Примеры решения систем показательных уравнений

Системы показательных уравнений

Примеры с решениями

Пример №206.

Решить систему уравнений

Примеры решения систем показательных уравнений

Решение:

Полагая Примеры решения систем показательных уравнений заменим исходную систему алгебраической системой

Примеры решения систем показательных уравнений

которая равносильна системе

Примеры решения систем показательных уравнений

имеющей решение Примеры решения систем показательных уравнений Следовательно, Примеры решения систем показательных уравненийоткуда находим Примеры решения систем показательных уравнений

Ответ.Примеры решения систем показательных уравнений

Пример №207.

Решить систему уравнений

Примеры решения систем показательных уравнений Примеры решения систем показательных уравнений

Решение:

Полагая в (1) Примеры решения систем показательных уравнений получаем уравнение Примеры решения систем показательных уравнений, имеющее корни Примеры решения систем показательных уравнений

Так как показательная функция принимает только положительные значения, то уравнение (1) равносильно уравнению Примеры решения систем показательных уравнений откуда находим

Примеры решения систем показательных уравнений Примеры решения систем показательных уравнений

Исключая Примеры решения систем показательных уравнений из системы (2), (3), получаем уравнение Примеры решения систем показательных уравнений имеющее корни Примеры решения систем показательных уравнений Соответствующие значения Примеры решения систем показательных уравнений определяются формулой (3).

Ответ.Примеры решения систем показательных уравнений

Пример №208.

Решить систему уравнений

Примеры решения систем показательных уравнений Примеры решения систем показательных уравнений

Решение:

Разложим правые части уравнений системы (4) на множители: Примеры решения систем показательных уравненийПримеры решения систем показательных уравнений Поэтому исходную систему можно записать в виде

Примеры решения систем показательных уравнений

Перемножив, а затем разделив почленно уравнения этой системы, получаем систему

Примеры решения систем показательных уравнений

которая равносильна системе

Примеры решения систем показательных уравнений

имеющей единственное решение Примеры решения систем показательных уравнений

Ответ. Примеры решения систем показательных уравнений

Пример №209.

Решить систему уравнений

Примеры решения систем показательных уравнений

Решение:

Положим Примеры решения систем показательных уравненийТогда система примет вид

Примеры решения систем показательных уравнений Примеры решения систем показательных уравнений

Система (5) равносильна совокупности двух систем:

Примеры решения систем показательных уравнений Примеры решения систем показательных уравнений

Система (6) не имеет решений. Система (7) является однородной. Разделив почленно ее уравнения и полагая Примеры решения систем показательных уравнений получаем

Примеры решения систем показательных уравнений

откуда Примеры решения систем показательных уравнений Значение Примеры решения систем показательных уравненийследует отбросить, так как Примеры решения систем показательных уравнений Если Примеры решения систем показательных уравнений т. е. Примеры решения систем показательных уравнений то из первого уравнения системы (7) находим Примеры решения систем показательных уравнений Итак, Примеры решения систем показательных уравнений т. е. Примеры решения систем показательных уравнений Примеры решения систем показательных уравнений откуда Примеры решения систем показательных уравнений

Ответ. Примеры решения систем показательных уравнений

Пример №210.

Решить систему уравнений

Примеры решения систем показательных уравнений Примеры решения систем показательных уравнений

Решение:

Возведя обе части уравнения (9) в степень Примеры решения систем показательных уравнений и учитывая, что Примеры решения систем показательных уравнений преобразуем это уравнение к виду

Примеры решения систем показательных уравнений Примеры решения систем показательных уравнений

Система (8), (10) приводит к уравнению

Примеры решения систем показательных уравнений

являющемуся следствием системы (8), (9). Это уравнение равносильно уравнению Примеры решения систем показательных уравнений откуда

Примеры решения систем показательных уравнений Примеры решения систем показательных уравнений

Из (11) и (9) получаем уравнение Примеры решения систем показательных уравнений равносильное совокупности уравнений

Примеры решения систем показательных уравнений Примеры решения систем показательных уравнений

Решив системы (11), (12) и (11), (13), находим Примеры решения систем показательных уравненийи Примеры решения систем показательных уравнений Обе эти пары чисел, как показывает проверка, образуют решение системы (8), (9).

Ответ. Примеры решения систем показательных уравнений

Пример №211.

Решить систему уравнений

Примеры решения систем показательных уравнений Примеры решения систем показательных уравнений

Решение:

Запишем систему в следующем виде:

Примеры решения систем показательных уравнений Примеры решения систем показательных уравнений

Перемножив почленно уравнения системы (15), получаем

Примеры решения систем показательных уравнений

или

Примеры решения систем показательных уравнений Примеры решения систем показательных уравнений

Уравнение (16), являющееся следствием системы (14), равносильно уравнению Примеры решения систем показательных уравненийоткуда Примеры решения систем показательных уравнений Подставим Примеры решения систем показательных уравненийв систему (15). Тогда каждое из уравнений (15) можно записать в виде Примеры решения систем показательных уравнений откуда Примеры решения систем показательных уравнений и тогдаПримеры решения систем показательных уравнений

Ответ. Примеры решения систем показательных уравнений

Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:

Решение задач по математике

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Задачи на сплавы и смеси с примерами решения
Задачи на совместную работу с примерами решения
Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями
Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями