Оглавление:
Формально ряд Тейлора (Маклорена) можно построить для любой бесконечно дифференцируемой функции 
в окрестности точки 
. Но отсюда ещё не следует, что он будет сходиться к данной функции . Он может оказаться расходящимся или сходиться, но не к функции . Так, например, функция 
имеет в точке 
производные всех порядков, причём 
при всяком 
. Ряд Маклорена для
неё имеет вид 
Он сходится, но его сумма 
в любой точке 
равна нулю, а не 
.
Условия, при которых ряд Тейлора (Маклорена) сходится к порождающей функции, изложены в теореме. Сформулируем её без доказательства.
Теорема: Если все производные функции ограничены в некоторой окрестности точки () одним и тем же числом, то для любого из этой окрестности ряд Тейлора (Маклорена) для функции сходится к данной функции, т.е. имеет место разложение
Для разложения некоторой функции в ряд Тейлора (Маклорена) удобно использовать следующий алгоритм:
1) вычислить значения функции и всех её производных при ();
2) составить ряд Тейлора (Маклорена) для функции ;
3) проверить выполнение условий теоремы о разложении функции в ряд (доказать, что все производные функции ограничены в некоторой окрестности точки () одним и тем же числом);
4) записать разложение функции в ряд Тейлора (Маклорена).
Рассматривая разложение в ряд Тейлора некоторых элементарных функций, ограничимся рядами Маклорена, которые чаще всего используются на практике.
Пример №36.3.
Разложите функцию 
в ряд Маклорена.
Решение:
Для разложения функции в ряд Маклорена воспользуемся алгоритмом: 1) значения функции и её производных вычислены в примере 36.2.:
2) ряд Маклорена для функции составлен в примере 36.2.:
3) проверим выполнение условий теоремы о разложении функции в ряд: для данного найдём интервал 
, содержащий число , и обозначим 
. Тогда для любой производной функции имеем 
. Таким образом, все производные функции в некоторой окрестности ограничены одним и тем же числом 
. Значит, условия теоремы выполнены, и функция может быть разложена в ряд.
4) запишем разложение функции в ряд Маклорена:
Ответ:
Аналогичным образом можно получить разложения в ряд Маклорена следующих элементарных функций, которые рекомендуется запомнить:
биномиальный ряд:
Разложение некоторых функций в ряд Маклорена можно получить, выполняя те или иные преобразования над уже имеющимися разложениями. К таким преобразованиям относятся замена переменной, сложение, вычитание, умножение, дифференцирование и интегрирование степенных рядов.
Обратимся к примерам получения подобных разложений.
Пример №36.4.
Используя известные разложения, разложите в ряд Маклорена функцию 
.
Решение:
Воспользуемся известным разложением в ряд функции 
:
Заменим в данном разложении на 
, получим:
Таким образом,
Ответ:
Пример №36.5.
Разложите в ряд Маклорена функцию 
.
Решение:
Функция представляет собой произведение 
на 
, поэтому для её разложения в ряд Маклорена воспользуемся разложением функции 
:
Заменим в этом разложении на 
, получим:
Умножим разложение на :
Таким образом, 
Ответ:
Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:
| Свойства степенных рядов. |
| Ряды Тейлора и Маклорена. |
| Практическое применение разложений функций в ряд. |
| Тригонометрический ряд Фурье. |
