Оглавление:
Равномерно сходящиеся функциональные ряды
Равномерно сходящиеся функциональные ряды. Конечно, для ряда можно также ввести понятие равномерной сходимости. Определение 6.Ряд Итак, равномерная сходимость ряда (36.16) подразумевает наличие функции s (x), которая является: (Здесь, как всегда, zn (x) частичная сумма Порядка n ряда (36.16), n = 1, 2, … это От (36.17) E до 5n (x)= −5 (x), поэтому 5 (x) сумма ряда (36.16). Поставь Тогда члены ряда (36.17), сходящиеся к » (x)-zn (x)= rn (x) и множеству E, могут быть переписаны в эквивалентном виде. рН(х)^ 0,(36.18） Равенство функции 5 и определение равномерной сходимости условия (36.10) 5 делает необходимым и достаточным, чтобы ряд (36.16), сходящийся к E, сходился равномерно к множеству E.
Если член является функцией, определенной в множестве E, и его последовательность частичных сумм сходится равномерно в E, она называется сходящейся равномерно в этом множестве. Людмила Фирмаль
- Поэтому, в частности, от равномерной сходимости ряда, начинающегося с определенного числа, и верхней поверхности Условие (36.19) сводит понятие равномерной сходимости к тенденции для числовой последовательности этих верхних границ к нулю. Он показывает, что существенные характеристики ряда сходятся равномерно. Теорема 3 (необходимое условие равномерной сходимости рядов). Если ряд (36.16) сходится равномерно на множестве E、 Последовательность членов UN (x), n = 1, 2, стремится быть равномерно нулевой в множестве E. Проще говоря, это свойство выражается так: в равномерно сходящихся рядах общий знаменатель стремится быть равномерно нулевым. Доказательство. Предположим, что ряд (36.16) сходится равномерно установить е. как обычно, его частичные суммы представляют ЗН (х), и ее сумма по Z (х) представлен xÅE. для ε0 существует такое число η, которое является неравенством для всех nne и всех x = eE.
- Итак, для каждого η5 =»e и каждого xe E неравенство Это означает равномерную сходимость (на множестве E) к нулю последовательности членов ряда, сходящихся равномерно к этому множеству. Д По условию (36.10) равномерная тенденция ряда к нулю В общем члене (36.16) равна、 Теорема 3 может быть использована для проверки того, что рассматриваемый ряд не сходится uniformly. So, ряд, член Образуют геометрическую последовательность, но^ xn-это Последовательность xn, n = 0, 1, 2, в разделе этой серии, как показано в § 36.2 (см. Пример 2)…, Не сходится равномерно к нулю, поэтому равномерна на интервалах (0, 1) В этот промежуток времени. Из этого, кстати, и состоит сериал r является комплексным числом и не сходится равномерно в пределах единичного круга| g | C 1, потому что он не сходится одинаково к подмножеству(0, 1) этого круга. Следующие достаточно часто полезные признаки равномерной конвергенции. Теорема 4 (критерий Вейерштрасса). Указывает 2 строки.
Функциональный тип (36.16), членами которого являются функции un (x), определенный в наборе E и число (36.20)） Ряд (36.20) сходится, и неравенство для любого x = E \ un (x)\ n = 1, 2,…(36.21） Тогда ряд (36.16) сходится абсолютно и равномерно на множестве E. За абсолютной сходимостью ряда по E (36.20) в случае сходимости ряда(36.16) сразу следует сравнение из неравенства (36.21). Тем не менее, его прямые доказательства показаны. пусть s (x) сумма ряда (36.21), а 8n (x) его частичная сумма. Поскольку ряд (35.20) сходится, существует число ne 0 для любого заданного ε0, которое было бы неравным для всех ε3 = ne. （(35.10) 2 по. Но тогда все про A η> rnE и все Остаток x ^ E(x) z (x) 8n (x) ряда (x) (36.16) (согласно тому, что было доказано выше, он абсолютен и поэтому просто сходится, поэтому равенство rn (x)=π (x) 8n (x) имеет смысл） Согласно определению 5, это подразумевает равномерную сходимость ряда на множестве E (36.16). Обратите внимание, что ряд (26.20) называется рядом (36.16), что делает ряд мерой.
Равномерная сходимость этого ряда легко понятна из теоремы 1 в этом разделе. Людмила Фирмаль
- В качестве примера мы снова возьмем термин^ rn. Образуют геометрическую прогрессию. Думаю по кругу Радиус r \ r \ ^ r, где 0 r * 1.Так как последовательность чисел равна 2 rn Сходится с неотрицательными членами, образующими геометрическую последовательность, убывающую до бесконечности, и оцененными членами этого функционального ряда| gp|; rn, поскольку| r | = ^ r, и, согласно критерию Вейерштрасса, сходится равномерно со всеми окружностями| r / cr 1.At в то же время, как показано выше, этот ряд не сходится равномерно по окружности(r / 1. Символ Вейерштрасса дает только достаточные условия для равномерной сходимости рядов, что отнюдь не обязательно. Проверьте это для увеличения строк Конвергенция Строка 2 (Например, числа конвергенции Ряд) можно рассматривать как равномерно сходящиеся. Например、 Измерьте всю строку числовой оси I. ее члены Организация Объединенных Наций Номера членов изменить знак очень легко. Конечно. Функция-это/?Она постоянна. Однако, любая серия чисел Пока ты не будешь удовлетворен.
Смотрите также:
