Оглавление:
Примеры неравносильных преобразований
Рассмотрим несколько преобразований, приводящих к следствию (чтобы такого рода преобразования стали равносильными, в большинстве случаев надо просто учесть ОДЗ в решаемой задаче).
1.Возведение уравнения вида f(x)=g(x) в чётную степень приводит, вообще говоря, к следствию:
(в последнем уравнении f (х) и g (x) могут иметь разные знаки).
2.Умножение уравнения вида 
на функцию, стоящую в знаменателе, приводит, вообще говоря, к следствию (снимается ограничение 
3.Взаимное уничтожение одного и того же слагаемого-функции в обеих частях уравнения приводит, вообще говоря, к следствию (из-за возможного расширения ОДЗ):
4.Переход от уравнения вида 
к совокупности уравнений приводит, вообще говоря, к следствию:
Например,
5.Возведение иррациональных уравнений вида
в чётную степень 2n с целью избавления от радикалов приводит, вообще говоря, к следствию (снимаются ограничения 
6.В следующей цепочке преобразований происходит постепенное расширение ОДЗ, что, вообще говоря, может привести к появлению посторонних корней.
7.Применение операции взятия синуса к обеим частям уравнения приводит к следствию:
Например,
Замечание 1. Понятия равносильности, следствия распространяются на неравенства, системы и совокупности уравнений и неравенств.
Замечание 2. Некорректное использование в процессе решения уравнения соотношения, эквивалентного данному уравнению, вопреки расхожему мнению, может повлечь появление посторонних корней.
Пример №143.
Найти все решения иррационального уравнения вида
где f(х), g(x),h(х) — рациональные функции, определённые при всех действительных x.
Решение:
Обозначим 
Тогда уравнение (1) примет вид
что равносильно
Уравнение (3) преобразуем с учётом уравнения (1), записанного в виде равенства (2), и получим равенство
Воспользовавшись формулами сокращенного умножения, разложим левую часть последнего равенства в произведение
что эквивалентно совокупности двух уравнений
причём второе из уравнений приводится к эквивалентному виду
что, в свою очередь, равносильно системе А(х)=В(х) = -С(х). (7)
Если система уравнений (7) имеет корни, не совпадающие с корнями данного уравнения (2), то это — посторонние корни; если же эта система не имеет корней, то посторонних корней нет.
Проанализируем, за счёт чего здесь возникли посторонние корни. В самом деле, при переходе от уравнения (2) к равенству (5) предполагается, что А + В — С = 0 . Поэтому, строго говоря, уравнение (5), а также совокупность (6) необходимо дополнить этим условием. Например, совокупность (6) на самом деле должна иметь вид
Другими словами, при правильном решении дополнительных корней появиться не может. Рассмотрим конкретный пример.
Пример №144.
Решить уравнение 
.
Решение:
Данное уравнение — иррациональное, определённое при всех действительных значениях x . Введём обозначения
и перепишем исходное уравнение в виде A(х) + В(х) = С(х), который после возведения в куб эквивалентен уравнению
Заменяя А + В на С (в этот момент возможно возникновение посторонних корней), получаем
Возвращаясь в последнем уравнении к переменной x, имеем
Осталось решить это уравнение. Приведём подобные члены, уединив кубический корень
и после этого возведём в куб
У этого кубического уравнения два корня: —1 и 0. Проверка (которую сделать необходимо!) показывает, что x = 0 — посторонний корень, поскольку не удовлетворяет исходному уравнению. Заметим, что он удовлетворяет системе (7), которая в данном примере имеет вид
Ответ: 
Пример №145.
Равносильны ли уравнения 
Решение:
Заметим, что пара чисел 
удовлетворяет первому из уравнений, но не может быть решением второго уравнения, поскольку не принадлежит его ОДЗ. С другой стороны, пара чисел 
удовлетворяет второму уравнению, так как в этом случае tgx = tgy = 1, но в то же время эта пара, очевидно, не является решением первого уравнения. Данное наблюдение позволяет утверждать, что данные два уравнения не сравнимы между собой (в том числе не являются равносильными).
Пример №146.
При каких значениях параметра а неравенство
является следствием неравенства
Решение:
Решением второго из неравенств является интервал (1,3). Так как при любом значении параметра число а лежит на числовой прямой левее числа а + 2, то решением первого неравенства является объединение двух промежутков 
Чтобы выполнялось условие задачи, множество 
должно содержать внутри себя интервал (1, 3). Возможны два случая.
1) Интервал (1, 3 ) целиком принадлежит интервалу 
Чтобы это выполнялось, необходимо потребовать 
.
2) Интервал (1, 3) целиком принадлежит интервалу 
В этом случае должно выполняться условие 
. Объединяя полученные значения параметра, приходим к ответу.
Ответ:
Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:
Эти страницы возможно вам будут полезны:
