Для связи в whatsapp +905441085890

Принцип Даламбера

Принцип Даламбера

В появившемся в 1743 г. сочинении Даламбера «Трактат по динамике» был предложен принцип, сводящий задачу о движении материальной точки к задаче о равновесии и, таким образом, динамику к статике. Принцип этот был призван разрешить или но крайней мере выразить в виде уравнений все задачи механики, причем единым методом.

Рассмотрим в неподвижном пространстве материальную точку, на которую наложены некоторые связи и действует активная сила Принцип Даламбера. Ускорение этой материальной точки в общем случае не будет совпадать с направлением линии действия силы Принцип Даламбера. Обозначим через Принцип Даламбера ускорение этой точки. Величина и направление ускорения Принцип Даламбера определяются некоторой силой Принцип Даламбера, которую нужно приложить к свободной материальной точке, чтобы сообщить ей это ускорение. Силу Принцип Даламбера называют действующей силой. Тогда активную силу можно представить как сумму двух сил (рис. 180)

Принцип Даламбера

причем часть этой суммы — сила Принцип Даламбера тратится на преодоление силы реакции связи и называется поэтому потерянной силой. Потерянная сила уравновешивается силой реакции связи

Принцип Даламбера

Определяя отсюда силу Принцип Даламбера, получим для силы Принцип Даламбера

Принцип Даламбера

Если к материальной точке приложить теперь силу Принцип Даламбера, равную по величине и противоположную по направлению силе Принцип Даламбера:

Принцип Даламбера

то сила Принцип Даламбера будет уравновешиваться силой Принцип Даламбера. Впоследствии силу Принцип Даламбера стали называть силой инерции. Подставляя в последнее уравнение значение действующей силы Принцип Даламбера, запишем условие равновесия

Принцип Даламбера

В этом равенстве и заключается принцип Даламбера, который можно сформулировать следующим образом:

Если к активным силам, действующим на материальную точку, добавить силы реакции и силы инерции, то все эти силы будут находиться в равновесии.

Принцип Даламбера

По самому определению, сила инерции Принцип Даламбера равна произведению массы точки на ее ускорение, взятому с обратным знаком

Принцип Даламбера

Чтобы найти движение материальной точки из принципа Даламбера, нужно знать реакции связи.

Пример:

Материальная точка вынуждена скользить без трения по гладкой окружности, плоскость которой вертикальна. Определить закон движения точки.

Решение:

На точку действует активная сила — сила тяжести, а положение точки на окружности характеризуется углом Принцип Даламбера, который образуется радиусом точки с горизонтальной осью Принцип Даламбера (рис. 181). Вектор ускорения точки имеет нормальную Принцип Даламбера и касательную Принцип Даламбера составляющие, величины которых можно выразить в функции угла Принцип Даламбера и его производных

Принцип Даламбера

По принципу Даламбера, чтобы уравновесить точку, необходимо приложить к ней кроме активной силы еще силу реакции Принцип Даламбера и силу инерции Принцип Даламбера. Последняя в рассматриваемом случае имеет две составляющие:

Принцип Даламбера

направленные соответственно по радиусу и по касательной к траектории точки в стороны противоположные соответствующим ускорениям. Тогда условие равновесия получит вид

Принцип Даламбера

или в проекциях на оси координат

Принцип Даламбера

Для определения движения точки из этих уравнений необходимо исключить Принцип Даламбера, что можно сделать, умножив первое уравнение на Принцип Даламбера, второе — на Принцип Даламбера и сложив уравнения. Тогда получим

Принцип Даламбера

откуда можно найти Принцип Даламбера как функцию времени. Для определения реакции достаточно теперь подставить в одно из уравнений значения Принцип Даламбера, определенные как функции времени.

Петербургскими учеными Я. Германом (1678—1733) и Л. Эйлером (1707—1783) был предложен принцип механики, сводящий задачу о движении материальной точки к задаче о равновесии и получивший название «Петербургский принцип механики», который по существу эквивалентен принципу Даламбера (1716 г.), хотя он был опубликован несколько раньше.

Из принципа Даламбера непосредственно следует, что в каждый момент времени сумма действующей и потерянной сил равна активной силе, действующей на точку

Принцип Даламбера

Рассматривая работу сил на произвольном возможном перемещении, получим следующее:

Принцип Даламбера

Но потерянные силы уравновешиваются силами реакции

Принцип Даламбера

поэтому

Принцип Даламбера

Рассмотрим только идеальные связи, для которых работа сил реакции на любом возможном перемещении точки равна нулю, т. е. работа Принцип Даламбера. Тогда и работа Принцип Даламбера, откуда сразу следует

Принцип Даламбера

Пусть положение материальной точки определяется декартовыми координатами Принцип Даламбера а возможные перемещения точки Принцип Даламбера Тогда уравнение возможных работ получит вид

Принцип Даламбера

или

Принцип Даламбера

В таком виде принцип был предложен Лагранжем. Само уравнение имеет место для всех действительных движений материальной точки.

Эта лекция взята со страницы, где размещены все лекции по предмету теоретическая механика:

Предмет теоретическая механика

Эти страницы возможно вам будут полезны:

Движение несвободной материальной точки
Относительное движение материальной точки
Кинематика точки
Ускорение точки