Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением

Простейшие тригонометрические уравнения. Уравнения, сводящиеся к алгебраическим относительно sin x, cos и tg x

Справочные сведения

1. Решение тригонометрических уравнений сводится в конечном итоге к решению простейших тригонометрических уравнений, т. е. уравнений вида

Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением

а) Если Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением то все корни уравнения

Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением

определяются формулой

Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением

а все корни уравнения

Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением

— формулой

Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением

где Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением (Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением принимает любые целые значения).

Если Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением, то уравнения (1) и (3) не имеют корней.

б) Уравнение

Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением

при любом а имеет корни, определяемые формулой

Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением

в) Формулы нахождения корней некоторых часто встречающихся простейших тригонометрических уравнений:

Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением

Рассмотрим уравнение вида

Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением

Полагая Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением, перепишем уравнение (7) в виде

Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением

Пусть Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением тогда уравнение (8) не имеет действительных корней и поэтому уравнение (7) также не имеет корней. Пусть Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением тогда уравнение (8) имеет корни

Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением

а уравнение (7) равносильно совокупности уравнений

Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением

Уравнение (7) имеет корни тогда и только тогда, когда Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением и по крайней мере одно из чисел Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением по абсолютной величине не превосходит единицы, причем:

а) если Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением то уравнение (7) имеет две серии корней

Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением

б) если Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением или Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением то уравнение (7) имеет одну серию корней, определяемую первой или второй из формул (10) соответственно.

К квадратному уравнению можно свести уравнение

Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением

если заменить Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением на Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением Аналогично, уравнения вида

Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением

также приводятся к квадратным уравнениям. Рассмотрим уравнение вида

Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением

Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решениемПростейшие тригонометрические уравнения примеры с решением

В каждом слагаемом левой части уравнения (11) сумма степеней синуса и косинуса одна и та же и равна Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением. Такое уравнение называется однородным относительно Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением и Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением а число Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решениемпоказателем однородности.

Рассмотрим однородные уравнения с показателями 1 и 2, т. е. уравнения вида

Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением

предполагая, что в уравнении (12) хотя бы одно из чисел Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением , Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением не равно нулю, а в уравнении (13) хотя бы одно из чиселПростейшие тригонометрические уравнения примеры с решением, Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением, Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением отлично от нуля.

Пусть в уравнении (12) Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением; тогда значения Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением, при которых Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением, не удовлетворяют уравнению (12), так как если Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением, то Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением Поэтому в случае Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением, разделив обе части уравнения (12) на Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением, получим равносильное уравнение

Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением

Аналогично, еслиПростейшие тригонометрические уравнения примеры с решением, то разделив обе части уравнения (13) на Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением, получим равносильное уравнение

Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением

Примеры с решениями

Пример №107.

Решить уравнение Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением

Решение:

По формуле (4) находим Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением где Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением Отсюда следует, что

Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением

Пример №108.

Решить уравнение Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением

Решение:

Согласно формуле (2) получаем

Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением

откуда Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением Так как правая часть этого равенства должна быть неотрицательной, то Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением может принимать только значения Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решениемОтсюда находим

Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением

Пример №109.

Решить уравнение Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением

Решение:

Применяя формулу (6), находим

Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением

откуда Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением

Пример №110.

Решить уравнение Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением

Решение:

При Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением получим квадратное уравнение Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением имеющее корни Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением Так как Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением то исходное уравнение равносильно уравнению Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решениемоткуда находим Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением

Ответ. Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением

Пример №111.

Решить уравнение Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением

Решение:

Пусть Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением тогда Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением и уравнение примет вид

Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением

или

Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением

откуда находим Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решениемЕсли Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением то Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решениемПростейшие тригонометрические уравнения примеры с решением а если Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением то Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением

Ответ. Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением

Пример №112.

Решить уравнение Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением

Решение:

Полагая Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением получаем уравнение Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решениемимеющее корни Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решениемПростейшие тригонометрические уравнения примеры с решением Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решениемПростейшие тригонометрические уравнения примеры с решением откуда находим две серии корней:

Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением

Пример №113.

Решить уравнение Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением

Решение:

Данное уравнение равносильно каждому из уравнений Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением откуда Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением

Пример №114.

Решить уравнение Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением

Решение:

Разделив обе части уравнения на Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением, получим равносильное уравнение Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением имеющее корни Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением, Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением Исходное уравнение, равносильное совокупности уравнений Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решениеми Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением имеет две серии корней: Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решениемПростейшие тригонометрические уравнения примеры с решением

Замечание. К уравнению вида (13) сводится уравнение

Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением

Для этого достаточно воспользоваться тождеством

Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением

Пример №115.

Решить уравнение Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением

Решение:

Это уравнение равносильно каждому из следующих уравнений :

Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением

Значит, исходное уравнение не имеет корней.

Пример №116.

Решить уравнение Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением

Решение:

Полагая Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решениемпреобразуем уравнение к виду

Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением

Разложив левую часть полученного уравнения на множители, приходим к уравнению Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением Если Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением, то Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением, откуда Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением Если Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением то Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решениемПростейшие тригонометрические уравнения примеры с решением откуда Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением

Ответ. Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением

Пример №117.

Решить уравнение Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением

Решение:

Полагая Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением и используя формулу Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением преобразуем уравнение к виду Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением или Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением откуда Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением Следовательно, Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением откуда Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением

Ответ. Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением

Пример №118.

Решить уравнениеПростейшие тригонометрические уравнения примеры с решением

Решение:

Полагая Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решениеми используя формулу Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением получаем уравнение Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решениемимеющее корни Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением Следовательно, Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением откуда Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением

Ответ. Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением

Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:

Решение задач по математике

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Показательные уравнения примеры с решением
Логарифмические уравнения примеры с решением
Решение уравнений с помощью введения вспомогательного угла, методом замены неизвестного и разложения на множители, с помощью формул понижения степени примеры с решением
Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей с примерами решения