Оглавление:
Признак Даламбера
В отличие от признаков сравнения, где все зависит от догадки и запаса известных сходящихся и расходящихся рядов, признак Даламбера (1717-1783, французский математик) позволяет часто решить вопрос о сходимости ряда, проделав лишь некоторые операции над самим рядом.
Теорема 60.3. Пусть дан ряд (59.1) с положительными членами и существует конечный или бесконечный предел 
. Тогда ряд сходится при 
и расходится при 
.
Так как , то по определению предела для любого 
найдется натуральное число 
такое, что при 
выполняется неравенство
Пусть . Можно подобрать 
так, что число 
. Обозначим 
. Тогда из правой части неравенства (60.6) получаем 
, или 
. В силу свойства 3 числовых рядов можно считать, что 
для всех 
Давая номеру 
эти значения, получим серию неравенств:
т. е. члены ряда 
меньше соответствующих членов ряда 
, который сходится как ряд геометрической прогрессии со знаменателем 
. Но тогда, на основании признака сравнения, сходится ряд 
, следовательно, сходится и исходный ряд (59.1).
Пусть . В этом случае 
. Отсюда следует, что, начиная с некоторого номера , выполняется неравенство 
, или 
, т. е. члены ряда возрастают с увеличением номера . Поэтому 
. На основании следствия из необходимого признака (см. п. 59.3) рад (59.1) расходится.
Замечания.
- Если
, то рад (59.1) может быть как сходящимся, так и расходящимся. - Признак Даламбера целесообразно применять, когда общий член ряда содержит выражение вида
или 
.
Пример №60.4.
Исследовать на сходимость ряд 
.
Решение:
Находим
Так как 
, то данный ряд по признаку Даламбера сходится.
Дополнительный пример №60.5.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
| Необходимый признак сходимости числового ряда |
| Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов |
| Радикальный признак Коши |
| Интегральный признак Коши |
