Для связи в whatsapp +905441085890

Производная по направлению и градиент

Производная по направлению и градиент

Пусть функция Производная по направлению и градиент определена в области Производная по направлению и градиент. содержащей точку Производная по направлению и градиент. Зададим некоторое направление Производная по направлению и градиент косинусами углов Производная по направлению и градиент и Производная по направлению и градиент, образованных лучом Производная по направлению и градиент с осями Производная по направлению и градиент и Производная по направлению и градиент. При перемещении в направлении Производная по направлению и градиент точки Производная по направлению и градиент в точку

Производная по направлению и градиент

функция получит приращение

Производная по направлению и градиент
Производная по направлению и градиент

Обозначим через Производная по направлению и градиентПроизводная по направлению и градиент — величину перемещения точки Производная по направлению и градиент (см. рис. 5.3). Тогда, под производной Производная по направлению и градиент функции Производная по направлению и градиент в заданном направлении Производная по направлению и градиент понимается предел отношения приращения функции в этом направлении к величине перемещения, когда последнее стремится к нулю:

Производная по направлению и градиент

Величина производной Производная по направлению и градиент ответствует скорости изменения функции Производная по направлению и градиент в направлении Производная по направлению и градиент. Формула для вычисления производной функции Производная по направлению и градиент в заданном направлении Производная по направлению и градиент имеет вид

Производная по направлению и градиент

Очевидно, что частные производные Производная по направлению и градиент и Производная по направлению и градиент представляют производные по направлениям, параллельным осям Производная по направлению и градиент и Производная по направлению и градиент соответственно.

Градиентом функции Производная по направлению и градиент называется вектор с координатами Производная по направлению и градиент. Рассмотрим скалярное произведение векторов Производная по направлению и градиент и единичного вектора Производная по направлению и градиент:

Производная по направлению и градиент

Сравнивая последнюю формулу с формулой производной по направлению, делаем вывод, что производная по направлению есть скалярное произведение вектора градиента Производная по направлению и градиент и единичного вектора, задающего направление Производная по направлению и градиент:

Производная по направлению и градиент

Известно, что скалярное произведение двух векторов максимально, если они сонаправлены. Следовательно, градиент функции в данной точке соответствует направлению максимальной скорости изменения функции в этой точке. Можно доказать, что градиент функции в данной точке перпендикулярен линии уровня, проходящей через эту точку.

Пример:

Задана функция Производная по направлению и градиент и координаты двух точек на плоскости:

Производная по направлению и градиент

Требуется определить направление максимальной скорости изменения функции в точке Производная по направлению и градиент и скорость изменения функции в направлении вектора Производная по направлению и градиент в этой точке. Построить единичные векторы градиента функции и направления Производная по направлению и градиент в точке Производная по направлению и градиент в системе координат Производная по направлению и градиент.

► 1. Используя таблицу основных производных и правила дифференцирования сложной функции, найдем частные производные первого порядка Производная по направлению и градиент и Производная по направлению и градиент для указанной функции:

Производная по направлению и градиент

Вычислим значения частных производных в точке Производная по направлению и градиент(—4; —1):

Производная по направлению и градиент
Производная по направлению и градиент

Направление максимальной скорости изменения функции двух переменных Производная по направлению и градиент задается вектором градиента Производная по направлению и градиент. Так как значения частных производных в точке Производная по направлению и градиент уже вычислены в предыдущем пункте, то можем записать искомый вектор:

Производная по направлению и градиент

Для вычисления единичного вектора Производная по направлению и градиент, сонаправленного с вектором Производная по направлению и градиент разделим координаты вектора градиента на его модуль в этой точке:

Производная по направлению и градиент
  • Скорость изменения функции Производная по направлению и градиент в направлении вектора Производная по направлению и градиент определяется ее производной в указанном направлении Производная по направлению и градиент:
Производная по направлению и градиент

где Производная по направлению и градиент и Производная по направлению и градиент — направляющие косинусы вектора Производная по направлению и градиент равные:

Производная по направлению и градиент

Таким образом

Производная по направлению и градиент

Единичный вектор Производная по направлению и градиент в направлении Производная по направлению и градиент имеет приближенное значение:

Производная по направлению и градиент

В результате, скорость изменения функции Производная по направлению и градиент в направлении Производная по направлению и градиент в точке Производная по направлению и градиент составит:

Производная по направлению и градиент

Вывод: Направление вектора Производная по направлению и градиент и направление максимальной скорости изменения функции Производная по направлению и градиент в точке Производная по направлению и градиент не совпадают:

Производная по направлению и градиент

Следовательно, скорость изменения функции Производная по направлению и градиент в точке Производная по направлению и градиент в направлении вектора Производная по направлению и градиент не является максимальной.

Этот материал взят со страницы заказа помощи по математике, там можно заказать помощь и ознакомиться с краткой теорией по предмету математика:

Помощь по математике

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Полное приращение и дифференциал в математике
Достаточное условие дифференцируемости в математике
Экстремум функции двух переменных в математике
Необходимое условие экстремума двух переменных в математике