Пусть ось направлена вертикально вверх. Будем предполагать

Задача №44.

Пусть ось направлена вертикально вверх. Будем предполагать, что на материальную точку действует только сила тяжести. Проекция силы тяжести на ось будет постоянна по величине и имеет отрицательное значение —. Поэтому движение материальной точки вдоль оси будет определяться дифференциальным уравнением

Решение:

Мы будем предполагать, что в начальный момент материальная точка находится на оси и ее начальная скорость направлена вдоль оси . Как известно, при сделанных предположениях точка будет совершать прямолинейное движение, оставаясь все время на оси . Интегрируя дважды дифференциальное уравнение движения, получим закон движения материальной точки при произвольных начальных

который и определяет положение материальной точки в любой момент времени в зависимости от начальных условий. В частности, можно определить момент времени , в который точка занимает положение . Этот момент определяется равенством

Так как время всегда больше нуля, при имеем только одно значение времени , при котором точка достигает положения . Оно определяется формулой

Если же , то будем иметь два значения времени , т. е. и , в которые точка пересекает начало координат, сначала двигаясь вверх, а затем двигаясь вниз.

Если сила, действующая на материальную точку, зависит только от положения этой точки и по условиям задачи требуется определить изменения скорости в зависимости от положения материальной точки, можно будет воспользоваться теоремой живых сил.

Пусть, например, материальная точка притягивается неподвижным центром силой, пропорциональной расстоянию от этой точки до неподвижного центра . Будем предполагать, что в начальный момент точка находится на расстоянии от неподвижного центра, а ее скорость равна и направлена от центра .

Выберем за ось прямую, проходящую через точку . Тогда уравнение движения точки получит вид

где — коэффициент пропорциональности. Действующая на материальную точку сила обладает силовой функцией , а в этом случае, как известно, существует интеграл живых сил

Постоянная определяется из начальных условий

Интеграл живых сил определяет зависимость скорости точки от ее положении, а на координату накладывает условие

откуда получаем

В некоторых задачах силы, действующие на материальную точку, оказываются зависящими от направления движения материальной точки. К таким силам относится, например, сила сопротивления движению точки — сопротивление среды. В общем случае она может быть представлена в виде

Пусть, например, тяжелая материальная точка движется в вертикальном направлении в сопротивляющейся среде и требуется определить скорость этой точки в зависимости от ее положения. Будем предполагать, что начальная скорость точки равна и направлена вертикально вверх. Положительную ось направим вертикально вверх, приняв за начало координат начальное положение точки. Уравнение движения для восходящего движения точки получит вид

Полагая будем иметь

Разделяя переменные и интегрируя, получим

Уравнение определяет движение точки вверх до тех пор, пока ее скорость не обратится в нуль. После этого точка начнет двигаться вниз. Для нисходящего движения уравнение запишется иначе:

Отсюда получим

и после разделения переменных будем иметь

В частном случае, когда сила сопротивления пропорциональна скорости, будем иметь

где — постоянный коэффициент пропорциональности. Тогда интеграл, стоящий в левой части, запишется так

Максимальная высота достигается в тот момент, когда скорость обращается в нуль. Поэтому

Для определения скорости, с которой точка возвращается в исходное положение, будем иметь уравнение

или, после вычисления интеграла левой части,

Здесь и точка достигает начального уровня при . Так что

что можно переписать в виде

или

Полученная формула связывает скорость, с которой точка возвращается в первоначальное положение, с той скоростью, с которой точка была брошена вертикально вверх.

Рассмотрим теперь приложение исследованного нами метода к изучению малых движений точки около положения равновесия.

Этот пункт является одним из важных в механике, как наиболее часто встречающийся в технических приложениях.

Общая теория малых колебаний материальной точки приводится во всех курсах теоретической механики. Задача обычно сводится к отысканию решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Наибольшие затруднения, по-видимому, представляют вопросы, связанные с. определением сил, создающих колебательное движение, а также составление дифференциальных уравнений, определяющих малые колебания. В простейших задачах линейные дифференциальные уравнения в точности описывают механический процесс. В общем же случае эти уравнения являются лишь приближенными и остаются справедливыми только для достаточно малых колебаний. Методы линеаризации уравнений движения остаются и в настоящее время наиболее простым и эффективным средством решения большей части технических задач.

В качестве простейшей задачи можно рассмотреть задачу о колебаниях материальной точки, подвешенной на пружине и подверженной действию силы тяжести.

Выберем . начало координат в точке подвеса пружины и ось направим по вертикали вниз. На точку действует сила тяжести , проекция которой на ось положительна и равна , а также сила сопротивления пружины, пропорциональная удлинению пружины. Пусть коэффициент жесткости пружины равен , а длина нерастянутой пружины — . Тогда уравнение движения точки получит вид

Если ввести новую зависимую переменную , определяемую равенством

то уравнение это можно будет записать в более простом виде

где — положительная величина. Полученное линейное дифференциальное уравнение имеет общее решение

коэффициенты и которого определяются из начальных условий. Если предположить, что в начальный момент пружина не растянута, а точка находится в покое, т. е.

то для определения произвольных постоянных будем иметь условия

И частное решение, отвечающее этим начальным условиям, запишется в виде:

Оно будет представлять колебательное движение около положения равновесия, в котором

Задача взята со страницы подробного решения задач по всем темам теоретической механики:

Решение задач по теоретической механике

Возможно эти дополнительные задачи вам будут полезны:

Задача №43. Однородный стержень весом опирается верхним своим концом на негладкую вертикальную стенку (коэффициент трения равен ), а нижним — на гладкий горизонтальный стол и удерживается в равновесии в вертикальной плоскости при помощи привязанной к его нижнему концу и протянутой по столу веревки, которая затем перекинута через блок и несет на своем свободном конце груз весом . Найти, при каких значениях угла наклона стержня а возможно равновесие системы, а также определить реакции в точках и (рис. 46).
Задача №43. На негладкой горизонтальной плоскости лежит полушар весом и с радиусом . В точке на него действует горизонтальная сила . Зная значение коэффициента трения между полушаром и опорной плоскостью, определить условия равновесия полушара, если расстояние (рис. 47).
Задача №45. Материальная точка массы притягивается неподвижным центром с силой , где — постоянный коэффициент пропорциональности, — расстояние точки от . В начальный момент расстояние , а скорость образует с направлением угол . Найти уравнения движения точки и ее траекторию, принимая прямую за ось .
Задача №46. Материальная точка совершает плоское движение под действием некоторой силы , причем траектория точки оказывается эллипсом а ее ускорение все время остается параллельным оси . В начальный момент точка находится на оси , а ее скорость равна . Определить силу» действующую на точку, в функции координат точки.