Рациональные уравнения примеры с решением

Рациональные уравнения

Квадратные уравнения.

Уравнение

Рациональные уравнения  примеры с решением Рациональные уравнения  примеры с решением

где а, b, с— заданные действительные числа, Рациональные уравнения  примеры с решением Рациональные уравнения  примеры с решением — неизвестное, называют квадратным.

Приведем основные утверждения (теоремы), связанные с корнями квадратного уравнения (1).

1°. Квадратное уравнение (1):

а) имеет два действительных и различных корня Рациональные уравнения  примеры с решением и Рациональные уравнения  примеры с решением, определенных по формулам

Рациональные уравнения  примеры с решением Рациональные уравнения  примеры с решением

если дискриминант D квадратного уравнения (1) положителен, т. е. Рациональные уравнения  примеры с решением

б) имеет единственный корень Рациональные уравнения  примеры с решением если Рациональные уравнения  примеры с решением;

в) не имеет действительных корней, если Рациональные уравнения  примеры с решением.

2°. Теорема Виета. Если Рациональные уравнения  примеры с решением и Рациональные уравнения  примеры с решением — корни квадратного уравнения (1), то

Рациональные уравнения  примеры с решением Рациональные уравнения  примеры с решением

Для приведенного квадратного уравнения

Рациональные уравнения  примеры с решением Рациональные уравнения  примеры с решением

формулы Виета (3) принимают вид

Рациональные уравнения  примеры с решением Рациональные уравнения  примеры с решением

3°. Если Рациональные уравнения  примеры с решением и Рациональные уравнения  примеры с решением — корни квадратного уравнения (1), то для любого Рациональные уравнения  примеры с решением справедливо равенство

Рациональные уравнения  примеры с решением Рациональные уравнения  примеры с решением

При выводе формул (2) используется метод выделения полного квадрата, т. е. следующее преобразование квадратного трехчлена

Рациональные уравнения  примеры с решением Рациональные уравнения  примеры с решением

Равенство (7) можно записать в виде

Рациональные уравнения  примеры с решением Рациональные уравнения  примеры с решением

Формулы Виета (3) следуют из равенств (2), а для доказательства тождества (6) достаточно преобразовать его правую часть, используя (3).

Справедливо утверждение, обратное утверждению 1°.

4°. Если квадратное уравнение (1) имеет два действительных и различных корня, то Рациональные уравнения  примеры с решением; если уравнение (1) имеет единственный корень, то Рациональные уравнения  примеры с решением; если уравнение (1) не имеет действительных корней, то Рациональные уравнения  примеры с решением.

Используя термины «необходимость» и «достаточность», можно объединить теоремы 1° и 4° и сформулировать следующее утверждение: для того чтобы квадратное уравнение Рациональные уравнения  примеры с решениемимело два действительных различных корня, имело один действительный корень, не имело действительных корней, необходимо и достаточно выполнение соответственно условий Рациональные уравнения  примеры с решением, Рациональные уравнения  примеры с решением, Рациональные уравнения  примеры с решением, где Рациональные уравнения  примеры с решением

Замечание. Если а, b, с — действительные числа, Рациональные уравнения  примеры с решением, Рациональные уравнения  примеры с решением, то многочлен второй степени (квадратный трехчлен) Рациональные уравнения  примеры с решениемимеет комплексные корни. Например, многочлен Рациональные уравнения  примеры с решением имеет корни Рациональные уравнения  примеры с решением т. е. Рациональные уравнения  примеры с решением и Рациональные уравнения  примеры с решением В дальнейшем при решении уравнений и систем уравнений условимся ограничиваться отысканием только действительных решений и утверждение «уравнение не имеет корней» понимать так: «уравнение не имеет действительных корней».

При решении некоторых задач удобно пользоваться утверждением :

5°. Обратная теорема Виета: если Рациональные уравнения  примеры с решением — такие числа, что справедливы равенства (3), то Рациональные уравнения  примеры с решением и Рациональные уравнения  примеры с решением — корни квадратного уравнения (1).

Утверждение 4° можно доказать, используя метод доказательства от противного и утверждение 1°, а справедливость теоремы, обратной теореме Виета, следует из равенства (6).

Уравнения, сводящиеся к квадратным.

Биквадратное уравнение, т. е. уравнение вида

Рациональные уравнения  примеры с решением

сводится к квадратному заменой Рациональные уравнения  примеры с решением.

К квадратному уравнению сводится уравнение вида

Рациональные уравнения  примеры с решением Рациональные уравнения  примеры с решением

которое называют возвратным.

Заметим, что число Рациональные уравнения  примеры с решением не является корнем уравнения (9), поскольку Рациональные уравнения  примеры с решением. Следовательно, разделив обе его части на Рациональные уравнения  примеры с решением, получим уравнение

Рациональные уравнения  примеры с решением Рациональные уравнения  примеры с решением

равносильное исходному. Сведем уравнение (10) к квадратному, полагая Рациональные уравнения  примеры с решением Так как Рациональные уравнения  примеры с решением то получаем квадратное уравнение

Рациональные уравнения  примеры с решением

Корни многочлена.

Приведем некоторые сведения о корнях многочленов. Пусть задан многочлен n-й степени

Рациональные уравнения  примеры с решением Рациональные уравнения  примеры с решением

где Рациональные уравнения  примеры с решением—действительные числа, Рациональные уравнения  примеры с решением

Число Рациональные уравнения  примеры с решением называют корнем многочлена Рациональные уравнения  примеры с решением, если Рациональные уравнения  примеры с решением Разделить многочлен Рациональные уравнения  примеры с решением на двучлен Рациональные уравнения  примеры с решением, где Рациональные уравнения  примеры с решением — заданное число, означает представить его в виде

Рациональные уравнения  примеры с решением Рациональные уравнения  примеры с решением

где Рациональные уравнения  примеры с решением — многочлен степени Рациональные уравнения  примеры с решением, а Рациональные уравнения  примеры с решением —некоторое число (его называют остатком от деления многочлена Рациональные уравнения  примеры с решением на Рациональные уравнения  примеры с решением). Если Рациональные уравнения  примеры с решением , то говорят, что многочлен Рациональные уравнения  примеры с решением делится без остатка (нацело) на Рациональные уравнения  примеры с решением.

Теорема Безу. Число Рациональные уравнения  примеры с решением является корнем многочлена Рациональные уравнения  примеры с решением тогда и только тогда, когда этот многочлен делится без остатка на Рациональные уравнения  примеры с решением, т.е. справедливо равенство

Рациональные уравнения  примеры с решением Рациональные уравнения  примеры с решением

Доказательство. Если Рациональные уравнения  примеры с решением — корень многочлена Рациональные уравнения  примеры с решением , то Рациональные уравнения  примеры с решением. С другой стороны, из равенства (12) при Рациональные уравнения  примеры с решением получаем Рациональные уравнения  примеры с решением. Следовательно, Рациональные уравнения  примеры с решением, т. е. многочлен делится без остатка на Рациональные уравнения  примеры с решением. Это означает, что справедливо равенство (13).

Обратно, если многочлен Рациональные уравнения  примеры с решением делится без остатка наРациональные уравнения  примеры с решением, т. е. справедливо равенство (13), то из этого равенства следует, что Рациональные уравнения  примеры с решением, т. е. Рациональные уравнения  примеры с решением — корень многочлена Рациональные уравнения  примеры с решением.

Замечание. Для нахождения коэффициентов многочлена Рациональные уравнения  примеры с решением можно либо использовать алгоритм деления многочлена на многочлен, либо приравнять коэффициенты при одинаковых степенях в равенстве (12) (или в равенстве (13), если Рациональные уравнения  примеры с решением).

Пусть коэффициенты многочлена Рациональные уравнения  примеры с решением являются целыми числами и пусть целое число Рациональные уравнения  примеры с решением является корнем этого многочлена, т.е. Рациональные уравнения  примеры с решением Отсюда находим, что Рациональные уравнения  примеры с решением Так как число, стоящее в скобках, является целым, то Рациональные уравнения  примеры с решением делится на Рациональные уравнения  примеры с решением.

Таким образом, целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем свободного члена этого многочлена.

Корни рационального уравнения.

Рациональным называют уравнение вида

Рациональные уравнения  примеры с решением Рациональные уравнения  примеры с решением

где Рациональные уравнения  примеры с решением и Рациональные уравнения  примеры с решениеммногочлены, причем Рациональные уравнения  примеры с решением

Корнями уравнения (14) являются все те и только те корни уравнения Рациональные уравнения  примеры с решением которые удовлетворяют условию Рациональные уравнения  примеры с решением. Иначе говоря, уравнение (1) равносильно системе

Рациональные уравнения  примеры с решением

Примеры с решениями

Пример №70.

Пусть Рациональные уравнения  примеры с решением — корни квадратного уравнения (4). Выразить через p и q следующие суммы:

Рациональные уравнения  примеры с решением

Решение:

1) Используя тождество

Рациональные уравнения  примеры с решением

и формулы (5), получаем

Рациональные уравнения  примеры с решением

2) Применяя формулу для суммы кубов, находим

Рациональные уравнения  примеры с решением

Пример №71.

Сократить дробь Рациональные уравнения  примеры с решением

Решение:

Применив формулы (2), найдем корни Рациональные уравнения  примеры с решением и Рациональные уравнения  примеры с решением квадратного уравнения Рациональные уравнения  примеры с решением Имеем

Рациональные уравнения  примеры с решением

откуда Рациональные уравнения  примеры с решением По теореме 3° (формула (6)) получаем

Рациональные уравнения  примеры с решением

Аналогично, решив уравнение Рациональные уравнения  примеры с решением находим его корни Рациональные уравнения  примеры с решением и Рациональные уравнения  примеры с решением; поэтому

Рациональные уравнения  примеры с решением

Итак,

Рациональные уравнения  примеры с решением

Пример №72.

Найти все значения Рациональные уравнения  примеры с решением, при которых уравнение

Рациональные уравнения  примеры с решением

имеет один корень.

Решение:

ЕслиРациональные уравнения  примеры с решением , то уравнение имеет один корень Рациональные уравнения  примеры с решением. Если же Рациональные уравнения  примеры с решением то уравнение является квадратным и имеет один корень тогда и только тогда, когда его дискриминант Рациональные уравнения  примеры с решением равен нулю, т. е.

Рациональные уравнения  примеры с решением

откуда находим Рациональные уравнения  примеры с решением

Ответ. Рациональные уравнения  примеры с решением и Рациональные уравнения  примеры с решением

Пример №73.

Решить уравнение Рациональные уравнения  примеры с решением

Решение:

Полагая Рациональные уравнения  примеры с решением получаем уравнение Рациональные уравнения  примеры с решениемимеющее корни Рациональные уравнения  примеры с решением Если Рациональные уравнения  примеры с решением то Рациональные уравнения  примеры с решением Это уравнение не имеет действительных корней. Если Рациональные уравнения  примеры с решениемто Рациональные уравнения  примеры с решением откуда Рациональные уравнения  примеры с решением

Ответ. Рациональные уравнения  примеры с решением

53 = P—4p2 + 2 q.

Пример №74.

Решить уравнение

Рациональные уравнения  примеры с решением

Решение:

Разделив обе части уравнения на Рациональные уравнения  примеры с решением, запишем его в виде

Рациональные уравнения  примеры с решением

Полагая Рациональные уравнения  примеры с решениемполучаем уравнение Рациональные уравнения  примеры с решением откуда находим Рациональные уравнения  примеры с решениемСледовательно, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений Рациональные уравнения  примеры с решением Первое из них равносильно уравнению Рациональные уравнения  примеры с решением имеющему корни Рациональные уравнения  примеры с решением

Второе уравнение не имеет действительных корней.

Ответ. Рациональные уравнения  примеры с решением

Пример №75.

Решить уравнение

Рациональные уравнения  примеры с решением

Решение:

Так как Рациональные уравнения  примеры с решением то, полагая Рациональные уравнения  примеры с решением приходим к уравнению Рациональные уравнения  примеры с решением или Рациональные уравнения  примеры с решением Это уравнение имеет корни Рациональные уравнения  примеры с решением

Если Рациональные уравнения  примеры с решением то Рациональные уравнения  примеры с решением откуда Рациональные уравнения  примеры с решением Если Рациональные уравнения  примеры с решением то получаем уравнение Рациональные уравнения  примеры с решением не имеющее действительных корней.

Ответ. Рациональные уравнения  примеры с решением

Пример №76.

Решить уравнение Рациональные уравнения  примеры с решением

Решение:

Целыми корнями многочлена Рациональные уравнения  примеры с решением могут быть только делители числа Рациональные уравнения  примеры с решением, т. е. числа Рациональные уравнения  примеры с решениемТак как Рациональные уравнения  примеры с решением то число Рациональные уравнения  примеры с решением — корень многочлена Рациональные уравнения  примеры с решениеми по теореме Безу Рациональные уравнения  примеры с решением

Чтобы найти Рациональные уравнения  примеры с решением, можно воспользоваться любым из способов, указанных в замечании. Укажем еще один способ отыскания Рациональные уравнения  примеры с решением, основанный на представлении многочлена Рациональные уравнения  примеры с решением в виде произведения двух множителей, один из которых равен Рациональные уравнения  примеры с решением. Так как

Рациональные уравнения  примеры с решением

то Рациональные уравнения  примеры с решением

Многочлен Рациональные уравнения  примеры с решениемимеет корни Рациональные уравнения  примеры с решением являющиеся корнями исходного уравнения.

Ответ, Рациональные уравнения  примеры с решением

Пример №77.

Решить уравнение

Рациональные уравнения  примеры с решением

Решение:

Число Рациональные уравнения  примеры с решением является корнем многочлена Рациональные уравнения  примеры с решением так как Рациональные уравнения  примеры с решением Разложим многочлен Рациональные уравнения  примеры с решением на множители, для чего выделим множитель Рациональные уравнения  примеры с решением. Тогда получим

Рациональные уравнения  примеры с решением

Следовательно, многочлен Рациональные уравнения  примеры с решением имеет корни Рациональные уравнения  примеры с решением из которых первые два удовлетворяют условию Рациональные уравнения  примеры с решением

Ответ. Рациональные уравнения  примеры с решением

Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:

Решение задач по математике

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Числовые неравенства примеры с решением
Уравнение и его корни. Преобразование уравнений
Иррациональные уравнения примеры с решением
Показательные уравнения примеры с решением