Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями

Системы, содержащие логарифмы с постоянными основаниями

Рассмотрим системы логарифмических уравнений, в которых содержатся логарифмы с постоянными основаниями. При решении таких систем часто используется формула Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями

Примеры с решениями

Пример №212.

Решить систему уравнений

Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями

Решение:

Система (1) имеет смысл лишь в том случае, когда Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниямиПримеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями т. е. при выполнении условий

Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями

Полагая Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями запишем первое уравнение системы (1) в виде Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями откуда Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниямиЕсли Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями, то Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями В этом случае система (1) примет вид

Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями

Если Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями то Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями и система (1) примет вид

Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями

Рассмотрим систему (3). Так как Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями то второе уравнение этой системы равносильно уравнению

Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями

Потенцируя, получаем уравнение Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями являющееся следствием уравнения (5) и имеющее корни Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями. Значение Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями не удовлетворяет условию (2), а при Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями из первого уравнения системы (3) находим Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями. Пара чисел Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями — решение системы (1).

Аналогично, решив систему (4), найдем еще одно решение Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями ; системы (1).

Ответ. Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями

Пример №214.

Решить систему уравнений

Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями

Решение:

Первое уравнение системы можно записать в виде Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями а множество допустимых значений Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями определяется условием

Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями

При выполнении условия (6) исходная система равносильна системе

Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями

а система (6)-(7) равносильна совокупности двух систем

Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями

и

Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями

Исключая Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями из системы (8), получаем уравнение Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями не имеющее действительных корней. Поэтому система (8) не имеет действительных решений.

Из системы (9) получаем уравнение Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями имеющее корни Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями

Поэтому исходная система имеет два решения: Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями и Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями

Ответ. Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями

Пример №215.

Решить систему уравнений

Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями

Решение:

Считая, что Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями и переходя к логарифмам по основанию 3, заменим исходную систему равносильной ей:

Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями

Потенцируя, получаем систему

Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями

являющуюся следствием исходной системы. Из (11) следует, что либо Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями либо Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями

1) Если Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями, то из (10) получаем уравнение Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниямиоткуда Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями При Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями исходная система теряет смысл. При Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями имеем Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями Пара чисел Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями— решение исходной системы.

2) Если Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями то из (10) получаем уравнение Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями имеющее корни 2 и 3. При Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями исходная система теряет смысл. При Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями находим Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями Пара чисел Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями образует решение исходной системы.

Ответ. Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями

Пример №216.

Решить систему уравнений

Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями

Решение:

Потенцируя, заменим (13) на Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями или

Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями

Система (12), (14) является следствием системы (12), (13). Исключив Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями из системы (12), (14), приходим к уравнению

Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями

Полагая в (15) Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниямиполучаем уравнение Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями откуда Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями

1) Если Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниямито Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями откуда Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями и из (14) следует, что Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями В этом случае правая часть уравнения (13) теряет смысл.

2) Если Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями то Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями откуда Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниямиПримеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями Из уравнения (14) находим Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниямиПриПримеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями.

Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями

В этом случае выражения, содержащиеся под знаками логарифмов в уравнении (13), положительны и Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями — решение системы (12), (13). При Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниямиимеем Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниямиПара чисел Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями также образует решение системы (12), (13).

Ответ. Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями

Пример №217.

Решить систему уравнений

Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями

Решение:

Используя равенство

Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями

и переходя к логарифмам по основанию 2, получим систему

Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями

равносильную системе (16). Потенцируя, приходим к системе

Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями

являющейся следствием системы (17). Из уравнения (18) следует, что

Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями

Подставляя это в уравнение (19), получаем Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями откуда Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями Так как при Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями первое уравнение системы (16) теряет смысл, то Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями

Если Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями то из (20) имеем Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями тогда как второе уравнение системы (16) имеет смысл лишь при Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями

Если Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями Проверка показывает, что пара чисел Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями является решением системы (16).

Ответ. Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями

Пример №218.

Решить систему уравнений

Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями

Решение:

Переходя в уравнении (22) к логарифмам по основанию Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями получаем

Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями

Складывая уравнение (21) с удвоенным уравнением (23), имеем

Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями

откуда

Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями

или

Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями

Система (21), (22) равносильна совокупности систем (23), (25) и (23), (26).

1) Рассмотрим систему (23), (25). Из (25) следует, что

Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями

Исключая из уравнений (23) и (25) Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниямиполучаем

Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями

или

Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями

откуда следует, что либо Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями либо Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниямиНо если Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями то равенство (27) не может быть верным ни при каких значениях Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями.

Аналогичное утверждение справедливо и при Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями Таким образом, система (23), (25) не имеет решений.

2) Рассмотрим систему (23), (26). Из уравнения (26) следует, что

Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями

а из (23) и (26) находим

Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями

или

Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями

Если Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями то Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями и тогда из уравнения (28) получаем Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями откуда Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями Значение Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями следует отбросить, так как при Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями исходная система теряет смысл.

Если Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями то Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями и из (24) найдем Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями

Ответ. Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями

Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:

Решение задач по математике

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Задачи на совместную работу с примерами решения
Примеры решения систем показательных уравнений
Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями
Примеры решений систем тригонометрических уравнений