Оглавление:
Прямая линия в пространстве. Основные задачи
Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых
Пусть прямые и заданы уравнениями
и
Под углом между этими прямыми понимают угол между направляющими векторами и (см. рис. 78). Поэтому, но известной формуле для косинуса угла между векторами, получаем или
Для нахождения острого угла между прямыми и числитель правой части формулы (12.16) следует взять по модулю.
Если прямые и перпендикулярны, то в этом и только в этом случае имеем . Следовательно, числитель дроби (12.16) равен нулю, т. е. .
Если прямые и параллельны, то параллельны их направляющие векторы и . Следовательно, координаты этих векторов пропорциональны, т. е. .
Пример №12.2.
Найти угол между прямыми
Решение:
Очевидно, , а , где , . Отсюда следует, что . Так как , то .
Условие, при котором две прямые лежат в одной плоскости
Пусть прямые и заданы каноническими уравнениями
и
Их направляющие векторы соответственно и (см. рис. 79).
Прямая проходит через точку , радиус-вектор которой обозначим через ; прямая проходит через точку , радиус-вектор которой обозначим через . Тогда
Прямые и лежат в одной плоскости, если векторы , и компланарны. Условием компланарности векторов является равенство нулю их смешанного произведения: , т. е.
При выполнении этого условия прямые и лежат в одной плоскости, то есть либо пересекаются, если либо параллельны, если .
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
Плоскость. Основные задачи |
Уравнения прямой в пространстве |
Прямая и плоскость в пространстве |
Цилиндрические поверхности |