Распределение скоростей точек плоской фигуры

Распределение скоростей точек плоской фигуры

Принимая мгновенный центр Распределение скоростей точек плоской фигуры скоростей фигуры за полюс и имея в виду, что скорость этой точки в рассматриваемый момент равна нулю, легко найти скорости всех остальных точек фигуры в этот же момент времени:

Распределение скоростей точек плоской фигуры

Следовательно, скорость любой точки плоской фигуры равна скорости этой точки вокруг мгновенного центра скоростей фигуры.

Исходя из этого, легко найти модуль и направление скорости каждой точки фигуры (если положение мгновенного центра и угловая скорость фигуры, не зависящая от выбора полюса, для данного момента времени известны):

Распределение скоростей точек плоской фигуры

Деля почленно обе части последних равенств, находим

Распределение скоростей точек плоской фигуры

Модули скоростей раз личных точек фигуры в каждый момент пропорциональны расстояниям этих точек от соответствующего данному моменту мгновенного центра скоростей фигуры. Направлены же скорости различных точек фигуры, перпендикулярно к отрезкам, соединяющим соответствующие точки с мгновенным центром скоростей, в сторону вращения фигуры (рис. 151).

Таким образом, скорости различных точек плоской фигуры в любой момент времени распределяются так, как если бы фигура вращалась в этот момент времени вокруг мгновенного центра скоростей, занимающего в разные моменты различные положения как относительно движущейся фигуры, так и относительно неподвижной плоскости, в которой движется фигура.

При плоском движении тела скорости его точек в каждый данный момент времени распределяются так, как будто бы тело вращается в этот момент вокруг некоторой, так называемой мгновенной оси вращения, проходящей через соответствующий данному моменту мгновенный центр скоростей фигуры и перпендикулярной к ее плоскости. Это следует из того, что при плоском движении тела все его точки, лежащие на одном пер-пендик>ляре к неподвижной плоскости, движутся одинаково. Поэтому все точки тела, лежащие на мгновенной оси вращения, т.е. на прямой, проходящей через мгновенный аенгр скоростей фигуры и перпендикулярной к ее плоскости, будут в данный момент иметь скорость, равную нулю, а все точки тела, лежащие на перпендикуляре к плоскости фигуры, восставленном в какой-либо другой ее точке, будут иметь такие же скорости, как соответствующая точка фигуры.

Каждому моменту времени соответствует свое положение мгновенного центра скоростей и свое положение мгновенной осп. На это обстоятельство и указывают сами их названия: «мгновенный» центр и «мгновенная» ось.

Заметим, что нельзя полностью отождествлять вращение тела вокруг мгновенной оси в данный момент с вращением тела вокруг неподвижной оси. В последнем случае скорости всех точек тела, лежащих на оси, равны нулю все время движения тела и потому их ускорения равны нулю. Точки же тела, совпадающие в данный момент времени с мгновенной осью вращения, имеют скорости, равные нулю только в этот момент, и движутся с ускорением.

Можно доказать, что при непоступательном движении плоской фигуры в се плоскости всегда есть такая, неизменно связанная с фигурой, точка, ускорение которой в данный момент времени равно нулю. Ускорения различных точек плоской фигуры в каждый момент распределяются так, как если бы фигура вращалась в этот момент вокруг этой точки, называемой мгновенным центром ускорений.

Но положения мгновенного центра скоростей и мгновенного центра ускорений не совпадают. Так, например, при равномерном качении колеса по неподвижному прямолинейному рельсу мгновенный центр ускорений колеса лежит в центре колеса — точке Распределение скоростей точек плоской фигуры (рис. 154). Эта точка

Распределение скоростей точек плоской фигуры

движется прямолинейно и равномерно со скоростью Распределение скоростей точек плоской фигуры и ее ускорение равно нулю. Мгновенный же центр скоростей колеса лежит, как известно, в точке Распределение скоростей точек плоской фигуры касания колеса с рельсом. Его скорость в данный момент равна нулю, ускорение же Распределение скоростей точек плоской фигуры этой точки Распределение скоростей точек плоской фигуры равно ее нормальному ускорению Распределение скоростей точек плоской фигуры во вращательном движении вокруг точки Распределение скоростей точек плоской фигуры.

Положение центра ускорений совпадает с положенном центра скоростей лишь при вращении тела вокруг неподвижной оси.

Пример задачи:

Цилиндр, лежащий на горизонтальной плоскости, обмотан веревкой, один конец которой прикреплен к цилиндру, а другой свободен. Найти угловую скорость Распределение скоростей точек плоской фигуры цилиндра, скорость Распределение скоростей точек плоской фигуры его центр Распределение скоростей точек плоской фигуры и скорость концов Распределение скоростей точек плоской фигуры и Распределение скоростей точек плоской фигуры вертикального и горизонтального диаметров перпендикулярного сечения цилиндра. Свободный конец веревки тянут параллельно плоскости и перпендикулярно к оси цилиндра с постоянной скоростью Распределение скоростей точек плоской фигуры (рис. 155). Цилиндр катится без скольжения. Радиус цилиндра равен Распределение скоростей точек плоской фигуры.

Решение:

Проведем через веревку плоскость, перпендикулярную к оси цилиндра. В сечении получится круг, катящийся по горизонтальной прямой. Так как этот круг катится без скольжения, го скорость точки Распределение скоростей точек плоской фигуры и в которой он касается прямой, равна нулю, следовательно, эта точка является мгновенным центром скоростей круга. Скорость точки Распределение скоростей точек плоской фигуры круга, в которой его касается свободный конец веревки, равна скорости Распределение скоростей точек плоской фигуры, с которой тянут веревку. Зная положение мгновенного центра скоростей круга и скорость его одной точки Распределение скоростей точек плоской фигуры, находим угловую скорость цилиндра и скорости точек Распределение скоростей точек плоской фигуры и Распределение скоростей точек плоской фигуры:

Распределение скоростей точек плоской фигуры

Направления векторов Распределение скоростей точек плоской фигуры и Распределение скоростей точек плоской фигуры показаны на рис. 158.

Пример задачи:

Определить скорость ползуна Распределение скоростей точек плоской фигуры и средней точки Распределение скоростей точек плоской фигуры шатуна Распределение скоростей точек плоской фигуры кривошипно-шатунного механизма (рис. 156. о) в момент, когда кривошип Распределение скоростей точек плоской фигуры составляет с линией Распределение скоростей точек плоской фигуры движения ползуна угол Распределение скоростей точек плоской фигуры. Вычислить, в частности, скорости этих точек для двух положений механизма, когда Распределение скоростей точек плоской фигурыи Распределение скоростей точек плоской фигуры, полагая Распределение скоростей точек плоской фигурыРаспределение скоростей точек плоской фигуры. Угловая скорость кривошипа постоянна и равна Распределение скоростей точек плоской фигуры. Направление его вращения показано на рисунки.

Решение:

Направления скоростей двух точек Распределение скоростей точек плоской фигуры и Распределение скоростей точек плоской фигуры шатуна нам всегда известны. Точка Распределение скоростей точек плоской фигуры есть точка шатуна Распределение скоростей точек плоской фигуры, общая с кривошипом Распределение скоростей точек плоской фигуры. Но кривошип совершает вращательное движение, и потому его точка Распределение скоростей точек плоской фигуры движется по окружности радиуса Распределение скоростей точек плоской фигуры и, следовательно, скорость Распределение скоростей точек плоской фигуры этой точки перпендикулярна к радиусу Распределение скоростей точек плоской фигуры.

Точка Распределение скоростей точек плоской фигуры есть точка шатуна, общая с ползуном Распределение скоростей точек плоской фигуры. Но ползун может двигаться только поступательно вдоль своих направляющих и, следовательно, скорость точки Распределение скоростей точек плоской фигуры направлена по линии движения Распределение скоростей точек плоской фигуры ползуна. Зная же для данного момента направления скоростей двух точек шатуна, легко найти и положение его мгновенного центра скоростей. Эта точка Распределение скоростей точек плоской фигуры лежит на пересечении перпендикуляров, воспаленных в двух точках Распределение скоростей точек плоской фигуры и Распределение скоростей точек плоской фигуры шатуна к направлением скоростей vrnx точек (рис. 156, а). Угловая скорость шатуна равна

Распределение скоростей точек плоской фигуры

модуль скорости точки Распределение скоростей точек плоской фигуры шатуна

Распределение скоростей точек плоской фигуры

Модуль скорости ползуна (точки Распределение скоростей точек плоской фигуры шатуна)

Распределение скоростей точек плоской фигуры

Направлены скорости этих точек перпендикулярно соответственно к отрезкам Распределение скоростей точек плоской фигуры и Распределение скоростей точек плоской фигуры в сторону вращения шатуна (так, как изображено на рис. 156, а). Величину скорости точки Распределение скоростей точек плоской фигуры легко вычислить по формуле

Распределение скоростей точек плоской фигуры

Зная для данного момента угол Распределение скоростей точек плоской фигуры, всегда можно найти и длины Распределение скоростей точек плоской фигуры и Распределение скоростей точек плоской фигуры или вычислением (решая соответствующие треугольники), или графически (строя схему механизма в масштабе, по заданным размерам его звеньев и углу Распределение скоростей точек плоской фигуры).

Решим теперь ту же задачу для частных случаев, когда Распределение скоростей точек плоской фигуры и Распределение скоростей точек плоской фигуры. Расположение звеньев механизма и направление скорости

Распределение скоростей точек плоской фигуры

Распределение скоростей точек плоской фигуры точки Распределение скоростей точек плоской фигуры при угле поворота кривошипа Распределение скоростей точек плоской фигуры показано на рис. 156,6. Скорость точки Распределение скоростей точек плоской фигуры во всех случаях может быть направлена лишь по линии движения ползуна. Мгновенным центром шатуна Распределение скоростей точек плоской фигуры будет точка Распределение скоростей точек плоской фигуры, так как в ней в данном случае пересекаются перпендикуляры, восставленные в точках Распределение скоростей точек плоской фигуры и Распределение скоростей точек плоской фигуры к скоростям этих точек. Так как точка Распределение скоростей точек плоской фигуры совпадает в данный момент с мгновенным центром, то скорость этой точки (скорость ползуна) равна нулю (механизм находится в «мертвом» положении). Угловая скорость шатуна

Распределение скоростей точек плоской фигуры

Скорость точки Распределение скоростей точек плоской фигуры шатуна

Распределение скоростей точек плоской фигуры

Расположение механизма и направленна скоростей Распределение скоростей точек плоской фигуры и Распределение скоростей точек плоской фигуры при угле поворота кривошипа Распределение скоростей точек плоской фигуры показано на рис. 156, е. Так как скорости Распределение скоростей точек плоской фигуры и Распределение скоростей точек плоской фигуры параллельны и точки Распределение скоростей точек плоской фигуры и Распределение скоростей точек плоской фигуры не лежат на одном перпендикуляре к направлениям этих скоростей, то в данный момент мгновенный центр скоростей шатуна Распределение скоростей точек плоской фигуры лежит в бесконечности, его угловая скорость

Распределение скоростей точек плоской фигуры

и он совершает мгновенное поступательное движение. Следовательно, в данный момент

Распределение скоростей точек плоской фигуры
Распределение скоростей точек плоской фигуры

Пример задачи:

Две параллельные рейки движутся в разные стороны с постоянными скоростями Распределение скоростей точек плоской фигуры и Распределение скоростей точек плоской фигуры (рис. 157). Между рейками зажат диск радиусом Распределение скоростей точек плоской фигуры, катящийся по рейкам без скольжения. Найти угловую скорость диска и скорость его центра Распределение скоростей точек плоской фигуры, если Распределение скоростей точек плоской фигуры.

Решение:

Так как диск катится по рейкам без скольжения, то скорость его точки Распределение скоростей точек плоской фигуры, в которой диск соприкасается с верхней рейкой, равна скорости этой рейки Распределение скоростей точек плоской фигуры. На том же основании скорость точки Распределение скоростей точек плоской фигуры диска равна скорости нижней рейки Распределение скоростей точек плоской фигуры. Так как скорости двух точек Распределение скоростей точек плоской фигуры и Распределение скоростей точек плоской фигуры диска параллельны, а сами точки лежат на одном перпендикуляре к скоростям этих точек, то мгновенный центр Распределение скоростей точек плоской фигуры скоростей диска определится из пропорции:

Распределение скоростей точек плоской фигуры
Распределение скоростей точек плоской фигуры

С другой стороны,

Распределение скоростей точек плоской фигуры

Решая эти два уравнения совместно, находим

Распределение скоростей точек плоской фигуры

Угловая скорость диска

Распределение скоростей точек плоской фигуры

Расстояние центра Распределение скоростей точек плоской фигуры диска от мгновенного центра скоростей

Распределение скоростей точек плоской фигуры

Скорость центра диска

Распределение скоростей точек плоской фигуры

Пример задачи:

Кривошип Распределение скоростей точек плоской фигуры (рис. 158), вращаясь с угловой скоростью Распределение скоростей точек плоской фигуры paд/сек вокруг оси неподвижного колеса радиуса Распределение скоростей точек плоской фигуры, приводит во вращение свободно насаженное на его конце Распределение скоростей точек плоской фигуры колесо 2 радиуса Распределение скоростей точек плоской фигуры. Определить угловую скорость колеса 2.

Решение:

Сателлит, катясь без скольжения по неподвижному колесу 1, совершает плоское движение. Положение мгновенного центра скоростей сателлита известно. Он лежит в точке Распределение скоростей точек плоской фигуры касания колеса. Следовательно, для определения угловой скорости Распределение скоростей точек плоской фигуры сателлита достаточно знать скорость какой-либо одной его точки. Пользуясь тем, что точка Распределение скоростей точек плоской фигуры принадлежит не только сателлиту, но и кривошипу Распределение скоростей точек плоской фигуры. найдем ее скорость:

Распределение скоростей точек плоской фигуры

Понятие об определении ускорений точек плоской фигуры

Как мы уже знаем. всякое движение плоский фигуры Распределение скоростей точек плоской фигуры в ее плоскости можно разложить на два движения: 1) переносное поступательное движение вместе с произвольно выбранной точкой фигуры (полюсом) и относительное вращательное движение фигуры вокруг полюса.

Выберем за полюс какую-либо точку Распределение скоростей точек плоской фигуры фигуры (рис. 159).

Распределение скоростей точек плоской фигуры

По теореме о сложении ускорений точки при переносном поступательном движении абсолютное ускорение Распределение скоростей точек плоской фигуры любой точки Распределение скоростей точек плоской фигуры фигуры будет равно геометрической сумме ускорения Распределение скоростей точек плоской фигуры полюса Распределение скоростей точек плоской фигуры (переносного ускорения) и ускорения Распределение скоростей точек плоской фигуры данной точки.

В во вращательном движении этой точки вокруг полюса (относительного ускорения):

Распределение скоростей точек плоской фигуры

Относительное же ускорение Распределение скоростей точек плоской фигуры точки Распределение скоростей точек плоской фигуры во вращательном движении вокруг полюса Распределение скоростей точек плоской фигуры, в свою очередь, удобно представить как геометрическую сумму двух ускорений: тангенциального ускорения Распределение скоростей точек плоской фигуры и нормального ускорения Распределение скоростей точек плоской фигуры:

Распределение скоростей точек плоской фигуры

Отсюда получаем следующее выражение для ускорения точки Распределение скоростей точек плоской фигуры фигуры:

Распределение скоростей точек плоской фигуры

Модуль относительного тангенциального ускорения точки

Распределение скоростей точек плоской фигуры

направлен же вектор Распределение скоростей точек плоской фигуры перпендикулярно к радиусу Распределение скоростей точек плоской фигуры в сторону вращения фигуры (см. рис. 159) при ускоренном вращении и в противоположную сторону при замедленном.

Модуль относительного нормального ускорения точки

Распределение скоростей точек плоской фигуры

направлен сектор Распределение скоростей точек плоской фигуры всегда к полюсу, т. е. от Распределение скоростей точек плоской фигуры к Распределение скоростей точек плоской фигуры.

На рис. 159 показаны вектор Распределение скоростей точек плоской фигуры относительного ускорения точки Распределение скоростей точек плоской фигуры, изображаемый диагональю параллелограмма, построенного на векторах Распределение скоростей точек плоской фигуры и Распределение скоростей точек плоской фигуры, и вектор Распределение скоростей точек плоской фигуры абсолютного ускорения этой точки, изображаемый диагональю параллелограмма, построенного на векторах Распределение скоростей точек плоской фигуры и Распределение скоростей точек плоской фигуры.

Пример задачи:

Найти угловую скорость и угловое ускорение Распределение скоростей точек плоской фигуры нецентрального кривошипно-шатунного механизма (рис. 160. а), а также ускорение ползуна Распределение скоростей точек плоской фигуры в тот момент, когда кривошип и шатун взаимно перпендикулярны и образуют с горизонтальной осью угол

Распределение скоростей точек плоской фигуры

Длина кривошипа

Распределение скоростей точек плоской фигуры

Длина шатуна

Распределение скоростей точек плоской фигуры

Кривошип вращается равномерно с угловой скоростью

Распределение скоростей точек плоской фигуры

Решение:

Шатун Распределение скоростей точек плоской фигуры совершает плоское движение. Скорость Распределение скоростей точек плоской фигуры его точки Распределение скоростей точек плоской фигуры (центра шарнира, соединяющего шатун Распределение скоростей точек плоской фигуры с кривошипом Распределение скоростей точек плоской фигуры) направлена перпендикулярно к радиусу Распределение скоростей точек плоской фигурыв сторону вращения кривошипа и равна по модулю

Распределение скоростей точек плоской фигуры

Скорость Распределение скоростей точек плоской фигуры точки Распределение скоростей точек плоской фигуры шатуна (центра шарнира, соединяющего шатун с ползуном Распределение скоростей точек плоской фигуры) направлена по линии движения ползуна.

Мгновенный центр Распределение скоростей точек плоской фигуры скоростей шатуна лежит на пересечении линий проведенных из точек Распределение скоростей точек плоской фигуры и Распределение скоростей точек плоской фигуры перпендикулярно к скоростям этих точек. В заданном положении механизма, как это ясно из рис. 160.

Распределение скоростей точек плоской фигуры

Следовательно, угловая скорость шатуна

Распределение скоростей точек плоской фигуры

Для определения ускорении ползуна (точки Распределение скоростей точек плоской фигуры шатуна) примем за полюс точку Распределение скоростей точек плоской фигуры шатуна.

Распределение скоростей точек плоской фигуры

Так как кривошип вращается с постоянной угловой скоростью тангенциальное ускорение его точки

Распределение скоростей точек плоской фигуры

Следовательно, полное ускорение точки Распределение скоростей точек плоской фигуры равно по модулю

Распределение скоростей точек плоской фигуры

Направлен же вектор Распределение скоростей точек плоской фигуры по радиусу Распределение скоростей точек плоской фигуры от Распределение скоростей точек плоской фигуры к центру Распределение скоростей точек плоской фигуры.

Но формуле (103) ускорения точка Распределение скоростей точек плоской фигуры шатуна

Распределение скоростей точек плоской фигуры

Модуль нормального ускорения Распределение скоростей точек плоской фигуры точки Распределение скоростей точек плоской фигуры к полюсу Распределение скоростей точек плоской фигуры. Тангенциальное ускорение Распределение скоростей точек плоской фигуры точки Распределение скоростей точек плоской фигуры во вращательном движении вокруг полюса Распределение скоростей точек плоской фигуры должно быть направленно перпендикулярно к Распределение скоростей точек плоской фигуры.

Эта теория взята с полного курса лекций на странице решения задач с подробными примерами по предмету теоретическая механика:

Теоретическая механика — задачи с решением и примерами

Возможно вам будут полезны эти дополнительные темы:

Теорема о проекциях скоростей двух точек фигуры + пример с решением
Мгновенный центр скоростей фигуры
Предмет динамики и две ее основные задач
Основные законы динамики