Оглавление:
Раскрытие модуля, используя его геометрический смысл
Пусть 
— действительные числа. Тогда выражение 
имеет геометрический смысл расстояния на числовой прямой от точки с координатой 
до точки с координатой 
. Геометрическую интерпретацию модуля как расстояния бывает достаточно удобно использовать при решении некоторых уравнений и неравенств с модулями.
Например, решить уравнение 
геометрически означает найти на числовой прямой все точки 
, расположенные от точки 3 на расстоянии 1. Представим себе числовую прямую, отметим на ней точку, отвечающую числу 3, и отложим в обе стороны от неё единичные отрезки. Получим две точки, координаты которых 
и 
будут искомыми решениями уравнения.
Другой пример. Пусть требуется решить неравенство 
Это означает, что надо найти на числовой прямой все точки, отстоящие от точки 3 на расстояние, меньшее 1. Опять представим себе числовую прямую, отметим на ней точку 3, отложим от неё в обе стороны отрезки единичной длины и получим две точки 2 и 4 (их следует выколоть). Тогда искомые точки образуют интервал с центром в точке 3 длины 2, т.е. 
. Таким же образом можно решить неравенства 
и многие другие.
Рассмотрим теперь более сложный пример.
Пример №273.
Решить неравенство
Решение:
Так как 
, то перенесём все слагаемые в левую часть и разложим её на множители
Решим последнее неравенство, привлекая геометрический смысл модуля. Представим числовую прямую и на ней точки — 1 и 2 .
Решить неравенство 
означает найти на числовой прямой такие точки , что модуль разности расстояний от до точек — 1 и 2 не меньше 3 . Заметим, что расстояние между этими точками в точности равно 3 . Если точка 
то сумма расстояний от неё до — 1 и 2 равна 3 , а соответствующая разность расстояний будет меньше 3, т.е. неравенство не выполняется. Если же 
то модуль разности расстояний от до — 1 и 2 будет равен 3, т.е. неравенство верно. Таким образом, получаем ответ: 
Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:
Эти страницы возможно вам будут полезны:
