Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Системы тригонометрических уравнений

Рассмотрим некоторые типы систем тригонометрических уравнений и укажем наиболее употребительные методы решения систем, основываясь на общей теории систем уравнений, изложенной в §15.

Примеры с решениями

Пример №222.

Решить систему уравнений

Примеры решений систем тригонометрических уравнений Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Решение:

Складывая и вычитая уравнения системы (1), получаем систему

Примеры решений систем тригонометрических уравнений Примеры решений систем тригонометрических уравнений

равносильную (1). Систему (2) можно записать в виде

Примеры решений систем тригонометрических уравнений Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Из системы (3) находим

Примеры решений систем тригонометрических уравнений

где Примеры решений систем тригонометрических уравнений откуда следует, что

Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Ответ. Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Замечание. Обратим внимание на типичную ошибку, которую допускают учащиеся и абитуриенты при записи решений систем тригонометрических уравнений. Дело в том, что параметры Примеры решений систем тригонометрических уравнений и Примеры решений систем тригонометрических уравнений появляются при решении разных уравнений системы (3) и независимы друг от друга. Поэтому эти параметры должны обозначаться разными буквами. Обозначение их одним символом ведет к потере решений.

В некоторых случаях системы тригонометрических уравнений можно свести к алгебраическим системам.

Пример №223.

Решить систему уравнений

Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Решение:

Полагая Примеры решений систем тригонометрических уравнений получаем систему уравнений

Примеры решений систем тригонометрических уравнений

откуда Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Исходная система равносильна каждой из следующих систем:

Примеры решений систем тригонометрических уравнений

откуда следует, что Примеры решений систем тригонометрических уравнений Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Ответ. Примеры решений систем тригонометрических уравненийПримеры решений систем тригонометрических уравнений Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Пример №224.

Решить систему уравнений

Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Решение:

Полагая Примеры решений систем тригонометрических уравненийполучаем алгебраическую систему

Примеры решений систем тригонометрических уравнений

равносильную системе

Примеры решений систем тригонометрических уравнений

откуда находим Примеры решений систем тригонометрических уравненийТаким образом, Примеры решений систем тригонометрических уравненийПримеры решений систем тригонометрических уравнений откуда

Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Ответ.Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Аналогично можно находить решения систем вида

Примеры решений систем тригонометрических уравнений

и

Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Решая системы тригонометрических уравнений с двумя неизвестными, следует выяснить, нельзя ли выразить одно неизвестное через другое и свести задачу к решению уравнения с одним неизвестным.

Пример №225.

Решить систему уравнений

Примеры решений систем тригонометрических уравнений Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Решение:

Система (4), (5) имеет смысл, если

Примеры решений систем тригонометрических уравнений Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Преобразуем сначала уравнение (4), разделив обе его части на Примеры решений систем тригонометрических уравнений Тогда это уравнение примет вид

Примеры решений систем тригонометрических уравнений Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Однако следует иметь в виду, что эта операция может привести к потере решений исходной системы, а именно таких решений, для которых

Примеры решений систем тригонометрических уравнений Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Если справедливо равенство (8), то из (7) находим Примеры решений систем тригонометрических уравненийПримеры решений систем тригонометрических уравнений что невозможно.

Итак, Примеры решений систем тригонометрических уравнений и поэтому система (4), (5) равносильна системе (7), (5) при выполнении условий (6).

Из уравнения (7) находим Примеры решений систем тригонометрических уравнений откуда

Примеры решений систем тригонометрических уравнений Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Подставляя найденное для Примеры решений систем тригонометрических уравнений выражение в уравнение (5), получаем

Примеры решений систем тригонометрических уравнений

или

Примеры решений систем тригонометрических уравнений Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Применяя метод введения вспомогательного угла, запишем уравнение (10) в виде Примеры решений систем тригонометрических уравнений откуда

Примеры решений систем тригонометрических уравнений Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Если Примеры решений систем тригонометрических уравнений— четное число Примеры решений систем тригонометрических уравнений то из равенства (11) получаем Примеры решений систем тригонометрических уравнений Подставив это выражение для Примеры решений систем тригонометрических уравнений в формулу (9), найдем Примеры решений систем тригонометрических уравненийНо тогдаПримеры решений систем тригонометрических уравнений и не выполняются условия (6).

Если же Примеры решений систем тригонометрических уравнений— нечетное число Примеры решений систем тригонометрических уравнений то из (11) следует, что Примеры решений систем тригонометрических уравнений откуда

Примеры решений систем тригонометрических уравнений Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Из (12) и (9) находим Примеры решений систем тригонометрических уравнений Полагая Примеры решений систем тригонометрических уравнений имеем

Примеры решений систем тригонометрических уравнений Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Для значений Примеры решений систем тригонометрических уравнений определяемых формулами (12) и (13), выполняются условия (6) и поэтому соответствующие пары чисел образуют решения системы (4), (5).

Ответ. Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Пример №226.

Решить систему уравнений

Примеры решений систем тригонометрических уравнений Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Решение:

Будем решать данную систему методом исключения одного из неизвестных, например у. Для этого запишем уравнение (15) в виде

Примеры решений систем тригонометрических уравнений Примеры решений систем тригонометрических уравнений

а затем возведем в квадрат обе части уравнений (14) и (16) и результаты сложим. Получим

Примеры решений систем тригонометрических уравнений

или

Примеры решений систем тригонометрических уравнений Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Заметим, что система (15), (17) является следствием системы (14), (15), а уравнение (17), равносильное уравнению Примеры решений систем тригонометрических уравнений имеет корни

Примеры решений систем тригонометрических уравнений Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Подставляя найденные значения Примеры решений систем тригонометрических уравнений в уравнение (15), получаем Примеры решений систем тригонометрических уравнений откуда

Примеры решений систем тригонометрических уравнений Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Значения Примеры решений систем тригонометрических уравнений и Примеры решений систем тригонометрических уравнений, определяемые формулами (18) и (19), образуют решения не только системы (15), (17), но и исходной системы.

Ответ.Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Рассмотрим еще несколько систем тригонометрических уравнений, при решении которых можно применять метод исключения одного из неизвестных.

Пример №227.

Решить систему уравнений

Примеры решений систем тригонометрических уравнений Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Решение:

Чтобы исключить из системы (20), (21) неизвестное Примеры решений систем тригонометрических уравнений, возведем обе части уравнения (20) в квадрат:

Примеры решений систем тригонометрических уравнений Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Так как Примеры решений систем тригонометрических уравнений, то из (22) и (21) следует, что

Примеры решений систем тригонометрических уравнений Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Уравнение (23) можно записать в виде

Примеры решений систем тригонометрических уравнений Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Применяя формулы Примеры решений систем тригонометрических уравнений Примеры решений систем тригонометрических уравненийПримеры решений систем тригонометрических уравнений заменим уравнение (24) ему равносильным :

Примеры решений систем тригонометрических уравнений Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Уравнение (25) является следствием системы (20), (21) и поэтому указанная система равносильна системе, состоящей из уравнений (20), (25) и уравнения, полученного из (21) в результате замены Примеры решений систем тригонометрических уравнений Такое уравнение имеет вид

Примеры решений систем тригонометрических уравнений Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Из (20) следует, что Примеры решений систем тригонометрических уравнений Поэтому Примеры решений систем тригонометрических уравнений в силу (26) и Примеры решений систем тригонометрических уравнений откуда Примеры решений систем тригонометрических уравнений Соответствующие значения Примеры решений систем тригонометрических уравнений найдем, решив уравнение (25).

Ответ. Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Пример №228.

Решить систему уравнений

Примеры решений систем тригонометрических уравнений Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Решение:

Используя формулу Примеры решений систем тригонометрических уравнений запишем уравнение (28) в виде

Примеры решений систем тригонометрических уравнений Примеры решений систем тригонометрических уравнений

После исключения неизвестного Примеры решений систем тригонометрических уравнений из системы (27), (29) получаем Примеры решений систем тригонометрических уравнений откуда Примеры решений систем тригонометрических уравнений Следовательно, Примеры решений систем тригонометрических уравненийа затем из уравнения находим Примеры решений систем тригонометрических уравнений или Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Ответ.Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Пример №229.

Решить систему уравнений

Примеры решений систем тригонометрических уравнений Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Решение:

Возведя обе части уравнения (31) в квадрат, получаем

Примеры решений систем тригонометрических уравнений Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Система (30), (32) является следствием системы (30), (31). Используя формулу Примеры решений систем тригонометрических уравнений запишем уравнение (32) в виде

Примеры решений систем тригонометрических уравнений Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Сложим почленно уравнение (30) с уравнением (33), умноженным на 7:

Примеры решений систем тригонометрических уравнений

или Примеры решений систем тригонометрических уравненийоткуда Примеры решений систем тригонометрических уравнений

1) Если Примеры решений систем тригонометрических уравнений то либо

Примеры решений систем тригонометрических уравнений Примеры решений систем тригонометрических уравнений

либо

Примеры решений систем тригонометрических уравнений Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Из (34) и (31) следует Примеры решений систем тригонометрических уравнений откуда Примеры решений систем тригонометрических уравненийАналогично, из (35) и (31) находим Примеры решений систем тригонометрических уравнений откуда получаем Примеры решений систем тригонометрических уравнений

2) Если Примеры решений систем тригонометрических уравнений то из (31) следует, что Примеры решений систем тригонометрических уравнений В этом случае система (30), (31) не имеет решений.

Ответ. Примеры решений систем тригонометрических уравнений Примеры решений систем тригонометрических уравненийПримеры решений систем тригонометрических уравненийПримеры решений систем тригонометрических уравненийПримеры решений систем тригонометрических уравнений

Пример №230.

Найти все решения системы уравнений

Примеры решений систем тригонометрических уравнений Примеры решений систем тригонометрических уравнений

удовлетворяющие условиям

Примеры решений систем тригонометрических уравнений Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Решение:

Умножим уравнение (37) на Примеры решений систем тригонометрических уравнений, затем обе части полученного уравнения возведем в квадрат и сложим почленно с уравнением, образующимся при возведении в квадрат обеих частей уравнения (36). В результате придем к уравнению

Примеры решений систем тригонометрических уравнений Примеры решений систем тригонометрических уравнений

являющемуся следствием системы (36), (37). Уравнение (39) равносильно уравнению

Примеры решений систем тригонометрических уравнений Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Решив уравнение (40) при условиях (38), находим два его корня

Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Если Примеры решений систем тригонометрических уравненийто Примеры решений систем тригонометрических уравнений и система (36), (37) примет вид

Примеры решений систем тригонометрических уравнений

откуда Примеры решений систем тригонометрических уравненийУчитывая условия (38), получаем 8

Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Если Примеры решений систем тригонометрических уравнений то Примеры решений систем тригонометрических уравненийи система (36), (37) примет вид

Примеры решений систем тригонометрических уравнений

откуда находим Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Ответ. Примеры решений систем тригонометрических уравнений Примеры решений систем тригонометрических уравненийПримеры решений систем тригонометрических уравнений

Пример №231.

Решить систему уравнений

Примеры решений систем тригонометрических уравнений Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Решение:

Система имеет смысл, если Примеры решений систем тригонометрических уравнений а уравнение (41) равносильно уравнению

Примеры решений систем тригонометрических уравнений

откуда следует

Примеры решений систем тригонометрических уравнений Примеры решений систем тригонометрических уравнений

либо Примеры решений систем тригонометрических уравнений т. е.

Примеры решений систем тригонометрических уравнений Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Преобразуем далее уравнение (42), пользуясь тем, что

Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Тогда уравнение (42) можно записать в виде

Примеры решений систем тригонометрических уравнений Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Исходная система (при условии, что Примеры решений систем тригонометрических уравнений) равносильна совокупности систем (43), (42) и (44), (45).

1) Рассмотрим систему (43), (42). Уравнение (43) равносильно уравнению Примеры решений систем тригонометрических уравненийоткуда находим

Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Из (42) и (43) следует, что Примеры решений систем тригонометрических уравненийоткуда

Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Эти два множества значений Примеры решений систем тригонометрических уравнений можно описать одной формулой:

Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Укажем еще один способ записи корней уравнения Примеры решений систем тригонометрических уравненийТак как Примеры решений систем тригонометрических уравнений откуда

Примеры решений систем тригонометрических уравнений

2) Обратимся теперь к системе (44), (45). Исключая из этой системы Примеры решений систем тригонометрических уравнений, получаем уравнение

Примеры решений систем тригонометрических уравнений

где Примеры решений систем тригонометрических уравнений Отсюда Примеры решений систем тригонометрических уравнений (этот корень следует отбросить), Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Итак, Примеры решений систем тригонометрических уравнений откуда Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Из (44) находим Примеры решений систем тригонометрических уравнений откуда Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Ответ. Примеры решений систем тригонометрических уравнений Примеры решений систем тригонометрических уравненийПримеры решений систем тригонометрических уравнений Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Пример №232.

Решить систему уравнений

Примеры решений систем тригонометрических уравнений Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Решение:

Перемножив почленно уравнения (46) и (47), получим

Примеры решений систем тригонометрических уравнений Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Уравнение (48), являющееся следствием системы (46), (47), равносильно каждому из следующих уравнений:

Примеры решений систем тригонометрических уравнений

откуда находим, что либо

Примеры решений систем тригонометрических уравнений Примеры решений систем тригонометрических уравнений

либо

Примеры решений систем тригонометрических уравнений Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Система (46), (47) равносильна совокупности двух систем (46), (47), (49) и (46), (47), (50).

1) Рассмотрим систему (46), (47), (49). Из (49) следует, что

Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Подставляя Примеры решений систем тригонометрических уравнений в систему (46), (47), получаем

Примеры решений систем тригонометрических уравнений Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Из (51) следует, что Примеры решений систем тригонометрических уравнений откуда Примеры решений систем тригонометрических уравнений где Примеры решений систем тригонометрических уравнений Подставляя найденное значение Примеры решений систем тригонометрических уравнений в уравнение (52), находим

Примеры решений систем тригонометрических уравнений Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Равенство (53) не может быть верным ни при каких целых Примеры решений систем тригонометрических уравнений и Примеры решений систем тригонометрических уравнений , так как

Примеры решений систем тригонометрических уравнений при любом Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Следовательно, система (46), (47), (49) не имеет решений.

2) Рассмотрим систему (46), (47), (50). Из (50) следует, что

Примеры решений систем тригонометрических уравнений Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Подставляя это значение Примеры решений систем тригонометрических уравнений в систему (46), (47), находим

Примеры решений систем тригонометрических уравнений Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Уравнение (56) равносильно уравнению (55), так как

Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Используя формулу Примеры решений систем тригонометрических уравненийиз (55) находим Примеры решений систем тригонометрических уравненийоткуда Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Соответствующие значения Примеры решений систем тригонометрических уравнений определяются формулой (54).

Ответ.Примеры решений систем тригонометрических уравненийПримеры решений систем тригонометрических уравненийПримеры решений систем тригонометрических уравнений

Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:

Решение задач по математике

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями
Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями
Алгебраические неравенства с примерами решения
Квадратный трехчлен и квадратные неравенства с примерами решения