Для связи в whatsapp +905441085890

Признаки существования пределов

Признаки существования пределов функции

Не всякая функция, даже ограниченная, имеет предел. Например, функция Признаки существования пределов при Признаки существования пределов предела не имеет. Во многих вопросах анализа бывает достаточно только убедиться в существовании предела функции. В таких случаях пользуются признаками существования предела.

Теорема 17.10 (о пределе промежуточной функции). Если функция Признаки существования пределов заключена между двумя функциями Признаки существования пределов и Признаки существования пределов, стремящимися к одному и тому же пределу, то она также стремится к этому пределу, т. е. если

Признаки существования пределов

то

Признаки существования пределов

Из равенств (17.6) вытекает, что для любого Признаки существования пределов существуют две окрестности Признаки существования пределов и Признаки существования пределов точки Признаки существования пределов , в одной из которых выполняется неравенство Признаки существования пределов, т. е.

Признаки существования пределов

а в другой Признаки существования пределов, т. е.

Признаки существования пределов

Пусть Признаки существования пределов — меньшее из чисел Признаки существования пределов и Признаки существования пределов. Тогда в Признаки существования пределов-окрестности точки Признаки существования пределов выполняются оба неравенства (17.8) и (17.9).

Из неравенств (17.7) находим, что

Признаки существования пределов

С учетом неравенств (17.8) и (17.9) из неравенства (17.10) следуют неравенства Признаки существования пределов или Признаки существования пределов.

Мы доказали, что

Признаки существования пределов

то есть Признаки существования пределов.

Теорему 17.10 иногда шутливо называют «принципом двух милиционеров». Роль «милиционеров» играют функции Признаки существования пределов и Признаки существования пределов, функция Признаки существования пределов «следует за милиционерами».

Теорема 17.11 (о пределе монотонной функции). Если функция Признаки существования пределов монотонна и ограничена при Признаки существования пределов или при Признаки существования пределов, то существует соответственно ее левый предел Признаки существования пределов или ее правый предел Признаки существования пределов.

Доказательство этой теоремы не приводим.

Следствие 17.6. Ограниченная монотонная последовательность Признаки существования пределов, Признаки существования пределов, имеет предел.

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Бесконечно малые функции
Основные теоремы о пределах
Обратная функция
Сложная функция