Оглавление:
Рациональные неравенства. Метод интервалов
Примеры с решениями
Пример №255.
Решить неравенство
Решение:
Заметим, что линейная функция меняет знак при переходе через точку причем правее точки эта функция положительна, а левее точки — отрицательна.
Отметив на числовой оси точки , которые являются нулями (корнями) многочленов, стоящих в числителе и знаменателе дроби (1), разобьем числовую ось на пять промежутков (рис. 21.1).
На самом правом промежутке дробь (1) положительна, так как все множители в числителе и знаменателе этой дроби положительны при .
При переходе через каждую из отмеченных точек один и только один из этих множителей меняет знак, и поэтому знак дроби каждый раз меняется. Учитывая это, расставим знаки дроби (рис. 21.1). Итак, множество решений — объединение интервалов
Ответ.
Рассмотренный способ решения неравенств называется методом интервалов. Он применяется обычно при решении рациональных неравенств, т. е. неравенств вида
где и — многочлены.
Пример №200.
Решить неравенство
Решение:
Преобразуем неравенство (3) к стандартному виду (2):
Неравенство (4) равносильно неравенству (3). Отметив на числовой оси точки (рис. 21.2), определим знаки рациональной функции, стоящей в левой части неравенства (4).
Заметим, что числа и являются решениями неравенства (4), а числа и не принадлежат множеству решений.
Ответ.
Пример №256.
Решить неравенство
Решение:
Квадратный трехчлен имеет корни и . Поэтому Квадратный трехчлен принимает положительные значения при всех , так как его дискриминант а старший коэффициент положителен.
Обозначим левую часть неравенства через . Функцияне определена при и и меняет знак при переходе через точки и
Числа и (корни уравнения являются решениями данного неравенства. Строгое неравенство при равносильно неравенству Применяя метод интервалов (рис. 21.3), находим все решения исходного неравенства с учетом того, что числа и принадлежат множеству решений неравенства, а число не принадлежит этому множеству.
Ответ.
Пример №257.
Решить неравенство
Решение:
Данное неравенство равносильно каждому из следующих неравенств:
Заметив, что а (поскольку ), и применив метод интервалов (рис. 21.4), найдем решения исходного неравенства.
Ответ.
Пример №258.
Решить неравенство
Решение:
Рассмотрим два случая:
1)Если то и неравенство примет вид
Это неравенство равносильно следующему:
Отсюда находим
2) Если , то исходное неравенство (при условии ) равносильно неравенству откуда получаем
Ответ.
Пример №259.
Решить неравенство
Решение:
Разобьем числовую прямую на три промежутка точками и при переходе через которые меняют знак линейные функции и соответственно.
1) Если то исходное неравенство равносильно каждому из
неравенств
откуда, учитывая условие получаем
2) Если , то исходное неравенство равносильно каждому из неравенств
откуда
3) Если , то исходное неравенство равносильно каждому из неравенств
откуда
Ответ.
Пример №260.
Решить неравенство
Решение:
Неравенство (5) равносильно каждому из следующих неравенств:
При неравенство (6) не имеет решений.
Пусть , тогда и множество решений неравенства (6) — интервал
Пусть тогда и множество решений неравенства (6) — интервал
Ответ. Если , то если , то решений нет; если, то
Пример №261.
Найти все значения , при которых вершины двух парабол
лежат по разные стороны от прямой
Решение:
Вершины парабол лежат по разные стороны от прямой тогда и только тогда, когда числа и где и — ординаты вершин парабол, имеют разные знаки, т. е.
Чтобы найти и , воспользуемся методом выделения полного квадрата. Получим
Отсюда следует, что
и
Подставляя выражения для и в левую часть неравенства (7), получаем неравенство
равносильное следующему:
Разложив левую часть неравенства (8) на множители, получим равносильное ему неравенство
С помощью метода интервалов (рис. 21.5) найдем искомые значения
Ответ.
Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:
Возможно вам будут полезны эти страницы: