Для связи в whatsapp +905441085890

Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей

Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей

После построения регрессионной модели, оценки существенности ее параметров и проверки адекватности, модель используется для предсказания значений зависимой переменной Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей при определенных значениях независимых переменных Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей

Отметим, что действительные значения зависимой переменной Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей не будут совпадать с расчетными (прогнозными), так как регрессия описывает взаимосвязь лишь в среднем. Надежность получаемых по уравнению регрессии прогностических оценок, определяется отклонением эмпирических данных от расчетных по уравнению регрессии. В качестве меры отклонения используется дисперсия. Оценка дисперсии отклонений от регрессии определяется по формуле

Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей

Важное значение, при нахождении прогноза, имеет определение доверительных интервалов для значений Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей, т.е. границ, в пределах которых с заданной доверительной вероятностью будет находиться значение Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей . Вследствие того, что оценивание параметров осуществляется по выборочным данным, оценки параметров регрессии содержат некоторую погрешность.

Построим вначале доверительный интервал для парной регрессии. Дисперсию переменной Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей определим как сумму дисперсий слагаемых уравнения Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей. Тогда

Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей

Вычислив дисперсию Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей, определим доверительный интервал для расчетного значения Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей:

Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей

где Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей — квантиль распределения Стьюдента для уровня значимости Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей и Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей степеней свободы.

Построенные таким образом доверительные интервалы определяют местоположение линии регрессии, т.е. средних значений Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей, но не отдельных возможных значений переменной Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей, которые отклоняются от средней.

Если же мы хотим определить доверительные интервалы для отдельных значений зависимой переменной, то при определении дисперсии необходимо учитывать еще рассеяние вокруг линии регрессии, т.е. нужно включить величину Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей в суммарную дисперсию:

Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей

Тогда доверительные интервалы для прогнозов индивидуальных значений Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей будут равны

Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей

В параграфе 1.10 было построено уравнение регрессии

Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей

Определим среднее значение выпуска валовой продукции на одного среднегодового работника сельского хозяйства при фондовооруженности, равной 20,541. Получим

Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей

Для построения доверительного интервала прогноза вычислим дисперсию:

Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей

Таким образом, доверительный интервал прогнозируемого выпуска валовой продукции для фондовооруженности, равной 20,541, будет иметь вид (13683-2,05-1778,633; 13683+2,05 • 1778,633), или (10 036,802; 17 329,198).

Пусть прогнозируемое значение Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей определяется по уравнению регрессии с оцененными параметрами

Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей

Так как Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей — несмещенные оценки некоторых неизвестных параметров соответствующей взаимосвязи, то Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей — одно из возможных значений прогнозируемой величины при заданных значениях Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей. Поскольку Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей -случайная величина, то и оценка Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей также случайная и имеет дисперсию. Определим ее значение:

Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей

Использовав теорему о дисперсии суммы зависимых величин (см. [2, § 4-3]),

Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей
Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей

или в матричной записи:

Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей

где

Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей

вектор заданных значений независимых переменных. Так как

Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей

то

Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей

Поскольку значение Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей нам неизвестно, то, подставив ее оценку Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей получим

Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей

Таким образом, «истинное» среднее значение Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей лежит в пределах

Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей

Доверительный интервал для Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей при Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей более точно можно трактовать следующим образом: в 95 % случаев оценивания параметров регрессии одного уравнения (по выборкам с тем же числом данных) доверительные интервалы будут содержать истинные средние значения Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей, для заданных Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей. Под прогностическим значением Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей можно понимать его математическое ожидание, т.е. Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей. Однако более естественно в прогностическое значение Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей включить отклонение, т.е. рассматривать Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей. В этом случае к дисперсии Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей необходимо добавить и дисперсию Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей т.е. Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей.

Таким образом, получим

Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей

Соответственно доверительные интервалы для индивидуальной прогностической оценки Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей равны

Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей

Пример 3.1.

Валовая продукция на одного среднегодового работника сельского хозяйства Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей(ден. ед.) по 15 колхозам зависит от двух переменных Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей и Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей, где Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей — энерговооруженность (л.е.); Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей — фондовооруженность одного работника, занятого в сельскохозяйственном производстве (тыс. ден. ед./чел.). Взаимосвязь характеризуется данными, указанными в табл. 3.1.

Предположим, что между рассматриваемыми величинами теоретически существует линейная зависимость:

Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей

Для оценки параметров Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей воспользуемся методом наименьших квадратов, применив который, будем иметь соответствующую систему нормальных уравнений (2.5), решив которую, получим

Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей

Таким образом,

Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей
Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей

Естественно, что оценки параметров найденного уравнения регрессии будут отклоняться от истинных значений. Дисперсия уравнения регрессии зависит от дисперсии оценки каждого параметра уравнения. Для того чтобы измерить дисперсии оценок параметров, необходимо найти дисперсию ошибок:

Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей

а также матрицу Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей:

Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей

Обратную матрицу найдем как произведение обратного значения определителя на матрицу алгебраических дополнений:

Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей

Теперь определим значения дисперсий оценок Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей:

Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей

(здесь Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей) — диагональный элемент матрицы Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей);

Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей

Средние квадратичные ошибки коэффициентов частной регрессии в этом случае будут равны:

Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей

Оценим значимость коэффициентов частной регрессии. Для проверки гипотезы Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей, воспользуемся статистикой

Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей

Подставив соответствующие значения, получим значения статистики для Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей:

Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей

По таблице Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей-распределения, для уровня значимости Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей и числа степеней свободы

Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей

при двусторонней критической области находим критическое значение

Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей

Поскольку

Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей

для всех значений Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей, то коэффициенты регрессии статистически надежны. Далее определим Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей:

Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей

Найдем теперь 95 %-й доверительный интервал. Для уровня значимости Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей и числа степеней свободы

Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей

квантиль Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей. Тогда доверительный интервал имеет вид

Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей

или

Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей

Проверим адекватность регрессионной модели. Для этого вычислим:

• средний квадрат ошибок регрессионной модели:

Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей

коэффициент аппроксимации:

Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей

Данная модель имеет хорошую точность, т.к. Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей. Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей-критерий Фишера:

Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей

Матрица Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей состоит из остатков уравнения регрессии Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей. А произведение Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей. Таким образом, знаменатель равен

Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей

Матрица Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей состоит из значений Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей, вычисленных по уравнению регрессии:

Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей

По таблице Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей-распределения при заданном уровне значимости Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей и числе

Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей

степенях свободы находим

Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей

Так как Прогнозирование взаимосвязей экономических явлений на основе факторных регрессионных моделей, то адекватность в целом подтверждается.

Таким образом, все критерии подтверждают адекватность построенной регрессионной модели эмпирическим данным.

Эта лекция взята со страницы предмета «Эконометрика»

Предмет эконометрика: полный курс лекций

Эти страницы возможно вам будут полезны:

Оценка адекватности многофакторной регрессионной модели
Построение многофакторной регрессионной модели
Гетероскедастичность. Критерии Парка и Голдфелда — Квандта для обнаружения гетероскедастичности
Методы смягчения проблемы гетероскедастичности