Оглавление:
Простейшие тригонометрические уравнения. Уравнения, сводящиеся к алгебраическим относительно sin x, cos и tg x
Справочные сведения
1. Решение тригонометрических уравнений сводится в конечном итоге к решению простейших тригонометрических уравнений, т. е. уравнений вида
а) Если то все корни уравнения
определяются формулой
а все корни уравнения
— формулой
где ( принимает любые целые значения).
Если , то уравнения (1) и (3) не имеют корней.
б) Уравнение
при любом а имеет корни, определяемые формулой
в) Формулы нахождения корней некоторых часто встречающихся простейших тригонометрических уравнений:
Рассмотрим уравнение вида
Полагая , перепишем уравнение (7) в виде
Пусть тогда уравнение (8) не имеет действительных корней и поэтому уравнение (7) также не имеет корней. Пусть тогда уравнение (8) имеет корни
а уравнение (7) равносильно совокупности уравнений
Уравнение (7) имеет корни тогда и только тогда, когда и по крайней мере одно из чисел по абсолютной величине не превосходит единицы, причем:
а) если то уравнение (7) имеет две серии корней
б) если или то уравнение (7) имеет одну серию корней, определяемую первой или второй из формул (10) соответственно.
К квадратному уравнению можно свести уравнение
если заменить на Аналогично, уравнения вида
также приводятся к квадратным уравнениям. Рассмотрим уравнение вида
В каждом слагаемом левой части уравнения (11) сумма степеней синуса и косинуса одна и та же и равна . Такое уравнение называется однородным относительно и а число — показателем однородности.
Рассмотрим однородные уравнения с показателями 1 и 2, т. е. уравнения вида
предполагая, что в уравнении (12) хотя бы одно из чисел , не равно нулю, а в уравнении (13) хотя бы одно из чисел, , отлично от нуля.
Пусть в уравнении (12) ; тогда значения , при которых , не удовлетворяют уравнению (12), так как если , то Поэтому в случае , разделив обе части уравнения (12) на , получим равносильное уравнение
Аналогично, если, то разделив обе части уравнения (13) на , получим равносильное уравнение
Примеры с решениями
Пример №107.
Решить уравнение
Решение:
По формуле (4) находим где Отсюда следует, что
Пример №108.
Решить уравнение
Решение:
Согласно формуле (2) получаем
откуда Так как правая часть этого равенства должна быть неотрицательной, то может принимать только значения Отсюда находим
Пример №109.
Решить уравнение
Решение:
Применяя формулу (6), находим
откуда
Пример №110.
Решить уравнение
Решение:
При получим квадратное уравнение имеющее корни Так как то исходное уравнение равносильно уравнению откуда находим
Ответ.
Пример №111.
Решить уравнение
Решение:
Пусть тогда и уравнение примет вид
или
откуда находим Если то а если то
Ответ.
Пример №112.
Решить уравнение
Решение:
Полагая получаем уравнение имеющее корни Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений откуда находим две серии корней:
Пример №113.
Решить уравнение
Решение:
Данное уравнение равносильно каждому из уравнений откуда
Пример №114.
Решить уравнение
Решение:
Разделив обе части уравнения на , получим равносильное уравнение имеющее корни , Исходное уравнение, равносильное совокупности уравнений и имеет две серии корней:
Замечание. К уравнению вида (13) сводится уравнение
Для этого достаточно воспользоваться тождеством
Пример №115.
Решить уравнение
Решение:
Это уравнение равносильно каждому из следующих уравнений :
Значит, исходное уравнение не имеет корней.
Пример №116.
Решить уравнение
Решение:
Полагая преобразуем уравнение к виду
Разложив левую часть полученного уравнения на множители, приходим к уравнению Если , то , откуда Если то откуда
Ответ.
Пример №117.
Решить уравнение
Решение:
Полагая и используя формулу преобразуем уравнение к виду или откуда Следовательно, откуда
Ответ.
Пример №118.
Решить уравнение
Решение:
Полагая и используя формулу получаем уравнение имеющее корни Следовательно, откуда
Ответ.
Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:
Возможно вам будут полезны эти страницы: