Для связи в whatsapp +905441085890

Распределение ускорений в плоскопараллельном движении твердого тела

Распределение ускорений в плоскопараллельном движении твердого тела

Распределение ускорений

Плоскопараллельное движение является частным случаем движения твердого тела. На практике этот случай встречается наиболее часто, а потому и будет исследован особо. При изучении плоскопараллельного движения твердого тела, как это уже отмечалось выше, можно ограничиться рассмотрением движения некоторого плоского сечения твердого тела. Будем изучать движение плоского сечения по отношению к системе прямоугольных осей, которую будем считать неподвижной. Обозначим эту систему осей через Распределение ускорений в плоскопараллельном движении твердого тела Пусть мгновенный центр вращения твердого тела находится в точке Распределение ускорений в плоскопараллельном движении твердого тела Координаты произвольной точки М твердого тела обозначим через х и у. Скорости точек твердого тела определяются по формуле Эйлера

Распределение ускорений в плоскопараллельном движении твердого тела

Откуда проекции скорости на неподвижные оси координат найдем
при помощи матрицы

Распределение ускорений в плоскопараллельном движении твердого тела

откуда имеем

Распределение ускорений в плоскопараллельном движении твердого тела

Проекции ускорения точки М на неподвижные оси координат получим, дифференцируя по времени формулы для проекций скорости

Распределение ускорений в плоскопараллельном движении твердого тела

где величины Распределение ускорений в плоскопараллельном движении твердого тела представляют проекции на
неподвижные оси координат скорости движения по центроиде мгновенного центра вращения. Вектор Распределение ускорений в плоскопараллельном движении твердого тела с проекциями Распределение ускорений в плоскопараллельном движении твердого тела на неподвижные оси координат будет, очевидно, определять
ускорение точки С твердого тела (чтобы убедиться в этом, достаточно
в формулах для ускорений положить Распределение ускорений в плоскопараллельном движении твердого тела Проекции этого
вектора можно найти из матрицы

Распределение ускорений в плоскопараллельном движении твердого тела

а сам вектор Распределение ускорений в плоскопараллельном движении твердого тела можно определить формулой

Распределение ускорений в плоскопараллельном движении твердого тела

где Распределение ускорений в плоскопараллельном движении твердого тела — скорость движения мгновенного центра вращения по центроиде. Формула показывает, что ускорение точки С твердого тела направлено ортогонально к центроиде в сторону вращения. Это же можно получить и непосредственно. Выберем неподвижную систему осей так, чтобы ее начало совпадало в данный момент с точкой С, а ось Распределение ускорений в плоскопараллельном движении твердого тела была бы направлена в сторону направления скорости движения мгновенного центра вращения. Тогда для проекций скорости мгновенного центра вращения будем иметь

Распределение ускорений в плоскопараллельном движении твердого тела

а для проекций вектора Распределение ускорений в плоскопараллельном движении твердого тела получим значения

Распределение ускорений в плоскопараллельном движении твердого тела

Если бы мгновенный центр вращения оставался неподвижным, т. е.
Распределение ускорений в плоскопараллельном движении твердого тела то ускорения точек твердого тела определялись бы как
ускорения во вращательном движении твердого тела. При этом
касательное ускорение Распределение ускорений в плоскопараллельном движении твердого тела и нормальное ускорение Распределение ускорений в плоскопараллельном движении твердого тела можно задать
проекциями на неподвижные оси координат:

Распределение ускорений в плоскопараллельном движении твердого тела

Здесь вектор Распределение ускорений в плоскопараллельном движении твердого тела направлен по скорости точки М, а вектор Распределение ускорений в плоскопараллельном движении твердого тела
ортогонален к скорости. Формулы для определения ускорений точек
твердого тела можно представить в векторном виде

Распределение ускорений в плоскопараллельном движении твердого тела

Полученная формула представляет собой одну из разновидностей выведенной выше формулы Ривальса, примененной для случая плоскопараллельного движения, в которой за полюс взят мгновенный центр вращения плоской фигуры. Если обозначить через r расстояние точки М от мгновенного центра вращения, то для определения величин касательного и нормального ускорений будем иметь

Распределение ускорений в плоскопараллельном движении твердого тела

Замечание. К этим же результатам можно прийти непосредственно, исходя из теоремы о сложении ускорений для точки (теоремы Кориолиса), если за начало подвижной системы координат, движущейся поступательно, принять точку твердого тела, совпадающую в данный момент с мгновенным центром вращения. Тогда относительное ускорение точки М определится как ускорение точки в ее движении по окружности и будет складываться из

нормального и касательного ускорений. Переносным ускорением будет ускорение точки С. Добавочное ускорение здесь равно нулю, по-
поскольку подвижная система движется поступательно. Для определения переносного ускорения рассмотрим движение точки С по центроиде (рис. 74). Мгновенный центр вращения С за время Распределение ускорений в плоскопараллельном движении твердого тела
переместится в точку Распределение ускорений в плоскопараллельном движении твердого тела и в момент Распределение ускорений в плоскопараллельном движении твердого тела твердое тело будет
вращаться вокруг точки Распределение ускорений в плоскопараллельном движении твердого тела с угловой скоростью Распределение ускорений в плоскопараллельном движении твердого тела Скорость
точки С будет направлена в сторону вращения, ортогонально к хорде
Распределение ускорений в плоскопараллельном движении твердого тела и будет равна

Распределение ускорений в плоскопараллельном движении твердого тела

Модуль ускорения точки С по определению равен

Распределение ускорений в плоскопараллельном движении твердого тела

Пример:

Палочка АВ скользит своим концом А по окружности и
всегда проходит через точку С этой окружности. Определить ускорение точки В, расположенной на расстоянии Распределение ускорений в плоскопараллельном движении твердого тела от точки А, если последняя движется по окружности с постоянной скоростью Распределение ускорений в плоскопараллельном движении твердого тела (рис. 75).

Распределение ускорений в плоскопараллельном движении твердого тела

Решение:

Мгновенный центр вращения палочки находится на пересечении диаметра окружности, проходящего через точку А, и перпендикуляра к палочке, восстановленного в точке С. Расстояние от Центра окружности до мгновенного центра вращения равно радиусу окружности, а неподвижной центроидой является сама окружность. Расстояние от точки А до мгновенного центра вращения равно диаметру окружности и остается постоянным. Под- Подвижной центроидой будет окружность диаметром 2r с центром в точке А палочки Распределение ускорений в плоскопараллельном движении твердого тела иовеиная угловая скорость вращения палочки

Распределение ускорений в плоскопараллельном движении твердого тела

есть величина постоянная. Угловое ускорение Распределение ускорений в плоскопараллельном движении твердого тела равно нулю, а потому равно нулю и касательное ускорение Распределение ускорений в плоскопараллельном движении твердого тела Нормальное ускорение точки В

Распределение ускорений в плоскопараллельном движении твердого тела

где

Распределение ускорений в плоскопараллельном движении твердого тела

Ускорение точки, совпадающей с мгновенным центром вращения, равно

Распределение ускорений в плоскопараллельном движении твердого тела

Проекция ускорения точки В на направление палочки

Распределение ускорений в плоскопараллельном движении твердого тела

Пример:

Окружность радиуса r катится без скольжения по
неподвижному прямолинейному рельсу так, что скорость ее центра Распределение ускорений в плоскопараллельном движении твердого тела Определить ускорение точки С окружности, касающейся в данный момент рельса (рис. 76).

Распределение ускорений в плоскопараллельном движении твердого тела

Решение:

Точка С является мгновенным центром вращения окружности. Скорость движения мгновенного центра равна Распределение ускорений в плоскопараллельном движении твердого телаУскорение точки С окружности определяется из условия

Распределение ускорений в плоскопараллельном движении твердого тела

Пример:

Окружность радиуса r катится без скольжения по
неподвижной окружности радиуса R так, что скорость ее центра в данный момент равна Распределение ускорений в плоскопараллельном движении твердого тела Определить ускорение той точки подвижной окружности, которая в данный момент касается неподвижной окружности (рис. 77).

Решение:

Мгновенный центр вращения подвижной окружности находится в точке S соприкосновения двух окружностей. Мгновенная угловая скорость Распределение ускорений в плоскопараллельном движении твердого тела Скорость движения мгновенного центра вращения по центроиде определится из соотношения

Распределение ускорений в плоскопараллельном движении твердого тела

откуда

Распределение ускорений в плоскопараллельном движении твердого тела

и ускорение точки твердого тела, совпадающей с его мгновенным центром вращения, получит вид

Распределение ускорений в плоскопараллельном движении твердого тела

Эта лекция взята со страницы, где размещены все лекции по предмету теоретическая механика:

Предмет теоретическая механика

Эти страницы возможно вам будут полезны:

Векторный вывод теоремы Кориолиса
Теорема Ривальса
Мгновенный центр ускорений
Кинематические уравнения эйлера