Для связи в whatsapp +905441085890

Проекции ускорения на оси естественного трехгранника

Проекции ускорения на оси естественного трехгранника

Как мы уже заметили, при движении точки по окружности ее ускорение может быть представлено в виде двух составляющих, одна из которых направлена по касательной к окружности, а другая к центру окружности. При движении точки по произвольной кривой в каждый момент времени достаточно малый участок траектории можно рассматривать как часть дуги окружности соответствующего радиуса, а непрерывное движение точки по траектории можно представить как некоторую последовательность движений по дугам соответствующих окружностей.

Рассмотрим три последовательных положения точки на траектории: Проекции ускорения на оси естественного трехгранника (рис. 30). Если точка Проекции ускорения на оси естественного трехгранника занимает бесконечно близкое положение по отношению к точке М, то отрезок Проекции ускорения на оси естественного трехгранника в пределе определит положение касательной к кривой в
точке М. Если траектория не является прямой линией, то три точки Проекции ускорения на оси естественного трехгранника определят некоторую плоскость. Предельное положение этой плоскости, когда точки Проекции ускорения на оси естественного трехгранника

неограниченно стремятся к точке М будем называть соприкасающейся плоскостью в точке М. Касательная к кривой, построенная в точке М, лежит в этой плоскости. В общем случае три точки Проекции ускорения на оси естественного трехгранника однозначно определяют окружность

Проекции ускорения на оси естественного трехгранника

лежащую в соприкасающейся плоскости. Предельная окружность, получающаяся при неограниченном приближении точек Проекции ускорения на оси естественного трехгранника к точке М, называется окружностью кривизны, или кругом кривизны. Радиус этой окружности называют радиусом кривизны. Круг кривизны всегда находится в соприкасающейся плоскости. Хорды Проекции ускорения на оси естественного трехгранника в пределе, при неограниченном приближении точек Проекции ускорения на оси естественного трехгранника к точке Проекции ускорения на оси естественного трехгранника к точке Проекции ускорения на оси естественного трехгранника определят касательные к кривой в точках Проекции ускорения на оси естественного трехгранника соответственно (рис. 30), а следовательно, и направление скоростей в этих точках.

Обозначим скорости точки в положениях Проекции ускорения на оси естественного трехгранника соответственно через Проекции ускорения на оси естественного трехгранника Перенесем Проекции ускорения на оси естественного трехгранника в точку М (рис. 31).
Два вектора Проекции ускорения на оси естественного трехгранника определят плоскость. Предельное положение этой плоскости, когда точка Проекции ускорения на оси естественного трехгранника неограниченно приближается к точке М, будет определять соприкасающуюся плоскость. Вектор Проекции ускорения на оси естественного трехгранника определяет перемещение индекса скорости по годографу. Геометрическая величина вектора Проекции ускорения на оси естественного трехгранника определится из равенства

Проекции ускорения на оси естественного трехгранника

где точки Проекции ускорения на оси естественного трехгранника лежат на одной и той же окружности с центром
в точке М (рис. 31). Разделим это равенство на Проекции ускорения на оси естественного трехгранника

Проекции ускорения на оси естественного трехгранника

Отношение Проекции ускорения на оси естественного трехгранника равно среднему ускорению точки М за время Проекции ускорения на оси естественного трехгранника Ускорение точки М является предельным значением среднего ускорения, когда интервал времени Проекции ускорения на оси естественного трехгранника неограниченно стремится к нулю.

Рассмотрим вектор Проекции ускорения на оси естественного трехгранника который всегда направлен по касательной к траектории. Предельное значение модуля этого вектора будет иметь вид

Проекции ускорения на оси естественного трехгранника

Производную по времени от модуля скорости точки назовем касательной, или тангенциальной, составляющей ускорения точки. Можно еще ввести в рассмотрение вектор касательного ускорения Проекции ускорения на оси естественного трехгранника

положительное направление которого совпадает с направлением скорости точки, а величина равна производной от модуля скорости точки. Обозначив через Проекции ускорения на оси естественного трехгранника угол между направлениями скоростей Проекции ускорения на оси естественного трехгранника назовем этот угол углом смежности (рис. 32). Тогда для предельного значения модуля вектора Проекции ускорения на оси естественного трехгранника получим

Проекции ускорения на оси естественного трехгранника

Здесь Проекции ускорения на оси естественного трехгранника как это видно из чертежа, представляет собой длину дуги траектории, соединяющей точки Проекции ускорения на оси естественного трехгранника Предельное значение величины отрезка Проекции ускорения на оси естественного трехгранника когда точка неограниченно приближается к М, назовем радиусом кривизны траектории в точке М

Проекции ускорения на оси естественного трехгранника

Обозначив через Проекции ускорения на оси естественного трехгранника угол Проекции ускорения на оси естественного трехгранника (рис. 31), получим

Проекции ускорения на оси естественного трехгранника

Предельное значение этого угла, когда Проекции ускорения на оси естественного трехгранника равно Проекции ускорения на оси естественного трехгранника следовательно, Проекции ускорения на оси естественного трехгранника

Предельное значение вектора Проекции ускорения на оси естественного трехгранника обозначим через Проекции ускорения на оси естественного трехгранника т. е.

Проекции ускорения на оси естественного трехгранника

Величина этого вектора равна отношению квадрата скорости точки
к радиусу кривизны траектории, Проекции ускорения на оси естественного трехгранника сам вектор лежит в соприкасающейся плоскости и направлен ортогонально к скорости точки в сторону вогнутости траектории. Та нормаль Проекции ускорения на оси естественного трехгранника к траектории, которая лежит в соприкасающейся плоскости и направлена в сторону вогнутости траектории, называется главной нормалью, а вектор Проекции ускорения на оси естественного трехгранника направленный по главной нормали к траектории, называется нормальным ускорением точки (рис. 33).

Проекции ускорения на оси естественного трехгранника

Рассмотрим систему осей координат с началом в точке Проекции ускорения на оси естественного трехгранника ось Проекции ускорения на оси естественного трехгранника направим по касательной к траектории точки, ось Проекции ускорения на оси естественного трехгранника по направлению главной нормали, а третью ось Проекции ускорения на оси естественного трехгранника (по бинормали) направим так, чтобы тройка векторов Проекции ускорения на оси естественного трехгранника образовала правую систему.
Выбранные так оси представляют собой сопровождающий трехгранник, который еще называют естественным трехгранником. Проекции ускорения на оси естественного трехгранника равны

Проекции ускорения на оси естественного трехгранника

Модуль ускорения определяется равенством

Проекции ускорения на оси естественного трехгранника

Пример:

Точка движется по плоскости Проекции ускорения на оси естественного трехгранника по закону

Проекции ускорения на оси естественного трехгранника

Определить радиус кривизны траектории точки.

Решение:

Величины скорости и ускорения определяются из формул

Проекции ускорения на оси естественного трехгранника

Касательную составляющую ускорения найдем, дифференцируя квадрат скорости точки

Проекции ускорения на оси естественного трехгранника

Проекции ускорения на оси естественного трехгранника

Вычислим радиус кривизны траектории точки по формуле

Проекции ускорения на оси естественного трехгранника

или

Проекции ускорения на оси естественного трехгранника

Приводя подобные члены и умножая на Проекции ускорения на оси естественного трехгранника получим

Проекции ускорения на оси естественного трехгранника

откуда

Проекции ускорения на оси естественного трехгранника

Можно дать и геометрическое решение этой задачи. Как видно из рис. 34, проекция ускорения на нормаль к траектории равна

Проекции ускорения на оси естественного трехгранника

откуда сразу же следует выведенная выше формула для радиуса кривизны траектории.

Пример:

Точка описывает плоскую траекторию. Линия действия ее ускорения в пересечении с кругом кривизны образует хорду Проекции ускорения на оси естественного трехгранника (рис. 35). Выразить величину ускорения точки через величину ее скорости и длину этой хорды

Решение:

Из подобия треугольников Проекции ускорения на оси естественного трехгранника следует

Проекции ускорения на оси естественного трехгранника

откуда получим

Проекции ускорения на оси естественного трехгранника

или

Проекции ускорения на оси естественного трехгранника

Проекции ускорения на оси естественного трехгранника

Эта лекция взята со страницы, где размещены все лекции по предмету теоретическая механика:

Предмет теоретическая механика

Эти страницы возможно вам будут полезны:

Скорость и ускорение точки в полярных координатах
Движение точки по окружности
Теорема о сложении скоростей в сложном движении точки
Метод Роберваля построения касательных к плоским кривым