Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное

Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное. Зависимость между скоростями различных точек фигуры

Пусть какая-либо плоская фигура Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное движется в плоскости Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное и за некоторый промежуток времени Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное перемещается из положения I в положение II (рис. 145). Это перемещение фигуры Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное и неизменно связанного с ней отрезка Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное можно представить себе составленным из поступательного и вращательного перемещении.

Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное

В самом деле, перемещение отрезка Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное в положение Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное (а следовательно, и перемещение фигуры Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное из положения I в положение II) можно получить его поступательным перемещением в положение Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное, а затем поворотом этого отрезка на некоторый угол Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное вокруг полюса— точки Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное. С одинаковым успехом ,»а полюс можно было бы выбрать любую другую точку фигуры, например, точку Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное и перемещение фигуры из положения I в положение II осуществить поступательным перемещением отрезка Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное в положение Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное, а затем поворотом его вокруг точки Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное до совмещения с отрезком Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное.

Важно заметить, что угол поворота и направление вращения фигуры не зависят от выбора полюса.

Из рис. 145 ясно, что Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное поворота, совершаемый отрезком Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное при переходе его в положение Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное вращением вокруг полюса Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное, равен Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное поворота, совершаемому отрезком Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное при переводе его в то же положение Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное вращением вокруг полюса Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное. Одинаковым будет и направление вращения (па рис. 145 по ходу стрелки часов). К тому же результату мы придем, если примем за полюс любую иную точку, связанную с движущейся фигурой Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное.

Произведенная выше замена движения фигуры Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное за некоторый конечный промежуток времени Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное двумя последовательными (поступательным и вращательным) перемещениями не воспроизводит, вообще говоря, действительного движения фигуры. При помощи такой замены мы получаем лишь тот же самый конечный результат — то же самое положение фигуры в конце рассматриваемого промежутка времени.

Для того чтобы воспроизвести фактическое движение фигуры за некоторый конечный промежуток времени, разобьем его на большое число очень малых промежутков и отметим те положения, которые занимает фигура в конце каждого из этих промежутков. Выбрав какую-либо произвольную точку фигуры за полюс, будем осуществлять переход фигуры и:; каждого данного положения в близкое ему соседнее путем поступательного перемещения фигуры, соответствующего перемещению выбранного полюса, и вращательного перемещения фигуры вокруг полюса. Непрерывно увеличивая число промежутков времени и тем самым уменьшая их величину, мы будем проводить фигуру через все большее и большее число положений, которые она на самом деле занимает в конце каждого из малых промежутков времени. В пределе, когда величина этих промежутков времени будет стремиться к нулю, мы проводом фигуру через все положения, которые она занимает при своем фактическом движении. Таким образом, мы приходим к выводу: всякое движение плоской фигуры в ее плоскости можно разложить на два движения: 1) поступательное движение со скоростью произвольно выбранной точки фигуры (полюса) и 2) вращательное движение вокруг полюса.

По аналогии с представлениями о сложном движении точки, поступательное движение фигуры Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное (рис.145) вместе с полюсом относительно неподвижных осей Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное можно назвать переносным движением фигуры; вращательное движение фигуры вокруг полюса, неизменно связанного с движущейся фигурой, — относительным движением фигуры, а ее результирующее движение относительно неподвижных осей Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное — абсолютным движением.

Так как различные точки фигуры движутся, вообще говоря, с различными скоростями, то переносное поступательное движение фигуры зависит от выбора полюса.

Выше было показано, что угол Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное поворота фигуры и направление ее вращения не зависят от выбора полюса. Отсюда следует, что и угловая скорость фигуры Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательноеРазложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное и ее угловое ускорение Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное от выбора полюса не зависят.

Пусть некоторая плоская фигура Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное движется в ее плоскости (рис. 146). Примем какую-либо произвольную точку Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное этой фигуры за полюс. Тогда можно считать, что но отношению к неподвижной системе отсчета (связанной с плоскостью, в которой движется фигура) любая другая точка Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное фигуры участвует одновременно в двух движениях: переносном — вместе с фигурой в ее поступательном движении со скоростью Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное выбранного полюса и относительном — вращательном движении вокруг полюса Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное с угловой скоростью Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное, не зависящей от выбора полюса.

Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное

Отсюда, на основании теоремы о сложении скоростей, имеем, что абсолютная или просто, как мы ее будем называть в дальнейшем, скорость любой точки плоской фигуры в каждый момент равна геометрической сумме двух скоростей, скорости другой, произвольно выбранной точки фигуры (полюса) и скорости от орошения первой точки относительно второй:

Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное

где Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное — скорость любой точки Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное плоской фигуры, и Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное — скорость другой произвольной точки (полюса) Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное фигуры, Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное — скорость первой точки относительно второй (полюса).

Скорость точки Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное относительно точки Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное легко найти по модулю и по направлению, если известны для данного момента времени угловая скорость фигуры и положение точек Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное и Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное. Модуль этой скорости

Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное

где Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное — угловая скорость фигуры, Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное — расстояние между точками Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное и Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное. Направлена же скорость Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное перпендикулярно к соответствующему радиусу вращения (т.е. к отрезку Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное) в сторону вращения фигуры (на рис. 146 стрелкой показано, что фигура вращается по ходу стрелки часов).

Определив скорость Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное точки Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное относительно полюса и зная скорость Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное самого полюса, находим искомую скорость точки Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное как диагональ параллелограмма, построенного на векторах Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное и Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное составляющих скоростей (рис. 146).

Заметим, что формулой (100) устанавливается зависимость между скоростями двух каких угодно точек плоской фигуры, причем за полюс может быть выбрана любая из этих точек. Обычно за полюс принимается та точка фигуры, скорость которой в данный момент нам известна.

Пример задачи:

Стержень Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное (рис. 117) движется и плоскости Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное так, что нижний его конец Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное скользит по оси Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное, а сам стержень касается вертикального столба Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное. Для момента, когда ось стержня Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное наклонена к оси Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное под углом Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное и скорость нижнего конца стержня Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное, определить скорость тон точки Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное стержня. в которой он касается столба, а также угловую скорость Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное стержни. Высота столба Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное

Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное

Решение:

Стержень Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное совершает плоское движение. Скорость одной его точки, точки Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное, нам известна. Принимаем эту точку за полюс. Тогда скорость другой точки Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное стержня

Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное

Скорость точки Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное относительно точки Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное будет равна по модулю

Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное

где Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное — угловая скорость стержня Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное. Направлена же скорость Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное перпендикулярно к отрезку Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное в сторону его вращения. Так как точка Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное движется по оси Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное вправо, то угол Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное будет при этом движении уменьшаться и, следовательно, вращение стержня Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное направлено против часовой стрелки. Таким образом, направление скорости мы знаем. Так как в точке Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное стержень касается столба, то скорость Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное этой точки может быть направлена только вдоль стержня. С другой стороны, вектор должен являться диагональю параллелограмма, построенного на

векторе Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное (известном нам по модулю и по направлению) и на векторе Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное (известном нам по направлению) как на сторонах. Но данным условиям можно построить только один параллелограмм (рис. 147). Так как угол между Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное и Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное — прямой, то из прямоугольного треугольника находим’

Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное

Из прямоугольного треугольника Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное находим длину отрезка Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное для данного момента:

Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное

Угловая скорость стержня Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное в данный момент равна

Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное

Эта теория взята с полного курса лекций на странице решения задач с подробными примерами по предмету теоретическая механика:

Теоретическая механика — задачи с решением и примерами

Возможно вам будут полезны эти дополнительные темы:

Понятие плоского движения тела
Уравнения движения плоской фигуры + пример с решением
Теорема о проекциях скоростей двух точек фигуры + пример с решением
Мгновенный центр скоростей фигуры