Примеры решения рациональных неравенств

Рациональные неравенства. Метод интервалов

Примеры с решениями

Пример №255.

Решить неравенство

Примеры решения рациональных неравенств Примеры решения рациональных неравенств

Решение:

Заметим, что линейная функция Примеры решения рациональных неравенствменяет знак при переходе через точкуПримеры решения рациональных неравенств причем правее точки Примеры решения рациональных неравенств эта функция положительна, а левее точки Примеры решения рациональных неравенств — отрицательна.

Отметив на числовой оси точки Примеры решения рациональных неравенств, которые являются нулями (корнями) многочленов, стоящих в числителе и знаменателе дроби (1), разобьем числовую ось на пять промежутков (рис. 21.1).

Примеры решения рациональных неравенств

На самом правом промежутке Примеры решения рациональных неравенств дробь (1) положительна, так как все множители в числителе и знаменателе этой дроби положительны при Примеры решения рациональных неравенств.

При переходе через каждую из отмеченных точек один и только один из этих множителей меняет знак, и поэтому знак дроби каждый раз меняется. Учитывая это, расставим знаки дроби (рис. 21.1). Итак, множество решений — объединение интервалов Примеры решения рациональных неравенств

Ответ. Примеры решения рациональных неравенств

Рассмотренный способ решения неравенств называется методом интервалов. Он применяется обычно при решении рациональных неравенств, т. е. неравенств вида

Примеры решения рациональных неравенств Примеры решения рациональных неравенств

где Примеры решения рациональных неравенств и Примеры решения рациональных неравенств — многочлены.

Пример №200.

Решить неравенство

Примеры решения рациональных неравенств Примеры решения рациональных неравенств

Решение:

Преобразуем неравенство (3) к стандартному виду (2):

Примеры решения рациональных неравенств Примеры решения рациональных неравенств

Неравенство (4) равносильно неравенству (3). Отметив на числовой оси точки Примеры решения рациональных неравенств (рис. 21.2), определим знаки рациональной функции, стоящей в левой части неравенства (4).

Примеры решения рациональных неравенств

Заметим, что числа Примеры решения рациональных неравенстви Примеры решения рациональных неравенств являются решениями неравенства (4), а числа Примеры решения рациональных неравенств и Примеры решения рациональных неравенств не принадлежат множеству решений.

Ответ. Примеры решения рациональных неравенств

Пример №256.

Решить неравенство

Примеры решения рациональных неравенств

Решение:

Квадратный трехчлен Примеры решения рациональных неравенствимеет корни Примеры решения рациональных неравенстви Примеры решения рациональных неравенств. Поэтому Примеры решения рациональных неравенств Квадратный трехчлен Примеры решения рациональных неравенствпринимает положительные значения при всех Примеры решения рациональных неравенств, так как его дискриминант Примеры решения рациональных неравенства старший коэффициент положителен.

Обозначим левую часть неравенства через Примеры решения рациональных неравенств. ФункцияПримеры решения рациональных неравенствне определена при Примеры решения рациональных неравенстви Примеры решения рациональных неравенстви меняет знак при переходе через точки Примеры решения рациональных неравенстви Примеры решения рациональных неравенств

Числа Примеры решения рациональных неравенств иПримеры решения рациональных неравенств (корни уравнения Примеры решения рациональных неравенств являются решениями данного неравенства. Строгое неравенство Примеры решения рациональных неравенств при Примеры решения рациональных неравенств равносильно неравенству Примеры решения рациональных неравенствПрименяя метод интервалов (рис. 21.3), находим все решения исходного неравенства с учетом того, что числа Примеры решения рациональных неравенств и Примеры решения рациональных неравенств принадлежат множеству решений неравенства, а число Примеры решения рациональных неравенств не принадлежит этому множеству.

Примеры решения рациональных неравенств

Ответ. Примеры решения рациональных неравенств

Пример №257.

Решить неравенство

Примеры решения рациональных неравенств

Решение:

Данное неравенство равносильно каждому из следующих неравенств:

Примеры решения рациональных неравенств

Заметив, что Примеры решения рациональных неравенств а Примеры решения рациональных неравенств (поскольку Примеры решения рациональных неравенств), и применив метод интервалов (рис. 21.4), найдем решения исходного неравенства.

Примеры решения рациональных неравенств


Ответ
. Примеры решения рациональных неравенств

Пример №258.

Решить неравенство

Примеры решения рациональных неравенств

Решение:

Рассмотрим два случая: Примеры решения рациональных неравенств

1)Если Примеры решения рациональных неравенств то Примеры решения рациональных неравенств и неравенство примет вид

Примеры решения рациональных неравенств

Это неравенство равносильно следующему:

Примеры решения рациональных неравенств

Отсюда находим Примеры решения рациональных неравенств

2) Если Примеры решения рациональных неравенств, то исходное неравенство (при условии Примеры решения рациональных неравенств) равносильно неравенству Примеры решения рациональных неравенств откуда получаем Примеры решения рациональных неравенствПримеры решения рациональных неравенств

Ответ. Примеры решения рациональных неравенств

Пример №259.

Решить неравенство

Примеры решения рациональных неравенств

Решение:

Разобьем числовую прямую на три промежутка точками Примеры решения рациональных неравенств и Примеры решения рациональных неравенств при переходе через которые меняют знак линейные функции Примеры решения рациональных неравенств и Примеры решения рациональных неравенств соответственно.

1) Если Примеры решения рациональных неравенств то исходное неравенство равносильно каждому из
неравенств

Примеры решения рациональных неравенств

откуда, учитывая условие Примеры решения рациональных неравенствполучаем Примеры решения рациональных неравенств

2) Если Примеры решения рациональных неравенств, то исходное неравенство равносильно каждому из неравенств

Примеры решения рациональных неравенств

откуда Примеры решения рациональных неравенств

3) Если Примеры решения рациональных неравенств, то исходное неравенство равносильно каждому из неравенств

Примеры решения рациональных неравенств

откуда Примеры решения рациональных неравенств

Ответ. Примеры решения рациональных неравенств

Пример №260.

Решить неравенство

Примеры решения рациональных неравенств Примеры решения рациональных неравенств

Решение:

Неравенство (5) равносильно каждому из следующих неравенств:

Примеры решения рациональных неравенств Примеры решения рациональных неравенств

При Примеры решения рациональных неравенств неравенство (6) не имеет решений.

Пусть Примеры решения рациональных неравенств, тогда Примеры решения рациональных неравенств и множество решений неравенства (6) — интервал Примеры решения рациональных неравенств

Пусть Примеры решения рациональных неравенств тогда Примеры решения рациональных неравенств и множество решений неравенства (6) — интервал Примеры решения рациональных неравенств

Ответ. Если Примеры решения рациональных неравенств, то Примеры решения рациональных неравенств если Примеры решения рациональных неравенств, то решений нет; еслиПримеры решения рациональных неравенств, то Примеры решения рациональных неравенств

Пример №261.

Найти все значения Примеры решения рациональных неравенств, при которых вершины двух парабол

Примеры решения рациональных неравенств

лежат по разные стороны от прямой Примеры решения рациональных неравенств

Решение:

Вершины парабол лежат по разные стороны от прямой Примеры решения рациональных неравенств тогда и только тогда, когда числа Примеры решения рациональных неравенств и Примеры решения рациональных неравенств где Примеры решения рациональных неравенств и Примеры решения рациональных неравенств — ординаты вершин парабол, имеют разные знаки, т. е.

Примеры решения рациональных неравенств Примеры решения рациональных неравенств

Чтобы найти Примеры решения рациональных неравенств и Примеры решения рациональных неравенств, воспользуемся методом выделения полного квадрата. Получим

Примеры решения рациональных неравенств

Отсюда следует, что

и

Примеры решения рациональных неравенств

Подставляя выражения для Примеры решения рациональных неравенстви Примеры решения рациональных неравенств в левую часть неравенства (7), получаем неравенство

Примеры решения рациональных неравенств

равносильное следующему:

Примеры решения рациональных неравенств Примеры решения рациональных неравенств

Разложив левую часть неравенства (8) на множители, получим равносильное ему неравенство

Примеры решения рациональных неравенств

С помощью метода интервалов (рис. 21.5) найдем искомые значения Примеры решения рациональных неравенств

Ответ. Примеры решения рациональных неравенств

Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:

Решение задач по математике

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Алгебраические неравенства с примерами решения
Квадратный трехчлен и квадратные неравенства с примерами решения
Расположение корней квадратного трехчлена на числовой оси с примерами решения
Иррациональные неравенства с примерами решения