Оглавление:
Признак Даламбера
В отличие от признаков сравнения, где все зависит от догадки и запаса известных сходящихся и расходящихся рядов, признак Даламбера (1717-1783, французский математик) позволяет часто решить вопрос о сходимости ряда, проделав лишь некоторые операции над самим рядом.
Теорема 60.3. Пусть дан ряд (59.1) с положительными членами и существует конечный или бесконечный предел . Тогда ряд сходится при
и расходится при
.
Так как , то по определению предела для любого
найдется натуральное число
такое, что при
выполняется неравенство
![Признак Даламбера](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-50648.png)
Пусть . Можно подобрать
так, что число
. Обозначим
. Тогда из правой части неравенства (60.6) получаем
, или
. В силу свойства 3 числовых рядов можно считать, что
для всех
Давая номеру
эти значения, получим серию неравенств:
![Признак Даламбера](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-50656.png)
т. е. члены ряда меньше соответствующих членов ряда
, который сходится как ряд геометрической прогрессии со знаменателем
. Но тогда, на основании признака сравнения, сходится ряд
, следовательно, сходится и исходный ряд (59.1).
Пусть . В этом случае
. Отсюда следует, что, начиная с некоторого номера
, выполняется неравенство
, или
, т. е. члены ряда возрастают с увеличением номера
. Поэтому
. На основании следствия из необходимого признака (см. п. 59.3) рад (59.1) расходится.
Замечания.
- Если
, то рад (59.1) может быть как сходящимся, так и расходящимся.
- Признак Даламбера целесообразно применять, когда общий член ряда содержит выражение вида
или
.
Пример №60.4.
Исследовать на сходимость ряд .
Решение:
Находим
![Признак Даламбера](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/04/image-50668.png)
Так как , то данный ряд по признаку Даламбера сходится.
Дополнительный пример №60.5.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
Необходимый признак сходимости числового ряда |
Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов |
Радикальный признак Коши |
Интегральный признак Коши |