Оглавление:
Примеры с решениями
Пример №323.
Изобразить на координатной плоскости фигуру , заданную системой неравенств, и найти площадь этой фигуры.
Решение:
а) Неравенство задает множество точек, лежащих внутри окружности с центром в начале координат и радиусом 2 (рис. 27.1), а неравенство — множество точек, расположенных выше прямой
Эта прямая пересекает окружность в точках и а фигура представляет собой сегмент (рис. 27.1). Искомая площадь равна разности между площадью четверти круга и площадью треугольника
Так как то
б) Фигура — это множество точек, лежащих внутри окружности с центром в точке и радиусом 2, но вне окружности с центром в точке и радиусом 1 (рис. 27.2). Значит, площадь фигуры равна
Пример №324.
Найти площадь фигуры , которая задается на координатной плоскости системой неравенств
Решение:
Неравенство (1) определяет множество точек, лежащих вне и на границе круга с центром в точке и радиусом (рис. 27.3).
Решив неравенство (2), получим Поэтому неравенство (2) задает вертикальную полосу, лежащую между прямыми и (включая и точки этих прямых).
Наконец, неравенству (3) удовлетворяют точки множества , которое состоит из двух острых вертикальных углов, образованных прямыми и (включая и точки этих прямых), так как в точке принадлежащей множеству , левая часть неравенства (3) положительна. Множество заштриховано на рис. 27.3, а указанные прямые обозначены и .
Прямая пересекается с прямыми и в точках и , а прямая пересекается с теми же прямыми в точках Далее, прямая касается окружности так как система уравнений
имеет единственное решение наконец, прямая проходит через центр этой окружности.
Итак, фигура — это трапеция из которой удален полукруг радиуса с центром в точке . Искомая площадь
где
Ответ.
Пример №325.
На координатной плоскости рассматривается фигура , состоящая из всех точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств
Изобразить фигуру и найти ее площадь.
Решение:
Неравенство (5), равносильное неравенству
является верным в тех и только в тех точках плоскости , которые лежат вне круга радиуса 12 с центром и внутри круга радиуса 25 с центром в точке (рис. 27.4). Неравенство (4) имеет смысл, если
т. е. для точек I и III квадрантов. Считая условие (6) выполненным, рассмотрим два возможных случая:
1) Если
то неравенство (4) является верным. Система неравенств (7) задает множество точек I и III квадрантов, лежащих ниже прямой
2) Если
то неравенство (4) равносильно каждому из неравенств
Условиями (8), (9) определяется множество тех точек I квадранта, которые заключены между прямыми ии точек III квадранта, которые заключены между прямыми и
Заметим, что прямая имеет единственную общую точку с окружностью и, следовательно, касается этой окружности. Площадь фигуры равна где —сумма площадей двух секторов (им соответствуют центральные углы и ), a — площадь полукруга радиуса 12.
Ответ.
Пример №326.
Найти площадь фигуры , которая задается на координатной плоскости системой неравенств
Решение:
Область определения неравенства (10), а значит, и системы (10), (11) задается условием т. е.
Неравенство (12) определяет область, внешнюю по отношению к кругу с центром в начале координат и радиусом 1 (включая границу круга, рис. 27.5).
Возможны два случая:
1) Если т. е.
то неравенство (10) является верным на множестве
2) Если т. е.
то неравенство (10) равносильно каждому из неравенств
Прямые и заданные соответственно уравнениями
проходят через точку Прямая касается окружности в точке так как система уравнений
имеет единственное решение Прямая I2, симметричная прямой относительно оси , касается этой же окружности в точке
В точке левая часть неравенства (15) положительна и поэтому указанное неравенство справедливо в двух вертикальных углах с вершиной в точке , содержащих ось .
Рассмотрим неравенство (11). Уравнение
задает два луча, выходящие из точки и пересекающиеся прямые и в точках и Неравенству (11) удовлетворяют точки, находящиеся внутри и на границе угла
Итак, множеством точек, удовлетворяющих системе неравенств (10), (11) является фигура , выделенная штриховкой на рис. 27.5. Ее граница состоит из отрезков и дуги окружности
Площадь фигуры равна
где —площадь треугольника — площадь треугольника — площадь сектора Здесь
(так как ),
Ответ.
Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:
Возможно вам будут полезны эти страницы: