Для связи в whatsapp +905441085890

Простейшие дифференциального уравнения второго порядка

Напомним, что дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение, наивысший порядок производной или дифференциалов в котором равен двум.

Простейшим дифференциальным уравнением второго порядка назовем уравнение вида: Простейшие дифференциального уравнения второго порядка.

Например, уравнения Простейшие дифференциального уравнения второго порядка — простейшие дифференциальные уравнения второго порядка. Подчеркнем, что в левой части простейшего дифференциального уравнения находится только Простейшие дифференциального уравнения второго порядка, а в правой — выражение, содержащее только переменную Простейшие дифференциального уравнения второго порядка.

Для решения простейших дифференциальных уравнений второго порядка необходимо двукратное интегрирование по переменной Простейшие дифференциального уравнения второго порядка.

Рассмотрим принцип решения простейших дифференциальных уравнений второго порядка на следующем примере:

Пример №41.1.

Найдите решение дифференциального уравнения Простейшие дифференциального уравнения второго порядка.

Решение:

Поскольку перед нами простейшее дифференциальное уравнение второго порядка, найдем сначала Простейшие дифференциального уравнения второго порядка по формуле: Простейшие дифференциального уравнения второго порядка.

Простейшие дифференциального уравнения второго порядка или Простейшие дифференциального уравнения второго порядка, где Простейшие дифференциального уравнения второго порядка — константа.

Для нахождения искомой функции Простейшие дифференциального уравнения второго порядка найдем интеграл от Простейшие дифференциального уравнения второго порядка по переменной Простейшие дифференциального уравнения второго порядка:

Простейшие дифференциального уравнения второго порядка, или Простейшие дифференциального уравнения второго порядка, где Простейшие дифференциального уравнения второго порядка и Простейшие дифференциального уравнения второго порядка — константы.

Полученная функция является общим решением дифференциального уравнения Простейшие дифференциального уравнения второго порядка.

Ответ: Простейшие дифференциального уравнения второго порядка.

Отметим, что общее решение дифференциального уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянные Простейшие дифференциального уравнения второго порядка и Простейшие дифференциального уравнения второго порядка.

Для простейшего дифференциального уравнения второго порядка можно рассмотреть задачу Коши (см. лекцию 38). Только в отличие от дифференциальных уравнений первого порядка, необходимо иметь два начальных условия: Простейшие дифференциального уравнения второго порядка и Простейшие дифференциального уравнения второго порядка. Для нахождения частного решения задачи Коши можно использовать следующий алгоритм:

  1. Найти Простейшие дифференциального уравнения второго порядка по формуле: Простейшие дифференциального уравнения второго порядка.
  2. Воспользовавшись первым начальным условием (Простейшие дифференциального уравнения второго порядка), найти значение константы Простейшие дифференциального уравнения второго порядка и подставить его в функцию Простейшие дифференциального уравнения второго порядка.
  3. Найти функцию Простейшие дифференциального уравнения второго порядка как интеграл от Простейшие дифференциального уравнения второго порядка по переменной Простейшие дифференциального уравнения второго порядка.
  4. Воспользовавшись вторым начальным условием (Простейшие дифференциального уравнения второго порядка), найти значение константы Простейшие дифференциального уравнения второго порядка и подставить его в функцию Простейшие дифференциального уравнения второго порядка. Полученная функция Простейшие дифференциального уравнения второго порядкаи будет решением исходного дифференциального уравнения.

Пример №41.2.

Найдите решение задачи Коши: Простейшие дифференциального уравнения второго порядка, если при Простейшие дифференциального уравнения второго порядка и Простейшие дифференциального уравнения второго порядка.

Решение:

1. Найдем Простейшие дифференциального уравнения второго порядка.

2. Воспользуемся первым начальным условием: Простейшие дифференциального уравнения второго порядка при Простейшие дифференциального уравнения второго порядка. Подставим эти числа в функцию Простейшие дифференциального уравнения второго порядка. Поскольку Простейшие дифференциального уравнения второго порядка, получим, что Простейшие дифференциального уравнения второго порядка.

Подставим найденное значение Простейшие дифференциального уравнения второго порядка в функцию Простейшие дифференциального уравнения второго порядка или Простейшие дифференциального уравнения второго порядка.

3. Найдем функцию Простейшие дифференциального уравнения второго порядка: Простейшие дифференциального уравнения второго порядка, или Простейшие дифференциального уравнения второго порядка.

4. Воспользуемся вторым начальным условием: Простейшие дифференциального уравнения второго порядка при Простейшие дифференциального уравнения второго порядка. Подставим эти числа в функцию Простейшие дифференциального уравнения второго порядка. Поскольку Простейшие дифференциального уравнения второго порядка, получим: Простейшие дифференциального уравнения второго порядка Простейшие дифференциального уравнения второго порядка, или Простейшие дифференциального уравнения второго порядка.

Найденное значение константы Простейшие дифференциального уравнения второго порядка подставим в функцию Простейшие дифференциального уравнения второго порядка: Простейшие дифференциального уравнения второго порядка. Полученная функция является частным решением исходного дифференциального уравнения Простейшие дифференциального уравнения второго порядка при заданных начальных условиях.

Ответ: Простейшие дифференциального уравнения второго порядка.

Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:

Предмет высшая математика

Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:

Понятие линейного дифференциального уравнения первого порядка.
Методика решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка.
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Понятие мнимой единицы.