Примеры равносильных преобразований

Примеры равносильных преобразований

1.Возведение уравнения (неравенства) в нечётную натуральную степень (извлечение алгебраического корня нечётной степени) приводит к равносильному уравнению (неравенству):

Примеры равносильных преобразований

Пример №141.

Решить уравнение

Примеры равносильных преобразований

Решение:

Извлекая корень седьмой степени, приходим к равносильному уравнению

Примеры равносильных преобразований

Ответ: Примеры равносильных преобразований

Если функции f (х) и g(x) неотрицательны на некотором множестве, то на этом множестве равносильны уравнения (неравенства):

Примеры равносильных преобразований

Если функция h(x) определена на ОДЗ исходного уравнения (неравенства), то её можно прибавлять (вычитать) к обеим частям уравнения (неравенства):

Примеры равносильных преобразований

В частности, к обеим частям уравнения (неравенства) можно прибавлять (вычитать) одно и то же действительное число а :

Примеры равносильных преобразований

Если же функция h(х) определена не при всех Примеры равносильных преобразований исходного уравнения (т.е. ОДЗ функции h(х) уже), то добавление функции h(х) к обеим частям уравнения может привести к потере решений, например:

Примеры равносильных преобразований

Если функция h(x) определена и не обращается в нуль на ОДЗ исходного уравнения, то обе части уравнения можно одновременно умножать (делить) на эту функцию:

Примеры равносильных преобразований

В частности, обе части уравнения можно умножать (делить) на одно и то же отличное от нуля действительное число а :

Примеры равносильных преобразований

Например, если в уравнении вида Примеры равносильных преобразованийфункции, стоящие в знаменателях дробей, не обращаются в нуль Примеры равносильных преобразований и Примеры равносильных преобразований на ОДЗ

уравнения, то такое урансние равносильно уравнению, полученному в результате перемножения крайних и средних членов этой пропорции:

Примеры равносильных преобразований

(для доказательства достаточно умножить обе части данного уравнения на произведение знаменателей Примеры равносильных преобразований В общем случае, если снять ограничения Примеры равносильных преобразований и Примеры равносильных преобразований , это будет переход к следствию.

Если же функция h(x) имеет свои корни на ОДЗ исходного уравнения, то умножение на h(x) приводит к следствию, причём посторонними корнями будут как раз корни уравнения Примеры равносильных преобразований

Примеры равносильных преобразований

Если h(х) определена не на всей ОДЗ исходного уравнения (её ОДЗ>’же), то при умножении на h(x) может произойти потеря корней или даже уравнения могут оказаться несравнимыми.

Примеры равносильных преобразований— (потеря единственного корня);

Примеры равносильных преобразований— (уравнения не сравнимы).

Если функция h(x) определена и положительна на ОДЗ неравенства, то обе его части можно одновременно умножать (делить) на эту функцию, при этом знак неравенства сохраняется:

Примеры равносильных преобразований

В частности, обе части неравенства можно умножать (делить) на одно и то же положительное действительное число:

Примеры равносильных преобразований

Например, в строгих неравенствах вида Примеры равносильных преобразованиймножитель g(x) из знаменателя дроби можно «переносить» в числитель:

Примеры равносильных преобразований

(для доказательства достаточно умножить обе части исходного неравенства на Примеры равносильных преобразований

Если функция h(x) определена и отрицательна на ОДЗ неравенства, то обе его части можно одновременно умножать (делить) на эту функцию, при этом знак неравенства следует поменять на противоположный:

Примеры равносильных преобразований

В частности, обе части неравенства можно умножать (делить) на одно и то же отрицательное действительное число:

Примеры равносильных преобразований

Показательные уравнения вида Примеры равносильных преобразований

равносильны уравнению, полученному в результате логарифмирования:

Примеры равносильных преобразований

Если из уравнения Примеры равносильных преобразованийследует уравнение Примеры равносильных преобразований то

Примеры равносильных преобразований

Пример №142.

Решить уравнение

Примеры равносильных преобразований

Решение:

Данное уравнение равносильно на множестве действительных чисел совокупности шести уравнений

Примеры равносильных преобразований

Перенумеруем уравнения цифрами (l)-(6). При этом если sinx = 0, то по формуле синуса тройного аргумента получаем, что sin3x = 0 Далее, если sin 3x = 0, то по формуле синуса двойного аргумента получаем, что sin 6x = 0, и так далее. Таким образом, каждое последующее уравнение в совокупности является следствием своего предшественника, а значит уравнение (6) является следствием уравнений (1)-(5):

Примеры равносильных преобразований

Поэтому данная совокупность оказывается равносильной уравнению (6): sin48x = 0. решая которое, находим Примеры равносильных преобразований

Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:

Предмет математика

Эти страницы возможно вам будут полезны:

Уравнения, тождества, неравенства: определения и классификация
Равносильность и следствие. Определение равносильности и следствия в математике
Примеры неравносильных преобразований в математике с примерами решения
Целые алгебраические уравнения и неравенства. Линейные уравнения и неравенства с примерами решения