Для связи в whatsapp +905441085890

Расчеты на прочность и жесткость

Расчеты на прочность и жесткость

Рассмотрим элемент, выделенный сечениями I и II из цилиндра, один конец которого закреплен неподвижно, а другой нагружен парой сил с моментом Расчеты на прочность и жесткость (рис. 2.43, а), В результате действия внешнего момента Расчеты на прочность и жесткость возникает деформация кручения, и образующая цилиндра Расчеты на прочность и жесткость займет положение Расчеты на прочность и жесткость (рис. 2.43, а).

Если сечение I, находящееся на расстоянии от нижнего конца цилиндра, повернулось на угол Расчеты на прочность и жесткость, то сечение II, находящееся на расстоянии Расчеты на прочность и жесткость от нижнего сечения, повернется на угол Расчеты на прочность и жесткость (рис. 6.6, б). Проведем из точки Расчеты на прочность и жесткость прямую Расчеты на прочность и жесткость параллельно Расчеты на прочность и жесткость. Тогда Расчеты на прочность и жесткость. Элемент Расчеты на прочность и жесткость до поворота сечения II относительно сечения I имел вертикальные боковые стороны. Следовательно, абсолютный сдвиг элемента

Расчеты на прочность и жесткость

Относительный сдвиг

Расчеты на прочность и жесткость

Обозначим Расчеты на прочность и жесткость тогда Расчеты на прочность и жесткость, где Расчеты на прочность и жесткость — угол закручивания, отнесенный к единице длины цилиндра, называемый относительным углом, закручивания.

Для цилиндров постоянного сечения, подверженных действию постоянного крутящего момента, Расчеты на прочность и жесткость. Так как в соответствии с принятыми допущениями радиусы при кручении остаются прямыми, то можно сказать, что для всякого элемента, лежащего внутри цилиндра на радиусе Расчеты на прочность и жесткость, относительный сдвиг

Расчеты на прочность и жесткость

По закону Гука напряжение в сечении цилиндра

Расчеты на прочность и жесткость

Из соотношения (2.80) следует, что напряжение внутри цилиндра изменяется по закону прямой линии пропорционально расстоянию от оси вращения. Минимальное напряжение, равное нулю, имеет место в центре поперечного сечения, а максимальное — на поверхности цилиндра (рис 2.43, в).

Расчеты на прочность и жесткость

Элементарная касательная сила, перпендикулярная радиусу сечения, проведенному в центр тяжести элементарной площадки Расчеты на прочность и жесткость, действующая на эту площадку с учетом соотношения (2.80),

Расчеты на прочность и жесткость

Элементарный момент, создаваемый силой Расчеты на прочность и жесткость относительно центра сечения,

Расчеты на прочность и жесткость

Сумма таких элементарных моментов, взятая, по всей площади поперечного сечения цилиндра, равна крутящему моменту Расчеты на прочность и жесткость который действует в рассматриваемом сечении цилиндра и в данном конкретном случае равен внешнему моменту Расчеты на прочность и жесткость:

Расчеты на прочность и жесткость

Так как

Расчеты на прочность и жесткость

то

Расчеты на прочность и жесткость

Но Расчеты на прочность и жесткость — полярный момент инерции сечения. Поэтому

Расчеты на прочность и жесткость

Из соотношения (2.79) получаем величину угла закручивания, отнесенного к единице длины цилиндра:

Расчеты на прочность и жесткость

Полный угол закручивания в радианах

Расчеты на прочность и жесткость

или, в градусах,

Расчеты на прочность и жесткость

Произведение модуля упругости второго рода на полярный момент инерции Расчеты на прочность и жесткость, называют жесткостью при кручении. Эта величина, характеризует способность тела из данного материала с поперечным сечением данных размеров и формы сопротивляться деформации кручения. Таким образом, полный угол закручивания цилиндра прямо пропорционален крутящему моменту и длине цилиндра и обратно пропорционален жесткости при кручении.

Найдем зависимость напряжения от крутящего момента. В соотношение (2.80) вместо Расчеты на прочность и жесткость подставим его значение из соотношения (2.82):

Расчеты на прочность и жесткость

Отсюда (см. рис. 2.43, в) наибольшее напряжение при кручении

Расчеты на прочность и жесткость

где Расчеты на прочность и жесткость — отношение полярного момента инерции к расстоянию от оси вращения до наиболее удаленной точки сечения; это отношение называют полярным моментом сопротивления.

Условие прочности при кручении будет выполнено в том случае, если максимальное значение напряжения, возникающего при кручении, не превышает величины допускаемого напряжения, т. е. уравнение прочности при кручении имеет вид:

Расчеты на прочность и жесткость

Допускаемое напряжение при кручении для стали обычно принимают

Расчеты на прочность и жесткость

где Расчеты на прочность и жесткость— допускаемое напряжение при растяжении.

Приведем соотношения для определения полярного момента сопротивления:

для круга диаметром Расчеты на прочность и жесткость, с учетом выражения (2.81),

Расчеты на прочность и жесткость

для кольца, с учетом соотношения (2.82),

Расчеты на прочность и жесткость

где Расчеты на прочность и жесткость — наружный диаметр кольца; Расчеты на прочность и жесткость — внутренний диаметр кольца.

При Расчеты на прочность и жесткость полярный момент сопротивления кольца

Расчеты на прочность и жесткость

Определить диаметр цилиндра Расчеты на прочность и жесткость, подвергнутого деформации кручения, можно исходя из двух предпосылок. В тех случаях, когда определяющей является прочность цилиндра, расчет ведут по соотношению (2.87). Для сплошного цилиндра

Расчеты на прочность и жесткость

Когда определяющей является предельная деформация (угол закручивания), расчет ведут на жесткость. Из уравнения (2.84) имеем

Расчеты на прочность и жесткость

где Расчеты на прочность и жесткость — допустимый угол закручивания на единицу длины, который в зависимости от назначения вала принимается в пределах 0,25-1,0 град/м; .Расчеты на прочность и жесткость — полярный момент инерции сплошного цилиндра.

Тогда диаметр вала сплошного сечения, на основании условия жесткости,

Расчеты на прочность и жесткость

Пользуясь уравнениями (2.87) и (2.88), можно решить и другую задачу: определить безопасную величину крутящего момента, при котором обеспечивается необходимая прочность или жесткость.

Эта теория взята со страницы лекций по предмету «прикладная механика»:

Предмет прикладная механика

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Чистый сдвиг и его особенности
Кручение стержня круглого поперечного сечения
Напряженное состояние и разрушение при кручении
Расчеты на прочность и жесткость