно считают, что участку ЛАЧХ с наклоном ±20 дБ/дек соответствует фазовый сдвиг около ±90°, а участку с наклоном ±40 дБ/дек сдвиг на ±180°; действительному корню знаменателя соответствует угол наклона ЛФЧХ на сопрягающей частоте Примеры решения задач по теории автоматического управления, комплексной паре Примеры решения задач по теории автоматического управленияПримеры решения задач по теории автоматического управления

У статических систем (степень астатизма Примеры решения задач по теории автоматического управления = 0) НЧ-асимптота представляет собой прямую, параллельную оси частот, и значение Примеры решения задач по теории автоматического управления в децибелах равно расстоянию этой прямой от оси частот Примеры решения задач по теории автоматического управления. У астатических систем находят частоту Примеры решения задач по теории автоматического управления пересечения НЧ-асимптоты или её продолжения с осью частот, откуда Примеры решения задач по теории автоматического управления. Степень астатизма определяется по наклону НЧ-асимптоты относительно оси частот, частоты сопряжения находят по точкам пересечения асимптот — касательных, проведенных к линейным участкам реальной ЛАЧХ.

Пример №20

Построить ЛАЧХ системы, заданной структурной схемой (рисунок 1.31, а). Передаточная функция системы равна

Примеры решения задач по теории автоматического управления
Примеры решения задач по теории автоматического управления

Решение:

Определяем параметры НЧ-асимптоты:

  • порядок астатизма Примеры решения задач по теории автоматического управления = 1 — 0 = 1 (имеется один нулевой корень в знаменателе);
  • добротность Примеры решения задач по теории автоматического управления.

Нули в системе отсутствуют, полюс -5 имеется, отсюда частота сопряжения Примеры решения задач по теории автоматического управления Строим график ЛАЧХ толстой сплошной линией, проводя слева вниз прямую линию с наклоном 1 х(-20 дБ/дек) через точку с координатами (20 дБ, 0) до первой частоты сопряжения (рисунок 1.31, б). Поскольку частота сопряжения соответствует полюсу, отклоняемся от текущего направления вниз на угол -20 дБ/дек, общий наклон ЛАЧХ в конце равен -40 дБ/дек. Корень действительный, поэтому резонанса нет, выбросы не учитываем.

Пример №21

Составить ПФ системы с заданной ЛАЧХ (рисунок 1.31, в), предполагая, что все корни имеют отрицательную действительную часть.

Решение:

На частотах сопряжения Примеры решения задач по теории автоматического управления наблюдается отклонение характеристики от предыдущего направления вверх на +20 дБ/дек, на частотах сопряжения Примеры решения задач по теории автоматического управленияПримеры решения задач по теории автоматического управления — вниз на -20 дБ/дек, поэтому передаточная функция будет иметь вид

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Поскольку

Примеры решения задач по теории автоматического управления

и окончательно

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Устойчивость непрерывных стационарных систем. Математический и физический признаки устойчивости

Устойчивость — это свойство системы возвращаться в исходное состояние равновесия после снятия воздействия, выведшего систему из этого состояния.

Математический (прямой) признак устойчивости: система устойчива, если все корни её характеристического уравнения имеют отрицательную действительную часть. Другими словами — если все полюса системы левые (лежат слева от мнимой оси комплексной плоскости). Корни полинома числителя передаточной функции (нули) на устойчивость системы не влияют.

Если хотя бы один полюс располагается справа от мнимой оси, система неустойчива. Она находится на апериодической границе устойчивости, если при остальных левых корнях имеет один нулевой корень, и на колебательной (периодической) границе устойчивости, если при остальных левых корнях характеристического уравнения имеет пару чисто мнимых корней (значение со мнимой части таких корней равно частоте незатухающих колебаний системы на границе устойчивости).

Физический признак устойчивости: система устойчива, если свободная составляющая Примеры решения задач по теории автоматического управления переходного процесса (импульсная функция Примеры решения задач по теории автоматического управления) с увеличением времени стремится к нулю, неустойчива, если она стремится к бесконечности, и нейтральна (находится на границе устойчивости), если она стремится к некоторой постоянной величине (амплитуде). Для анализа подходит любая реакция системы, если из нее исключить составляющую, обусловленную вынуждающим сигналом. Нельзя применять для анализа формулу Примеры решения задач по теории автоматического управления, т.к. она может давать нулевой результат и для неустойчивых систем.

Пример №22

Оценить прямым методом устойчивость системы, описываемой дифференциальным уравнением

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Решение:

Характеристическое уравнение системы

Примеры решения задач по теории автоматического управления

имеет нулевой корень Примеры решения задач по теории автоматического управления и комплексно-сопряженную пару корней, определяемую из квадратного трехчлена

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Система находится на апериодической границе устойчивости, т.к. нулевой корень находится на мнимой оси комплексной плоскости корней, а остальные корни лежат слева от мнимой оси.

Пример №23

Оценить устойчивость системы со свободной составляющей переходного процесса

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Решение:

Выражение содержит гармонические составляющие с постоянной амплитудой (не затухающие и не расходящиеся с течением времени), отсюда вывод: система находится на колебательной границе устойчивости. Частота незатухающих колебаний, соответствующая колебательной границе устойчивости, равна 1 рад/с или Примеры решения задач по теории автоматического управления.

Алгебраические критерии устойчивости. Критический коэффициент усиления

Критерий Гурвица: система устойчива, если все коэффициенты ее характеристического уравнения

Примеры решения задач по теории автоматического управления

и все диагональные миноры Примеры решения задач по теории автоматического управления матрицы Гурвица положительны.

Для устойчивости систем первого и второго порядка необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были положительны (были одного знака). Достаточные условия для системы третьего порядка

Примеры решения задач по теории автоматического управления

для системы четвертого порядка

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Критерий Гурвица удобно использовать при устном счете для систем не выше четвертого порядка.

Критерий Рауса: система устойчива, если все коэффициенты ее характеристического уравнения и все элементы первого столбца таблицы Рауса положительны. Необходимое условие (положительность всех коэффициентов) совпадает с критерием Гурвица.

Для проверки достаточного условия составляют таблицу, первую и вторую строки которой заполняют попарно коэффициентами характеристического уравнения, начиная со старшего, недостающие коэффициенты заменяют нулем. Элементы последующих строк вычисляют по формулам

Примеры решения задач по теории автоматического управления

где Примеры решения задач по теории автоматического управления — номер строки, Примеры решения задач по теории автоматического управления — номер столбца, Примеры решения задач по теории автоматического управления — вспомогательное число для /-той строки. Таблица содержит Примеры решения задач по теории автоматического управления строку и (Примеры решения задач по теории автоматического управления)/2 с округлением столбец.

Число правых корней характеристического уравнения равно числу перемен знака элементов первого столбца таблицы Рауса. При положительности остальных элементов первого столбца система находится на апериодической границе устойчивости, если равен нулю последний элемент столбца Примеры решения задач по теории автоматического управления, и на периодической границе устойчивости, если равен нулю какой-либо иной элемент первого столбца.

Критическим или предельным (граничным) называется значение параметра (коэффициента), входящего в характеристическое уравнение, при котором система находится на границе устойчивости. Для его определения формулируют условия нахождения системы на границе устойчивости по какому-нибудь критерию.

Контрольная работа по теории автоматического управления ТАУ

Пример №24

Оценить по критерию Гурвица устойчивость системы

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Решение:

Характеристическое уравнение

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Проверяем необходимое условие — все коэффициенты характеристического уравнения положительны, что можно кратко записать как «условие Примеры решения задач по теории автоматического управления выполняется».

Проверяем достаточное условие по определителю Гурвица

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Оба диагональных минора положительны. Так как необходимое и достаточное условия выполняются, система устойчива.

Пример №25

Оценить по Раусу устойчивость системы с характеристическим уравнением

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Решение:

Необходимое условие Примеры решения задач по теории автоматического управления выполняется.

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Проверяем достаточное условие -составляем таблицу Рауса: число строк равно числу коэффициентов (шесть), число столбцов 6/2 = 3. Заполняем две первые строки попарно коэффициентами с четными Примеры решения задач по теории автоматического управления и нечетными Примеры решения задач по теории автоматического управления индексами. Последний коэффициент Примеры решения задач по теории автоматического управления смещается вниз и влево ходом шахматного коня (три клетки вниз и одна влево), ниже него записываем нули. Вычисляем вспомогательное число и элементы третьей строки: Примеры решения задач по теории автоматического управления; откуда Примеры решения задач по теории автоматического управленияПримеры решения задач по теории автоматического управления, затем элементы остальных строк.

В первом столбце имеется отрицательное число, следовательно, система неустойчива. Число перемен знака в первом столбце равно двум (от 1 к Примеры решения задач по теории автоматического управления и от Примеры решения задач по теории автоматического управления к 6), значит система имеет два правых корня характеристического уравнения, остальные три корня левые.

Пример №26

Найти критическое значение коэффициента усиления Примеры решения задач по теории автоматического управления системы с характеристическим уравнением

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Решение:

Формулируем условия нахождения системы на границе устойчивости по критерию Гурвица (он наиболее удобен и нагляден для систем первого-третьего порядка):

  • на апериодической границе Примеры решения задач по теории автоматического управления, откуда Примеры решения задач по теории автоматического управления;
  • на периодической границе Примеры решения задач по теории автоматического управления, откуда следует Примеры решения задач по теории автоматического управления. Учитывая опущенные знаки неравенств, делаем вывод, что система устойчива при значениях коэффициента усиления Примеры решения задач по теории автоматического управления.

Оценить устойчивость по критерию Рауса системы с характеристическим уравнением

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Частотные критерии устойчивости. Критерий Михайлова Согласно принципу аргумента, известному в теории комплексной переменной, если среди Примеры решения задач по теории автоматического управления полюсов ПФ системы Примеры решения задач по теории автоматического управления расположены справа от мнимой оси, а остальные Примеры решения задач по теории автоматического управления — слева, то полное изменение аргумента комплексной функции Примеры решения задач по теории автоматического управления равно

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Отсюда следует, что линейная система Примеры решения задач по теории автоматического управления-го порядка устойчива, если при изменении частоты со от нуля до плюс бесконечности характеристический вектор системы Примеры решения задач по теории автоматического управления повернется против часовой стрелки на угол Примеры решения задач по теории автоматического управления, не обращаясь нигде в ноль.

Конец вектора Примеры решения задач по теории автоматического управления при изменении частоты чертит годограф Михайлова или характеристическую кривую. На этом основана другая формулировка критерия, чаще используемая в инженерной практике.

Система Примеры решения задач по теории автоматического управления-го порядка устойчива, если кривая Михайлова, начинаясь при Примеры решения задач по теории автоматического управления=0 на действительной положительной полуоси, проходит при изменении частоты Примеры решения задач по теории автоматического управления от нуля до плюс бесконечности последовательно против часовой стрелки Примеры решения задач по теории автоматического управления квадрантов комплексной плоскости.

Система находится на апериодической границе устойчивости, если кривая при Примеры решения задач по теории автоматического управления = 0 начинается в начале координат, и на периодической границе устойчивости, если кривая при Примеры решения задач по теории автоматического управления проходит через начало координат. Частота незатухающих колебаний соответствует периодической границе устойчивости системы.

Кривая Михайлова представляет собой уходящую в бесконечность развертывающуюся спираль, у которой при высоком порядке уравнения практически не видно начальную часть, вследствие этого её допускается чертить не в точном масштабе, а лишь фиксируя последовательность и места пересечения с осями. На графике с кривой Михайлова обязательно должен указываться порядок системы Примеры решения задач по теории автоматического управления, так как при его отсутствии может быть сделан ошибочный вывод.

Действительная часть

Примеры решения задач по теории автоматического управления

содержит только четные степени переменной со и называется четной функцией, мнимая часть

Примеры решения задач по теории автоматического управления

содержит только нечетные степени переменной со и называется нечетной функцией. На их использовании основано следствие или вторая форма критерия Михайлова.

Система устойчива, если четная Примеры решения задач по теории автоматического управления и нечетная Примеры решения задач по теории автоматического управления функции при изменении частоты со от нуля до плюс бесконечности обращаются в нуль поочередно, начиная с нечетной функции, т.е. их корни чередуются. Это вытекает из условия последовательного прохождения квадрантов комплексной плоскости. Для построения графика используется та же таблица частот, что и в первой форме.

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Пример №27

Система пятого порядка с кривой Михайлова (рисунок 1.43) неустойчива, т.к. сначала вектор Примеры решения задач по теории автоматического управления повернулся против часовой стрелки на три квадранта (три левых полюса), а затем по часовой стрелке на два квадранта (два правых полюса).

Решение:

Иначе: итоговый поворот равен одному квадранту, т.е. Примеры решения задач по теории автоматического управленияПримеры решения задач по теории автоматического управления, тогда правых корней характеристического полинома (5-1 )/2 = 2.

Пример №28

Найти критическое значение коэффициента усиления системы с

Примеры решения задач по теории автоматического управления

по критерию Михайлова.

Решение:

Заменяя Примеры решения задач по теории автоматического управления получим характеристическую функцию

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Условия нахождения САУ на границе устойчивости

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Корень второго уравнения Примеры решения задач по теории автоматического управления отбрасываем, т.к. для нахождения системы на колебательной границе устойчивости годограф Михайлова должен пройти через начало координат при Примеры решения задач по теории автоматического управления.

Тогда из второго уравнения определяем частоту

Примеры решения задач по теории автоматического управления

и подставляем ее значение в первое уравнение

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Частота, соответствующая колебательной границе устойчивости

Примеры решения задач по теории автоматического управления
Курсовая работа по теории автоматического управления ТАУ

Пример №29

Используя вторую форму (следствие) критерия Михайлова, оценить устойчивость системы

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Решение:

В характеристическом уравнении

Примеры решения задач по теории автоматического управления

заменяем Примеры решения задач по теории автоматического управления, снижаем порядок Примеры решения задач по теории автоматического управления и группируем

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Здесь Примеры решения задач по теории автоматического управления — это четная (действительная) функция Примеры решения задач по теории автоматического управления, а Примеры решения задач по теории автоматического управления — это нечетная (мнимая) функция Примеры решения задач по теории автоматического управления.

Приравнивая поочередно четную и нечетную функции нулю, находим частоты 1,41 и 1,73, соответствующие пересечению кривой с осями координат, подставляем эти частоты в характеристическую функцию и заполняем таблицу. Строим графики четной и нечетной функций — они поочередно пересекают ось частот, т.е. их корни перемежаются, и общее число пересечений равно Примеры решения задач по теории автоматического управления, следовательно, система устойчива (рисунок 1.44).

Примеры решения задач по теории автоматического управления
Примеры решения задач по теории автоматического управления

Примеры решения задач по теории автоматического управления-разбиение по одному параметру

Областью устойчивости Примеры решения задач по теории автоматического управления(0) называют область в пространстве изменяемых параметров, каждой точке которой соответствуют только левые корни характеристического уравнения. Остальные Примеры решения задач по теории автоматического управления-области отличаются числом правых корней характеристического уравнения и обозначаются соответственно Примеры решения задач по теории автоматического управления(1) — область с одним правым полюсом, Примеры решения задач по теории автоматического управления(2) — с двумя и т.д.

Подставив Примеры решения задач по теории автоматического управления в характеристическое уравнение системы, разрешают его относительно изменяемого параметра, находят четную (действительную) Примеры решения задач по теории автоматического управления и нечетную (мнимую) Примеры решения задач по теории автоматического управления функции. Изменяя частоту Примеры решения задач по теории автоматического управления от 0 до плюс бесконечности, строят кривую Примеры решения задач по теории автоматического управления-разбиения и ее зеркальное отображение относительно действительной оси. Двигаясь по кривой от точки Примеры решения задач по теории автоматического управления до точки Примеры решения задач по теории автоматического управления, наносят штриховку слева от кривой.

Направление штриховки указывает на область с наибольшим числом левых корней. При каждом переходе через кривую навстречу штриховке один корень характеристического уравнения становится правым, в обратном направлении — левым. Выбранную по штриховке область-претендент Примеры решения задач по теории автоматического управления(0) проверяют на устойчивость с помощью любого критерия, подставив значение параметра из этой области в характеристическое уравнение. Поскольку изменяемый параметр является действительной величиной, его допустимые значения лежат на отрезке действительной оси, заключенном внутри области устойчивости Примеры решения задач по теории автоматического управления( 0).

Пример №30

Найти методом Примеры решения задач по теории автоматического управления-разбиения критические значения коэффициента усиления к системы, заданной передаточной функцией

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Решение:

Разрешаем характеристическое уравнение системы

Примеры решения задач по теории автоматического управления

относительно исследуемого параметра Примеры решения задач по теории автоматического управления

Примеры решения задач по теории автоматического управления

производим замену Примеры решения задач по теории автоматического управления

Примеры решения задач по теории автоматического управления

снижаем порядок Примеры решения задач по теории автоматического управления и группируем

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Определяем частоты пересечения основной кривой с осями:

Примеры решения задач по теории автоматического управления
Примеры решения задач по теории автоматического управления

Строим основную и зеркальную кривые на комплексной плоскости, указывая направление возрастания частоты стрелкой на характеристике (рисунок 1.47). Наносим штриховку, обозначаем области с предполагаемым числом правых полюсов в скобках. Проверяем область-претендент Примеры решения задач по теории автоматического управления(0) на устойчивость по критерию Гурвица при значении Примеры решения задач по теории автоматического управления, выбранном на отрезке внутри области Примеры решения задач по теории автоматического управления(0) между точками 0 и 60

Примеры решения задач по теории автоматического управления
Примеры решения задач по теории автоматического управления

Так как и необходимое, и достаточное условия устойчивости по Гурвицу при Примеры решения задач по теории автоматического управления выполняются, то система будет устойчивой при любых значениях коэффициента усиления в интервале 0 < Примеры решения задач по теории автоматического управления < 60. Критические значения коэффициента равны

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Критерий Найквиста. Запасы устойчивости Упрощенная формулировка: система, устойчивая в разомкнутом состоянии или нейтральная, будет устойчивой в замкнутом состоянии, если АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты Примеры решения задач по теории автоматического управления от нуля до плюс бесконечности не охватывает точку с координатами Примеры решения задач по теории автоматического управления. Всегда подразумевается замыкание системы единичной ООС.

Общая формулировка: система после замыкания будет устойчивой, если АФЧХ разомкнутой системы охватывает в положительном направлении (против часовой стрелки) Примеры решения задач по теории автоматического управления раз точку с координатами Примеры решения задач по теории автоматического управления, где Примеры решения задач по теории автоматического управления — число правых полюсов разомкнутой системы.

Оценка запасов устойчивости по АФЧХ. Запасы устойчивости по амплитуде Примеры решения задач по теории автоматического управления в относительных единицах равны расстоянию от критической точки Примеры решения задач по теории автоматического управления до ближайших точек пересечения АФЧХ с отрицательной действительной полуосью. В децибелах запас устойчивости по амплитуде находят как величину, обратную амплитуде Примеры решения задач по теории автоматического управления вектора Примеры решения задач по теории автоматического управления при угле -180° или Примеры решения задач по теории автоматического управления, где Примеры решения задач по теории автоматического управления — расстояние от точки пересечения АФЧХ с отрицательной действительной полуосью до начала координат. Норма Примеры решения задач по теории автоматического управления или 6-12 дБ.

Запас устойчивости по фазе Примеры решения задач по теории автоматического управления равен углу между отрицательной действительной полуосью и лучом, проведенным из начала координат в точку пересечения АФЧХ с дугой единичного радиуса. Запас по фазе Примеры решения задач по теории автоматического управления находится в пределах от 0 до 180°, при проектировании обычно нормой является Примеры решения задач по теории автоматического управления.

Система устойчива в замкнутом состоянии, если обратная АФЧХ Примеры решения задач по теории автоматического управления разомкнутой системы охватывает точку Примеры решения задач по теории автоматического управления.

Логарифмический критерий Найквиста (диаграмма Боде). Обычная формулировка: замкнутая система устойчива, если в момент пересечения ЛФЧХ разомкнутой системы линии -180° её ЛАЧХ отрицательна. Общая формулировка пригодна и для систем, неустойчивых в разомкнутом состоянии: замкнутая система устойчива, если на интервале положительности ЛАЧХ разомкнутой системы сумма переходов ее ЛФЧХ линии -180° равна Примеры решения задач по теории автоматического управления, где Примеры решения задач по теории автоматического управления — число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

Оценка запасов устойчивости по ЛЧХ. Запас устойчивости по амплитуде Примеры решения задач по теории автоматического управления равен отклонению ЛАЧХ от нуля на ближайших к частоте среза Примеры решения задач по теории автоматического управления частотах пересечения ЛФЧХ с линией минус 180°. Запас устойчивости по фазе Примеры решения задач по теории автоматического управления равен отклонению ЛФЧХ на частоте среза Примеры решения задач по теории автоматического управления от линии минус 180° к нулю.

Пример №31

Оценить устойчивость системы (рисунок 1.50) по Найквисту.

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Решение:

Поскольку необходимо оценить устойчивость имеющейся системы, ее предварительно следует сделать разомкнутой — разорвать контур обратной связи по сумматору. Передаточная функция разомкнутой системы

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Блок с коэффициентом усиления 20 стоит вне контура обратной связи и на устойчивость системы не влияет. В разомкнутом состоянии система находится на колебательной границе устойчивости, так как имеет корни Примеры решения задач по теории автоматического управления. Находим комплексный коэффициент передачи разомкнутой системы Примеры решения задач по теории автоматического управления.

Определяем частоты пересечения годографа с осями координат: мнимая часть отсутствует, из уравнения Примеры решения задач по теории автоматического управления видно, что корни, т.е. частоты пересечения с мнимой осью, отсутствуют. Зато уравнение Примеры решения задач по теории автоматического управления дает частоту разрыва характеристики Примеры решения задач по теории автоматического управления. В подобном случае обычно берут еще две частоты (произвольно) — немного меньше частоты разрыва и немного больше, например, возьмём 0,1 и 10.

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Замкнутая система также находится на колебательной границе устойчивости (рисунок 1.51), т.к. АФЧХ проходит через точку Примеры решения задач по теории автоматического управления.

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Пример №32

Оценить запасы устойчивости по АФЧХ после замыкания единичной ООС системы с

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Решение:

Задача не требует построения АФЧХ. По критерию Гурвица следует, что в разомкнутом состоянии система устойчива, нулей нет, поэтому годограф Найквиста проходит два квадранта по часовой стрелке и не пересекает отрицательную действительную полуось. Таким образом, запас по амплитуде максимален Примеры решения задач по теории автоматического управления. Полюса системы действительные -1 и -2, следовательно, резонанс в системе отсутствует и амплитуда вектора Примеры решения задач по теории автоматического управления нигде не превышает величины Примеры решения задач по теории автоматического управления = 1/2, запас устойчивости по фазе равен Примеры решения задач по теории автоматического управления = 180°.

Качество непрерывных стационарных систем. Прямые оценки качества регулирования

Прямые оценки качества определяются по переходной характеристике, т.е. реакции системы на единичный скачок при нулевых начальных условиях (рисунок 1.55).

Время регулирования Примеры решения задач по теории автоматического управления измеряется от начала переходного процесса до момента, после которого характеристика не отклоняется от установившегося значения более, чем на величину допустимой ошибки Примеры решения задач по теории автоматического управления (обычно 5 %, реже 2 % от установившегося значения). Следует указывать, при какой зоне Примеры решения задач по теории автоматического управления получено время регулирования.

Перерегулирование Примеры решения задач по теории автоматического управления — величина максимального относительного заброса переходной характеристики от начальной величины за линию установившегося значения (в относительных единицах или %)

Примеры решения задач по теории автоматического управления
Примеры решения задач по теории автоматического управления

Если начальное и конечное значения характеристики равны нулю или одинаковы (и приняты условно за 0), возможны два способа оценки. При наличии разнополярных значений перерегулирование равно отношению величины второго экстремума к величине первого (рисунок 1.56, а), а если колебание одно (рисунок 1.56, б), то перерегулирование равно отношению величины максимального отклонения к величине входного воздействия (обычно это единица). Зону Примеры решения задач по теории автоматического управления для оценки времени регулирования в первом случае определяют от значения первого максимума, во втором случае — от величины входного воздействия.

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Время нарастания Примеры решения задач по теории автоматического управления определяется: для процессов с перерегулированием как время от начала процесса до момента пересечения кривой линии установившегося значения; для любых процессов как время между моментами достижения заданных уровней установившегося значения (например, 10 и 90 %). Поэтому при оценке времени нарастания следует указывать, каким способом оно получено.

Время достижения первого максимума Примеры решения задач по теории автоматического управления (подразумевается, что первый максимум кривой является и наибольшим из всех).

Коэффициент колебательности Примеры решения задач по теории автоматического управления — число забросов переходной характеристики через линию установившегося значения за время регулирования, рекомендуется не более одного-двух забросов.

Степень затухания (демпфирования) — величина относительного уменьшения

Примеры решения задач по теории автоматического управления

амплитуды максимальных забросов выходной величины за один период Примеры решения задач по теории автоматического управления удовлетворительной считают систему с Примеры решения задач по теории автоматического управления.

Установившаяся ошибка Примеры решения задач по теории автоматического управления равна разнице между предписанным и действительным значениями выходной величины после окончания переходного процесса.

Задачи теории автоматического управления ТАУ

Пример №33

Оценить время регулирования и перерегулирование для системы с передаточной функцией Примеры решения задач по теории автоматического управления.

Решение:

Поскольку полюс Примеры решения задач по теории автоматического управления действительный, без мнимой части, колебаний не будет и перерегулирование Примеры решения задач по теории автоматического управления. Переходный процесс описывается зависимостью Примеры решения задач по теории автоматического управления и заканчивается при достижении величины Примеры решения задач по теории автоматического управления, т.е. когда выполняется условие Примеры решения задач по теории автоматического управления. Отсюда

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Пример №34

Определить величину перерегулирования и времени регулирования (рисунок 1.57)

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Решение:

Перерегулирование Примеры решения задач по теории автоматического управления = (1,5 — 1,0)/1,0 = 0,5 или 50 %. Для определения времени регулирования проводим параллельно линии установившегося значения две прямые на уровне Примеры решения задач по теории автоматического управления. По точке последнего вхождения кривой в зону 2Примеры решения задач по теории автоматического управления получаем Примеры решения задач по теории автоматического управления = 15 с.

Корневые методы оценки качества регулирования Доминирующими называются левые полюса системы, ближайшие к мнимой оси. Степень устойчивости Примеры решения задач по теории автоматического управления (или Примеры решения задач по теории автоматического управления) равна модулю их действительной части (рисунок 1.62). Для оценки времени регулирования Примеры решения задач по теории автоматического управления находят сначала степень устойчивости системы, откуда при ошибке

Примеры решения задач по теории автоматического управления

При заданной зоне ошибки 2 % вместо коэффициента 3 берут приблизительно 4.

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Найдя степень колебательности системы

Примеры решения задач по теории автоматического управления

определяют значение перерегулирования

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Для расчетаПримеры решения задач по теории автоматического управления выбирают комплексный корень (полюс), у которого отношение мнимой части к действительной максимально. При единственной паре комплексных корней необходимость выбора отпадает. При нескольких парах комплексных корней максимальное значение Примеры решения задач по теории автоматического управления у того корня, который первым встречается лучу, проведенному из начала координат по положительной мнимой полуоси и поворачиваемому против часовой стрелки.

Показатели качества определяют только для устойчивых систем. Если система имеет нуль, равный полюсу, то они взаимно компенсируются и данная составляющая не учитывается (выпадает из переходного процесса).

Пример №35

Оценить показатели качества регулирования системы, имеющей нуль -0,125, полюса Примеры решения задач по теории автоматического управления и коэффициент передачи 1,2.

Решение:

Коэффициент передачи на относительные показатели не влияет. Нуль -0,125, равный полюсу, взаимно с ним компенсируется. Следовательно, доминирующими являются комплексно-сопряженные полюса Примеры решения задач по теории автоматического управления откуда Примеры решения задач по теории автоматического управления, степень колебательности системы

Примеры решения задач по теории автоматического управления

и перерегулирование

Примеры решения задач по теории автоматического управления

или 45,6 %.

Пример №36

Оценить перерегулирование и время регулирования системы

Примеры решения задач по теории автоматического управления

с законом управления Примеры решения задач по теории автоматического управления.

Решение:

Подставляя значение и в соответствии с законом регулирования, получим дифференциальное уравнение

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Нули отсутствуют, из характеристического уравнения

Примеры решения задач по теории автоматического управления

находим полюса

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Отсюда

Примеры решения задач по теории автоматического управления

а перерегулирование Примеры решения задач по теории автоматического управления или 4,3 %.

Частотные методы оценки качества регулирования Особые частоты: Примеры решения задач по теории автоматического управления — граница интервала частот положительности ВЧХ, Примеры решения задач по теории автоматического управления — частота собственных колебаний, Примеры решения задач по теории автоматического управления — граница интервала существенных частот, вне которого текущее значение функции уже не превышает Примеры решения задач по теории автоматического управления.

Общие принципы оценки качества по вещественной частотной характеристике Примеры решения задач по теории автоматического управления:

  • Примеры решения задач по теории автоматического управления — конечное значение переходной характеристики численно равно начальному значению ВЧХ;
  • Примеры решения задач по теории автоматического управления — начальное значение переходной характеристики численно равно конечному значению ВЧХ;
  • Примеры решения задач по теории автоматического управления — кратность изменения масштаба ВЧХ и переходной характеристики одинакова;
  • Примеры решения задач по теории автоматического управления — расширение полосы рабочих частот ведет к соразмерному повышению быстродействия системы;
  • время регулирования Примеры решения задач по теории автоматического управления
  • перерегулирование а определяется по форме ВЧХ:

а) если ВЧХ монотонно убывает, то перерегулирование Примеры решения задач по теории автоматического управления = 0;

б) если ВЧХ является положительной невозрастающей функцией, то перерегулирование Примеры решения задач по теории автоматического управления < 18 %;

в) если ВЧХ имеет подъем от

Примеры решения задач по теории автоматического управления

г) если ВЧХ имеет отрицательный минимум со значением более 0,1 Примеры решения задач по теории автоматического управления, то с его учетом

Примеры решения задач по теории автоматического управления

д) если ВЧХ терпит разрыв при Примеры решения задач по теории автоматического управления, система совершает незатухающие колебания, Примеры решения задач по теории автоматического управления и показатели качества не определяются.

При оценке качества регулирования по АЧХ обычно вычисляют значение частотного показателя колебательности, равное отношению максимума характеристики к ее начальному значению Примеры решения задач по теории автоматического управления. При Примеры решения задач по теории автоматического управления = 1 переходная характеристика системы не колебательна, при Примеры решения задач по теории автоматического управления система находится на границе устойчивости, наблюдаются незатухающие колебания с частотой Примеры решения задач по теории автоматического управления. Оптимальными считаются значения Примеры решения задач по теории автоматического управления= 1,1..1,5, которым соответствует перерегулирование 10-30 % и запас по фазе 30-50°.

Пример №37

Оценить значение частотного показателя колебательности системы по её АЧХ (рисунок 1.68).

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Решение:

Максимальное значение АЧХ равно 1,51, следовательно, показатель колебательности Примеры решения задач по теории автоматического управления = 1,51/1,0 = 1,51, что ещё удовлетворяет минимальному запасу по фазе 30° и перерегулированию 30 %.

Пример №38

Найти значение перерегулирования и времени регулирования системы по заданной АФЧХ (рисунок 1.69)

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Решение:

Частота Примеры решения задач по теории автоматического управления = 1,45 рад/с, положительный максимум ВЧХ равен 1,09 при начальном значении Примеры решения задач по теории автоматического управления = 1,0, отрицательный минимум 0,521. Отсюда получаем перерегулирование

Примеры решения задач по теории автоматического управления

и время регулирования не более

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Интегральные оценки качества переходных процессов Интегральные показатели качества регулирования дают совокупную оценку быстродействия и колебательности без вычисления их значений. Они характеризуют отклонение реального переходного процесса от заданного идеального.

Интегральная линейная оценка (ИЛО) определяется площадью отклонения реального процесса от идеального ступенчатого. Для обеспечения требуемых динамических свойств САУ необходимо выразить величину Примеры решения задач по теории автоматического управления через коэффициенты передаточной функции системы

Примеры решения задач по теории автоматического управления

где Примеры решения задач по теории автоматического управления — значение передаточной функции в установившемся режиме (при Примеры решения задач по теории автоматического управления), а затем найти оптимальные значения варьируемых параметров, соответствующих минимуму Примеры решения задач по теории автоматического управления.

Пример №39

Для системы с передаточной функцией

Примеры решения задач по теории автоматического управления

линейная интегральная оценка

Примеры решения задач по теории автоматического управления

зависит от соотношения постоянных времени Примеры решения задач по теории автоматического управления и Примеры решения задач по теории автоматического управления. Минимум оценки достигается при их равенстве.

Точность в установившемся режиме

Установившаяся ошибка характеризует точность системы в статическом режиме и равна отклонению действительного значения регулируемой величины от заданного. Система с нулевой установившейся ошибкой Примеры решения задач по теории автоматического управления называется астатической, а при Примеры решения задач по теории автоматического управления и система и ошибка называются статическими.

Ошибка зависит от вида входного воздействия, места его приложения и степени астатизма Примеры решения задач по теории автоматического управления (числа нулевых полюсов) разомкнутой системы. По умолчанию подразумевают вход задания Примеры решения задач по теории автоматического управления и вид воздействия скачок Примеры решения задач по теории автоматического управления при нулевых начальных условиях, в ином случае условия получения ошибки должны оговариваться специально.

Передаточная функция ошибки воспроизведения задания определяется по ПФ разомкнутой системы как Примеры решения задач по теории автоматического управления по передаточной функции замкнутой системы как Примеры решения задач по теории автоматического управления.

Относительная величина установившейся ошибки называется коэффициентом статизма (статизмом) системы по соответствующему каналу:

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Здесь Примеры решения задач по теории автоматического управления — коэффициент усиления объекта регулирования. Ошибку регулирования и статизм можно уменьшить, увеличивая общий коэффициент усиления системы Примеры решения задач по теории автоматического управления а по заданной величине статизма (относительной статической ошибки) системы можно выбрать требуемый коэффициент усиления.

Интеграторы с ПФ вида Примеры решения задач по теории автоматического управления добавляемые вне цепи прямой связи сигнала ошибки, увеличивая порядок астатизма разомкнутой системы, позволяют полностью устранить ошибки статическую, по скорости, по ускорению.

Установившийся динамический режим имеет место при возмущенном движении системы с момента затухания свободной составляющей переходного процесса.

Если входное воздействие аппроксимируется полиномом от Примеры решения задач по теории автоматического управления т.е. разлагается в степенной ряд

Примеры решения задач по теории автоматического управления

для расчета вынужденной составляющей ошибки используют метод коэффициентов ошибок. По этому методу передаточную функцию ошибки представляют в виде аналогичного ряда

Примеры решения задач по теории автоматического управления

где Примеры решения задач по теории автоматического управления — коэффициент статической (позиционной) ошибки от Примеры решения задач по теории автоматического управления; Примеры решения задач по теории автоматического управления — коэффициент ошибки по скорости от линейной функции Примеры решения задач по теории автоматического управления, Примеры решения задач по теории автоматического управления — коэффициент ошибки по ускорению от функции Примеры решения задач по теории автоматического управления. Сравнивая две формы записи передаточной функции ошибки, находят значения коэффициентов ошибок (в обоих случаях полиномы нужно начать со свободного члена, а дробь пронормировать по свободному члену знаменателя)

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Обычно вычисляют не более трех первых коэффициентов ошибок. Коэффициенты передачи составляющих входного воздействия вычисляются по ПФ разомкнутой системы и называются:

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Пример №40

Пусть допустимая статическая ошибка воспроизведения скачка задания не должна превышать значения Примеры решения задач по теории автоматического управления или Примеры решения задач по теории автоматического управления. Для этого необходимо иметь полный коэффициент усиления системы не менее

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Пример №41

Определить полную статическую ошибку для системы (рисунок 1.72), полагая, что

Примеры решения задач по теории автоматического управления
Примеры решения задач по теории автоматического управления

Выражение для суммарной ошибки в операторной форме

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Поскольку изображения входных сигналов равны Примеры решения задач по теории автоматического управления и Примеры решения задач по теории автоматического управления, полная статическая ошибка будет равна Примеры решения задач по теории автоматического управления. Благодаря интегратору Примеры решения задач по теории автоматического управления, значение ошибки от величины задания Примеры решения задач по теории автоматического управления и возмущения Примеры решения задач по теории автоматического управления не зависит. Система является астатической относительно обоих воздействий.

Пример №42

Определить три первых коэффициента ошибки, вынужденную составляющую ошибки от воздействия

Примеры решения задач по теории автоматического управления

и добротность по скорости для системы, имеющей в разомкнутом состоянии ПФ

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Решение:

Находим передаточную функцию по каналу ошибки

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Используя нормированную по Примеры решения задач по теории автоматического управления передаточную функцию, найдем три первых коэффициента ошибок

Примеры решения задач по теории автоматического управления

В общем виде вынужденная составляющая ошибки воспроизведения задающего воздействия равна

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Для задающего воздействия

Примеры решения задач по теории автоматического управления

находим производные Примеры решения задач по теории автоматического управления и установившуюся динамическую ошибку в любой момент времени

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Добротность по скорости вычисляем по ПФ разомкнутой системы

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Многомерные системы регулирования. Переход к пространству состояний

При описании системы переменными состояния дифференциальному уравнению Примеры решения задач по теории автоматического управления-го порядка

Примеры решения задач по теории автоматического управления

и соответствует система Примеры решения задач по теории автоматического управления дифференциальных уравнений первого порядка в нормальной форме Коши, разрешенных относительно производной.

Для перехода от ОДУ по методу фазовых переменных за первую переменную состояния принимают выходную величину, за остальные переменные состояния принимают Примеры решения задач по теории автоматического управления-1 производную выходной величины. Обязательно сначала нужно нормировать дифференциальное уравнение, т.е. делить обе части уравнения на коэффициент Примеры решения задач по теории автоматического управления при старшей производной выходной функции (на старший коэффициент многочлена знаменателя передаточной функции).

Если порядок Примеры решения задач по теории автоматического управления многочлена числителя ПФ меньше порядка Примеры решения задач по теории автоматического управления многочлена знаменателя, общий коэффициент ПФ (коэффициент перед правой частью ОДУ) записывается в уравнение для старшей переменной состояния, а коэффициенты многочлена числителя — в обратном порядке в уравнение выхода.

По системе уравнений составляется матрица состояния Примеры решения задач по теории автоматического управления (из коэффициентов при Примеры решения задач по теории автоматического управления) и матрица входа Примеры решения задач по теории автоматического управления (из коэффициентов при входном воздействии Примеры решения задач по теории автоматического управления), по уравнению выхода составляется матрица выхода Примеры решения задач по теории автоматического управления (из коэффициентов при Примеры решения задач по теории автоматического управления)

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Сопровождающая матрица Примеры решения задач по теории автоматического управления (матрица Фробениуса) может быть записана прямо по ОДУ (по характеристическому полиному системы)

Примеры решения задач по теории автоматического управления

По уравнениям состояния или матрицам Примеры решения задач по теории автоматического управления указанного вида легко восстановить ПФ или ОДУ, учитывая, что в последней строке сопровождающей матрицы Примеры решения задач по теории автоматического управления записаны с конца, с обратным знаком коэффициенты нормированного характеристического многочлена, а в матрице Примеры решения задач по теории автоматического управления — коэффициенты многочлена числителя передаточной функции в обратном порядке.

Пример №43

Дифференциальное уравнение объекта управления

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Выбираем переменные состояния

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Решение:

В нормировании нет необходимости. Записываем для каждой из переменных состояния дифференциальное уравнение первого порядка, добавляем общее алгебраическое уравнение выхода

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Пример №44

Пусть модель объекта управления имеет вид

Примеры решения задач по теории автоматического управления

тогда после нормирования (деления на 2), считая общий коэффициент перед правой частью уравнения равным единице, получим описание системы в пространстве состояний матрицами

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Канонические представления

Стандартные формы описания систем в пространстве состояний с сопровождающей матрицей Примеры решения задач по теории автоматического управления называются каноническими. Это каноническая управляемая форма (с упрощенной матрицей Примеры решения задач по теории автоматического управления) и каноническая наблюдаемая форма (с упрощенной матрицей Примеры решения задач по теории автоматического управления).

При Примеры решения задач по теории автоматического управления, т.е. одинаковых степенях полиномов числителя и знаменателя ПФ, появляется ненулевая матрица обхода Примеры решения задач по теории автоматического управления, которая содержит коэффициенты при входных воздействиях в уравнении выхода. Если матрица Примеры решения задач по теории автоматического управления нулевая, её можно не писать.

Пусть

Примеры решения задач по теории автоматического управления

тогда вычисления для перехода к канонической управляемой форме имеют вид

Примеры решения задач по теории автоматического управления

При Примеры решения задач по теории автоматического управления в матрицу с просто записываются коэффициенты числителя передаточной функции, начиная со свободного члена.

Другой способ перехода к канонической управляемой форме: нужно разделить числитель ПФ на ее знаменатель, получившееся отдельно стоящее слагаемое (частное) поместить в матрицу Примеры решения задач по теории автоматического управления, а коэффициенты числителя полученной рациональной дроби (остатка) записать в матрицу с как обычно, начиная со свободного члена.

Порядок расчета элементов матриц Примеры решения задач по теории автоматического управления и Примеры решения задач по теории автоматического управления для перехода к канонической наблюдаемой форме (в этом случае элементы матрицы Примеры решения задач по теории автоматического управления необходимо вычислять даже при нулевой матрице Примеры решения задач по теории автоматического управления, т.е. при Примеры решения задач по теории автоматического управления).

Пусть

Примеры решения задач по теории автоматического управления

тогда

Примеры решения задач по теории автоматического управления

К стандартным формам относится также описание с диагональной (модальной) матрицей Примеры решения задач по теории автоматического управления, когда по главной диагонали матрицы записывают её собственные значения (корни характеристического уравнения). К описанию с диагональной матрицей Примеры решения задач по теории автоматического управления переходят путем разложения исходного выражения на простые дроби.

Если матрица Примеры решения задач по теории автоматического управления не сопровождающая, а произвольного вида, ее характеристический многочлен нужно вычислять как определитель Примеры решения задач по теории автоматического управления, где Примеры решения задач по теории автоматического управления — комплексная переменная Лапласа, 1 — единичная матрица.

Корни характеристического уравнения Примеры решения задач по теории автоматического управления=0 являются собственными значениями матрицы Примеры решения задач по теории автоматического управления. Матрицы подобны, если имеют одинаковые собственные значения (характеристические многочлены и их корни).

Многомерная система устойчива, если все собственные значения матрицы состояний Примеры решения задач по теории автоматического управления имеют отрицательную действительную часть, иначе — все корни характеристического полинома являются левыми. Вычислив характеристическое уравнение системы Примеры решения задач по теории автоматического управления, можно оценить ее устойчивость любым из известных способов.

Пример №45

Передаточная функция объекта

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Каноническое управляемое представление (нормирование по Примеры решения задач по теории автоматического управления не требуется, матрица Примеры решения задач по теории автоматического управления имеет стандартный вид, всегда одинаковый)

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Пример №46

По уравнению

Примеры решения задач по теории автоматического управления

составим каноническую наблюдаемую форму. Нормирование по старшему коэффициенту знаменателя при Примеры решения задач по теории автоматического управления не требуется, так как он уже равен единице, многочлен числителя ПФ дополняем коэффициентами до той же степени, что и многочлен знаменателя

Примеры решения задач по теории автоматического управления

матрица Примеры решения задач по теории автоматического управления нулевая, поскольку Примеры решения задач по теории автоматического управления, и окончательно (матрица с имеет стандартный вид, всегда одинаковый)

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Пример №47

Перейти к переменным состояния разложением на простые дроби заданной передаточной функции

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Решение:

Коэффициенты на главной диагонали матрицы Примеры решения задач по теории автоматического управления равны её собственным значениям (полюсам системы) Примеры решения задач по теории автоматического управления; структурная схема соответствует рисунку 2.1. Матрицы Примеры решения задач по теории автоматического управления и Примеры решения задач по теории автоматического управления включены последовательно, поэтому, если вычеты 0,5 и 0,5 вписаны в матрицу Примеры решения задач по теории автоматического управления (как показано), то в матрицу Примеры решения задач по теории автоматического управления записываются единицы, и наоборот.

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Пример №48

Оценить устойчивость системы, проверить подобие матрицы Примеры решения задач по теории автоматического управления и матрицы Примеры решения задач по теории автоматического управленияПримеры решения задач по теории автоматического управления

Система

Примеры решения задач по теории автоматического управления

матрица

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Решение:

Характеристическая матрица

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Характеристический многочлен (определитель характеристической матрицы)

Примеры решения задач по теории автоматического управления

По критерию Гурвица система устойчива, т.к. все коэффициенты характеристического многочлена положительны.

Характеристический многочлен матрицы

Примеры решения задач по теории автоматического управления

равен

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Матрицы Примеры решения задач по теории автоматического управления и Примеры решения задач по теории автоматического управления подобны, поскольку равны их характеристические многочлены.

Описание по структурной схеме

На структурной схеме переменные состояния могут быть назначены разным образом, поэтому и описания системы в пространстве состояний будут отличаться. Все матрицы имеют нестандартный вид. Однако переменная всегда назначается на выходе блока с Примеры решения задач по теории автоматического управления в знаменателе, а ОДУ первого порядка для каждого такого блока записывают в зависимости от вида знаменателя:

а) звено с нулевым корнем в знаменателе (рисунок 2.3, а)

Примеры решения задач по теории автоматического управления

б) звено с действительным корнем, две формы (рисунок 2.3, б)

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Правая часть после нормирования равна произведению входа на числитель минус произведение выхода на коэффициент знаменателя.

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Звено с комплексными сопряженными корнями (рисунок 2.3, в), не разлагается на два простых, поэтому вводят условно переменную состояния с промежуточным индексом и составляют два уравнения

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Эта запись соответствует переходу от дифференциального уравнения к канонической форме наблюдаемости с нормированием по старшему коэффициенту знаменателя

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Любой блок порядка Примеры решения задач по теории автоматического управления>1 может быть описан с использованием канонической наблюдаемой формы без его разложения на простые звенья. В особенности это важно, если блок имеет нули, т.е. порядок многочлена числителя его передаточной функции не ниже единицы.

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Умножая матрицу Примеры решения задач по теории автоматического управления на вектор Примеры решения задач по теории автоматического управления и вектор Примеры решения задач по теории автоматического управления на вход Примеры решения задач по теории автоматического управления, получаем систему уравнений, которую затем совмещаем с уравнениями оставшейся части структурной схемы.

Поскольку в пространстве состояний не могут быть отдельно описаны дифференцирующие и форсирующие звенья с Примеры решения задач по теории автоматического управления, то, получив в правой части уравнения дополнительную производную с индексом, меньшим текущего номера уравнения, ее пробуют выразить через значение, полученное ранее, в предыдущих дифференциальных уравнениях. Обычно это имеет место при обратных связях через Примеры решения задач по теории автоматического управления.

Пример №49

Описать систему (рисунок 2.4, а)

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Решение:

Сначала рассматриваем сложный блок с переменной s в числителе, учитывая, что вектор с для него составлен единственной единицей и в вычислениях не нуждается, а переменная состояния на выходе блока имеет индекс 2:

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Затем описываем всю систему, включая в нее этот блок:

Примеры решения задач по теории автоматического управления

и окончательно

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Пример №50

Составляя уравнения состояния для случая, когда в цепи обратной связи есть звено дифференцирования с Примеры решения задач по теории автоматического управления (рисунок 2.4, б) учитываем, что умножение на s в операторной области соответствует взятию производной во временной области.

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Решение:

Поскольку в правой части уравнений производных быть не должно, вместо производной подставляется ее значение, вычисленное ранее. Окончательно

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Синтез структурной схемы

Независимо от реальной конструкции, система в пространстве состояний может быть представлена набором интеграторов (звеньев Примеры решения задач по теории автоматического управления, осуществляющих операцию интегрирования входной величины по времени), сумматоров и блоков, воспроизводящих коэффициенты усиления в собственных и перекрестных связях.

Пример №51

Перейдем от матриц Примеры решения задач по теории автоматического управления

Примеры решения задач по теории автоматического управления

к структурной схеме (рисунок 2.11), для чего выбираем число звеньев (равно порядку матрицы Примеры решения задач по теории автоматического управления), определяем корни знаменателей ПФ по диагональным элементам матрицы Примеры решения задач по теории автоматического управления (Примеры решения задач по теории автоматического управления = -1 у блока с переменной Примеры решения задач по теории автоматического управления на выходе и Примеры решения задач по теории автоматического управления = -3 у блока с переменной Примеры решения задач по теории автоматического управления), находим коэффициенты прямых связей — числители ПФ блоков между Примеры решения задач по теории автоматического управления и Примеры решения задач по теории автоматического управления, между Примеры решения задач по теории автоматического управления и Примеры решения задач по теории автоматического управления(оба числителя равны 1). В схеме имеются две отрицательные обратные связи: единичная ООС от Примеры решения задач по теории автоматического управления к Примеры решения задач по теории автоматического управления и с коэффициентом 3 от Примеры решения задач по теории автоматического управления к Примеры решения задач по теории автоматического управления. На входе системы находится блок с коэффициентом 2, выход Примеры решения задач по теории автоматического управления связан с системой через коэффициенты 1 матрицы Примеры решения задач по теории автоматического управления.

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Пример №52

Построить структурную схему объекта, заданного системой дифференциальных уравнений

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Решение:

Порядок объекта равен двум, используем два интегратора с сумматором на входе каждого. Назначаем переменные на выходах интеграторов, двигаясь от выхода схемы ко входу, значения всех производных формируются на входе интеграторов. Проводим связи на входы сумматоров в соответствии с видом уравнений. Например, производная Примеры решения задач по теории автоматического управления образуется на входе последнего интегратора суммированием выходной переменной Примеры решения задач по теории автоматического управления (с минусом) и переменной Примеры решения задач по теории автоматического управления, взятой с коэффициентом 2 (смотри первую строку системы дифференциальных уравнений). Сумматор на выходе необходим для образования выходной величины из переменных состояния, взятых с соответствующими коэффициентами Примеры решения задач по теории автоматического управления (рисунок 2.12).

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Пример №53

Построить структурную схему объекта по дифференциальному уравнению

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Решение:

Поскольку порядок системы равен трем, используем три интегратора Примеры решения задач по теории автоматического управления, включив их последовательно и установив сумматор на входе первого интегратора слева. К инвертирующему входу этого сумматора подключаем через согласующие сумматоры блоки с коэффициентами (по порядку): Примеры решения задач по теории автоматического управления — с выхода первого интегратора, Примеры решения задач по теории автоматического управления — с выхода второго интегратора, Примеры решения задач по теории автоматического управления — с выхода третьего интегратора.

Если в правой части дифференциального уравнения нет производных, блок с коэффициентом Примеры решения задач по теории автоматического управления помещаем на входе главного сумматора (рисунок 2.13), в ином случае необходим еще один сумматор на выходе схемы, к которому через блоки с коэффициентами Примеры решения задач по теории автоматического управления подключают выходы интеграторов.

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Основные матричные функции

Примеры решения задач по теории автоматического управления — характеристическая матрица, аналог характеристического полинома одномерной системы Примеры решения задач по теории автоматического управления.

Примеры решения задач по теории автоматического управления — системная матрица (резольвента), называемая также передаточной матрицей или матрицей передаточных функций (МПФ) для переменных состояния, аналог системной функции Примеры решения задач по теории автоматического управления.

Примеры решения задач по теории автоматического управления — реальная МПФ для назначенных входов и выходов (передаточная матрица выходов), совпадает по виду с Примеры решения задач по теории автоматического управления только в частном случае.

Пример №54

Система задана в пространстве состояний матрицами

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Характеристическая матрица

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Характеристический полином (определитель характеристической матрицы)

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Присоединенная матрица

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Решение:

Алгоритм вычисления присоединенной матрицы: каждый элемент исходной матрицы Примеры решения задач по теории автоматического управления заменяют его алгебраическим дополнением и полученная матрица транспонируется (приложение В). Резольвента

Примеры решения задач по теории автоматического управления

матрица передаточных функций выходов

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Решение уравнения движения

Решение дифференциального уравнения для переменных состояния Примеры решения задач по теории автоматического управления, т.е. изменение вектора состояния при известном векторе управления и начальных условиях (внутри системы), в общем виде

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Реакция на выходе системы вычисляется с учетом матрицы Примеры решения задач по теории автоматического управления

Примеры решения задач по теории автоматического управления
Примеры решения задач по теории автоматического управления

Если система задана в наблюдаемой форме с упрощенной матрицей с, вместо вектора начальных значений переменных состояния Примеры решения задач по теории автоматического управления может непосредственно использоваться вектор Примеры решения задач по теории автоматического управления начальных значений рассогласования, скорости, ускорения и т. п. на выходе системы. В ином случае необходимо преобразование Примеры решения задач по теории автоматического управления в Примеры решения задач по теории автоматического управления с учетом коэффициентов матрицы Примеры решения задач по теории автоматического управления.

Матрицы, элементами которых являются весовые Примеры решения задач по теории автоматического управления или переходные Примеры решения задач по теории автоматического управления функции объекта, называются соответственно весовой (импульсной) Примеры решения задач по теории автоматического управления и переходной Примеры решения задач по теории автоматического управления матрицами. Их изображения определяют обычным способом.

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Пример №55

Найти при Примеры решения задач по теории автоматического управления и начальных условиях Примеры решения задач по теории автоматического управленияПримеры решения задач по теории автоматического управления уравнения движения системы

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Решение:

Система задана в наблюдаемой форме с матрицей Примеры решения задач по теории автоматического управления = [1 0], поэтому вектор начальных значений переменных формируем по выходу

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Характеристическая матрица

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Характеристический полином (определитель характеристической матрицы)

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Резольвента

Примеры решения задач по теории автоматического управления

где присоединенная матрица

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Заменяем по таблице соответствия изображения на оригиналы

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Пример №56

Найти изображение реакции на Примеры решения задач по теории автоматического управления системы

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Решение:

Изображение входного воздействия

Примеры решения задач по теории автоматического управления
Примеры решения задач по теории автоматического управления

Вычисление фундаментальной матрицы

Поскольку

Примеры решения задач по теории автоматического управления

то фундаментальную матрицу Примеры решения задач по теории автоматического управления определяют как матричную экспоненту от Примеры решения задач по теории автоматического управления тремя способами:

а) разложением в бесконечный Примеры решения задач по теории автоматического управления или конечный ряд

Примеры решения задач по теории автоматического управления

где Примеры решения задач по теории автоматического управления — порядок системы.

Точность расчета снижается из-за конечного числа членов ряда. Способ полезен в случаях, когда невозможно найти корни характеристического уравнения системы, либо производится расчет для конкретного момента времени Примеры решения задач по теории автоматического управления.

б) по формуле Сильвестра

Примеры решения задач по теории автоматического управления

где Примеры решения задач по теории автоматического управления — собственные значения матрицы Примеры решения задач по теории автоматического управления (корни характеристического уравнения системы), или в развернутом виде

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Здесь

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Особенности метода — коэффициенты сразу получаются в матричном виде, но обязательно нужно знать корни характеристического уравнения. Приведенная формула пригодна для простых действительных корней характеристического уравнения, для кратных корней используется более сложная формула.

в) Наконец, Примеры решения задач по теории автоматического управления вычисляется и как обратное преобразование Лапласа от системной матрицы Примеры решения задач по теории автоматического управления или Примеры решения задач по теории автоматического управления.

Здесь также нужно обязательно знать корни, требуется многократное поэлементное преобразование, но зато способ пригоден для любых корней (комплексных, кратных, простых).

Пример №57

Определим матричную экспоненту для системы с Примеры решения задач по теории автоматического управления. Поскольку уже при Примеры решения задач по теории автоматического управления получена нулевая матрица

Примеры решения задач по теории автоматического управления

расчет далее можно не продолжать и результат записывается в виде

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Пример №58

Определить Примеры решения задач по теории автоматического управления методом Сильвестра для системы

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Решение:

Вычисляем характеристический полином, находим его корни

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Вычисляем матрицы коэффициентов при собственных модах системы

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Пример №59

Определить с помощью обратного преобразования Лапласа фундаментальную матрицу системы

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Решение:

Находим корни характеристического полинома и адъюнкту -1

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Общий вид разложения на простые дроби

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Находим коэффициенты числителей простых дробей:

Примеры решения задач по теории автоматического управления

откуда получаем вид системной и фундаментальной матриц

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Найдем, например, реакцию на начальные условия Примеры решения задач по теории автоматического управления Примеры решения задач по теории автоматического управления данной системы по известной Примеры решения задач по теории автоматического управления, если Примеры решения задач по теории автоматического управления.

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Управляемость и наблюдаемость систем

Для управляемости системы необходимо и достаточно, чтобы матрица управляемости вида

Примеры решения задач по теории автоматического управления

имела ранг, равный Примеры решения задач по теории автоматического управления. При управляемости системы говорят также, что пара Примеры решения задач по теории автоматического управления управляема.

Ранг матрицы Примеры решения задач по теории автоматического управления равен порядку её наибольшего ненулевого минора. Матрица Примеры решения задач по теории автоматического управления составляется присоединением справа к матрице Примеры решения задач по теории автоматического управления произведения матриц Примеры решения задач по теории автоматического управления, затем произведения Примеры решения задач по теории автоматического управления и т.д. Размерность матрицы Примеры решения задач по теории автоматического управления равна Примеры решения задач по теории автоматического управления, где Примеры решения задач по теории автоматического управления — число входов. Если ранг матрицы Примеры решения задач по теории автоматического управления (обозначим его Примеры решения задач по теории автоматического управления) не равен единице, то вычисление матрицы Примеры решения задач по теории автоматического управления можно закончить досрочно по формуле

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Система полностью управляема при Примеры решения задач по теории автоматического управления, полностью неуправляема при Примеры решения задач по теории автоматического управления = 0, частично управляема при Примеры решения задач по теории автоматического управления, порядок управляемости равен Примеры решения задач по теории автоматического управления.

Для наблюдаемости системы необходимо и достаточно, чтобы матрица наблюдаемости

Примеры решения задач по теории автоматического управления

имела ранг, равный порядку системы Примеры решения задач по теории автоматического управления. Символ Примеры решения задач по теории автоматического управления означает транспонирование или перевод вектора-строки в вектор-столбец. Говорят иначе, что пара Примеры решения задач по теории автоматического управления наблюдаема.

Система полностью наблюдаема при Примеры решения задач по теории автоматического управления, полностью не-наблюдаема при Примеры решения задач по теории автоматического управления = 0, частично наблюдаема при Примеры решения задач по теории автоматического управления, порядок наблюдаемости равен Примеры решения задач по теории автоматического управления.

Если ранг матрицы Примеры решения задач по теории автоматического управления (обозначим его Примеры решения задач по теории автоматического управления) больше единицы, то число вычислений можно сократить, пользуясь формулой

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Существует и иная форма составления матрицы наблюдаемости — по вертикали без транспонирования

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Если сокращены одинаковые нули и полюса, передаточная функция Примеры решения задач по теории автоматического управления и матрица передаточных функций

Примеры решения задач по теории автоматического управления

описывают только управляемую и наблюдаемую часть системы. Наличие сокращаемых пар нуль-полюс приводит к неуправляемости (ненаблюдаемости) системы. При диагональной матрице Примеры решения задач по теории автоматического управления уже можно говорить о неполной управляемости или наблюдаемости системы, если соответственно матрица Примеры решения задач по теории автоматического управления или Примеры решения задач по теории автоматического управления содержит нулевые элементы.

Пример №60

Оценить управляемость системы (достаточно иметь пару Примеры решения задач по теории автоматического управления и Примеры решения задач по теории автоматического управления).

Система

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Решение:

Находим

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Определитель матрицы управляемости

Примеры решения задач по теории автоматического управления

следовательно, ранг матрицы равен двум, что равно порядку системы Примеры решения задач по теории автоматического управления, система полностью управляема.

Задачу можно было не решать: числитель ПФ содержит только 1 (это видно из матрицы Примеры решения задач по теории автоматического управления), следовательно, сокращаемые пары нуль-полюс отсутствуют и система полностью управляема.

Система

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Пример №61

Оценить управляемость системы.

Матрица Примеры решения задач по теории автоматического управления диагональная (в каждой строке одна переменная с возрастающим индексом). Уже ясно, что система неуправляема по Примеры решения задач по теории автоматического управления (по полюсу +1), поскольку в первом уравнении нет Примеры решения задач по теории автоматического управления. Проверим вывод.

Примеры решения задач по теории автоматического управления

то

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Система частично управляема, порядок управляемости равен двум.

Пример №62

Оценить наблюдаемость системы

Примеры решения задач по теории автоматического управления

С учетом того, что Примеры решения задач по теории автоматического управления делаем вывод, что Примеры решения задач по теории автоматического управления = 1 — система частично наблюдаема, порядок наблюдаемости равен 1.

Пример №63

Проверить управляемость системы

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Передаточная функция

Примеры решения задач по теории автоматического управления

содержит сокращаемую пару (диполь) нуль -1/полюс -1, что ведет либо к неуправляемости, либо к ненаблюдаемости системы. От чего это будет зависеть? Составим описание системы в канонической управляемой форме и проверим управляемость

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Система в таком представлении полностью управляема (но не вполне наблюдаема). Составим описание системы в канонической наблюдаемой форме и снова проверим управляемость

Примеры решения задач по теории автоматического управления

А теперь система управляема частично. Таким образом, если в ПФ системы обнаруживается сокращаемая пара, неуправляемость или ненаблюдаемость зависит от того, какое представление выбирается для перехода в пространство состояний. Если же в ПФ сокращаемые пары отсутствуют, система полностью управляема и наблюдаема.

Наблюдатели состояния

Если не все переменные состояния объекта регулирования измеряются, либо имеют место существенные искажения (помехи), используют специальное оценивающее устройство — наблюдатель.

Наблюдатель в виде параллельного фильтра представляет собой модель объекта регулирования на интеграторах в каноническом управляемом представлении. Его вход подключается параллельно входу объекта регулирования, а с выходов интеграторов снимают идеальные значения переменных состояния объекта (оценки), которые обозначают значком «каре» А над символом переменной. Разница значений выходов объекта и наблюдателя называется невязкой (обозначается значком «тильда» ~ над символом сигнала), при совпадении модели с оригиналом невязка стремится к нулю.

Если объект управления неустойчив, либо требуется ускорить переходный процесс в наблюдателе, наблюдатель строят в виде фильтра Калмана. В нём сигнал невязки через компенсирующее звено или корректирующие обратные связи подается на вход наблюдателя вместе с обычным входным сигналом, и, если невязка не равна нулю, переходный процесс принудительно демпфируется.

Пример №64

Построить наблюдатель в виде параллельного фильтра к объекту с передаточной функцией

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Решение:

Модель объекта (описание наблюдателя) соответствует канонической форме управляемости

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Этому описанию отвечает структурная схема (рисунок 2.22)

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Пример №65

Построим наблюдатель в виде фильтра Калмана для объекта, заданного системой дифференциальных уравнений

Примеры решения задач по теории автоматического управления

обеспечив показатели качества переходного процесса ошибки наблюдателя

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Решение:

По матрицам коэффициентов объекта регулирования определяем его передаточную функцию (объект неустойчив)

Примеры решения задач по теории автоматического управления

В фильтре Калмана второго порядка с дифференциальным уравнением

Примеры решения задач по теории автоматического управления

компенсирующая добавка образуется обратными связями с коэффициентами Примеры решения задач по теории автоматического управления (рисунок 2.23).

Примеры решения задач по теории автоматического управления

В соответствии с матрицей

Примеры решения задач по теории автоматического управления

характеристический полином наблюдателя имеет вид

Примеры решения задач по теории автоматического управления

или

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Исходя из требований к качеству переходного процесса наблюдателя модуль действительной части Примеры решения задач по теории автоматического управления корней его характеристического уравнения при Примеры решения задач по теории автоматического управления должен быть не менее, чем Примеры решения задач по теории автоматического управления, тогда мнимая часть равна

Примеры решения задач по теории автоматического управления

По двум выбранным корням Примеры решения задач по теории автоматического управления определяем вид желаемого устойчивого характеристического полинома

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Из равенства

Примеры решения задач по теории автоматического управления

находим неизвестные коэффициенты корректирующих обратных связей

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Пример №66

Рассчитать параметры наблюдателя в виде фильтра Калмана (рисунок 2.24) с компенсирующим звеном, имеющим передаточную функцию

Примеры решения задач по теории автоматического управления

при тех же требованиях к качеству переходного процесса наблюдателя и параметрах ПФ модели объекта регулирования Примеры решения задач по теории автоматического управления.

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Решение:

Передаточная функция модели объекта регулирования равна

Примеры решения задач по теории автоматического управления

а характеристическое уравнение наблюдателя имеет вид

Примеры решения задач по теории автоматического управления

откуда, приравняв числитель нулю и нормируя, получаем

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Желаемый характеристический полином третьего порядка формируем из корней с одинаковой действительной частью Примеры решения задач по теории автоматического управления и -3, он равен

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Приравнивая Примеры решения задач по теории автоматического управления находим неизвестные коэффициенты Примеры решения задач по теории автоматического управления

Проектирование модального регулятора

Модальным называется регулятор, параметры которого выбраны по желаемому характеристическому многочлену замкнутой системы управления. Полагаем, что все переменные состояния объекта управления доступны для измерения, и рассмотрим случай, когда используется П-регулятор. Модель объекта управления

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Закон управления для объекта второго порядка имеет вид

Примеры решения задач по теории автоматического управления

где Примеры решения задач по теории автоматического управления — коэффициент усиления П-регулятора, Примеры решения задач по теории автоматического управления — задание, Примеры решения задач по теории автоматического управления — коэффициенты обратных связей регулятора по переменным состояния.

Подставив значение Примеры решения задач по теории автоматического управления в уравнение состояния, получим систему уравнений, которая описывает замкнутую систему управления

Примеры решения задач по теории автоматического управления

и характеристический полином замкнутой системы

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Неизвестные коэффициенты Примеры решения задач по теории автоматического управления обратных связей по переменным состояния объекта можно определить из равенства полиному желаемого вида Примеры решения задач по теории автоматического управления. Последний либо выбирают на основе заданных значений перерегулирования Примеры решения задач по теории автоматического управления % и времени регулирования Примеры решения задач по теории автоматического управления из типовых (приложение Г), либо рассчитывают самостоятельно. Например, параметры качества регулирования Примеры решения задач по теории автоматического управления с при отсутствии нулей обеспечит нормированный полином Баттерворта второго порядка

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Приравняв коэффициенты полиномов при одинаковых степенях Примеры решения задач по теории автоматического управления, получим

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Расчет существенно упрощается, если объект представлен в канонической форме управляемости с Примеры решения задач по теории автоматического управления.

Коэффициент усиления Примеры решения задач по теории автоматического управления обычно находят из условия нулевой статической ошибки: либо по коэффициентам передаточной функции

Примеры решения задач по теории автоматического управления

откуда

Примеры решения задач по теории автоматического управления

либо из инверсии матричной передаточной функции Примеры решения задач по теории автоматического управления при Примеры решения задач по теории автоматического управления.

Если для измерения доступна только одна величина на выходе Примеры решения задач по теории автоматического управления, для создания обратных связей по переменным состояния устанавливают наблюдатель, либо в цепи главной обратной связи системы используют ПД-регулятор (форсирующее звено) с эквивалентной передаточной функцией Примеры решения задач по теории автоматического управления.

Пример №67

Рассчитать параметры модального регулятора для объекта

Примеры решения задач по теории автоматического управления

при требованиях к качеству регулирования

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Решение:

Регулятор состоит из двух частей: обеспечивающей статические характеристики системы Примеры решения задач по теории автоматического управленияи обеспечивающей динамические характеристики Примеры решения задач по теории автоматического управления (рисунок 2.25), для измерения доступна только выходная переменная у объекта.

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Выберем интегратор (И-регулятор) в качестве Примеры решения задач по теории автоматического управления чтобы обеспечить нулевую статическую ошибку Примеры решения задач по теории автоматического управления пусть составляющая регулятора, обеспечивающая заданные динамические свойства равна

Примеры решения задач по теории автоматического управления

здесь Примеры решения задач по теории автоматического управления — неизвестные коэффициенты, Примеры решения задач по теории автоматического управления — коэффициент передачи объекта регулирования.

Тогда характеристическое уравнение замкнутой системы равно

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Выберем распределение корней, обеспечивающее заданное качество процессов, например,

Примеры решения задач по теории автоматического управления

(все действительные полюса обеспечат нулевое перерегулирование и время регулирования не более 3/2 = 1,5 с). Сформируем желаемое характеристическое уравнение третьего порядка

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях Примеры решения задач по теории автоматического управления, получим расчетные соотношения

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Отсюда находим параметры регулятора

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Пример №68

ПФ объекта регулирования после нормирования имеет вид

Примеры решения задач по теории автоматического управления

заданные показатели качества: время регулирования 6 с, перерегулирование 0,02, выбрать параметры модального регулятора.

Решение:

Поскольку объект представлен передаточной функцией и не все переменные состояния измеряются, формируем наблюдатель состояния с параметрами

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Исходя из требований к процессу регулирования замкнутой системы, выбираем корни Примеры решения задач по теории автоматического управления и определяем эталонный (желаемый) характеристический полином с коэффициентами Примеры решения задач по теории автоматического управления Характеристический полином третьей степени содержит один действительный корень и два комплексных сопряженных, по последним, полагая их доминирующими, и будем формировать показатели качества регулирования.

При заданном времени регулирования Примеры решения задач по теории автоматического управления с степень устойчивости для ошибки Примеры решения задач по теории автоматического управления равна Примеры решения задач по теории автоматического управления = 3/6 = 0,5, отсюда действительная часть комплексного корня будет равна -0,5. Действительный корень принимаем в 10 раз большим, т.е. -5, чтобы исключить его влияние на переходный процесс. По заданной величине перерегулирования Примеры решения задач по теории автоматического управления = 0,02 вычисляем степень колебательности Примеры решения задач по теории автоматического управленияПримеры решения задач по теории автоматического управления, после чего можно вычислить мнимую часть комплексного корня

Примеры решения задач по теории автоматического управления

По значениям корней -5 и Примеры решения задач по теории автоматического управления находим вид желаемого характеристического полинома

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Из условия нулевой ошибки регулирования значение коэффициента усиления регулятора

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Значения коэффициентов обратной связи по переменным состояния равны

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Замкнутая система регулирования (рисунок 2.26) содержит объект управления на выходе Примеры решения задач по теории автоматического управления наблюдатель в форме, соответствующей каноническому управляемому представлению, П-регулятор с коэффициентом усиления Примеры решения задач по теории автоматического управления и обратными связями Примеры решения задач по теории автоматического управления по переменным состояния, формируемым наблюдателем.

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Передаточная функция замкнутой системы регулирования равна

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Расчет подтверждает, что установившаяся ошибка отсутствует, так как коэффициент передачи в установившемся режиме равен 2,05/2,05 = 1, а полученный характеристический полином системы регулирования равен желаемому. При единственной обратной связи

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Кстати дополнительная теория из учебников тут.

Преобразования подобия

При анализе и синтезе многомерных систем необходимо уметь переходить от одной формы к другой — поскольку все эти системы подобные, такой переход называется преобразованием подобия или базиса.

Один из путей перехода, приемлемый для одномерной системы

  • составить по матрицам Примеры решения задач по теории автоматического управления передаточную функцию системы, а по ней записать требуемое представление в пространстве состояний.

В общем же случае используют матрицу перехода или преобразования базиса Примеры решения задач по теории автоматического управления размераПримеры решения задач по теории автоматического управления, тогда новая система уравнений состояния и наблюдения объекта имеет вид

Примеры решения задач по теории автоматического управления

откуда следует, что матрицы коэффициентов новой системы равны

Примеры решения задач по теории автоматического управления

(матрица Примеры решения задач по теории автоматического управления, при ее наличии, не претерпевает изменений, поскольку не связана с вектором состояний). Задаваясь произвольной матрицей Примеры решения задач по теории автоматического управления необходимого размера, можно получить бесконечное множество описаний одной и той же системы в пространстве состояний. Однако при любых преобразованиях должны выполняться два важных условия:

  • исходная и преобразованная система должны иметь одинаковые собственные значения (характеристические многочлены и их корни);
  • преобразование базиса не меняет передаточную функцию системы.

Приведение к канонической управляемой форме: матрица преобразования в этом случае равна отношению матрицы управляемости новой системы к матрице управляемости исходной, т.е. Примеры решения задач по теории автоматического управления. Необходимо найти характеристический полином системы, записать матрицы Примеры решения задач по теории автоматического управления и Примеры решения задач по теории автоматического управления системы в канонической управляемой форме, вычислить матрицы управляемости обеих систем и по ним матрицу преобразования Примеры решения задач по теории автоматического управления, с помощью которой осуществляется переход.

Переход к канонической наблюдаемой форме отличается лишь тем, что используются матрицы наблюдаемости, причем матрица преобразования базиса вычисляется по отношению матрицы наблюдаемости исходной системы к матрице наблюдаемости новой Примеры решения задач по теории автоматического управления (обе матрицы составляются в виде столбца).

Для перехода к управляемой форме должна быть полностью наблюдаема пара Примеры решения задач по теории автоматического управления для перехода к наблюдаемой форме должна быть полностью наблюдаема пара Примеры решения задач по теории автоматического управления.

Обратный переход, т.е. возвращение к исходной системе, например, после выбора параметров модального регулятора, во всех случаях осуществляется применением матрицы Примеры решения задач по теории автоматического управления в обратном порядке, т.е.

Примеры решения задач по теории автоматического управления

где Примеры решения задач по теории автоматического управления — матрица обратных связей замкнутой системы по переменным состояния.

К диагональной форме Примеры решения задач по теории автоматического управления приводятся системы с некратными вещественными полюсами, при этом матрицы исходной и преобразованной систем связаны соотношением Примеры решения задач по теории автоматического управления и матрица преобразования базиса равна Примеры решения задач по теории автоматического управления.

Пример №69

Пусть преобразуемый к канонической управляемой форме объект третьего порядка описывается системой уравнений

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Решение:

Характеристический полином объекта равен

Примеры решения задач по теории автоматического управления

матрица управляемости

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Используя вычисленный характеристический многочлен, записываем сопровождающую матрицу Примеры решения задач по теории автоматического управления затем для пары Примеры решения задач по теории автоматического управления найдем матрицу управляемости Примеры решения задач по теории автоматического управления новой системы и матрицу преобразования Примеры решения задач по теории автоматического управления

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Применяя формулы

Примеры решения задач по теории автоматического управления

найдем описание системы в канонической форме управляемости (учитывая, что две матрицы были нам уже известны, оставалось вычислить лишь Примеры решения задач по теории автоматического управления)

Примеры решения задач по теории автоматического управления

Примеры решения задач по всем темам теории автоматического управления

Теория автоматического управления — это научная дисциплина, которая возникла сравнительно недавно, хотя отдельные устройства, работавшие без участия человека, известны с глубокой древности.

Появившиеся в результате первого промышленного переворота в Европе в конце XVIII века регуляторы (1765 г. — регулятор уровня И.И. Ползунова, а в 1784 г.-регулятор скорости паровой машины Д. Уатта) были предназначены стабилизировать работу технических устройств, на которые действуют внешние факторы из окружающей среды. Очень эффективным способом оказалось использование отрицательной обратной связи, которую в XIX веке которую в XIX веке вводили еще полуинтуитивно, и без соответствующих расчетов это не всегда давало нужный эффект. Часто вместо предполагаемого улучшения работы применение регуляторов с отрицательной обратной связью приводило к неожиданным техническим явлениям: неустойчивости, генерации новых движений.

Для изучения этих явлений потребовались соответствующие методы, которые не только могли бы объяснить необычные свойства, но и позволили усмотреть общие закономерности поведения регуляторов. Их основы были изложены в появившихся в конце XIX века первых работах «о регуляторах» английского математика-механика Д. Максвелла (1866 г.) и русского механика И.А. Вышнеградского (1876, 1877 гг.).

Активное развитие новой теории началось с появлением электротехнических систем, в частности электромашинных, и систем радиоавтоматики. До сих пор классическим примером систем автоматического управления является система регулирования скорости электрической машины. Впоследствии оказалось, что методы теории автоматического управления позволяют объяснить работу объектов различной физической природы: в механике, энергетике, радио- и электротехнике, т. е. везде, где можно усмотреть обратную связь. Все методы объединяет одна общая задача: обеспечить необходимую точность и удовлетворительное качество переходных процессов. Таким образом, теория автоматического управления является по существу теорией процессов в системах с отрицательной обратной связью.

К настоящему времени теория автоматического управления является сложившейся научной дисциплиной со своим аналитическим аппаратом, в развитие которого большой вклад внесли известные русские ученые-математики A.M. Ляпунов, Е.А. Барбашин, Н.Н. Красовский и др.

Предметом изучения теории автоматического управления являются свойства, методы расчета и конструирования систем автоматики с обратными связями. Как и любая теория, она имеет дело не с реальными инженерными конструкциями, а с их моделями. Они выражаются, как правило, математическим языком, т.е. имеют вид определенных уравнений. Понятно после этого, что все выводы и рекомендации теории автоматического управления справедливы только при полном соответствии моделей и реальных устройств, но этого никогда не бывает на практике.

Результатом неполноты модели является различие в поведении теоретической и реальной систем, что обычно обнаруживается при наладке последней. Таким образом, этап настройки есть неизбежный шаг к получению работоспособной системы автоматического управления. Иногда при большом несоответствии математической модели свойствам реального технического устройства инженеру-проектировщику приходится ее снова уточнять и пересчитывать результат конструирования.

При нынешнем уровне развития науки и техники для составления моделей обычно используется аппарат дифференциальных уравнений, на языке которых сформулированы основные законы механики и физики макромира.

Итак, предметом теории автоматического управления являются свойства моделей систем автоматики, которые представлены дифференциальными уравнениями, а также их различными преобразованиями и интерпретациями.

Основные понятия и определения

Объект управления — техническое устройство (часть окружающего мира) или процесс, поведение которого нас не устраива» по каким-либо причинам.

Управление — процесс воздействия на объект управления с целью изменения его поведения нужным образом.

Регулирование — частный случай управления, целью которого является приведение объекта к заданному состоянию. Автоматический процесс — процесс, который совершается безучастия человека. Система — совокупность элементов, объединенных общим режимом функционирования. При этом элементом можно называть любое техническое устройство.

Динамическая система — система, процессы в которой изменяются с течением времени в силу собственных свойств.

Система автоматического управления (САУ) — динамическая система, которая работает без участия человека.

Теория автоматического управления (ТАУ) — научно-техническая дисциплина, в рамках которой изучаются свойства систем автоматического управления, разрабатываются принципы расчета и построения таких систем. Основными элементами САУ (рис. 1.1) являются: — объект управления (ОУ);

Решение задач по теории автоматического управления

-управляющее устройство или регулятор (Р), который сравнивает выход управляемого объекта с желаемым и в зависимости от результата вырабатывает управляющий сигнал на объект.

Рассмотрим подробнее объект управления (рис. 1.2) и выделим характеризующие его переменные. К таким переменным относятся:

  • управляющие воздействия Решение задач по теории автоматического управления — это такие переменные, с помощью которых можно влиять на поведение объекта;
  • выходные переменные Решение задач по теории автоматического управления-доступные измерению величины, которые отражают реакцию объекта на управляющие воздействия;
  • переменные состояния Решение задач по теории автоматического управления — внутренние и часто недоступные измерению переменно, которые определяют в каждый момент времени схема объекта управления, причем Решение задач по теории автоматического управления — возмущающие воздействия Решение задач по теории автоматического управления — отражают случайные воздействия окружающей среды на объект управления и обычно недоступны измерению.
Решение задач по теории автоматического управления

Требование парирования их влияния приводит к необходимости создания систем автоматического управления. Все переменные, которые характеризуют объект, удобно представить в векторной форме:

Решение задач по теории автоматического управления

Входные воздействия на систему (или задание на регулятор) будем обозначать буквой Решение задач по теории автоматического управления. Их число обычно совпадает с числом выходных переменных и изображается следующим вектором:

Решение задач по теории автоматического управления

В дальнейшем для указания соответствующих векторных величин будем использовать обозначения:

Решение задач по теории автоматического управления

Решение задач по теории автоматического управления-мерное вещественное линейное пространство.

В зависимости от числа входных и выходных переменных выделяют:

  • одноканальные объекты (или системы) — объекты, в которых есть только одна выходная переменная (Решение задач по теории автоматического управления -1);
  • многоканальные (многосвязные, многомерные, взаимосвязанные) объекты (или системы) — объекты, в которых число выходных переменных больше единицы (Решение задач по теории автоматического управления > 1).

Примеры систем управления

При обсуждении свойств автоматических устройств очень полезно обращаться к реальным примерам, которые достаточно распространены, и по ним можно представить себе поведение технической системы.

Рассмотрим несколько характерных примеров систем автоматического управления.

Задача 1.1

Одна из самых распространенных систем автоматики — система стабилизации скорости вращения двигателя постоянного тока с независимым возбуждением. Цель ее работы заключается в поддержании заданной скорости вращения двигателя при действии «нагрузки» на валу. Системы подобного типа используют, например, в металлорежущих станках, где независимо от глубины резания металла нужно выдерживать заданную скорость вращения. На рис. 1.3 представлена упрощенная схема реализации такой системы.

Решение задач по теории автоматического управления

Здесь введены следующие обозначения:

Решение задач по теории автоматического управления — задающее воздействие на систему (напряжение задания);

ОУ — операционные усилители для согласования электрических цепей на входе и выходе;

Решение задач по теории автоматического управления — разница между напряжением задания и напряжением тахогенератора (сигнал рассогласования);

УМ — усилитель мощности для преобразования маломощного сигнала Решение задач по теории автоматического управления в силовое напряжение (напряжение на якоре двигателя);

Д — электродвигатель;

Решение задач по теории автоматического управления — ток в цепи электродвигателя;

Решение задач по теории автоматического управления — сопротивление и индуктивность в якорной цепи;

Решение задач по теории автоматического управления — напряжение на обмотке якоря электродвигателя;

Решение задач по теории автоматического управления — напряжение возбуждения;

ТГ — тахогенератор (маломощный генератор электрического напряжения), используется в качестве датчика скорости вращения двигателя;

Решение задач по теории автоматического управления— напряжение тахогенератора;

Решение задач по теории автоматического управления — момент нагрузки.

В этой системе организована отрицательная обратная связь, при которой

Решение задач по теории автоматического управления

Если нагрузка Решение задач по теории автоматического управления возрастает, то падает Решение задач по теории автоматического управления и, как следствие, возрастает Решение задач по теории автоматического управления, что позволяет «удержать» обороты двигателя при увеличенной нагрузке на двигатель. Если Решение задач по теории автоматического управления уменьшается, происходит обратный процесс, который не дает возможности двигателю слишком увеличить скорость вращения.

При описании этого классического примера введены переменные, которые используются для описания динамических систем: вход — Решение задач по теории автоматического управления, выход — Решение задач по теории автоматического управления, возмущение — Решение задач по теории автоматического управления, состояние — Решение задач по теории автоматического управления, параметры — Решение задач по теории автоматического управления.

Рассмотрим теперь общеизвестный пример из области бытовой техники -систему стабилизации температуры в холодильнике. В каждом холодильнике применяется достаточно простая система автоматического регулирования, цель функционирования которой состоит в стабилизации температуры в камере холодильника при изменении массы и температуры закладываемых продуктов или при открывании дверей. На рис. 1.4 приведена упрощенная схема системы стабилизации температуры.

Решение задач по теории автоматического управления

Здесь Решение задач по теории автоматического управления — сигнал, соответствующий заданной температуре; УМ -усилитель мощности с релейной характеристикой, который используется в качестве управляющего устройства, он включает или отключает холодильный агрегат (ХА), «прокачивающий» хладоагент через трубки камеры; ДТ — датчик температуры, выходной сигнал Решение задач по теории автоматического управления которого пропорционален температуре камеры.

Как правило, в холодильнике не применяются операционные усилители; сравнение заданной и действительной температур происходит непосредственно. На схеме это показано соответствующим элементом.

Система работает следующим образом: если открыть камеру и положить некоторую массу теплых продуктов, то сразу повышается температура в камере и возрастает разница Решение задач по теории автоматического управления между заданной (низкой) и повышенной действительной температурами, включается УМ с релейной характеристикой и работает холодильный агрегат. Через некоторое время разница Решение задач по теории автоматического управления становится меньше порогового значения и реле отключается. Такая система работает только в «одну сторону» — на охлаждение. Ее поведение характеризуют величины: вход — Решение задач по теории автоматического управления, выход — напряжение с датчика температуры; состояние — температура внутри камеры, возмущение — количество тепла в закладываемом продукте.

Динамические характеристики линейных систем

Прежде чем изучать поведение реальных систем и их моделей, необходимо определить формальный язык, на котором будут обсуждаться их свойства. Основным элементом такого формального языка является понятие динамических характеристик, под которыми интуитивно понимают какие-либо соотношения, характеризующие свойства систем в статике и динамике (при изменении состояния).

Дадим следующее определение. Динамической характеристикой (математической моделью) системы будем называть любое соотношение, заданное аналитически, графически или в виде таблицы, которое позволяет оценить ее поведение во времени.

В этом разделе мы будем рассматривать различные способы описания линейных динамических систем, их взаимосвязь и приведение к принятой в теории автоматического управления форме записи математической модели.

Отметим, что динамическая характеристика дает возможность исследовать поведение системы, т. е. рассчитать для нее переходные процессы.

Дифференциальные уравнения

Наиболее часто в качестве математической модели объекта управления используются обыкновенные дифференциальные уравнения, которые могут быть записаны в различной форме.

Линейные многоканальные объекты обычно описывают системой дифференциальных уравнений первого порядка, представленной в векторно-матричном виде:

Решение задач по теории автоматического управления

Здесь Решение задач по теории автоматического управления — вектор состояния, Решение задач по теории автоматического управления — порядок объекта; Решение задач по теории автоматического управления -вектор управляющих воздействий, Решение задач по теории автоматического управления — квадратная матрица действительных коэффициентов; Решение задач по теории автоматического управления — прямоугольная матрица действительных коэффициентов. Уравнения (2.1) называют дифференциальными уравнениями состояния.

Выходные переменные объекта изменяются в соответствии с уравнением выхода

Решение задач по теории автоматического управления

где Решение задач по теории автоматического управления — вектор выхода; Решение задач по теории автоматического управления — прямоугольная матрица действительных коэффициентов. Уравнения (2.1) и (2.2) описывают линейный многоканальный объект.

Для описания одноканального объекта обычно используется скалярное дифференциальное уравнение:

Решение задач по теории автоматического управления

которое также может быть приведено к виду (2.1) и (2.2) после соответствующего выбора линейно-независимых переменных состояния. Их число всегда равно порядку объекта (Решение задач по теории автоматического управления), a Решение задач по теории автоматического управления и Решение задач по теории автоматического управления.

Наиболее простое каноническое описание получается в случае, когда в качестве переменных состояния выбираются выходная переменная у и ее производные до (Решение задач по теории автоматического управления -1) включительно

Решение задач по теории автоматического управления

При этом вместо (2.3) имеем систему уравнений

Решение задач по теории автоматического управления

которая соответствует векторно-матричным уравнениям (2.1) и (2.2). Здесь матрицы Решение задач по теории автоматического управления и Решение задач по теории автоматического управления имеют вид

Решение задач по теории автоматического управления

причем их размерности следующие:

Решение задач по теории автоматического управления
Решение задач по теории автоматического управления

Следует отметить, что переход к описанию (2.1), (2.2) не является однозначным: для одного объекта можно выбрать бесконечное множество наборов переменных состояния; важно, чтобы они были линейно-независимыми.

При этом каждой совокупности переменных состояния будут соответствовать свои матрицы объекта Решение задач по теории автоматического управления и Решение задач по теории автоматического управления.

Задача №2.1

Записать уравнения состояния одноканального объекта, модель которого имеет вид

Решение задач по теории автоматического управления

Решение:

Рассмотрим два варианта переменных состояния. 1. Если в качестве переменных состояния выбрать выходную величину и ее произвольную Решение задач по теории автоматического управления, то получим канонические уравнения состояния и матрицы объекта типа (2.4):

Решение задач по теории автоматического управления

2. Выбирая новые переменные Решение задач по теории автоматического управления получим уравнения состояния и матрицы объекта

Решение задач по теории автоматического управления

В общем случае одноканальный объект может описываться дифференциальным уравнением вида

Решение задач по теории автоматического управления

Выбрав соответствующие переменные состояния, от описания (2.5) также можно перейти к векторно-матричным уравнениям типа (2.1), (2.2). Рассмотрим этот переход на примере.

Задача №2.2

Записать уравнения состояния объекта с математической моделью вида

Решение задач по теории автоматического управления

Решение:

Разрешим ото уравнение относительно разности

Решение задач по теории автоматического управления

выберем в качестве переменных состояния Решение задач по теории автоматического управления и получим следующие уравнения состояния и матрицы объекта:

Решение задач по теории автоматического управления

Таким образом, в качестве основной динамической характеристики линейных объектов управления используются дифференциальные уравнения, которые могут быть представлены в форме (2.1), (2.2).

В теории автоматического управления рассматриваются не физические системы управления, а их математические модели, поэтому необходимо стремиться к тому, чтобы эта модель достаточно адекватно отражала свойства реального устройства. Процедуру получения математической модели объекта можно разбить на следующие этапы:

Составление гносеологической (мысленной) модели объекта. Исходя из технического задания и изучения режимов работы объекта инженер создает приближенную мысленную модель, которая в дальнейшем уточняется и приобретает вид математической модели.

Определение независимых переменных, которые характеризуют объект, и уточнение их размерностей. При этом число управляющих воздействий не может быть меньше числа выходных переменных Решение задач по теории автоматического управления. Размерность вектора переменных состояния не может быть меньше размерности вектора выходных переменных Решение задач по теории автоматического управления. Размерность возмущающих воздействий Решение задач по теории автоматического управления может быть произвольной и никак не связана с размерностью Решение задач по теории автоматического управления.

Запись физических законов, в силу которых развиваются процессы в объекте.

Приведение уравнений объекта к удобному с точки зрения теории автоматического управления виду.

Математическая модель никогда не бывает, тождественна рассматриваемому объекту, так как при ее составлении всегда делают какие-либо допущения и упрощения. Поэтому для одной и той же системы в зависимости от целей управления модели могут быть различными.

При составлении математической модели приходится искать компромиссный вариант между двумя противоречивыми требованиями: с одной стороны, модель должна наиболее полно отражать свойства реальной системы, с другой — быть простой, чтобы не затруднять исследований.

Задача №2.3

Определить математическую модель электрической цепи (рис. 2.1), записать для нее уравнения состояния.

Физическими законами, в силу которых развиваются процессы в объекте, являются законы Кирхгофа

Решение задач по теории автоматического управления

Решение:

Перейдем к удобному с точки зрения теории управления описанию объекта. При этом выходной величиной будем считать напряжение на выходе цепи, т. е. Решение задач по теории автоматического управления, управляющим воздействием -напряжение на ее входе Решение задач по теории автоматического управления, а переменной состояния- ток, протекающий по цепи Решение задач по теории автоматического управления. С учетом

Решение задач по теории автоматического управления

a затем перейдем к принятому описанию в переменных состояния

Решение задач по теории автоматического управления

где

Решение задач по теории автоматического управления

Задача №2.4

Рассмотрим в качестве еще одного примера составление математической модели двигателя постоянного тока с независимым возбуждением (рис. 2.2), который часто используется в системах автоматического управления.

Решение задач по теории автоматического управления

Решение:

Здесь Решение задач по теории автоматического управления — напряжение, подаваемое на якорь ОВД двигателя, которое будем считать входным воздействием; Решение задач по теории автоматического управления — ток в не пи якоря, представляющий собой внутреннюю переменную объекта; Решение задач по теории автоматического управления — сопротивление и индуктивность цепи, якоря; Решение задач по теории автоматического управления — противоЭДС, т. е. напряжение, возникающее в обмотке якоря в результате его вращения в магнитном поле; Решение задач по теории автоматического управления — скорость вращения двигателя, которую будем считать выходной переменной; ОВД — обмотка возбуждения двигателя.

Запишем основные уравнения, характеризующие процессы в двигателе. Уравнение электрического равновесия якорной цепи имеет вид

Решение задач по теории автоматического управления

Уравнение равновесия моментов на валу двигателя следующее:

Решение задач по теории автоматического управления

где Решение задач по теории автоматического управления — приведенный момент инерции; Решение задач по теории автоматического управления — вращающий момент; Решение задач по теории автоматического управления — момент сопротивления на валу двигателя, который является возмущающим воздействием.

С достаточной степенью точности во многих случаях можно считать, что

Решение задач по теории автоматического управления

где

Решение задач по теории автоматического управления

В результате уравнения двигателя принимают вид

Решение задач по теории автоматического управления

Введем следующие обозначения: Решение задач по теории автоматического управления — управление; Решение задач по теории автоматического управления Решение задач по теории автоматического управления — переменные состояния; Решение задач по теории автоматического управления — возмущение. Запишем уравнения двигателя в переменных состояния

Решение задач по теории автоматического управления

где

Решение задач по теории автоматического управления

Часто модель двигателя представляют в виде одного дифференциального уравнения

Решение задач по теории автоматического управления

Здесь Решение задач по теории автоматического управления — электромеханическая постоянная времени двигателя; Решение задач по теории автоматического управления — электромагнитная постоянная времени якорной цепи; Решение задач по теории автоматического управления — коэффициент усиления; Решение задач по теории автоматического управления.

Задача №2.5

Рассмотрим перевернутый маятник, ось которого монтируется на тележке (каретке); перемещающейся в горизонтальном направлении [9]. В совокупности такое устройство представляет собой объект управления, называемый «кареткой — маятником». Его схематичная модель изображена на рис. 2.3.

Решение задач по теории автоматического управления

Решение:

Здесь Решение задач по теории автоматического управления — угол отклонения маятника (выходная переменная); Решение задач по теории автоматического управления — прикладываемая управляющим двигателем сила (входная переменная); Решение задач по теории автоматического управления — перемещение каретки; Решение задач по теории автоматического управления -масса каретки; Решение задач по теории автоматического управления — расстояние между осью и центром тяжести маятника; Решение задач по теории автоматического управления — масса маятника; Решение задач по теории автоматического управления — момент инерции относительно центра тяжести; Решение задач по теории автоматического управления — ускорение силы тяжести; Решение задач по теории автоматического управления и Решение задач по теории автоматического управления — горизонтальная и вертикальная силы реакции у оси маятника.

Упрощенная модель объекта «каретка — маятник» может быть представлена системой дифференциальных уравнений [9]

Решение задач по теории автоматического управления

где

Решение задач по теории автоматического управления

эффективная длина маятника.

Перейдем к описанию модели объекта в переменных состояния вида (2.1). В качестве компонент вектора состояния выберем следующие величины:

Решение задач по теории автоматического управления

а выходной переменной объекта является угол отклонения маятника Решение задач по теории автоматического управления. В результате уравнения состояния принимают вид

Решение задач по теории автоматического управления

Теперь определим матрицы объекта:

Решение задач по теории автоматического управления

Переходная характеристика

Эта динамическая характеристика используется для описания одноканальных объектов (2.5)

Решение задач по теории автоматического управления

с нулевыми начальным!! условиями

Решение задач по теории автоматического управления

Переходной характеристикой (переходной функцией) Решение задач по теории автоматического управления называется реакция системы на единичное ступенчатое входное воздействие Решение задач по теории автоматического управления при нулевых начальных условиях.

Отметим, что единичная ступенчатая функция — это функция, которая обладает свойством

Решение задач по теории автоматического управления

На рис. 2.4 приведен пример переходной характеристики системы.

Решение задач по теории автоматического управления

Для аналитического определения переходной функции следует решить дифференциальное уравнение при нулевых начальных условиях и единичном входном воздействии.

При исследовании реального объекта переходную характеристику можно получить экспериментальным путем, подавая на его вход ступенчатое воздействие и фиксируя реакцию на выходе. Если входное воздействие представляет собой неединичную ступенчатую функцию Решение задач по теории автоматического управления то выходная величина будет равна Решение задач по теории автоматического управления, т. е. представляет собой переходную характеристику с коэффициентом пропорциональности Решение задач по теории автоматического управления.

Зная переходную характеристику, можно вычислить реакцию системы на произвольное входное воздействие с помощью интеграла свертки

Решение задач по теории автоматического управления

(Решение задач по теории автоматического управления — переменная интегрирования).

Импульсная переходная функция

Эта характеристика также используется для описания одноканальных объектов вида (2.5).

Импульсная переходная функция (характеристика) Решение задач по теории автоматического управления представляет собой реакцию на входное воздействие типа единичной импульсной функции при нулевых начальных условиях (рис. 2.5).

Такое входное воздействие математически отражает дельта-функция, которая обладает следующими свойствами:

Решение задач по теории автоматического управления

С помощью дельта-функции можно описать реальное входное воздействие типа удара. В действительности импульсные входные воздействия на объект всегда конечны по уровню и продолжительности. Однако если их длительность намного меньше длительности переходных процессов, то с определенной точностью реальный импульс может быть заменен дельта-функцией с некоторым коэффициентом.

Импульсная переходная функция позволяет вычислить реакцию системы на произвольное входное воздействие при нулевых начальных условиях по выражению

Решение задач по теории автоматического управления

Переходная характеристика и импульсная переходная функция однозначно связаны между собой соотношениями

Решение задач по теории автоматического управления

Уравнения (2,9) позволяют при одной известной характеристике оп реле лить вторую.

Переходная матрица

Данная динамическая характеристика применяется для описания многоканальных систем вида (2.1), (2.2) при нулевых входных воздействиях, т. е. для автономных систем

Решение задач по теории автоматического управления

Переходная матрица представляет собой решение матричного дифференциального уравнения

Решение задач по теории автоматического управления

при единичных начальных условиях

Решение задач по теории автоматического управления

Она обладает следующими свойствами:

Решение задач по теории автоматического управления

Зная переходную матрицу, можно вычислить реакцию системы

Решение задач по теории автоматического управления

на произвольное входное воздействие при любых начальных условиях Решение задач по теории автоматического управления по выражению

Решение задач по теории автоматического управления

Здесь первое слагаемое описывает свободную составляющую движения. второе — вынужденную. Соотношение для выходных переменных следующее:

Решение задач по теории автоматического управления

Если система имеет нулевые начальные условия Решение задач по теории автоматического управления, то выражение (2.14) принимает вид:

Решение задач по теории автоматического управления

Матрица Решение задач по теории автоматического управления называется матричной импульсной переходной функцией. Каждая ее компонента представляет собой импульсную переходную функцию Решение задач по теории автоматического управления, которая является реакцией Решение задач по теории автоматического управления-го выхода системы на Решение задач по теории автоматического управления-e импульсное входное воздействие при нулевых начальных условиях и отсутствии остальных входных воздействий

Решение задач по теории автоматического управления

Дли многоканальных систем может быть определена также матричная переходная характеристика в виде

Решение задач по теории автоматического управления

Для линейных систем с постоянными параметрами переходная матрица Решение задач по теории автоматического управления представляет- собой матричную экспоненту

Решение задач по теории автоматического управления

где

Решение задач по теории автоматического управления

С учетом (2.18) выражения (2.13) и- (2,14) принимают вид

Решение задач по теории автоматического управления

В этом случае матричная импульсная переходная функция линейной системы с постоянными коэффициентами может быть найдена по соотношению

Решение задач по теории автоматического управления

При небольших размерах или простой структуре матрицы объекта Решение задач по теории автоматического управления выражение (2.18) может быть использовано для точного представления переходной матрицы с помощью элементарных функций. В случае большой размерности матрицы Решение задач по теории автоматического управления следует использовать существующие программы для вычисления матричного экспоненциала.

Передаточная функция

Наряду с обыкновенными дифференциальными уравнениями в теории автоматического управления используются различные их преобразования. Для линейных систем эти уравнения удобнее представлять в символической форме с применением так называемого оператора дифференцирования

Решение задач по теории автоматического управления

что позволяет записывать дифференциальные уравнения как алгебраические и вводить новую динамическую характеристику -передаточную функцию. Этот способ был предложен английским ученым Хевисайдом в 1895 г., позднее он был строго обоснован аппаратом интегральных преобразований Лапласа и Карсона [4] в предположении нулевых начальных условий.

Рассмотрим этот переход для многоканальных систем общего вида

Решение задач по теории автоматического управления

Запишем уравнение состояния в операторной форме

Решение задач по теории автоматического управления

что позволяет определить вектор состояния

Решение задач по теории автоматического управления

и выходные переменные системы

Решение задач по теории автоматического управления

Матрица взаимосвязи между выходными переменными и управляющими воздействиями в выражении (2.23) называется матричной передаточной функцией и обозначается

Решение задач по теории автоматического управления

Она имеет размерность Решение задач по теории автоматического управления:

Решение задач по теории автоматического управления

где Решение задач по теории автоматического управления — скалярные передаточные функции, которые представляют собой отношение выходной величины к входной в символической форме при нулевых начальных условиях Решение задач по теории автоматического управления

Собственными передаточными функциями Решение задач по теории автоматического управления-го канала называются компоненты передаточной матрицы Решение задач по теории автоматического управления которые находятся на главной диагонали (2.25). Составляющие, расположенные выше или ниже главной диагонали (2.25), называются передаточными функциями перекрестных связей между каналами.

Как известно, обратная матрицаРешение задач по теории автоматического управления может быть найдена по выражению

Решение задач по теории автоматического управления

где Решение задач по теории автоматического управления — присоединенная матрица. Как следует № (2,26), все скалярные передаточные функции в (2.25) содержат одинаковый знаменатель

Решение задач по теории автоматического управления

который называется характеристическим полиномом и имеет Решение задач по теории автоматического управления-й порядок.

Если теперь характеристический полином приравнять нулю, то получим характеристическое уравнение системы

Решение задач по теории автоматического управления

Уравнение (2.27) имеет Решение задач по теории автоматического управления корней, которые называются полюсами системы Решение задач по теории автоматического управления

Задача №2.6

Определить передаточную матрицу для объекта

Теория автоматического управления задачи с решением

где

Теория автоматического управления задачи с решением

Решение:

Воспользуемся выражением для передаточной матрицы (2.24) и найдем предварительно обратную матрицу (2.26). Здесь

Теория автоматического управления задачи с решением

Присоединенная матрица имеет вид

Теория автоматического управления задачи с решением

В результате получим обратную матрицу

Теория автоматического управления задачи с решением

и передаточную матрицу объекта

Теория автоматического управления задачи с решением

Как видим, все скалярные передаточные функции из этой матрицы имеют одинаковый знаменатель, который представляет собой характеристический полином объекта.

Чаще всего передаточные функции применяются для описания одноканальных систем вида (2.5)

Теория автоматического управления задачи с решением

С использованием оператора дифференцирования р запишем уравнение (2.28) в символической форме и найдем передаточную функцию как отношение выходной величины к входной:

Теория автоматического управления задачи с решением

где Теория автоматического управления задачи с решением — характеристический полином. Его корни,

Теория автоматического управления задачи с решением

называются полюсами, а корни полинома числителя передаточной функции,

Теория автоматического управления задачи с решением

называются нулями системы.

Передаточные функции динамических систем принято записывать в следующей стандартной форме:

Теория автоматического управления задачи с решением

где Теория автоматического управления задачи с решением — коэффициент усиления;

Теория автоматического управления задачи с решением
Теория автоматического управления задачи с решением

Передаточную матрицу (передаточную функцию) можно также определить с помощью изображений Лапласа или Карсона — Хеви-сайда. Если подвергнуть одному из этих преобразований обе части дифференциального уравнения и найти соотношения между входными и выходными величинами при нулевых начальных условиях, то получим ту же самую передаточную матрицу (2.24) или функцию (2.29).

Все динамические характеристики объекта взаимосвязаны: получив одну из них, можно определить все остальные. Мы рассмотрели переход от дифференциальных уравнений к передаточным функциям с помощью оператора дифференцирования Теория автоматического управления задачи с решением. Используя этот оператор, несложно перейти от передаточной функции к символической форме записи дифференциального уравнения, а затем к стандартному описанию объекта в форме (2.3) или (2.5).

Обсудим теперь взаимосвязь между переходными характеристиками и передаточной функцией. С этой целью запишем выражение для выходной переменной объекта через импульсную переходную функцию в соответствии с (2.8)

Теория автоматического управления задачи с решением

Подвергнем его преобразованиям Лапласа [2,9,12]

Теория автоматического управления задачи с решением

и получим соотношение Теория автоматического управления задачи с решением из которого определим Теория автоматического управления задачи с решением в виде

Теория автоматического управления задачи с решением

Таким образом, передаточная функция представляет собой преобразование по Лапласу импульсной переходной функции.

Задача №2.7

Определять передаточную функцию, нули и полюса для объекта, модель которого задана уравнением

Теория автоматического управления задачи с решением

Решение:

Запишем исходное уравнение объекта в операторной форме с помощью оператора дифференцирования Теория автоматического управления задачи с решением

Теория автоматического управления задачи с решением

Определим теперь передаточную функцию

Теория автоматического управления задачи с решением

Характеристическое уравнение объекта имеет яид

Теория автоматического управления задачи с решением

Передаточная функция содержит два полюса Теория автоматического управления задачи с решением и один нуль Теория автоматического управления задачи с решением

Определить передаточную функцию двигателя постоянного тока с независимым возбуждением (см. рис. 2.2).

Дифференциальное уравнение двигателя получено в примере 2.4 и имеет вид

Теория автоматического управления задачи с решением

Будем полагать, что возмущающее воздействие отсутствует, т. е. Теория автоматического управления задачи с решением. Запишем это уравнение в символической форме с помощью оператора дифференцирования Теория автоматического управления задачи с решением

Теория автоматического управления задачи с решением

или, рассматривая его как алгебраическое,

Теория автоматического управления задачи с решением

Определим теперь передаточную функцию двигателя постоянного тока с независимым возбуждением

Теория автоматического управления задачи с решением

Как видим, она не содержит нулей и имеет два полюса, которые в зависимости от численных значений параметров Теория автоматического управления задачи с решением и Теория автоматического управления задачи с решением могут быть вещественными или комплексно-сопряженными.

Модальные характеристики

Модальные характеристики соответствуют свободной составляющей движения системы (2.1) или, другими словами, отражают свойства автономной системы (2.10)

Теория автоматического управления задачи с решением

Будем искать ее решение в виде экспоненты

Теория автоматического управления задачи с решением

где Теория автоматического управления задачи с решением — скалярная экспонента, Теория автоматического управления задачи с решением — вектор начальных условий.

Подставляя решение (2.33) в исходное уравнение (2.32), после преобразований получим

Теория автоматического управления задачи с решением

Система уравнений (2.34) будет иметь ненулевое решение относительно Теория автоматического управления задачи с решением, если

Теория автоматического управления задачи с решением

Уравнение (2.35) есть характеристическое уравнение системы и имеет Теория автоматического управления задачи с решением корней Теория автоматического управления задачи с решением, которые называются собственными значениями матрицы Теория автоматического управления задачи с решением. При подстановке собственных значений в (2.35) получим

Теория автоматического управления задачи с решением

(Теория автоматического управления задачи с решением — собственные векторы, Теория автоматического управления задачи с решением ),

Совокупность собственных значений и собственных векторов представляет собой модальные характеристики системы.

Для (2.32) могут существовать лишь экспоненциальные решения

Теория автоматического управления задачи с решением

которые называют модами. Полное решение системы (2.32) представляет собой линейную комбинацию мод:

Теория автоматического управления задачи с решением

Для получения характеристического уравнения системы можно использовать выражение (2.27), т. е. приравнять нулю общий знаменатель передаточной матрицы (передаточной функции).

При исследовании свойств системы ее собственные значения (полюса) удобно изображать в виде точек на комплексной плоскости (рис. 2.6). Такое графическое представление корней характеристического уравнения называют корневым портретом системы. С его помощью в ряде случаев можно практически без вычислений оценить Рис. 2 6. Пример корневого качественные свойства процессов, портрета системы протекающих в линейных системах.

Теория автоматического управления задачи с решением

Задача №2.9.

Изобразить корневой портрет объекта, поведение которого описывают следующие уравнения:

Теория автоматического управления задачи с решением

Решение:

Определим матрицу объекта

Теория автоматического управления задачи с решением

и запишем характеристическое уравнение

Теория автоматического управления задачи с решением

Собственные значения матрицы Теория автоматического управления задачи с решением следующие:

Теория автоматического управления задачи с решением

Они изображены на комплексной плоскости корней в виде точек (рис. 2.7).

Теория автоматического управления задачи с решением

Частотные характеристики

Важными динамическими характеристиками объекта являются его частотные характеристики, которые определяют взаимосвязь между параметрами периодических сигналов на входе и выходе. Чаще всего их используют для описания одноканальных объектов:

Теория автоматического управления задачи с решением

Если на его вход подавать гармонический сигнал заданной амплитуды Теория автоматического управления задачи с решением и частоты Теория автоматического управления задачи с решением,

Теория автоматического управления задачи с решением

то на выходе в установившемся режиме у устойчивого объекта (гл. 4) будет также гармонический сигнал той же частоты, но в общем случае другой амплитуды со сдвигом по фазе

Теория автоматического управления задачи с решением

Для нахождения соотношения между входным и выходным гармоническими сигналами можно воспользоваться передаточной функцией (2.38), из которой формальной заменой Теория автоматического управления задачи с решением на Теория автоматического управления задачи с решением получим обобщенную частотную характеристику

Теория автоматического управления задачи с решением

Ее можно представить в виде

Теория автоматического управления задачи с решением

Составляющие обобщенной частотной характеристики Теория автоматического управления задачи с решением имеют самостоятельное значение и следующие названия:

Теория автоматического управления задачи с решением — вещественная частотная характеристика (ВЧХ), Теория автоматического управления задачи с решением — мнимая частотная характеристика (МЧХ),

Теория автоматического управления задачи с решением — амплитудная частотная характеристика (АЧХ), Теория автоматического управления задачи с решением — фазовая частотная характеристика (ФЧХ).

Для исследования частотных свойств объекта или системы удобно использовать графическое представление частотных характеристик. В этом случае обобщенная частотная характеристика Теория автоматического управления задачи с решением может быть построена на комплексной плоскости в соответствии с выражением (2.40), когда каждому значению частоты Теория автоматического управления задачи с решением, соответствует вектор Теория автоматического управления задачи с решением.

При изменении Теория автоматического управления задачи с решением от 0 до Теория автоматического управления задачи с решением конец этого вектора «прочерчивает» на комплексной плоскости кривую, которая называется амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ).

Наряду с амплитудно-фазовой характеристикой (рис. 2.8) можно также построить все остальные частотные характеристики. Так, амплитудная частотная показывает, как звено пропускает

Теория автоматического управления задачи с решением

Сигналы различной частоты; причем оценкой пропускания является отношение амплитуд выходного Теория автоматического управления задачи с решением и входного сигналов Теория автоматического управления задачи с решением. Фазовая частотная характеристика отражает фазовые сдвиги, вносимые системой на различных частотах.

Наряду с рассмотренными частотными характеристиками в теории автоматического управления используются логарифмические частотные характеристики. Удобство работы с ними объясняется тем, что операции умножения и деления заменяются на операции сложения и вычитания, а это позволяет во многих случаях строить их практически без вычислений.

Амплитудная частотная характеристика, построенная в логарифмическом масштабе,

Теория автоматического управления задачи с решением

называется логарифмической амплитудной частотной характеристикой (ЛАЧХ). При этом амплитуда измеряется в децибелах (дБ). При изображении ЛАЧХ (рис. 2.9) удобнее по оси абсцисс откладывать частоту также в логарифмическом масштабе, т. е. Теория автоматического управления задачи с решением, выраженную в декадах (дек.).

Теория автоматического управления задачи с решением

На практике применяется также и логарифмическая фазовая частотная характеристика. При ее изображении используется ось абсцисс, на которой указывают частоту в логарифмическом масштабе, а по оси ординат откладывают фазу в дуговых градусах в линейном масштабе (рис. 2.10).

Задача №2.10

Для объекта с заданной передаточной функцией

Теория автоматического управления задачи с решением

построить амплитудно-фазовую (АФХ), вещественную частотную и фазовую частотную характеристики (ВЧХ, ФЧХ).

Решение:

Запишем выражение для обобщенной частотной характеристики, сделав замену в передаточной функции Теория автоматического управления задачи с решением:

Теория автоматического управления задачи с решением

Выражения для ВЧХ и ФЧХ имеют вид

Теория автоматического управления задачи с решением

Соответствующие частотные характеристики, построенные при изменении частоты от 0 до Теория автоматического управления задачи с решением, представлены на рис. 2.11.

Структурный метод

Для расчета различных систем автоматического управления их обычно разбивают на отдельные элементы, динамическими характеристиками которых являются дифференциальные уравнения не выше второго порядка. Причем различные по своей физической природе элементы могут описываться одинаковыми дифференциальными уравнениями, поэтому их относят к определенным классам, называемым типовыми звеньями.

Изображение системы в виде совокупности типовых звеньев с указанием связей между ними называется структурной схемой. Она может быть получена на основе как дифференциальных уравнений, так и передаточных функций. Данный способ и составляет суть структурного метода, т. е. метода представления систем автоматического управления различной физической природы.

Хотя структурный метод не предлагает новых способов расчета, он позволяет наглядно представить взаимосвязь элементов системы и оценить при наличии соответствующего опыта отдельные свойства переходных и статических процессов.

Он настолько широко используется в практике проектирования, что, по существу, может считаться одним из «языков», на котором обсуждаются свойства систем автоматического управления.

Рассмотрим подробнее отдельные типовые звенья и их различные динамические характеристики.

Типовые динамические звенья, пропорциональное (усилительное) звено

Пропорциональным называется звено, поведение которого описывает алгебраическое уравнение

Теория автоматического управления задачи с решением

где Теория автоматического управления задачи с решением — коэффициент усиления. Строго говоря, это звено не является динамическим, но относится к типовым.

Примерами таких звеньев могут служить безынерционные усилители, механические редукторы, многие датчики сигналов и т. д. передаточная функция звена следующая:

Теория автоматического управления задачи с решением

Переходная характеристика (реакция звена на скачкообразное входное воздействие Теория автоматического управления задачи с решением) имеет вид

Теория автоматического управления задачи с решением

Импульсная переходная функция пропорционального звена определяется выражением

Теория автоматического управления задачи с решением

Модальные характеристики (собственные значения и собственные векторы) для него отсутствуют.

Заменив в передаточной функции Теория автоматического управления задачи с решением на Теория автоматического управления задачи с решением, получим выражения для частотных характеристик. Амплитудно-фазовая характеристика представляет собой точку на комплексной плоскости в соответствии с формулой

Теория автоматического управления задачи с решением

Вещественная частотная характеристика определяется соотношением (рис. 3.1).

Теория автоматического управления задачи с решением

а мнимая частотная характеристика отсутствует Теория автоматического управления задачи с решением.

Амплитудная частотная характеристика может быть построена по соотношению

Теория автоматического управления задачи с решением

и имеет тот же вид, что и ВЧХ. Выражение для ФЧХ следующее:

Теория автоматического управления задачи с решением

Таким образом, при прохождении через пропорциональное звено амплитуда периодического входного сигнала изменяется в Теория автоматического управления задачи с решением раз, а базовый сдвиг отсутствует.

Амплитудно-фазовая характеристика звена имеет вид точки на комплексной плоскости (рис. 3.2).

Теория автоматического управления задачи с решением

Логарифмическая АЧХ звена представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс:

Теория автоматического управления задачи с решением

Как следует из выражений (3.3, 3.4) и рис. 3.3, пропорциональное звено пропускает входные сигналы без искажений.

Дифференцирующее звено

Дифференцирующим называется звено, которое описывается дифференциальным уравнением

Теория автоматического управления задачи с решением

Его передаточная функция имеет вид

Теория автоматического управления задачи с решением

Примером дифференцирующего звена часто может служить тахогенератор постоянного тока. Переходная характеристика дифференцирующего звена определяется выражением

Теория автоматического управления задачи с решением

и имеет вид 5 -функции (рис. 3.4).

Импульсная переходная функция (рис. 3.5) представляет собой «дуплет» Теория автоматического управления задачи с решением -функций

Теория автоматического управления задачи с решением

Рассмотрим теперь частотные характеристики звена. Амплитудно-фазовая характеристика

Теория автоматического управления задачи с решением

совпадает с положительной мнимой полуосью комплексной плоскости; вещественная частотная характеристика равна нулю, Л(ц>) = 0; мнимая частотная характеристика соответствует выражжению

Теория автоматического управления задачи с решением

т. е. представляет собой линейно нарастающую функцию. С ней совпадает амплитудная частотная характеристика, которая имеет вид

Теория автоматического управления задачи с решением

Фазовую частотную характеристику можно определить по соотношению

Теория автоматического управления задачи с решением

Следовательно, на всех частотах имеется постоянный фазовый сдвиг.

Теория автоматического управления задачи с решением

Интегрирующее звено

Интегрирующим называется звено, поведение которого описывает уравнение

Теория автоматического управления задачи с решением

Примером интегрирующего звена является операционный усилитель в режиме интегрирования.

Основной динамической характеристикой звена является его дифференциальное уравнение

Теория автоматического управления задачи с решением

на основе которого можно получить передаточную функцию

Теория автоматического управления задачи с решением

Характеритическое уравнение

Теория автоматического управления задачи с решением

имеет единственный корень (полюс), Теория автоматического управления задачи с решением, который представляет собой модальную характеристику интегрирующего звена.

Переходная характеристика звена имеет вид линейно возрастающей функции

Теория автоматического управления задачи с решением

а импульсная переходная функция — ступенчатой функции

Теория автоматического управления задачи с решением

Выражение для амплитудно-фазовой частотной характеристики (рис. 3.7) получим, заменив в (3.12) Теория автоматического управления задачи с решением на Теория автоматического управления задачи с решением:

Теория автоматического управления задачи с решением

Вещественная частотная характеристика отсутствует, Теория автоматического управления задачи с решением. Мнимая частотная характеристика имеет вид

Теория автоматического управления задачи с решением

а амплитудная частотная характеристика

Теория автоматического управления задачи с решением

При этом фазовая частотная характеристика следующая:

Теория автоматического управления задачи с решением

т. е. звено имеет постоянный фазовый сдвиг, который не зависит от частоты.

Теория автоматического управления задачи с решением

Амплитудно-фазовая характеристика интегрирующего звена имеет вид прямой, совпадающей с отрицательной мнимой полуосью комплексной плоскости (рис. 3.7). Запишем выражение для логарифмической амплитудно-частотной характеристики

Теория автоматического управления задачи с решением
Теория автоматического управления задачи с решением

и изобразим ее график (рис.3.8) Как видим, логарифмическая амплитудная частотная характеристика интегратора представляет собой прямую с наклоном — 20 дБ/дек. и пересекает ось ординат в точке 20 Теория автоматического управления задачи с решением. Она показывает, что звено усиливает низкочастотные сигналы и ослабляет высокочастотные.

Апериодическое звено

Апериодическим называется звено, дифференциальное уравнение которого имеет вид

Теория автоматического управления задачи с решением

Различного типа двигатели являются примерами такого звена. Дифференциальное уравнение апериодического звена принято записывать в стандартном виде:

Теория автоматического управления задачи с решением

где Теория автоматического управления задачи с решением — постоянная времени; Теория автоматического управления задачи с решением — коэффициент усиления звена.

Заменив в (3.18) Теория автоматического управления задачи с решением на Теория автоматического управления задачи с решением перейдем к символической записи дифференциального уравнения

Теория автоматического управления задачи с решением

и найдем передаточную функцию апериодического звена:

Теория автоматического управления задачи с решением

Для определения модальных характеристик по передаточной функции (3.20) запишем характеристическое уравнение

Теория автоматического управления задачи с решением

Оно имеет единственный корень (полюс), Теория автоматического управления задачи с решением.

Переходную характеристику звена (рис. 3.9) можно найти как решение уравнения (3.18) при

Теория автоматического управления задачи с решением
Теория автоматического управления задачи с решением

Импульсную переходную функцию (рис. 3.10) вычислим по соотношению

Теория автоматического управления задачи с решением

Выражение, соответствующее амплитудно-фазовой характеристике апериодического звена, имеет вид

Теория автоматического управления задачи с решением

По выражению

Теория автоматического управления задачи с решением

можно построить его вещественную частотную характеристику (рис. 3.11).

Теория автоматического управления задачи с решением

Мнимая частотная характеристика (рис. 3.12) апериодического звена соответствует уравнению

Теория автоматического управления задачи с решением

Амплитудную частотную характеристику (рис. 3.13) описывает выражение

Теория автоматического управления задачи с решением

Фазовая частотная характеристика звена определяется соотношением

Теория автоматического управления задачи с решением

Она представляет собой кривую (рис. 3.14) с пределом

Теория автоматического управления задачи с решением

На комплексной плоскости по выражению (3.24) можно построить амплитудно-фазовую характеристику апериодического звена, которая имеет вид полуокружности (рис. 3.15).

Теория автоматического управления задачи с решением
Теория автоматического управления задачи с решением

Запишем выражение для логарифмической амплитудной частотной характеристики

Теория автоматического управления задачи с решением

Наиболее просто для звена можно построить асимптотическую логарифмическую амплитудную частотную характеристику. В этом случае следует рассмотреть отдельно области высоких и низких частот и для каждой определить свою асимптоту:

1) в области низких частот, когда Теория автоматического управления задачи с решением вместо точной ЛАЧХ (3.29) можно рассмотреть приближенную

Теория автоматического управления задачи с решением

2) в области высоких частот при Теория автоматического управления задачи с решением вторая асимптота имеет вид

Теория автоматического управления задачи с решением

На частоте Теория автоматического управления задачи с решением которая называется собственной частотой апериодического звена, справедливо условие

Теория автоматического управления задачи с решением

Точная характеристика звена на рис. 3.16 показана пунктирной линией и несколько отличается от асимптотической ЛАЧХ, причем наибольшая погрешность будет на собственной частоте Теория автоматического управления задачи с решением.

Теория автоматического управления задачи с решением

Форсирующее звено

Форсирующим называется звено, дифференциальное уравнение которого имеет вид

Теория автоматического управления задачи с решением

Нетрудно убедиться в том, что (3.32) можно представить как сумму уравнений пропорционального и дифференцирующего звеньев. Передаточную функцию форсирующего звена

Теория автоматического управления задачи с решением

принято записывать в стандартной форме

Теория автоматического управления задачи с решением

где Теория автоматического управления задачи с решением — коэффициент усиления, а Теория автоматического управления задачи с решением — постоянная времени звена.

Передаточная функция (3.33) содержит полином в числителе, корень которого Теория автоматического управления задачи с решением называется «нулем» форсирующего звена. Его переходная характеристика определяется соотношением

Теория автоматического управления задачи с решением

Качественный вид ее приведен на рис. 3.17.

Теория автоматического управления задачи с решением

Импульсная переходная функция звена следующая:

Теория автоматического управления задачи с решением

Обобщенная частотная характе-стика находится по пе функции (3.33) и имеет вид

Теория автоматического управления задачи с решением

Соответствующая амплитудно-фазовая характеристика изображена на рис. 3.18.

Теория автоматического управления задачи с решением

Вещественная частотная характеристика звена не зависит от частоты и равна

Теория автоматического управления задачи с решением

мнимая частотная характеристика представляет собой прямую фазовая характеристика форсирующего звена

Теория автоматического управления задачи с решением

Амплитудная частотная характеристика может быть построена по выражению

Теория автоматического управления задачи с решением

а фазовая частотная характеристика

Теория автоматического управления задачи с решением

причем в пределе

Теория автоматического управления задачи с решением

На основании выражения для Теория автоматического управления задачи с решением определим логарифмическую амплитудную частотную характеристику

Теория автоматического управления задачи с решением

Как и в предыдущем случае, для форсирующего звена удобнее строить не точную, а асимптотическую ЛАЧХ (рис. 3.19). Здесь Теория автоматического управления задачи с решением— собственная частота звена.

Теория автоматического управления задачи с решением

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика форсирующего звена

Причем се можно получить, исследуя отдельно области низких „ высоких частот или суммируя ЛАЧХ пропорционального и дифференцирующего звеньев.

Нетрудно убедиться, сравнивая выражения (3.28) и (3.29) с выражениями (3.37) и (3.38), в том, что логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики форсирующего звена представляют собой зеркальное отображение относительно оси абсцисс соответствующих логарифмических характеристик апериодического звена.

Звено второго порядка

Дифференциальное уравнение звена второго порядка

Теория автоматического управления задачи с решением

принято записывать в стандартном виде

Теория автоматического управления задачи с решением

где Теория автоматического управления задачи с решением — постоянная времени звена; Теория автоматического управления задачи с решением — коэффициент демпфирования, который определяет склонность переходных процессов к колебаниям, Теория автоматического управления задачи с решением — коэффициент усиления.

Передаточную функцию звена получим на основе символической записи дифференциального уравнения

Теория автоматического управления задачи с решением

в виде

Теория автоматического управления задачи с решением

Для определения модальных характеристик запишем характеристическое уравнение звена

Теория автоматического управления задачи с решением

Оно имеет два корня (полюса), которые в зависимости от коэффициента демпфирования Теория автоматического управления задачи с решением могут быть вещественными или комплексно-сопряженными, что приводит к различным переходным процессам. Рассмотрим варианты корней.

  • Если Теория автоматического управления задачи с решением, то корни уравнения (3.42) вещественные и положительные. Обозначим их через Теория автоматического управления задачи с решением и получим переходную функцию (рис. 3.20) в виде
Теория автоматического управления задачи с решением
  • Если Теория автоматического управления задачи с решением, то корни уравнения (3.42) будут комплексно-сопряженными, т.е. Теория автоматического управления задачи с решением При Теория автоматического управления задачи с решением получаем Теория автоматического управления задачи с решением

В случае, когда коэффициент демпфирования изменяется в диапазоне Теория автоматического управления задачи с решением, звено второго порядка называют колебательным. Выражение для его переходной характеристики следующее:

Теория автоматического управления задачи с решением

Причем колебательность переходного процесса будет тем больше, чем меньше коэффициент демпфирования Теория автоматического управления задачи с решением. В пределе при Теория автоматического управления задачи с решением = О будут иметь место незатухающие колебания. В этом случае звено называется консервативным. Соответствующие графики переходных процессов представлены на рис. 3.21.

Теория автоматического управления задачи с решением

Определим выражение для общей частотной характеристики колебательного звена, заменив Теория автоматического управления задачи с решением на Теория автоматического управления задачи с решением в передаточной функции (3.41):

Теория автоматического управления задачи с решением

Запишем выражения для вещественной частотной характеристики

Теория автоматического управления задачи с решением

и мнимой частотной характеристики:

Теория автоматического управления задачи с решением
Теория автоматического управления задачи с решением

На основе (3.46) и (3.47) построим АЧХ на комплексной плоскости, рассматривая характерные точки:

Теория автоматического управления задачи с решением

Ее вид существенно зависит от коэффициента демпфирования Теория автоматического управления задачи с решением (рис. 3.22).

Амплитудно-фазовая характеристика консервативного звена (Теория автоматического управления задачи с решением =0) начинается в точке к на вещественной оси и при увеличении со стремится Теория автоматического управления задачи с решением, а затем из Теория автоматического управления задачи с решением -к началу координат.

Амплитудная частотная характеристика строится на основе выражения

Теория автоматического управления задачи с решением

и может иметь резонансный пик, высота которого будет тем больше, чем меньше коэффициент демпфирования Теория автоматического управления задачи с решением.

Формула для фазовой частотной характеристики имеет вид

Теория автоматического управления задачи с решением

Построение ЛAЧX колебательного звена (при 0 < Теория автоматического управления задачи с решением < 1) осуществляется по соотношению, полученному из (3.48):

Теория автоматического управления задачи с решением

При значениях коэффициента демпфирования в интервале 0,3<d<l можно строить упрощенную асимптотическую ЛAЧX. рассматривая отдельно области высоких и низких частот.

В области низких частот Теория автоматического управления задачи с решением асимптота имеет вид

Теория автоматического управления задачи с решением

В области высоких частот, когда Теория автоматического управления задачи с решением получим вторую асимптоту (рис. 3.23)

Теория автоматического управления задачи с решением
Теория автоматического управления задачи с решением

На собственной чистоте колебательного звена Теория автоматического управления задачи с решением справедливо соотношение

Теория автоматического управления задачи с решением

Наибольшее отличие асимптотической ЛАЧХ от действительной характеристики наблюдается на частоте Теория автоматического управления задачи с решением (рис. 3.24) и зависит от величины коэффициента демпфирования.

Теория автоматического управления задачи с решением

При значениях Теория автоматического управления задачи с решением<0,3 не следует пользоваться асимптотической ЛАЧХ, а нужно строить точную логарифмическую характеристику.

При Теория автоматического управления задачи с решением> 1 корни характеристического уравнения (3.42) будут вещественными и передаточную функцию звена второго порядка (3.41) можно представить в виде произведения двух передаточных функций апериодических звеньев:

Теория автоматического управления задачи с решением

где Теория автоматического управления задачи с решением — постоянные времени апериодических звеньев. В этом случае асимптотическая ЛАЧХ звена второго порядка имеет два «излома» на частотах Теория автоматического управления задачи с решением.

Она может быть получена суммированием асимптотических ЛАЧХ двух апериодических звеньев.

Готовые задачи по теории автоматического управления (ТАУ)

Теория автоматического управления (ТАУ) появилась во второй половине 19 века сначала как теория регулирования. Широкое применение паровых машин вызвало потребность в регуляторах, то есть в специальных устройствах, поддерживающих устойчивый режим работы паровой машины. Это дало начало научным исследованиям в области управления техническими объектами. Оказалось, что результаты и выводы данной теории могут быть применимы к управлению объектами различной природы с различными принципами действия. В настоящее время сфера ее влияния расширилась на анализ динамики таких систем, как экономические, социальные и т.п. Поэтому прежнее название «Теория автоматического регулирования» заменено на более широкое – «Теория автоматического управления».

Предметом дисциплины «Теория автоматического управления» (ТАУ) является изучение моделей элементов и основных характеристик систем, а также методов анализа и синтеза наиболее распространенных классов систем.

Все системы можно подразделить на материальные и абстрактные. Между ними устанавливаются связи через моделирование.

Под моделью понимают отображение свойств реальной системы в другой системе, реализованной в виде макета или абстрактного описания на ка-ком-либо языке (с помощью дифференциальных уравнений, графов, сетей и т.п.). В своей деятельности люди с помощью моделей изучают различные объекты, которые изначально не удовлетворяют их по своим количественным и качественным характеристикам. Приходится вырабатывать управляющие воздействия на объект, чтобы добиться определенных целей. Так возникает процесс управления. Поскольку управление протекает во времени, то системы управления являются динамическими.

Классическая цепочка в динамической системе управления такова: определение программы управления (планирование) — оценка состояния объекта (контроль) — определение управляющих воздействий (принятие решения) — реализация управления (непосредственное воздействие на объект).

В зависимости от степени автоматизации этих этапов различают автоматизированные системы управления и автоматические системы управления.

В автоматизированных системах управления (АСУ) процесс управления осуществляется частично человеком (принятие решения, контроль, иногда -реализация управления), а частично — автоматическими устройствами.

В системах автоматического управления (САУ) процесс управления осуществляется автоматическими устройствами без непосредственного участия человека на всех этапах рассматриваемой цепочки. Эти системы и будут изучаться в данной дисциплине.

История развития ТАУ связана с созданием высокоточных механизмов, к которым относятся: часы с маятниковым регулятором хода (X. Гюйгенс, 1675); поплавковый регулятор питания котла паровой машины (И. И. Ползунов, 1765); центробежный регулятор скорости паровой машины (Дж. Уатт, 1784); первое программное устройство управления ткацким станком от перфокарты (Ж. Жаккар, 1808) и другие.

Теоретическое осмысление особенностей применения регуляторов было изложено в трудах «О регуляторах» Д. Максвелла (1866) и И. А. Вышнеградского (1876 — 1877). В этот период Раус и Гурвиц разработали математические критерии устойчивости систем.

Двадцатый век явился периодом развития ТАУ. В 1932 г. X. Найквист предложил критерий устойчивости усилителей с обратной связью, а в 1938 г. А. В. Михайлов — критерий устойчивости систем на базе частотных методов.

В 50-е годы XX века В. В. Солодовников завершил формирование частотных методов анализа и синтеза САУ; в трудах А. А. Ляпунова, А. И. Лурье, А. М. Летова, М. А. Айзермана, В. М. Попова разработана теория нелинейных систем.

В 60-е годы прошлого века Я. 3. Цыпкин разработал основы теории дискретных систем; в трудах Г. В. Щипанова, В. С. Кулебакина, Б. Н. Петрова создана теория инвариантных систем; J1. С. Понтрягин, А. А. Фельдбаум, А. А. Красовский разработали принципы экстремального управления и теорию оптимальных систем.

С конца XX века началось внедрение в управление микропроцессоров и микроЭВМ. Появились сложные системы управления производственными процессами, развиваются новые разделы ТАУ, такие как динамика сложных систем, моделирование сложных систем и т.п. В качестве математического аппарата широко используется пространство состояния.

Конспект лекций по дисциплине «Теория автоматического управления» состоит из двух частей. Настоящая первая часть включает материал, описывающий линейные непрерывные системы. Во второй части будут рассмотрены дискретные, нелинейные, адаптивные и оптимальные системы.

Общие сведения о системах автоматического управления

Основными частями системы автоматического управления являются объект управления и управляющее устройство. Объект управления (ОУ) (рис. 1.1, а) — это устройство, в котором протекает процесс, подлежащий управлению.

Координаты Задачи теории автоматического управления, которыми в объекте управления необходимо управлять, будем называть управляемыми (регулируемыми) координатами (выходные величины). Требуемый режим функционирования объекта управления нарушается из-за воздействия на него возмущений (колебания нагрузки, воздействия внешней среды и т.п.). Сигналы Задачи теории автоматического управления, характеризующие действующие на объект возмущения, будем называть возмущающими воздействиями, или просто возмущениями.

Группа величин Задачи теории автоматического управления носит название управляющих воздействий (сигналов), с помощью которых можно изменять выходные координаты.

На схемах те или иные скалярные сигналы будем обозначать в виде одиночных стрелок, которые указывают направление действия сигнала. Координаты Задачи теории автоматического управления можно объединить в соответствующие вектора: Задачи теории автоматического управления — вектор управления, Задачи теории автоматического управления — вектор возмущения; Задачи теории автоматического управления — вектор выхода. В этом случае векторные сигналы изображены в виде двойных стрелок (рис. 1.1,6).

Задачи теории автоматического управления

На рис. 1.2 схематично изображено управляющее устройство (УУ), где сигналы представляют собой соответствующие векторы Задачи теории автоматического управления и Задачи теории автоматического управления.

Задачи теории автоматического управления

На управляющее устройство также могут действовать некоторые возмущения, характеризуемые вектором Задачи теории автоматического управления. Роль управляющего устройства — переработка информации, содержащейся в сигналах Задачи теории автоматического управления и Задачи теории автоматического управления и в соответствии с некоторым алгоритмом, зависящим от внутренней структуры управляющего устройства, — выработка управляющих сигналов Задачи теории автоматического управления.

Систему автоматического управления можно представить как совокупность объекта управления и управляющего устройства (рис. 1.3).

Полагаем, что в векторе Задачи теории автоматического управления учтены возмущения, действующие как на объект управления, так и на управляющее устройство. Штриховыми линиями показана возможность передачи информации об объекте управления и о величинах возмущений на управляющее устройство.

В основу функционирования систем автоматического управления положены три основных принципа управления.

Задачи теории автоматического управления

Принцип разомкнутого управления соответствует структуре, изображенной на рис. 1.4. По этому принципу управляющее устройство формирует сигнал управления без учета информации о возмущениях и о результатах управления. Этот простейший принцип применим только в том случае, если возмущения определены и учтены на предварительной стадии при формировании алгоритма управления и объект управления строго исполняет предписанный алгоритм управления.

Второй принцип управления — это принцип компенсации (управление по возмущению). Структура системы управления представлена на рис. 1.5.

Задачи теории автоматического управления

В этом случае вся информация о действующих возмущениях непрерывно поступает на управляющее устройство и учитывается при выработке алгоритма управления. Недостатками этого принципа являются техническая сложность, а иногда невозможность измерить возмущение, а также — отсутствие информации о результатах управления.

Третий принцип управления — принцип обратной связи (управление по отклонению). Структура системы автоматического управления в данном случае представлена на рис. 1.6. В системе существует канал передачи информации о результатах управления — канал обратной связи. При этом косвенно через объект управления учитывается и влияние возмущений на вектор выхода. В этом случае алгоритм управления непрерывно учитывает результаты управления.

Возможно создание систем автоматического управления, использующих второй и третий принципы управления одновременно, — так называемых систем с комбинированным управлением.

На рис. 1.3, 1.5 и 1.6 место разветвления сигналов, обозначенное в виде точки, будем называть узлом.

В большинстве случаев управляющее устройство структурно можно разделить на две части: устройство сравнения Задачи теории автоматического управления и регулятор Задачи теории автоматического управления, как показано на рис. 1.7.

Задачи теории автоматического управления

Схематично устройство сравнения (сумматор) будем обозначать в виде прямоугольника со знаком суммирования внутри и при помощи знаков « + » и «-» указывать знак поступающей величины. Тогда на рис. 1.7 алгоритм работы устройства сравнения будет иметь вид Задачи теории автоматического управления а сигнал Задачи теории автоматического управления, характеризующий отклонение выходного сигнала Задачи теории автоматического управления от входа сигнала Задачи теории автоматического управления, будем называть сигналом ошибки (сигнал рассогласования, ошибка).

При таком представлении управляющего устройства система управления, построенная по принципу обратной связи, будет иметь вид, изображенный на рис. 1.8.

Задачи теории автоматического управления

Канал передачи сигнала Задачи теории автоматического управления с выхода объекта управления на вход системы будем называть главной обратной связью системы.

Если Задачи теории автоматического управления — обратная связь отрицательная, если Задачи теории автоматического управления — положительная.

Классификация систем автоматического управления

Классификацию систем автоматического управления осуществляют в зависимости от признаков, в качестве которых могут быть принципы работы, алгоритмы функционирования, структуры систем, вид представления отдельных элементов, вид математических моделей, области применения и др.

По виду алгоритмов функционирования системы автоматического управления делятся на системы стабилизации ( Задачи теории автоматического управления, поддерживается некоторое постоянное значение выхода Задачи теории автоматического управления, рис. 1.8), системы программного управления (вход Задачи теории автоматического управления должен изменяться по заданной программе), следящие системы — закон изменения входного сигнала Задачи теории автоматического управления неизвестен заранее. Примерами таких систем соответственно являются системы стабилизации скорости вращения и частоты; система автоматического управления промышленного робота, работающая в режиме отработки заданных (программных) движений; радиолокационные следящие системы измерения координат движущегося объекта. С развитием практики и теории автоматического управления появляются новые классы систем: системы с поиском экстремума показателя качества, системы оптимального управления, адаптивные системы.

Приведем классификацию систем по виду законов управления. Под законом управления будем понимать зависимость выходного сигнала регулятора Задачи теории автоматического управления от сигнала ошибки Задачи теории автоматического управления. Для простоты примем, что Задачи теории автоматического управления и Задачи теории автоматического управления — скалярные величины, которые обозначим малыми буквами; тогда в общем случае закон управления будет иметь вид:

Задачи теории автоматического управления

Простейшими случаями этого соотношения являются:

  • пропорциональный закон (П-закон): Задачи теории автоматического управления;
  • интегральный закон (И-закон): Задачи теории автоматического управления
  • пропорционально-интегральный закон (ПИ—закон): Задачи теории автоматического управления;
  • пропорционально-интегально-дифференциальный закон (ПИД-закон): Задачи теории автоматического управления

где Задачи теории автоматического управления — коэффициент передачи; а Задачи теории автоматического управления — постоянные времени.

По количеству управляемых координат системы делятся на одномерные (Задачи теории автоматического управления) и многомерные, или многосвязные (Задачи теории автоматического управления) (см. рис. 1.1).

По характеру протекающих процессов системы делятся на непрерывные (все сигналы непрерывны во времени) и импульсные (хотя бы один из сигналов дискретизирован (квантован)) во времени. Если хотя бы один из сигналов в системе является квантованным по уровню, то она относится к релейным системам. При одновременном квантовании сигнала по уровню и времени систему относят к цифровым. Релейные, импульсные и цифровые системы составляют класс дискретных систем автоматического управления.

По зависимости выходных сигналов отдельных элементов от входных системы делятся на линейные и нелинейные.

По виду параметров, характеризующих отдельные элементы и устройства, системы делятся на системы с сосредоточенными или распределенными параметрами, стационарные (все параметры постоянны во времени), нестационарные (параметры изменяются во времени), системы с детерминированными параметрами (закон изменения параметров известен), со случайными (стохастическими) параметрами (заданы их вероятностные характеристики), с неопределенными параметрами (может, например, задаваться только область их изменения).

Приведенная классификация не охватывает всех классов существующих систем. Например, можно выделять еще системы с запаздыванием, системы с перестраиваемой структурой. Адаптивные системы делятся на самонастраивающиеся и самоорганизующиеся.

Примеры систем автоматического управления

Отметим, что первыми промышленными системами автоматического управления считаются регулятор уровня воды в котле паровой машины и центробежный регулятор скорости вращения вала паровой машины.

На рис. 1.9 представлена простейшая структура системы регулирования скорости вращения двигателя постоянного тока, которая содержит объект управления — двигатель (Дв), скорость вращения которого у является управляемой координатой (возмущение Задачи теории автоматического управления характеризует влияние момента нагрузки на скорость вращения); управляющее устройство включает тахогенератор (Тг), напряжение на выходе которого пропорционально скорости вращения Задачи теории автоматического управления; устройство сравнения Задачи теории автоматического управления, в качестве которого может применяться суммирующий операционный усилитель или, например, потенциометрический мостик; УП — усилительно-преобразовательные устройства, включающие предварительные усилительные каскады и корректирующие устройства, которые придают системе определенные свойства; УМ — усилитель мощности. Входной сигнал Задачи теории автоматического управления в виде напряжения задает режим работы системы. Если Задачи теории автоматического управления, то система будет системой стабилизации. Изменяя Задачи теории автоматического управления во времени, можно изменять скорость вращения и систему можно рассматривать как систему программного управления или следящую.

Если Задачи теории автоматического управления при заданной величине Задачи теории автоматического управления то на выходе имеем некоторую номинальную скорость Задачи теории автоматического управления, которой будут соответствовать номинальное значение напряжения тахогенератора Задачи теории автоматического управления, ошибка Задачи теории автоматического управления и соответственно напряжение управления Задачи теории автоматического управления, поддерживающее номинальную скорость вращения. Увеличение момента нагрузки Задачи теории автоматического управленияприведет к уменьшению величин Задачи теории автоматического управления и Задачи теории автоматического управления, возрастанию сигнала ошибки Задачи теории автоматического управления что обусловит увеличение подаваемого напряжения Задачи теории автоматического управления на двигатель. Таким образом, скорость возрастет до номинальной (или близкой к номинальной). Если Задачи теории автоматического управления уменьшить, то процесс регулирования будет идти в обратном направлении. Таким образом, происходит автоматическая компенсация влияния нагрузки на скорость двигателя и поддержание скорости в заданных пределах.

Задачи теории автоматического управления

В качестве следующего примера рассмотрим цифровой электропривод, структура которого представлена на рис. 1.10. Управляемой координатой является угол поворота Задачи теории автоматического управления некоторого механизма (М), подключенного к двигателю (Дв) через редуктор (Р) (например одна из степеней подвижности промышленного робота). ДУ — датчик угла, выходом которого является напряжение, пропорциональное углу поворота. Это напряжение поступает на аналого-цифровой преобразователь (АЦП). Сигнал Задачи теории автоматического управления представляет собой цифровой код угла и поступает на микроЭВМ (или микропроцессор). На микроЭВМ поступает (например от ЭВМ более высокого уровня) требуемый код угла поворота. В простейшем случае микроЭВМ производит сравнение сигналов Задачи теории автоматического управления и Задачи теории автоматического управления, т. е. выступает в роли устройства сравнения. В более общем случае микроЭВМ реализует некоторый закон управления (например ПИД-закон) в цифровой форме. Далее сигнал Задачи теории автоматического управления в цифровом коде поступает на цифроаналоговый преобразователь (ЦАП), после которого через элементы УП и УМ воздействует на двигатель. Такая система может работать в режиме позиционирования, отрабатывая заданный угол Задачи теории автоматического управления, либо в режиме непрерывной отработки угла, изменяющегося по определенной программе.

Существенным отличием этой системы является наличие элементов цифровой техники ЦАП, АЦП, микроЭВМ, для которых характерно квантование сигналов по уровню и по времени.

Математическое описание звеньев систем автоматического управления. Уравнения звеньев

Система автоматического управления (САУ) — это совокупность соединенных в определенной последовательности элементов и устройств, которые будем называть звеньями. Примерами звеньев могут служить объекты управления, усилительно-преобразовательные устройства, исполнительные двигатели, тахогенераторы, различного рода датчики, цифровые устройства, в том числе микропроцессоры и управляющие ЭВМ и т.п.

Под линейной непрерывной стационарной системой с сосредоточенными параметрами будем понимать систему, которая в целом так же, как и отдельные звенья, описывается линейными обыкновенными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами.

На рис. 2.1 изображено звено САУ, имеющее один входной Задачи теории автоматического управления и один выходной Задачи теории автоматического управления сигналы, являющиеся скалярными величинами (Задачи теории автоматического управления, где Задачи теории автоматического управления — множество действительных или комплексных чисел). В дальнейшем будем интерпретировать все сигналы в системе как функции текущего времени Задачи теории автоматического управления, т. е. Задачи теории автоматического управления, где Задачи теории автоматического управления.

Получение уравнений, описывающих поведение отдельных звеньев в каждом конкретном случае, является задачей той или иной отрасли науки, например, электротехники, электроники, механики и т.п. и не является предметом данного курса. Поэтому будем полагать, что звено в общем случае описывается дифференциальным уравнением следующего вида:

Задачи теории автоматического управления

где

Задачи теории автоматического управления
Задачи теории автоматического управления

Коэффициенты Задачи теории автоматического управления зависят от конструктивных параметров и, возможно, от режима работы звена. Порядок Задачи теории автоматического управления дифференциального уравнения (2.1) будет определять также и соответствующий порядок звена. На практике звенья описываются дифференциальными уравнениями низкого порядка, обычно Задачи теории автоматического управления.

Для полного математического описания процессов в звене следует задавать начальные условия

Задачи теории автоматического управления

которые чаще всего будем полагать нулевыми.

В теории автоматического управления наряду с (2.1) уравнения звеньев записывают в стандартной форме, когда координаты при переменных Задачи теории автоматического управления и Задачи теории автоматического управления равны единице. Вынося за скобки Задачи теории автоматического управления и Задачи теории автоматического управления, имеем

Задачи теории автоматического управления

или, вводя обозначения

Задачи теории автоматического управления

получим следующий вид дифференциального уравнения:

Задачи теории автоматического управления

где Задачи теории автоматического управления — постоянные времени, имеющие размерность [с], а Задачи теории автоматического управления — коэффициент передачи (усиления) имеет размерность [разм. Задачи теории автоматического управления/ разм. Задачи теории автоматического управления].

Уравнения (2.1) и (2.2) можно записать также в операторном (символическом) виде, вводя дифференциальный оператор

Задачи теории автоматического управления

такой, что Задачи теории автоматического управленияЗадачи теории автоматического управления. Тогда уравнение (2.1) может быть записано в операторной форме:

Задачи теории автоматического управления

По виду дифференциального уравнения (2.1) звенья делятся на три типа. Если

Задачи теории автоматического управления

то такие звенья относятся к позиционным; если Задачи теории автоматического управления а Задачи теории автоматического управления, то к дифференцирующим; если

Задачи теории автоматического управления

то к интегрирующим.

Позиционные звенья имеют статическую характеристику. Пусть

Задачи теории автоматического управления

тогда

Задачи теории автоматического управления

Уравнения (2.1)-(2.3) описывают поведение звеньев в динамических режимах, поэтому в дальнейшем будем называть их уравнениями динамики.

Задача №2.1.

Рассмотрим дифференциальные уравнения часто встречающихся звеньев САУ. В качестве исполнительного устройства в системах управления широко применяются двигатели. Дифференциальное уравнение динамики двигателя постоянного тока при якорном управлении при определенных условиях имеет следующий вид:

Задачи теории автоматического управления

где Задачи теории автоматического управления — электромеханическая и электромагнитная постоянные времени; Задачи теории автоматического управления — коэффициент передачи; Задачи теории автоматического управления — угловая скорость вращения; Задачи теории автоматического управления — напряжение, приложенное к якорю.

Обозначая

Задачи теории автоматического управления

можно получить уравнение в форме (2.2). Дифференциальное уравнение двигателя относительно угла поворота будет

Задачи теории автоматического управления

где Задачи теории автоматического управления — угол поворота.

Величины Задачи теории автоматического управления зависят от конструктивных параметров двигателя. Дифференциальное уравнение тахогенератора может быть записано в виде Задачи теории автоматического управления, где Задачи теории автоматического управления — угол поворота вала тахогенератора; Задачи теории автоматического управления — напряжение на его выходе; Задачи теории автоматического управления — коэффициент передачи, определяемый конструктивными параметрами.

Линеаризация уравнений динамики звеньев

Реальные устройства САУ обычно являются нелинейными. Однако при определенных условиях их можно заменить линейными моделями, что значительно упрощает исследование САУ. Операция замены нелинейных уравнений линейными носит название линеаризации. Существуют различные способы линеаризации уравнений динамики. Наиболее распространенным является способ, базирующийся на разложении нелинейных функций в ряд Тейлора.

Пусть звено САУ описывается нелинейным дифференциальным уравнением

Задачи теории автоматического управления

где Задачи теории автоматического управления — входной, а Задачи теории автоматического управления — выходной сигналы.

Рассмотрим установившийся режим работы звена, когда на входе действует постоянный сигнал Задачи теории автоматического управления. Тогда существует постоянное значение выходного сигнала Задачи теории автоматического управления, которое можно найти из уравнения (2.4), полагая Задачи теории автоматического управления (очевидно, Задачи теории автоматического управления). Связь установившихся значений сигналов Задачи теории автоматического управления и Задачи теории автоматического управления будет задаваться уравнением установившегося режима

Задачи теории автоматического управления

из которого при заданном Задачи теории автоматического управления, можно найти величину Задачи теории автоматического управления.

Введем отклонения от установившегося режима

Задачи теории автоматического управления

и разложим функцию Задачи теории автоматического управления в (2.4) в ряд Тейлора относительно координат Задачи теории автоматического управления:

Задачи теории автоматического управления

где

Задачи теории автоматического управления

и т.д.

Учитывая, что

Задачи теории автоматического управления

и ограничиваясь в ряде Тейлора только линейным членом, получим

Задачи теории автоматического управления

Уравнение (2.6) является линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами и носит название линеаризованного уравнения.

Приведенной процедуре линеаризации можно дать геометрическую интерпретацию. Уравнение установившегося режима (2.5) определяет нелинейную статическую характеристику звена (рис. 2.2).

Нелинейная функция Задачи теории автоматического управления в точке разложения с координатами Задачи теории автоматического управления аппроксимируется линейной: касательной в точке разложения.

Задачи теории автоматического управления

Отметим ряд существенных моментов в процедуре линеаризации.

  1. Линеаризация допустима, если нелинейная функция Задачи теории автоматического управления в точке разложения является аналитической (т. е. дифференцируема бесконечное число раз). Для звена, имеющего статическую характеристику с разрывом, линеаризация недопустима. САУ, содержащие такие звенья, должны рассматриваться как нелинейные.
  2. Коэффициенты Задачи теории автоматического управления линеаризованного уравнения (2.6) зависят от координат точки разложения Задачи теории автоматического управления. Изменение координат дает уравнение с другими коэффициентами.
  3. Линеаризованное уравнение (2.6) и исходное (2.4) будут близки между собой только в окрестности точки разложения. Это соответствие будет тем лучше, чем меньше отклонения Задачи теории автоматического управления координат от установившегося режима и чем ближе нелинейная функция Задачи теории автоматического управления в точке разложения к своей касательной. Дать определенные количественные оценки такой близости затруднительно.

Рассматриваемые далее САУ будем полагать линейными, считая, что их звенья, если это необходимо, на предварительном этапе подверглись процедуре линеаризации.

Задача №2.2.

Пусть звено описывается нелинейным дифференциальным уравнением

Задачи теории автоматического управления

Уравнение статики имеет вид Задачи теории автоматического управления. Положим входной сигнал Задачи теории автоматического управления тогда очевидно, что Задачи теории автоматического управления. Линеаризация исходного уравнения дает

Задачи теории автоматического управления

Если Задачи теории автоматического управления, то получим уравнение

Задачи теории автоматического управления

Таким образом, в зависимости от координат точки разложения будем иметь уравнения с различными коэффициентами.

Передаточная функция и временные характеристики звеньев

Основной характеристикой звена САУ является его дифференциальное уравнение. Однако наряду с ним в теории управления нашли применение и другие характеристики. Важнейшей из них является передаточная функция, получаемая на основе применения преобразования Лапласа к исходному дифференциальному уравнению звена. Прямое и обратное преобразования Лапласа определяются следующими выражениями:

Задачи теории автоматического управления
Задачи теории автоматического управления

где Задачи теории автоматического управленияоригинал; Задачи теории автоматического управления — изображение функции Задачи теории автоматического управления — комплексная переменная; Задачи теории автоматического управления и Задачи теории автоматического управления — символы прямого и обратного преобразования Лапласа.

Наиболее важные свойства преобразования Лапласа, а также соответствие между рядом оригиналов и изображений приведены в приложении.

Если в дифференциальном уравнении звена (2.1) положить

Задачи теории автоматического управления
Задачи теории автоматического управления

то после применения прямого преобразования Лапласа получим алгебраическое уравнение относительно изображений:

Задачи теории автоматического управления
Задачи теории автоматического управления

откуда

Задачи теории автоматического управления

Передаточная функция звена Задачи теории автоматического управления есть отношение изображения выходного сигнала к изображению входного сигнала при нулевых начальных условиях.

Если взять дифференциальное уравнение звена в операторной форме (2.3), то формально Задачи теории автоматического управления получим делением оператора Задачи теории автоматического управления на оператор Задачи теории автоматического управления с заменой Задачи теории автоматического управления на Задачи теории автоматического управления

Задачи теории автоматического управления

Из (2.7) следует связь изображений входа и выхода через передаточную функцию:

Задачи теории автоматического управления

Звено САУ на структурных схемах изображают так, как показано на рис. 2.3.

Задачи теории автоматического управления

При использовании уравнения (2.2) передаточную функцию звена будем записывать в виде

Задачи теории автоматического управления

где Задачи теории автоматического управления и Задачи теории автоматического управления — многочлены с единичными коэффициентами в младших членах.

Полином Задачи теории автоматического управления будем называть характеристическим полиномом, а уравнение Задачи теории автоматического управления — характеристическим уравнением звена.

Следующий класс характеристик звена — это временные характеристики: весовая и переходная функции звена.

Если рассматривать Задачи теории автоматического управления как изображение, то приходим к понятию весовой (импульсной) функции звена Задачи теории автоматического управления, формально определяемой как обратное преобразование Лапласа от передаточной функции

Задачи теории автоматического управления

Весовая функция звена Задачи теории автоматического управления есть реакция звена на входной сигнал в виде дельта-функции, которая определяется соотношением

Задачи теории автоматического управления

Дельта-функция обладает фильтрующим свойством:

Задачи теории автоматического управления

Если положить

Задачи теории автоматического управления

откуда

Задачи теории автоматического управления

т. е. Задачи теории автоматического управления — реакция звена на входной сигнал Задачи теории автоматического управления.

К такому же результату можно прийти следующим образом. Правой части (2.8) соответствует в области оригиналов свертка функций Задачи теории автоматического управления и Задачи теории автоматического управления:

Задачи теории автоматического управления

Если в (2.11) положить Задачи теории автоматического управления, то на основании фильтрующего свойства дельта-функции будем иметь Задачи теории автоматического управления.

Переходной функцией звена Задачи теории автоматического управления называется реакция звена на единичное ступенчатое воздействие

Задачи теории автоматического управления

Так как

Задачи теории автоматического управления

и по определению

Задачи теории автоматического управления

Так как

Задачи теории автоматического управления

Задача №2.3.

Дифференциальное уравнение двигателя постоянного тока (пример 2.1) по углу поворота в предположении, что Задачи теории автоматического управления, можно записать в виде Задачи теории автоматического управления, где принято Задачи теории автоматического управления.

Передаточная функция и временные характеристики будут иметь вид

Задачи теории автоматического управления

Частотные характеристики звеньев

Частотные характеристики определяют динамические свойства звеньев при воздействии на них гармонических сигналов. Формально частотные характеристики получаются из передаточной функции Задачи теории автоматического управления при Задачи теории автоматического управления, где Задачи теории автоматического управления — угловая частота, имеющая размерность [рад/с]. Сделав такую замену, получим

Задачи теории автоматического управления

т. е. частотная передаточная функция Задачи теории автоматического управления есть прямое преобразование Фурье от весовой функции Задачи теории автоматического управления.

Комплекснозначную функцию Задачи теории автоматического управления частоты Задачи теории автоматического управления будем называть амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ) звена.

Как любое комплексное число АФЧХ можно представить в виде

Задачи теории автоматического управления

Если передаточная функция звена представлена в виде

Задачи теории автоматического управления

то

Задачи теории автоматического управления

При этом, очевидно,

Задачи теории автоматического управления

(считаем Задачи теории автоматического управления) и

Задачи теории автоматического управления

В соответствии с (2.14) — (2.16) имеем еще ряд частотных характеристик: Задачи теории автоматического управления — амплитудно-частотная характеристика (АЧХ); Задачи теории автоматического управленияЗадачи теории автоматического управления — (разово-частотная характеристика (ФЧХ); Задачи теории автоматического управления — соответственно вещественная и мнимая частотные характеристики.

Рассмотрим физический смысл частотных характеристик. Если на вход звена с передаточной функцией Задачи теории автоматического управления поступает гармонический сигнал Задачи теории автоматического управления, то в установившемся режиме после затухания переходной составляющей выходной сигнал Задачи теории автоматического управления будет также гармоническим:

Задачи теории автоматического управления

т. е. той же частоты, но измененных амплитуды и фазы.

Изменение амплитуды определяется модулем Задачи теории автоматического управления, а фазы — аргументом Задачи теории автоматического управления на соответствующей частоте Задачи теории автоматического управления.

На практике для наглядности частотные характеристики изображают в виде графиков при изменении частоты Задачи теории автоматического управления от 0 до Задачи теории автоматического управления.

Частотные характеристики обладают следующими свойствами:

Задачи теории автоматического управления

которые непосредственно следуют из (2.14) — (2.16). Другими словами: характеристики Задачи теории автоматического управления являются четными, Задачи теории автоматического управления — нечетными. В силу этого графики при изменении частоты от Задачи теории автоматического управления до 0 не строятся. АФЧХ Задачи теории автоматического управления представляет собой годограф на комплексной плоскости с координатами Задачи теории автоматического управления или Задачи теории автоматического управления при изменении Задачи теории автоматического управления от 0 до Задачи теории автоматического управления.

На рис. 2.4 и 2.5 представлены иллюстративные графики частотных характеристик некоторого звена.

Задачи теории автоматического управления

Штриховой линией показаны части графиков, соответствующие Задачи теории автоматического управления<0. Вполне понятно, что из графика (см. рис. 2.4) нетрудно получить графики а, б или соответственно в, г (см. рис. 2.5) и наоборот.

Задачи теории автоматического управления

На практике часто применяются соответствующие логарифмические частотные характеристики: логарифмическая амплитудная частотная характеристика (ЛАЧХ) Задачи теории автоматического управления и логарифмическая фазовая частотная характеристика (ЛФЧХ) Задачи теории автоматического управления, графики которых строятся в логарифмическом масштабе. При построении Задачи теории автоматического управления по оси ординат откладывается величина Задачи теории автоматического управления, единицей измерения которой является децибел, а по оси абсцисс — частота Задачи теории автоматического управления в логарифмическом масштабе, т. е. величина Задачи теории автоматического управления. Увеличение Задачи теории автоматического управления в 10 раз соответствует приращению Задачи теории автоматического управления вдоль оси ординат на 20 дБ. При построении ЛФЧХ величину Задачи теории автоматического управления откладывают по оси ординат в обычном масштабе (в градусах или радианах), а Задачи теории автоматического управления — в логарифмическом масштабе.

На рис. 2.6 приведены иллюстративные графики ЛAЧX и ЛФЧХ для некоторого звена. Частота Задачи теории автоматического управления, при которой Задачи теории автоматического управления = 1, носит название частоты среза. Левее Задачи теории автоматического управления значения Задачи теории автоматического управления > 1 (усиление), правее — < 1 (ослабление амплитуды гармонического сигнала).

Задачи теории автоматического управления

Элементарные звенья и их характеристики

В общем случае звено САУ описывается линейным дифференциальным уравнением произвольного порядка вида (2.1) — (2.3), или соответствующей передаточной функцией (2.7). Введем понятие элементарного звена и покажем, что любое звено может быть представлено в виде совокупности элементарных звеньев.

Передаточная функция (2.7) есть отношение двух полиномов порядка Задачи теории автоматического управления и Задачи теории автоматического управления соответственно. Каждый из полиномов всегда можно представить в виде про-изведения простых сомножителей вида:

Задачи теории автоматического управления

где сомножитель Задачи теории автоматического управления соответствует нулевому корню уравнений Задачи теории автоматического управления или

Задачи теории автоматического управления

действительному корню,

Задачи теории автоматического управления

паре комплексно-сопряженных корней.

Исходя из этого, введем в рассмотрение элементарные звенья со следующими передаточными функциями:

Задачи теории автоматического управления
Задачи теории автоматического управления

Обозначим произвольную передаточную функцию элементарного звена через Задачи теории автоматического управления. Нетрудно показать, что звено с передаточной функцией Задачи теории автоматического управления можно представить в виде

Задачи теории автоматического управления

Представление Задачи теории автоматического управления в виде (2.17) оказывается удобным при вычислении и построении соответствующих характеристик звена, если известны характеристики элементарных звеньев. Действительно, из (2.17) нетрудно получить следующие полезные соотношения:

Задачи теории автоматического управления

Перейдем к рассмотрению характеристик элементарных звеньев. Идеальное усилительное (безынерционное или пропорциональное) звено. Его уравнение и передаточная функция имеют вид

Задачи теории автоматического управления

(полагаем Задачи теории автоматического управления), а частотные характеристики —

Задачи теории автоматического управления
Задачи теории автоматического управления

Временные характеристики звена таковы:

Задачи теории автоматического управления

Графики частотных и временных характеристик вполне очевидны. Идеальное интегрирующее звено. Дифференциальное уравнение и передаточная функция имеют вид

Задачи теории автоматического управления

Характеристики звена определяются следующими выражениями:

Задачи теории автоматического управления
Задачи теории автоматического управления

графики которых представлены на рис. 2.7.

Задачи теории автоматического управления

Идеальное дифференцирующеее звено. Звено имеет следующие дифференциальное уравнение и передаточную функцию:

Задачи теории автоматического управления

и соответственно характеристики:

Задачи теории автоматического управления
Задачи теории автоматического управления

графики которых представлены на рис. 2.8.

Задачи теории автоматического управления

Апериодическое (инерционное) звено первого порядка. Дифференциальное уравнение звена имеет вид

Задачи теории автоматического управления

Передаточная функция и частотные характеристики имеют следующий вид:

Задачи теории автоматического управления

Весовая и переходная функции звена определяются выражениями

Задачи теории автоматического управления

графики которых представлены на рис. 2.9.

Задачи теории автоматического управления

На рис. 2.10 изображены частотные характеристики звена Задачи теории автоматического управленияЗадачи теории автоматического управления. При этом годограф вектора Задачи теории автоматического управления представляет собой полуокружность.

Задачи теории автоматического управления

ЛАЧХ Задачи теории автоматического управления может быть построена по приведенному выше выражению по точкам. Однако возможен более простой способ построения приближенной или асимптотической ЛАЧХ в виде отрезков прямых линий с наклонами: 0 до частоты Задачи теории автоматического управления и -20 дБ на декаду после частоты Задачи теории автоматического управления. Соответствующий график приближенной (асимптотической) ЛАЧХ приведен на рис. 2.11, там же представлена и ЛФЧХ.

Штриховой линией показан точный график Задачи теории автоматического управления. Максимальная ошибка Задачи теории автоматического управления между точным графиком Задачи теории автоматического управления и асимптотическим будет при Задачи теории автоматического управления и составит

Задачи теории автоматического управления

что вполне допустимо.

Колебательное звено. Дифференциальное уравнение колебательного эвена имеет вид

Задачи теории автоматического управления

Будем полагать, что Задачи теории автоматического управления, тогда корни характеристического уравнения

Задачи теории автоматического управления

будут комплексными. Чаще передаточную функцию звена записывают в виде

Задачи теории автоматического управления
Задачи теории автоматического управления

Частотные и временные характеристики звена имеют следующий вид:

Задачи теории автоматического управления

Анализ АЧХ показывает, что Задачи теории автоматического управления для любого со, если 0,707 < Задачи теории автоматического управления < 1. При Задачи теории автоматического управления < 0,707 на графике Задачи теории автоматического управления появляется «горб», который уходит в бесконечность при Задачи теории автоматического управления. Величину Задачи теории автоматического управления называют параметром затухания. Чем меньше Задачи теории автоматического управления, тем медленнее затухает колебательная составляющая в выражениях Задачи теории автоматического управления и Задачи теории автоматического управления.

Асимптотическая ЛАЧХ в виде ломаной может быть получена только при Задачи теории автоматического управления = 1 и имеет следующий вид:

Задачи теории автоматического управления

Переход от прямой с наклоном 0 дБ/дек на прямую с наклоном -40 дБ/дек происходит по частоте излома Задачи теории автоматического управления. Считается, что такую аппроксимацию можно использовать при 0,5 < Задачи теории автоматического управления < 1. При Задачи теории автоматического управления < 0,5 в окрестностях точки Задачи теории автоматического управления на ЛАЧХ также появляется «горб». В этом случае при построении Задачи теории автоматического управления в диапазоне Задачи теории автоматического управления, близких к Задачи теории автоматического управления, следует использовать точное выражение для Задачи теории автоматического управления или воспользоваться специальными номограммами.

Графики частотных характеристик колебательного звена приведены на рис. 2.12, а временных характеристик — на рис. 2.13.

Задачи теории автоматического управления
Задачи теории автоматического управления

Частные случаи колебательного звена: консервативное звено при Задачи теории автоматического управления = 0, имеющее передаточную функцию

Задачи теории автоматического управления

и апериодическое звено второго порядка при Задачи теории автоматического управления, передаточная функция которого равна

Задачи теории автоматического управления

Форсирующее звено первого порядка. Дифференциальное уравнение и передаточная функция звена имеют вид

Задачи теории автоматического управления

а частотные и временные характеристики определяются выражениями

Задачи теории автоматического управления

Графики частотных характеристик представлены на рис. 2.14. Форсирующее звено второго порядка. Диффференциальное уравнение и передаточная функция равны соответственно

Задачи теории автоматического управления
Задачи теории автоматического управления

при условии Задачи теории автоматического управления. При Задачи теории автоматического управления это звено можно представить как произведение двух элементарных форсирующих звеньев первого порядка.

Задачи теории автоматического управления

Особенности и физическая реализуемость звеньев

Пусть звено имеет передаточную функцию

Задачи теории автоматического управления

Если нули передаточной функции (корни уравнения Задачи теории автоматического управления) и полюса передаточной функции (корни уравнения Задачи теории автоматического управления) имеют действительные части, отрицательные или равные нулю, то такое звено будем называть звеном минимально-фазового типа. При наличии хотя бы одного нуля или полюса с положительной вещественной частью звено будет относиться к неминимально-фазовому типу.

Рассмотрим эти звенья на простейшем примере. Для звена с передаточной функцией

Задачи теории автоматического управления

которое является минимально-фазовым,

Задачи теории автоматического управления

Звено с передаточной функцией

Задачи теории автоматического управления

являющееся неминимально-фазовым, имеет частотные характеристики

Задачи теории автоматического управления

Таким образом, при одинаковых АЧХ неминимально-фазовое звено имеет больший по модулю фазовый сдвиг.

Указанное свойство справедливо и в общем случае.

Рассмотрим еще одно важное свойство звеньев — свойство физической реализуемости.

Для любого реального устройства АЧХ с увеличением частоты должна уменьшаться и стремиться к нулю, а фазовые сдвиги на высоких частотах должны быть отрицательными. Пусть полином числителя Задачи теории автоматического управления передаточной функции Задачи теории автоматического управления имеет порядок Задачи теории автоматического управления, а полином знаменателя Задачи теории автоматического управления — порядок Задачи теории автоматического управления. Тогда для минимально-фазового звена справедливы следующие соотношения:

Задачи теории автоматического управления

Из приведенных соотношений следует, что звено является физически реализуемым, если будет выполняться соотношение Задачи теории автоматического управления.

С этой точки зрения, например, идеальное дифференцирующее звено с передаточной функцией Задачи теории автоматического управления не является физически реализуемым. Реальное звено, осуществляющее операции дифференцирования, может быть аппроксимировано передаточной функцией Задачи теории автоматического управления в некотором ограниченном диапазоне частот.

Математическое описание систем автоматического управления. Структурные схемы и структурные преобразования

Графически системы автоматического управления представляют в виде структурных схем, которые разделяют на конструктивные, функциональные и алгоритмические. В случае конструктивных схем блок является законченным техническим устройством (двигатель, усилитель, тахогенератор и т. п.). В функциональных схемах блок представляет собой один или несколько элементов, осуществляющих какую-либо функцию (усиления, преобразования, сбора информации и т. п.). Часто конструктивные блоки могут совпадать с функциональными.

При математическом описании систем управления распространение получили алгоритмические структурные схемы, составной частью которых являются звенья систем. Характеристикой звена является его математическое описание в виде дифференциального уравнения, передаточной функции или другой характеристики. Наиболее часто такой характеристикой является передаточная функция, которая записывается внутри прямоугольника, изображающего звено на структурной схеме.

Таким образом, алгоритмические структурные схемы, которые в основном в дальнейшем будем использовать и называть просто структурными схемами, являются графической интерпретацией математической модели системы управления.

В процессе исследования структурные схемы подвергаются преобразованию: некоторые звенья могут объединяться в одно звено, другие, наоборот, подвергаются расчленению. Такие преобразования носят название структурных преобразований, которые фактически соответствуют преобразованиям математических моделей. В результате таких преобразований конечная структурная схема может сильно отличаться от исходной, а тем более от функциональной или конструктивной схемы.

Одним из результирующих итогов структурных преобразований является приведение произвольной структуры системы к некоторому стандартному виду. Структурная схема такой стандартной системы автоматического управления представлена на рис. 3.1, где Задачи теории автоматического управления — передаточная функция объекта управления, Задачи теории автоматического управления — передаточная функция регулятора, Задачи теории автоматического управления — входной сигнал, Задачи теории автоматического управления— возмущающий, Задачи теории автоматического управления — выходной сигнал, Задачи теории автоматического управления — сигнал рассогласования. Единичная обратная связь в такой системе называется главной обратной связью.

Задачи теории автоматического управления

На структурных схемах сигналы следует рассматривать как изображения по Лапласу соответствующих переменных.

Рассмотрим преобразование произвольной структуры к стандартному виду, которое осуществляется на основании правил структурных преобразований. Анализ структур систем автоматического управления показывает, что существует три основных вида соединения звеньев: последовательное, параллельное и соединение с помощью обратной связи.

Структурные схемы, соответствующие указанным типам соединений, представлены на рис. 3.2, а, б, в.

Задачи теории автоматического управления

Отметим, что в дальнейшем, если это ясно из контекста, символ s в записи передаточных функций будем иногда опускать.

Рассмотрим задачу объединения звеньев в одно звено, связывающее непосредственно вход и выход соответствующего соединения.

Для последовательного соединения (см. рис. 3.2, а) можно записать:

Задачи теории автоматического управления

Исключая промежуточную величину Задачи теории автоматического управления, получим

Задачи теории автоматического управления

Итак, при последовательном соединении общая передаточная функция соединения будет равна произведению передаточных функций звеньев:

Задачи теории автоматического управления

Если последовательно соединено Задачи теории автоматического управления звеньев, то аналогично

Задачи теории автоматического управления

Для параллельного соединения (см. рис. 3.2, б) уравнения, связывающие координаты, имеют вид

Задачи теории автоматического управления
Задачи теории автоматического управления

Исключая величины Задачи теории автоматического управления из этих уравнений, получим

Задачи теории автоматического управления

т. е. общая передаточная функция соединения будет равна сумме передаточных функций звеньев. В случае последовательного соединения Задачи теории автоматического управления звеньев получим

Задачи теории автоматического управления

Уравнения, связывающие переменные при соединении звеньев с помощью обратной связи (рис. 3.2, в), имеют вид

Задачи теории автоматического управления
Задачи теории автоматического управления

откуда, исключая переменные

Задачи теории автоматического управления

получим

Задачи теории автоматического управления

т.е. общая передаточная функция соединения будет равна

Задачи теории автоматического управления

Если звенья соединены с помощью положительной обратной связи, то

Задачи теории автоматического управления

Наряду с объединением звеньев при структурных преобразованиях приходится прибегать к переносу отдельных узлов или сумматоров из одних участков структурной схемы в другие. Такие переносы изображены на рис. 3.3, где слева — исходная схема, а справа — структурная схема после соответствующего переноса узла или сумматора. Нетрудно видеть, что по отношению к сигналам входа и выхода исходная и преобразованная структурные схемы эквивалентны.

Задачи теории автоматического управления

На практике существует и другая задача — расчленения отдельного звена на более простые. Примером решения такой задачи может служить представление передаточной функции звена в виде суммы или произведения передаточных функций элементарных звеньев.

Задача №3.1.

Рассмотрим систему управления, структурная схема которой представлена на рис. 3.4, а. Последовательность преобразования структуры следующая: переносим сумматор Задачи теории автоматического управления через звено Задачи теории автоматического управления и через сумматор Задачи теории автоматического управления. Далее объединим звенья до точки приложения воздействия Задачи теории автоматического управления и после нее. В результате будем иметь структуру, представленную на рис. 3.4, б.

Задачи теории автоматического управления

Передаточные функции и уравнения систем

Рассмотрим структурную схему стандартной системы автоматического управления, представленную на рис. 3.1. Обозначим произведение передаточных функций Задачи теории автоматического управления через Задачи теории автоматического управления. Эту передаточную функцию будем называть передаточной функцией разомкнутой системы, которая связывает изображение выходного сигнала Задачи теории автоматического управления и входа Задачи теории автоматического управления при размыкании цепи главной обратной связи и при Задачи теории автоматического управления.

Передаточная функция (как любая передаточная функция линейной системы или звена) есть отношение двух полиномов вида

Задачи теории автоматического управления

где

Задачи теории автоматического управления

Для физически реализуемых систем должно выполняться условие: Задачи теории автоматического управления. Величину Задачи теории автоматического управления будем называть коэффициентом передачи (усиления) разомкнутой системы. Полином Задачи теории автоматического управления назовем характеристическим полиномом разомкнутой системы, а алгебраическое уравнение Задачи теории автоматического управления-й степени Задачи теории автоматического управления, где Задачи теории автоматического управления — комплексная переменная, будем называть характеристическим уравнением разомкнутой системы.

Если Задачи теории автоматического управления не содержит нулевых корней, то систему управления будем называть статической по отношению к управляющему воздействию. Очевидно, Задачи теории автоматического управления.

При наличии нулевых корней передаточную функцию (3.1) можно представить в виде

Задачи теории автоматического управления

где Задачи теории автоматического управления не имеет нулевых корней; Задачи теории автоматического управления — количество нулевых корней уравнения Задачи теории автоматического управления, т. е. говорят, что передаточная функция содержит Задачи теории автоматического управления-й степени в чистом виде.

Систему управления с передаточной функцией вида (3.2) будем называть астатической с астатизмом Задачи теории автоматического управления-го порядка по отношению к управляющему воздействию. Очевидно, (3.1) есть частный случай (3.2) при Задачи теории автоматического управления = 0.

Перейдем к рассмотрению характеристик замкнутой системы (рис. 3.1), для которой можно из структурной схемы записать следующие уравнения:

Задачи теории автоматического управления

Из (3.3) нетрудно определить эти связи:

Задачи теории автоматического управления
Задачи теории автоматического управления

Обозначим

Задачи теории автоматического управления
Задачи теории автоматического управления

Передаточную функцию Задачи теории автоматического управления назовем главной передаточной функцией замкнутой системы, Задачи теории автоматического управления — передаточной функцией замкнутой системы по возмущению, Задачи теории автоматического управления — передаточной функцией замкнутой системы по ошибке. Если Задачи теории автоматического управления представлена в виде (3.1), то

Задачи теории автоматического управления

где полином Задачи теории автоматического управления, a Задачи теории автоматического управления — полином, который получается в результате перемножения Задачи теории автоматического управления и Задачи теории автоматического управления.

Полином Задачи теории автоматического управления носит название характеристического полинома замкнутой системы, а уравнение Задачи теории автоматического управления — характеристического уравнения замкнутой системы. Степень полинома Задачи теории автоматического управления определяется величиной Задачи теории автоматического управления (если Задачи теории автоматического управления) или Задачи теории автоматического управления (если Задачи теории автоматического управления). Для физически реализуемой разомкнутой системы степень полинома Задачи теории автоматического управления равна Задачи теории автоматического управления.

Важной характеристикой замкнутой системы является ее дифференциальное уравнение. Из уравнения

Задачи теории автоматического управления

заменяя Задачи теории автоматического управления и Задачи теории автоматического управления выражениями (3.4), получим

Задачи теории автоматического управления

и, переходя к оригиналам (или формально заменяя Задачи теории автоматического управления на оператор дифференцирования Задачи теории автоматического управления), имеем следующее дифференциальное уравнение замкнутой системы:

Задачи теории автоматического управления

Порядок Задачи теории автоматического управления дифференциального уравнения (порядок полинома Задачи теории автоматического управления) будем называть порядком системы.

Уравнение (3.5) описывает поведение системы в динамическом режиме, частным случаем которого является установившийся или статический режим. Полагая в (3.5) величины Задачи теории автоматического управления, а производные этих величин равными нулю, что соответствует Задачи теории автоматического управления в полиномах Задачи теории автоматического управления получим уравнение статического режима:

Задачи теории автоматического управления

Величина Задачи теории автоматического управления a Задачи теории автоматического управления для астатических систем и Задачи теории автоматического управления -для статических систем. Таким образом, имеем следующие уравнения статического режима: Задачи теории автоматического управления при Задачи теории автоматического управления при Задачи теории автоматического управления.

Значение величины Задачи теории автоматического управления зависит от вида передаточных функций Задачи теории автоматического управления.

По аналогии со звеньями систем можно ввести временные характеристики замкнутой системы, используя соответствующие передаточные функции Задачи теории автоматического управления, Задачи теории автоматического управления или Задачи теории автоматического управления. Оригинал Задачи теории автоматического управления передаточной функции Задачи теории автоматического управления замкнутой системы относительно входа Задачи теории автоматического управления и выхода Задачи теории автоматического управления определится как Задачи теории автоматического управления, а переходная функция как Задачи теории автоматического управления.

Аналогично можно определить эти характеристики, используя Задачи теории автоматического управления и Задачи теории автоматического управления.

Задача №3.2.

Пусть задана структурная схема системы (см. рис. 3.1), где

Задачи теории автоматического управления

Используя результаты, приведенные выше, определяем основные характеристики системы:

Задачи теории автоматического управления

Дифференциальное уравнение замкнутой системы (3.5) примет вид:

Задачи теории автоматического управления

Система является системой с астатизмом первого порядка, порядок системы равен трем.

Частотные характеристики систем

Частотные методы анализа и синтеза систем управления находят широкое применение в инженерной практике. По аналогии с частотными характеристиками звеньев можно ввести соответствующие частотные характеристики для системы автоматического управления.

Важным классом частотных характеристик являются частотные характеристики разомкнутой системы, определяемые из передаточной функции Задачи теории автоматического управления. Это амплитудно-фазовая частотная характеристика

Задачи теории автоматического управления
Задачи теории автоматического управления

Задачи теории автоматического управления — соответственно вещественная и мнимая частотные характеристики, Задачи теории автоматического управления — логарифмическая амплитудная частотная характеристика разомкнутой системы.

Отметим некоторые общие свойства частотных характеристик для систем минимально-фазового типа. Пусть

Задачи теории автоматического управления

и степень полинома числителя Задачи теории автоматического управления меньше степени полинома знаменателя Задачи теории автоматического управления, тогда

Задачи теории автоматического управления

При этом годограф Задачи теории автоматического управления на комплексной плоскости при Задачи теории автоматического управления стремится к началу координат, при Задачи теории автоматического управления для статической системы он начинается на действительной оси на расстоянии Задачи теории автоматического управления от начала координат, а для астатических систем при Задачи теории автоматического управления уходит в бесконечность в третьем квадранте при Задачи теории автоматического управления = 1, во втором квадранте при Задачи теории автоматического управления = 2, в первом квадранте при Задачи теории автоматического управления = 3 и т.д. по часовой стрелке.

При построении частотных характеристик разомкнутой системы полезно представить Задачи теории автоматического управления в виде произведения передаточных функций Задачи теории автоматического управления элементарных звеньев (см. подразд. 2.5), т.е.

Задачи теории автоматического управления

В этом случае

Задачи теории автоматического управления

что может существенно облегчить вычисление и построение характеристик. Если

Задачи теории автоматического управления

то каждую элементарную характеристику Задачи теории автоматического управления строят в виде отрезков ломаных

(асимптот) и далее производят суммирование. Отметим, что первая низкочастотная асимптота определяется выражением Задачи теории автоматического управления — это есть прямая с наклоном Задачи теории автоматического управления, проходящая при Задачи теории автоматического управления через точку с координатой Задачи теории автоматического управления.

Рассмотрим теперь частотные характеристики замкнутой системы. Их можно получить по передаточным функциям замкнутой системы Задачи теории автоматического управленияЗадачи теории автоматического управления. Чаще всего рассматривают частотные характеристики на базе главной передаточной функции замкнутой системы Задачи теории автоматического управления. Из них обычно используются

Задачи теории автоматического управления

вещественная частотная характеристика замкнутой системы.

Остановимся на основных свойствах Задачи теории автоматического управления и Задачи теории автоматического управления. Для физически реализуемых систем

Задачи теории автоматического управления

Начальные значения этих характеристик будут таковы:

Задачи теории автоматического управления

Между частотными характеристиками разомкнутой и замкнутой системы существует однозначная связь, которая следует из выражения

Задачи теории автоматического управления

Представляя

Задачи теории автоматического управления
Задачи теории автоматического управления

из (3.7) можно получить следующие выражения:

Задачи теории автоматического управления

Эти выражения можно использовать для вычисления частотных характеристик замкнутой системы по частотным характеристикам разомкнутой. Существуют специальные номограммы, решающие такие задачи графически.

Процессы в системах автоматического управления

Динамические процессы в стандартной системе автоматического управления, структурная схема которой приведена на рис. 3.1, описываются во временной области дифференциальным уравнением

Задачи теории автоматического управления

или в области изображений выражением

Задачи теории автоматического управления

Выходной сигнал Задачи теории автоматического управления замкнутой системы, являющийся решением линейного дифференциального уравнения (4.1), может возникнуть в системе либо за счет внешних воздействий Задачи теории автоматического управления или Задачи теории автоматического управления, либо за счет вариации начальных условий переменной Задачи теории автоматического управления и ее производных. Составляющую выходного сигнала, обусловленную ненулевыми начальными условиями переменной Задачи теории автоматического управления и ее производных, будем называть свободной и обозначать Задачи теории автоматического управления, а составляющие, обусловленные сигналами Задачи теории автоматического управления и Задачи теории автоматического управления, — вынужденными и обозначать соответственно Задачи теории автоматического управления и Задачи теории автоматического управления. Тогда процесс Задачи теории автоматического управления, являющийся решением линейного дифференциального уравнения (4.1), определяется выражением

Задачи теории автоматического управления

где

Задачи теории автоматического управления

В математике Задачи теории автоматического управления называют общим решением уравнения (4.1) без правой части (однородного уравнения), a Задачи теории автоматического управления — частным решением уравнения (4.1) с правой частью (неоднородного уравнения).

Общее решение однородного уравнения в случае простых (различных) корней характеристического уравнения Задачи теории автоматического управления, которые обозначим через Задачи теории автоматического управления, определяется выражением

Задачи теории автоматического управления

где Задачи теории автоматического управления — произвольные постоянные, определяемые через начальные условия

Задачи теории автоматического управления

Если характеристическое уравнение Задачи теории автоматического управления имеет один кратный корень, например, Задачи теории автоматического управления кратности Задачи теории автоматического управления, а остальные Задачи теории автоматического управления — простые, то общее решение будет иметь вид

Задачи теории автоматического управления

В случае нескольких кратных корней в свободной составляющей будут появляться аналогичные группы слагаемых, соответствующие каждому кратному корню.

Для вычисления вынужденной составляющей обратимся к уравнению относительно изображений (4.2). Обозначим весовые функции замкнутой системы по управляющему сигналу

Задачи теории автоматического управления

и по возмущению

Задачи теории автоматического управления

тогда переходя в (4.2) к оригиналам, с учетом того, что произведение изображений есть свертка во временной области, получим

Задачи теории автоматического управления

Таким образом, полное решение Задачи теории автоматического управления дифференциального уравнения будет иметь вид

Задачи теории автоматического управления

В случае нулевых начальных условий

Задачи теории автоматического управления

все

Задачи теории автоматического управления

и (4.7) превращается в соотношение (4.6).

При исследовании систем управления обычно ограничиваются внешними воздействиями определенного типа, что дает возможность ввести некоторые показатели качества процессов управления и оказывается удобным для сравнительного анализа проектируемых систем. Наиболее часто сигнал управления Задачи теории автоматического управления (то же самое и для возмущения Задачи теории автоматического управления) задают в виде типового сигнала следующего вида:

Задачи теории автоматического управления — дельта-функция;

Задачи теории автоматического управления — ступенчатая функция амплитуды Задачи теории автоматического управления (скачок по положению);

Задачи теории автоматического управления — скачок по скорости;

Задачи теории автоматического управления — скачок по ускорению’,

Задачи теории автоматического управления — полиномиальное воздействие;

Задачи теории автоматического управления — гармоническое воздействие, где Задачи теории автоматического управления амплитуда, Задачи теории автоматического управления — фаза, Задачи теории автоматического управления — частота;

Задачи теории автоматического управления — гармоническое воздействие в комплексной форме.

В этих выражениях сигналы определены при Задачи теории автоматического управления > 0 и равны нулю при Задачи теории автоматического управления < 0, a

Задачи теории автоматического управления

Выбор того или иного сигнала зависит от вида системы и условий ее функционирования. Например, для систем стабилизации наиболее естественной формой управляющего воздействия является ступенчатая функция. Для следящих систем таковыми являются сигналы гармонического типа.

Наиболее часто динамические свойства системы оцениваются по ее реакции на единичную ступенчатую функцию Задачи теории автоматического управления, т. е. по виду выходного сигнала Задачи теории автоматического управления, являющегося переходной функцией замкнутой системы Задачи теории автоматического управления.

На рис. 4.1 представлен наиболее типичный вид переходной функции Задачи теории автоматического управления, где Задачи теории автоматического управления — установившееся значение выходной координаты.

Задачи теории автоматического управления

Для оценки качества регулирования по виду Задачи теории автоматического управления вводят следующие показатели качества:

Задачи теории автоматического управления — время регулирования (время переходного процесса), это время,

после которого величина

Задачи теории автоматического управления

где обычно Задачи теории автоматического управления от Задачи теории автоматического управления;

Задачи теории автоматического управления

перерегулирование в процентах;

Задачи теории автоматического управления

частота колебаний переходного процесса;

число колебаний за время переходного процесса.

Наиболее важными показателями качества являются Задачи теории автоматического управления и Задачи теории автоматического управления. Величина Задачи теории автоматического управления может изменяться в широких пределах в зависимости от вида системы управления. Перерегулирование обычно лежит в пределах от 0 до 30%. Число колебаний за время регулирования обычно 1 — 2, а иногда 3 — 4. В некоторых случаях колебания недопустимы.

По виду функции Задачи теории автоматического управления процессы делятся на три категории (рис. 4.2): монотонные (1), апериодические (2) и колебательные (3).

У монотонных процессов Задачи теории автоматического управления не меняет знак, у апериодического процесса знак производной Задачи теории автоматического управления изменяется только один раз, у колебательного — бесконечное число раз.

Задачи теории автоматического управления

Вычисление процессов в замкнутой системе фактически представляет собой задачу решения дифференциального уравнения (4.1) при заданных входных воздействиях Задачи теории автоматического управления и Задачи теории автоматического управления и начальных условиях. Существующие методы решения этой задачи можно разбить на две категории: аналитические методы и методы моделирования на ПЭВМ.

Задача №4.1.

В системе (см. рис. 3.1) будем полагать

Задачи теории автоматического управления
Задачи теории автоматического управления

где Задачи теории автоматического управления и Задачи теории автоматического управления имеют соответствующую размерность.

Найдем выражение, связывающее выходной сигнал Задачи теории автоматического управления с внешними воздействиями Задачи теории автоматического управления и Задачи теории автоматического управления Для определения свободной составляющей (произвольных Задачи теории автоматического управления) воспользуемся операционным методом решения дифференциального уравнения.

Выражение (4.2) будет иметь вид

Задачи теории автоматического управления

из которого дифференциальное уравнение замкнутой системы (4.1) будет

Задачи теории автоматического управления

Будем полагать начальные условия для выходного сигнала Задачи теории автоматического управления ненулевыми, а для входных сигналов — нулевыми. Применим к дифференциальному уравнению преобразование Лапласа.

Задачи теории автоматического управления

откуда

Задачи теории автоматического управления

Полученное выражение отличается от первоначального в этом примере наличием членов, учитывающих ненулевые начальные условия. С учетом заданных параметров Задачи теории автоматического управления будем иметь

Задачи теории автоматического управления

Применяя обратное преобразование Лапласа, получим в области оригиналов

Задачи теории автоматического управления

Аналитические методы вычисления процессов

Аналитические методы вычисления выходного сигнала замкнутой системы базируются на известных методиках решения дифференциальных уравнений. Решение (4.1) классическими методами во временной области приводит к соотношению (4.7). Зная Задачи теории автоматического управления, внешние воздействия Задачи теории автоматического управления и интегрируя (4.7), можно вычислить реакцию системы Задачи теории автоматического управления. Такой подход редко используется в практике теории управления, а выражение (4.7) в большей степени применяется в теоретических выкладках.

На практике решение уравнения (4.1) чаще всего осуществляют с помощью операционного исчисления на базе преобразования Лапласа, т. е. за основу принимают выражение (4.2).

Рассмотрим методику вычисления реакции системы на внешнее воздействие Задачи теории автоматического управления при нулевых начальных условиях координаты Задачи теории автоматического управления и ее производных. В этом случае связь изображений входа и выхода будет иметь вид

Задачи теории автоматического управления

где в общем случае

Задачи теории автоматического управления

Задачи теории автоматического управления — полиномы степени Задачи теории автоматического управления соответственно.

Вычисление составляющей Задачи теории автоматического управления обусловленной возмущением Задачи теории автоматического управления, будет аналогичным с использованием передаточной функции Задачи теории автоматического управления.

В (4.8) изображение Задачи теории автоматического управления для большинства типовых воздействий представляет собой дробно-рациональную функцию, т. е. также является отношением некоторых полиномов относительно Задачи теории автоматического управления. Таким образом, изображение Задачи теории автоматического управления в этом случае будет иметь следующий вид:

Задачи теории автоматического управления

где степень полинома Задачи теории автоматического управления меньше степени полинома Задачи теории автоматического управления, которую обозначим через Задачи теории автоматического управления и в общем случае Задачи теории автоматического управления.

Вычисление оригинала Задачи теории автоматического управления по его изображению осуществляется по формулам разложения Хевисайда. Если полюса изображения Задачи теории автоматического управления, являющиеся корнями уравнения Задачи теории автоматического управления, которые обозначим Задачи теории автоматического управления, являются различными, то оригинал Задачи теории автоматического управления определяется выражением

Задачи теории автоматического управления
Задачи теории автоматического управления

В случае кратных полюсов для вычисления оригинала Задачи теории автоматического управления используется выражение на основе вычетов [6].

Если входной сигнал

Задачи теории автоматического управления

а изображение реакции системы в соответствии с (4.8) примет такой вид:

Задачи теории автоматического управления

Реакция системы в этом случае будет не чем иным, как переходной функцией замкнутой системы Задачи теории автоматического управления, которая как частный случай (4.9) будет вычисляться по выражению

Задачи теории автоматического управления

где Задачи теории автоматического управления — различные корни характеристического уравнения замкнутой системы.

Следует отметить, что случай кратных корней при исследовании систем управления встречается сравнительно редко.

В (4.10) Задачи теории автоматического управления характеризует так называемую установившуюся составляющую, а Задачи теории автоматического управления — переходную составляющую. И в общем случае в (4.9) для произвольного процесса Задачи теории автоматического управления можно всегда выделить две составляющие: установившуюся Задачи теории автоматического управления и переходную Задачи теории автоматического управления. Частным случаем установившейся составляющей является случай, соответствующий Задачи теории автоматического управления, которую будем называть статической составляющей. Для асимптотически устойчивых систем (это понятие будем рассматривать в разд. 5) всегда

Задачи теории автоматического управления

и при больших значениях Задачи теории автоматического управления реакция системы Задачи теории автоматического управления.

Отметим, что так как в (4.10) Задачи теории автоматического управления — это постоянные величины, то структура переходной составляющей Задачи теории автоматического управления идентична структуре свободной составляющей Задачи теории автоматического управления (4.4).

Реакция системы Задачи теории автоматического управления на входной сигнал Задачи теории автоматического управления при нулевых начальных условиях определяется выражением

Задачи теории автоматического управления

Для вычисления установившейся составляющей можно воспользоваться выражением [1]:

Задачи теории автоматического управления

При гармоническом входном сигнале для вычисления установившейся составляющей можно использовать частотные характеристики системы. Пусть на входе системы Задачи теории автоматического управления, тогда установившееся значение выходного сигнала будет также гармоническим сигналом и может быть вычислено по выражению

Задачи теории автоматического управления

где Задачи теории автоматического управления — значение АЧХ, а Задачи теории автоматического управления — значение ФЧХ замкнутой системы при Задачи теории автоматического управления.

Задача №4.2.

Рассмотрим систему управления, структура которой представлена на рис. 3.1. Как и в предыдущем примере,

Задачи теории автоматического управления

Пусть

Задачи теории автоматического управления

Входной сигнал Задачи теории автоматического управления

С учетом изображения входного сигнала Задачи теории автоматического управления найдем

Задачи теории автоматического управления

Используя (4.10) с учетом того, что характеристическое уравнение

Задачи теории автоматического управления

имеет два различных корня

Задачи теории автоматического управления

получим

Задачи теории автоматического управления

Из полученного выражения следует, что переходная составляющая с течением времени затухает, а установившаяся — постоянна и равна единице.

Вычислим установившуюся составляющую выходного сигнала при гармоническом входном сигнале

Задачи теории автоматического управления
Задачи теории автоматического управления

Передаточная функция имеет вид

Задачи теории автоматического управления

откуда, заменяя Задачи теории автоматического управления на Задачи теории автоматического управления, получим

Задачи теории автоматического управления

При Задачи теории автоматического управления значения

Задачи теории автоматического управления

Таким образом, установившееся значение выходного сигнала будет равно

Задачи теории автоматического управления

Применение аналитических методов на практике ограничено из-за необходимости вычисления корней характеристического уравнения, построения по найденному аналитическому выражению переходной функции, нахождения показателей качества системы (Задачи теории автоматического управления и др.). Чтобы обойти эти трудности, были разработаны приближенные графические методы построения переходной функции, вытекающие из связи Задачи теории автоматического управления с вещественной частотной характеристикой замкнутой системы Задачи теории автоматического управления:

Задачи теории автоматического управления

Выражение (4.13) положено в основу приближенных графических методов построения Задачи теории автоматического управления. Суть этих методов заключается в аппроксимации характеристик Задачи теории автоматического управления и вычислении соответствующих составляющих переходного процесса. Например, Вороновым А. А. был предложен метод аппроксимации Задачи теории автоматического управления с помощью треугольных, а Солодовниковым В. В. — с помощью трапецеидальных характеристик.

Однако в связи с развитием вычислительной техники в настоящее время графо-аналитический метод вычисления переходной функции утратил свое прежнее значение. Переходной процесс любой САУ легко строится в Matlab с помощью стандартных функций или с использованием средства Simulink после создания соответствующей математической модели исследуемой системы.

Моделирование переходных процессов на ПЭВМ

С помощью известной системы математических расчетов Matlab, в которую встроен специальный пакет для исследования систем автоматического управления — Control System Toolbox, можно по передаточной функции системы построить необходимые графики временных характеристик. В Matlab также можно представить эквивалентную модель системы в среде Simulink и исследовать ее характеристики в этом приложении.

Рассмотрим применение описанных возможностей работы в Matlab на примере системы, структурная схема которой задана в виде последовательного соединения двух апериодических звеньев с параметрами:

Задачи теории автоматического управления
Задачи теории автоматического управления
Задачи теории автоматического управления

Для этой системы построим график переходной функции Задачи теории автоматического управления двумя способами.

  • При использовании операторов пакета Control System Toolbox запишем в командном окне следующую программу:
Задачи теории автоматического управления

В первой строке происходит определение параметров системы и присвоение им численных значений.

Если передаточную функцию разомкнутой системы представить в виде отношения полиномов по степеням Задачи теории автоматического управления:

Задачи теории автоматического управления

то удобно использовать оператор Задачи теории автоматического управления, который позволяет записывать передаточные функции путем формирования векторов коэффициентов числителя и знаменателя так, как это представлено во второй строке программы.

В третьей строке оператор feedback замыкает систему с единичным коэффициентом усиления в цепи обратной связи.

Оператор step позволяет построить переходной процесс системы при подаче на ее вход единичной ступенчатой функции Задачи теории автоматического управления.

График переходного процесса, полученный в результате выполнения программы, представлен на рис. 4.4.

Задачи теории автоматического управления
  • Представим модель системы в среде Simulink, как показано на рис. 4.5, используя стандартные блоки из библиотеки ее приложения.
Задачи теории автоматического управления

При моделировании получим на экране виртуального осциллографа (Scope) график переходного процесса (рис. 4.6), который совпадает с приведенным на рис. 4.4.

Задачи теории автоматического управления

Аналогичным образом могут быть построены и другие характеристики системы.

Устойчивость процессов в системах автоматического управления

Общие определения устойчивости процессов, справедливые как для линейных, так и для нелинейных систем, будут даны во второй части конспекта лекций. Здесь отметим, что свойство устойчивости или неустойчивости заданного процесса, протекающего в системе, рассматривается по отношению к другим процессам той же системы, отличающимся от заданного за счет изменений начальных условий. Величинами, отклоняющими процесс от заданного, являются возмущения начальных условий.

Для случая линейной системы динамические процессы в ней описываются линейным дифференциальным уравнением:

Задачи теории автоматического управления

общее решение которого определяется выражением (4.3):

Задачи теории автоматического управления

Изменение начальных условий влияет только на поведение свободной составляющей и не влияет на Задачи теории автоматического управления, откуда следует, что устойчивость будет определяться поведением свободной составляющей. Если Задачи теории автоматического управления, то процессы в линейной системе будем называть асимптотически устойчивыми, при Задачи теории автоматического управления — неустойчивыми и, если при любом Задачи теории автоматического управления свободная составляющая ограничена, то процессы будут просто устойчивы. Если одно из указанных свойств присуще какому-либо процессу, то для линейной системы оно будет справедливо для всех процессов. Поэтому принято говорить об асимптотической устойчивости, неустойчивости или просто устойчивости линейной системы. В последнем случае еще говорят, что линейная система находится на границе устойчивости или является нейтральной.

Структура свободной составляющей имеет вид (4.4) или (4.5). Из (4.4), (4.5) следует, что поведение свободной составляющей во времени не зависит от величин Задачи теории автоматического управления и соответственно от начальных условий, а полностью определяется видом корней Задачи теории автоматического управления.

В комплексной плоскости корней корни интерпретируются как соответствующие точки. Если корень Задачи теории автоматического управления лежит слева от мнимой оси, т. е. Задачи теории автоматического управления, будем называть его левым корнем, если Задачи теории автоматического управления — правым.

Пусть Задачи теории автоматического управления — левый корень, тогда составляющая

Задачи теории автоматического управления

в (4.4) при Задачи теории автоматического управления будет затухать и стремиться к 0, а в случае правого корня Задачи теории автоматического управления — наоборот возрастать до бесконечности. Таким образом, при различных корнях характеристического уравнения, если все корни левые, Задачи теории автоматического управления, что соответствует факту асимптотической устойчивости системы. Если хотя бы один корень правый Задачи теории автоматического управления, то Задачи теории автоматического управления и система будет неустойчива. Если для всех различных корней справедливо соотношение Задачи теории автоматического управления, то в свободной составляющей появятся слагаемые, которые будут либо постоянными (нулевой корень), либо будут изменяться по гармоническому закону (чисто мнимые корни) и составляющая Задачи теории автоматического управления будет ограничена, что соответствует нейтральной системе.

В случае кратного корня Задачи теории автоматического управления, если

Задачи теории автоматического управления
Задачи теории автоматического управления

так как при любом Задачи теории автоматического управления функция Задачи теории автоматического управления затухает быстрее, чем возрастает функция в скобках. Если же Задачи теории автоматического управления, то это утверждение не правомерно.

Таким образом, необходимым и достаточным условием асимптотической устойчивости линейной системы, описываемой уравнением (5.1), является выполнение соотношения

Задачи теории автоматического управления

Система будет просто устойчива, если Задачи теории автоматического управления и среди корней, лежащих на мнимой оси, нет кратных. Система будет неустойчива, если имеется хотя бы один корень, для которого Задачи теории автоматического управления, или хотя бы один кратный корень, лежащий на мнимой оси.

Суждение об устойчивости можно сделать, найдя корни характеристического уравнения замкнутой системы

Задачи теории автоматического управления

Эту задачу можно упростить, так как фактически нам достаточно знать лишь расположение корней в плоскости корней относительно мнимой оси, которую называют границей устойчивости. Выделяют три типа границы устойчивости: апериодического типа, которая характеризуется нулевым корнем характеристического уравнения, колебательного типа, что соответствует наличию пары чисто мнимых корней, и границу, соответствующую бесконечно удаленному корню (Задачи теории автоматического управления (5.2)). Если все корни уравнения (5.2) лежат слева от мнимой оси, т. е.

Задачи теории автоматического управления

то характеристический полином Задачи теории автоматического управления будем называть полиномом Гурвица, или гурвииевым полиномом.

Определение расположения корней уравнения (5.2) относительно мнимой оси без их непосредственного вычисления производят на основе критериев устойчивости, которые делятся на две группы: алгебраические и частотные.

Алгебраические критерии устойчивости

К алгебраическим критериям устойчивости относят те, которые позволяют судить об устойчивости системы по коэффициентам уравнения (5.2). Необходимым условием устойчивости линейной системы (5.1) является положительность коэффициентов характеристического уравнения (5.2), т. е.

Задачи теории автоматического управления

Докажем этот критерий. Пусть уравнение (5.2) имеет Задачи теории автоматического управления -корней Задачи теории автоматического управления, тогда полином Задачи теории автоматического управления можно по теореме Безу представить в виде

Задачи теории автоматического управления

Если Задачи теории автоматического управления, то произведение Задачи теории автоматического управления сомножителей Задачи теории автоматического управления всегда даст полином Задачи теории автоматического управления-й степени с положительными коэффициентами и с учетом Задачи теории автоматического управления получим (5.3).

Критерий является лишь необходимым, т. е. если среди Задачи теории автоматического управления есть отрицательные коэффициенты, то система неустойчива; если все Задачи теории автоматического управления положительны, то система может быть как устойчивой, так и неустойчивой. В этом последнем случае требуется дальнейшее исследование.

Рассмотрим критерий, дающий необходимые и достаточные условия устойчивости, предложенные немецким ученым А. Гурвицем в 1895 году. Предварительно из коэффициентов уравнения (5.2) сформируем матрицу Гурвица

Задачи теории автоматического управления

Алгоритм ее формирования следующий. Сначала по главной диагонали слева направо выписываем коэффициенты Задачи теории автоматического управления. Далее столбцы вверх от главной диагонали дополняются коэффициентами с возрастающими индексами, а вниз — с убывающими индексами. Коэффициенты с индексами больше Задачи теории автоматического управления и меньше нуля заменяются нулями. Последний столбец матрицы имеет все нулевые коэффициенты, кроме последнего Задачи теории автоматического управления. Обозначим через Задачи теории автоматического управления— главные определители матрицы Гурвица, которые выделены в (5.4) штриховыми линиями:

Задачи теории автоматического управления

где Задачи теории автоматического управления — определитель матрицы Гурвица.

Критерий Гурвица. Необходимым и достаточным условием устойчивости линейной системы является при Задачи теории автоматического управления положительность всех определителей Гурвица

Задачи теории автоматического управления

Для систем до 4-го порядка включительно, раскрывая определители Гурвица, можно получить следующие необходимые и достаточные условия устойчивости:

Задачи теории автоматического управления

Из (5.6), (5.7) следует, что для системы первого и второго порядка необходимые условия совпадают с необходимыми и достаточными, а при Задачи теории автоматического управления = 3 и 4, кроме необходимых условий, следует соблюдать дополнительное неравенство. При Задачи теории автоматического управления = 5 и 6 появляются два дополнительных неравенства, при Задачи теории автоматического управления = 7 и 8 — три и т. д. При аналитических исследованиях критерий Гурвица наиболее удобен для систем, порядок которых Задачи теории автоматического управления.

С помощью критерия Гурвица можно определить границы устойчивости. Если Задачи теории автоматического управления и все определители Гурвица Задачи теории автоматического управления кроме последнего, больше нуля, то нарушение условий устойчивости будет при Задачи теории автоматического управления, откуда при Задачи теории автоматического управления получаем границу устойчивости апериодического типа (появляется один нулевой корень), а при Задачи теории автоматического управления границу устойчивости колебательного типа (появляются два комплексно — сопряженных корня). При этом все остальные корни являются левыми. Граница устойчивости, соответствующая бесконечному корню, будет Задачи теории автоматического управления.

Одним из частных случаев критерия Гурвица является критерий Льенара-Шипара (1914), по которому для устойчивости системы необходимо и достаточно выполнение следующих неравенств:

Задачи теории автоматического управления

т. е. при соблюдении необходимых условий устойчивости требуется положительность четных или нечетных определителей Гурвица.

Вторым распространенным алгебраическим критерием устойчивости, дающим необходимые и достаточные условия устойчивости, является критерий Рауса-Гурвица. Этот критерий более удобен при анализе устойчивости с помощью ПЭВМ.

На первом этапе составляется таблица Рауса, элементы которой образуются из коэффициентов характеристического полинома замкнутой системы

Задачи теории автоматического управления

в которой

Задачи теории автоматического управления

Таблица Рауса выглядит так:

Задачи теории автоматического управления

Первые две строки состоят из коэффициентов Задачи теории автоматического управления. Коэффициенты последующих строк вычисляются так:

Задачи теории автоматического управления

Левый столбец записывается для наглядности.

По критерию Рауса-Гурвица система устойчива, если при Задачи теории автоматического управления положительны все элементы первого столбца таблицы

Задачи теории автоматического управления
Задачи теории автоматического управления

Число правых корней в случае неустойчивой САУ равно числу перемен знака элементов первого столбца. Если элемент какой-то строки первого столбца равен нулю, то САУ либо неустойчива, либо находится на границе устойчивости [6].

Задача №5.1.

Рассмотрим замкнутую систему управления, у которой передаточная функция разомкнутой системы Задачи теории автоматического управления имеет порядок не выше второго Задачи теории автоматического управления и определяется одним из перечисленных выражений:

Задачи теории автоматического управления

Характеристическое уравнение замкнутой системы для соответствующей разомкнутой будет иметь следующий вид:

Задачи теории автоматического управления
Задачи теории автоматического управления
Задачи теории автоматического управления

Если параметры

Задачи теории автоматического управления

то в соответствии с (5.6), (5.7) замкнутая система будет асимптотически устойчивой для всех передаточных функций, кроме

Задачи теории автоматического управления

В этом случае замкнутая система будет находиться на границе устойчивости, так как характеристическое уравнение Задачи теории автоматического управления имеет чисто мнимые корни Задачи теории автоматического управления (коэффициент Задачи теории автоматического управления и условие (5.7) не выполняется).

Задача №5.2.

Пусть передаточная функция разомкнутой системы

Задачи теории автоматического управления

Характеристическое уравнение замкнутой системы будет

Задачи теории автоматического управления
Задачи теории автоматического управления

из которого следует, что при Задачи теории автоматического управления ряд коэффициентов характеристического уравнения Задачи теории автоматического управления (при Задачи теории автоматического управления), Задачи теории автоматического управления (при Задачи теории автоматического управления) и т.д. равен нулю. В этом случае не выполняется необходимое условие устойчивости (5.3) и система ни при таких значениях параметров Задачи теории автоматического управления и Задачи теории автоматического управления не может быть асимптотически устойчивой. Такой класс систем называют структурно неустойчивыми.

Задача №5.3.

Передаточная функция разомкнутой системы задана в виде

Задачи теории автоматического управления

Характеристическое уравнение будет

Задачи теории автоматического управления

Используя (5.8), найдем условие устойчивости системы в виде

Задачи теории автоматического управления

из которого следуют неравенства:

Задачи теории автоматического управления

Таким образом, при заданных Задачи теории автоматического управления и Задачи теории автоматического управления максимальное значение коэффициента усиления ограничено и увеличение приведет к потери устойчивости. Это свойство, как будет показано дальше, является весьма характерным для систем автоматического управления и в общем случае. Система будет находиться на границе устойчивости, если выполняется одно из соотношений:

Задачи теории автоматического управления
Задачи теории автоматического управления

Этот критерий относится к группе частотных и был предложен в 1938г. А. Михайловым. Он базируется на известном в теории функции комплексного переменного принципе аргумента. Характеристический полином замкнутой системы представим в виде

Задачи теории автоматического управления

где Задачи теории автоматического управления — корни уравнения Задачи теории автоматического управления.

Сделаем замену Задачи теории автоматического управления, тогда Задачи теории автоматического управления. Приращение аргумента вектора Задачи теории автоматического управления при изменении частоты Задачи теории автоматического управления от Задачи теории автоматического управления до Задачи теории автоматического управления будет равно Задачи теории автоматического управления для левого корня и Задачи теории автоматического управления для правого корня (рис. 5.1). Приращение аргумента вектора Задачи теории автоматического управления, имеющего Задачи теории автоматического управления правых и Задачи теории автоматического управления левых корней, будет равно

Задачи теории автоматического управления

а при изменении Задачи теории автоматического управления от 0 до Задачи теории автоматического управления— в 2 раза меньше, т. е.

Задачи теории автоматического управления
Задачи теории автоматического управления

Из последнего выражения следует, что для устойчивой САУ Задачи теории автоматического управления и

Задачи теории автоматического управления

Полином Задачи теории автоматического управления после замены Задачи теории автоматического управления представляет собой комплексное число, действительная и мнимая части которого зависят от частоты Задачи теории автоматического управления:

Задачи теории автоматического управления

Изменяя Задачи теории автоматического управления от нуля до Задачи теории автоматического управления, на комплексной плоскости строится годограф, который называется кривой Михайлова. При Задачи теории автоматического управления = 0 он всегда будет находиться на действительной оси в точке Задачи теории автоматического управления, а при Задачи теории автоматического управления значения Задачи теории автоматического управления и Задачи теории автоматического управления равны Задачи теории автоматического управления или Задачи теории автоматического управления, т. е. годограф будет уходить в бесконечность в каком-либо квадранте комплексной плоскости.

Критерий Михайлова. Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы приращение аргумента функции Задачи теории автоматического управления при изменении Задачи теории автоматического управления от нуля до Задачи теории автоматического управления равнялось Задачи теории автоматического управлениячто означает последовательное прохождение кривой Михайлова Задачи теории автоматического управления квадрантов против часовой стрелки в комплексной плоскости.

Обычно критерий Михайлова применяется посла проверки необходимого условия устойчивости (5.3).

На рис. 5.2 представлен ряд кривых Михайлова для систем различного порядка.

Кривые 1,2 соответствуют устойчивым системам при Задачи теории автоматического управления = 3,4 соответственно, кривая 3 — неустойчивой системе при Задачи теории автоматического управления = 4, так как нарушена последовательность прохождения квадратов комплексной плоскости.

Задачи теории автоматического управления

Рассмотрим определение с помощью кривой Михайлова границ устойчивости. Система будет находиться на границе устойчивости, если чисто мнимая величина Задачи теории автоматического управления будет являться корнем уравнения Задачи теории автоматического управления, что означает Задачи теории автоматического управления, т.е. кривая Михайлова должна проходить через начало координат. При Задачи теории автоматического управления имеем апериодическую границу, при Задачи теории автоматического управления — колебательную, Задачи теории автоматического управления соответствует бесконечному корню. При этом следует проверить, чтобы все остальные корни были левыми. Такую проверку можно осуществить, исследуя соответствующий график кривой Михайлова в точке пересечения начала координат. Если малые деформации кривой приводят к устойчивой системе, то это соответствует границе устойчивости.

На рис. 5.3 представлены два годографа, проходящие через начало координат.

Для кривой 1 малые деформации ее в начале координат приведут к устойчивой системе, что соответствует границе устойчивости, а для кривой 2 система при малых деформациях графика все равно будет неустойчивой.

Задача №5.4.

Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

Задачи теории автоматического управления

Характеристический полином замкнутой системы будет

Задачи теории автоматического управления

и соответственно

Задачи теории автоматического управления

При любом Задачи теории автоматического управления кривая Михайлова при Задачи теории автоматического управления будет начинаться на действительной оси в точке с координатами Задачи теории автоматического управления и всегда проходить последовательно первый и второй квадранты комплексной области, так как мнимая часть Задачи теории автоматического управления всегда положительна, а действительная с ростом Задачи теории автоматического управления меняет знак с плюса на минус.

Задачи теории автоматического управления

Система при любых Задачи теории автоматического управления всегда устойчива, что совпадает с результатом примера 5.1.

Критерий устойчивости Найквиста

Критерий устойчивости Найквиста — это также частотный критерий, предложенный в 1932 г. Найквистом. Он позволяет судить об устойчивости замкнутой системы управления по виду АФЧХ разомкнутой системы.

Пусть задана передаточная функция разомкнутой системы в виде

Задачи теории автоматического управления

где Задачи теории автоматического управления — полином степени Задачи теории автоматического управления — полином степени Задачи теории автоматического управления.

Тогда ее АФЧХ будет

Задачи теории автоматического управления

Составим вспомогательную функцию

Задачи теории автоматического управления

где Задачи теории автоматического управления — характеристический полином замкнутой системы, степень которого будет Задачи теории автоматического управления.

Предположим, что характеристическое уравнение разомкнутой системы Задачи теории автоматического управления имеет Задачи теории автоматического управления правых корней и Задачи теории автоматического управления левых корней. Тогда приращение аргумента функции Задачи теории автоматического управления при изменении Задачи теории автоматического управления от Задачи теории автоматического управления до Задачи теории автоматического управления будет Задачи теории автоматического управления. Если система устойчива в замкнутом состоянии, то характеристическое уравнение замкнутой системы Задачи теории автоматического управления имеет Задачи теории автоматического управления левых корней и приращение аргумента Задачи теории автоматического управления будет равноЗадачи теории автоматического управления. Найдем приращение аргумента функции Задачи теории автоматического управления при изменении Задачи теории автоматического управления от Задачи теории автоматического управления до Задачи теории автоматического управления, которое будет в этом случае равно

Задачи теории автоматического управления

В случае, если передаточная функция Задачи теории автоматического управления соответствует статической системе (соответствие астатической системе рассмотрим ниже), то при Задачи теории автоматического управления АФЧХ Задачи теории автоматического управления при изменении Задачи теории автоматического управления от Задачи теории автоматического управления до Задачи теории автоматического управления всегда образует замкнутую кривую. Соответственно Задачи теории автоматического управления в комплексной плоскости также всегда образует замкнутую кривую. Таким образом, условие (5.13) для замкнутой кривой Задачи теории автоматического управления соответствует тому, что вектор Задачи теории автоматического управления при изменении Задачи теории автоматического управления от Задачи теории автоматического управления до Задачи теории автоматического управления должен в положительном направлении обойти (охватить) начало координат Задачи теории автоматического управления раз. Из связи Задачи теории автоматического управления для АФЧХ Задачи теории автоматического управления это соответствует охвату точки с координатами Задачи теории автоматического управления на комплексной плоскости Задачи теории автоматического управления раз годографом Задачи теории автоматического управления. На основании изложенного сформулируем критерий.

Критерий Найквиста. Если разомкнутая система автоматического управления имеет Задачи теории автоматического управления правых корней, то для того, чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы Задачи теории автоматического управления при изменении частоты Задачи теории автоматического управления от Задачи теории автоматического управления до + Задачи теории автоматического управления охватывала точку Задачи теории автоматического управления на комплексной плоскости в положительном направлении Задачи теории автоматического управления раз.

Частный случай критерия Найквиста относится к системе, устойчивой в разомкнутом состоянии (Задачи теории автоматического управления = 0). При этом годограф Задачи теории автоматического управления не должен охватывать точку Задачи теории автоматического управления.

Так как при Задачи теории автоматического управления < 0 график Задачи теории автоматического управления является зеркальным отображением относительно действительной оси графика при Задачи теории автоматического управления > 0, то обычно достаточно построить Задачи теории автоматического управления для Задачи теории автоматического управления > 0. При этом в формулировке критерия полагают охват точки Задачи теории автоматического управления раз.

На рис. 5.4, а, б представлены графики Задачи теории автоматического управления в предположении Задачи теории автоматического управления = 2 для случая устойчивой в замкнутом состоянии системы.

Из изложенного следует, что при корректном применении критерия устойчивости Найквиста следует сначала исследовать устойчивость разомкнутой системы и знать число правых корней ее характеристического уравнения. На практике обычно это нетрудно сделать по виду передаточной функции Задачи теории автоматического управления если она представлена в виде произведения передаточных функций отдельных звеньев.

Задачи теории автоматического управления

В случае астатической системы формулировка критерия Найквиста сохраняется, однако при этом возникает проблема понятия охвата и неохвата точки Задачи теории автоматического управления, так как при Задачи теории автоматического управления годограф Задачи теории автоматического управления уходит в бесконечность и кривая Задачи теории автоматического управления не является замкнутой. В этом случае АФЧХ дополняется дугой бесконечного радиуса по часовой стрелке и после этого проверяется выполнение условия критерия Найквиста. Изображенная на рис. 5.5 система устойчива.

Задачи теории автоматического управления

Для нормального функционирования система управления должна обладать и некоторыми запасами устойчивости, т. е. при изменении параметров системы в процессе работы свойство устойчивости должно сохраняться.

Вполне очевидно, что чем дальше находится кривая Задачи теории автоматического управления от точки Задачи теории автоматического управления, тем система будет находиться дальше от границы устойчивости. Числовые величины, характеризующие это свойство, носят название запасов устойчивости и могут быть введены различными способами. На рис. 5.6 представлена АФЧХ разомкнутой системы для устойчивой замкнутой системы.

Задачи теории автоматического управления

Запас устойчивости по фазе определяется как величина угла

Задачи теории автоматического управления

где Задачи теории автоматического управления значение фазы при Задачи теории автоматического управления, а частота среза Задачи теории автоматического управления — это значение частоты, при которой Задачи теории автоматического управления. Из рис. 5.6 видно, что точка Задачи теории автоматического управления получается пересечением Задачи теории автоматического управления и окружности единичного радиуса (штриховая линия).

Запас устойчивости по амплитуде Задачи теории автоматического управления — это величина отрезка оси абсцисс между критической точкой Задачи теории автоматического управления и точкой