Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными

Примеры с решениями

Пример №323.

Изобразить на координатной плоскости Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменнымифигуру Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными, заданную системой неравенств, и найти площадь Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными этой фигуры.

Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными

Решение:

а) Неравенство Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными задает множество точек, лежащих внутри окружности с центром в начале координат и радиусом 2 (рис. 27.1), а неравенство Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными — множество точек, расположенных выше прямой Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными

Эта прямая пересекает окружность в точках Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными иПримеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными а фигура Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными представляет собой сегмент (рис. 27.1). Искомая площадь Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными равна разности между площадью Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными четверти круга и площадью Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными треугольника Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными

Так как Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными то Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными

б) Фигура Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными — это множество точек, лежащих внутри окружности с центром в точке Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными и радиусом 2, но вне окружности с центром в точке Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными и радиусом 1 (рис. 27.2). Значит, площадь фигуры Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными равна Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными

Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными

Пример №324.

Найти площадь фигуры Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными, которая задается на координатной плоскости системой неравенств

Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными

Решение:

Неравенство (1) определяет множество точек, лежащих вне и на границе круга с центром в точкеПримеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными и радиусом Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными (рис. 27.3).

Решив неравенство (2), получим Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными Поэтому неравенство (2) задает вертикальную полосу, лежащую между прямыми Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными и Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными(включая и точки этих прямых).

Наконец, неравенству (3) удовлетворяют точки множества Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными, которое состоит из двух острых вертикальных углов, образованных прямыми Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными и Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными (включая и точки этих прямых), так как в точке Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными принадлежащей множеству Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными, левая часть неравенства (3) положительна. Множество Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными заштриховано на рис. 27.3, а указанные прямые обозначены Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными и Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными.

Прямая Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными пересекается с прямыми Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменнымии Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменнымив точках Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными и Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными, а прямая Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными пересекается с теми же прямыми в точках Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными Далее, прямая Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными касается окружности Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными так как система уравнений

Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными

имеет единственное решение Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными наконец, прямая Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными проходит через центр этой окружности.

Итак, фигура Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными — это трапеция Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными из которой удален полукруг радиуса Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными с центром в точке Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными. Искомая площадь

Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными

где Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными

Ответ.Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными

Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными

Пример №325.

На координатной плоскости рассматривается фигура Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными, состоящая из всех точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств

Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными

Изобразить фигуру Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными и найти ее площадь.

Решение:

Неравенство (5), равносильное неравенству

Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными

является верным в тех и только в тех точках плоскости Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными, которые лежат вне круга радиуса 12 с центром Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменнымии внутри круга радиуса 25 с центром в точке Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными (рис. 27.4). Неравенство (4) имеет смысл, если

Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными

т. е. для точек I и III квадрантов. Считая условие (6) выполненным, рассмотрим два возможных случая:Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными

1) Если

Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными

то неравенство (4) является верным. Система неравенств (7) задает множество точек I и III квадрантов, лежащих ниже прямой Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными

2) Если

Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными

Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными

то неравенство (4) равносильно каждому из неравенств

Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными

Условиями (8), (9) определяется множество тех точек I квадранта, которые заключены между прямыми Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменнымииПримеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменнымии точек III квадранта, которые заключены между прямыми Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными и Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными

Заметим, что прямая Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными имеет единственную общую точку с окружностью Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными и, следовательно, касается этой окружности. Площадь Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными фигуры Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными равна Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными где Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными—сумма площадей двух секторов (им соответствуют центральные углы Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными и Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными), a Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными— площадь полукруга радиуса 12.

Ответ.Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными

Пример №326.

Найти площадь фигуры Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными, которая задается на координатной плоскости системой неравенств

Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными

Решение:

Область определения неравенства (10), а значит, и системы (10), (11) задается условием Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными т. е.

Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными

Неравенство (12) определяет область, внешнюю по отношению к кругу с центром в начале координат и радиусом 1 (включая границу круга, рис. 27.5).

Возможны два случая: Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными

1) Если Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными т. е.

Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными

то неравенство (10) является верным на множестве Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными

2) Если Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными т. е.

Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными

то неравенство (10) равносильно каждому из неравенств

Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными

Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными

Прямые Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменнымии Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными заданные соответственно уравнениями

Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными

проходят через точку Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными Прямая Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными касается окружности Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными в точке Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменнымитак как система уравнений

Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными

имеет единственное решение Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменнымиПрямая I2, симметричная прямой относительно оси Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными , касается этой же окружности в точке Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными

В точке Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными левая часть неравенства (15) положительна и поэтому указанное неравенство справедливо в двух вертикальных углах с вершиной в точке Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными, содержащих ось Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными.

Рассмотрим неравенство (11). Уравнение

Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными

задает два луча, выходящие из точки Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными и пересекающиеся прямые Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными и Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными в точках Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными и Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными Неравенству (11) удовлетворяют точки, находящиеся внутри и на границе угла Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными

Итак, множеством точек, удовлетворяющих системе неравенств (10), (11) является фигура Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными, выделенная штриховкой на рис. 27.5. Ее граница состоит из отрезков Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменнымии дуги Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменнымиокружности Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными

Площадь фигуры Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными равна

Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными

где Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными—площадь треугольника Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными— площадь треугольникаПримеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменнымиПримеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными — площадь сектора Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными Здесь

Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными

(так как Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными),

Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными

Ответ. Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными

Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:

Решение задач по математике

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения
Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля
Прямые и обратные теоремы примеры с решением
Делимость целых чисел примеры с решением