Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля

Уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля

Примеры с решениями

Пример №319.

Найти множество точек координатной плоскости Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля, координаты Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля которых удовлетворяют уравнению:

Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля

Решение:

а) Запишем уравнение в виде

Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля

Это уравнение имеет единственное решение Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля т. е. данному уравнению удовлетворяют координаты только одной точкиПримеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля

б) Уравнение равносильно совокупности уравнений Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля и Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля Искомое множество состоит из всех точек, принадлежащих биссектрисам I и III, а также II и IV координатных углов (рис. 26.11).

в) Уравнение равносильно совокупности двух систем:

Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля

Первой из них удовлетворяют точки, принадлежащие биссектрисе II координатного угла, второй системе — точки, принадлежащие биссектрисе III координатного угла (рис. 26.12).

г) Запишем уравнение в виде

Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля

Это уравнение окружности с центром в точке Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля и радиусом 1 (рис. 26.13).

Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля

Пример №320.

Изобразить на координатной плоскости Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуляфигуру Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля, координаты точек которой удовлетворяют системе неравенств

Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля

и найти площадь Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля этой фигуры.

Решение:

Построим графики функций Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля и Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля(рис. 26.14).

Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля

Решив систему уравнений

Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля

находим общую точку Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля этих графиков, лежащую в I квадранте (рис. 26.14). Аналогично, решив систему уравнений

Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля

находим общую точку Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля графиков функций Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля и Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля лежащую во II квадранте.

Неравенству (1) удовлетворяют все точки координатной плоскости, расположенные выше графика функции Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля а неравенству (2) — все точки координатной плоскости, лежащие ниже графика функции Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля

Следовательно, системе (1), (2) удовлетворяют все точки, лежащие внутри прямоугольника Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля полученного при пересечении графиков функций Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля и Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуляТак как Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуляПримеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля то

Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля

Пример №321.

Найти все такие пары целых чисел Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля которые удовлетворяют системе неравенств

Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля

Решение:

Запишем данную систему в следующем виде:

Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля

Так как Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модулято из неравенств (3) и (4) следует, что

Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля

Целыми числами, удовлетворяющими неравенству (5), являются лишь 0 и 1, поэтому система (3), (4) может иметь целые решения только при Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуляи Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля.

1) Если Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля, то система (3), (4) примет вид

Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля

Второму из этих неравенств удовлетворяют целые числа 0, 1 и 2. Проверка показывает, что первому неравенству удовлетворяют

Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля

лишь 0 и 2. Следовательно, пары чисел Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля и Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуляПримеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля образуют решения исходной системы неравенств.

2) Если Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля то система (3), (4) приводится к виду

Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля

Второму неравенству системы (6) удовлетворяет единственное целое число Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модулякоторое является также и решением первого неравенства.

Ответ. Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля

Пример №322.

Изобразить на координатной плоскости фигуру Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля, координаты Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля точек которой определяются неравенством

Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля

и найти площадь Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля фигуры Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля.

Решение:

1) Рассмотрим сначала случай Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля Тогда неравенство (7) примет вид

Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля

Если Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модулято неравенство (8) можно записать так:

Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля

Множество точек, удовлетворяющих условиям Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуляПримеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля — это треугольник Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля образованный прямой Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля (рис. 26.15) и координатными полуосями Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуляПримеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля

Если Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля то неравенство (8) примет вид

Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля

а множество точек таких, что Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля — это треугольник Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля симметричный треугольнику Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуляотносительно оси Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля

Аналогично рассматриваются случаи Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля и Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модулякоторым соответствуют треугольники Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля и Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля симметричные соответственно треугольникам Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля и Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля относительно оси Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля.

Таким образом, фигураПримеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля, определяемая неравенством (8), представляет собой квадрат с центром в точке Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля и вершинами Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля

Заметим, что симметрия фигуры Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля относительно координатных осей следует из того, что наряду с точкой Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля этой фигуре принадлежат точки Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля так как Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля Площадь этой фигуры равна Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля

2) Рассмотрим теперь неравенство (7). Так как фигуру Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля, определяемую неравенством (7), можно получить из фигуры Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля, заданной неравенством (8), с помощью параллельного переноса (сдвига на вектор Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля то Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля — квадрат (рис. 26.16) с центром в точке Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуляи вершинами Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуляПримеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля

Площадь фигуры Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля, как и фигуры Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля, равна Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля.

Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:

Решение задач по математике

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Пример решения линейных неравенств с двумя переменными
Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения
Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными
Прямые и обратные теоремы примеры с решением