Разложение многочлена на множители примеры с решением

Разложение многочлена на множители

а) Если х = а — корень многочлена Разложение многочлена на множители примеры с решениемРазложение многочлена на множители примеры с решением где Разложение многочлена на множители примеры с решением т.е. Разложение многочлена на множители примеры с решением то Разложение многочлена на множители примеры с решением где Разложение многочлена на множители примеры с решением— многочлен степени Разложение многочлена на множители примеры с решением

б) Если Разложение многочлена на множители примеры с решением и Разложение многочлена на множители примеры с решением — корни квадратного трехчлена Разложение многочлена на множители примеры с решением то

Разложение многочлена на множители примеры с решением

Пример №13.

Вычислить сумму

Разложение многочлена на множители примеры с решением

Решение:

В этой задаче речь идет не о приближенном значении суммы, которое можно получить с помощью таблиц или других вычислительных средств, а о точном значении суммы, т.е. о записи S в виде отношения двух натуральных чисел.

Ключевой момент решения задачи — представление дроби Разложение многочлена на множители примеры с решениемв виде разности двух дробей, т.е. использование

Разложение многочлена на множители примеры с решением

Применяя это равенство, получаем

Разложение многочлена на множители примеры с решением

Все слагаемые полученной суммы, за исключением первого и последнего, попарно взаимно уничтожаются и поэтому

Разложение многочлена на множители примеры с решением

Замечание. Метод, использованный в этой задаче, можно применить для вычисления суммы

Разложение многочлена на множители примеры с решением

где Разложение многочлена на множители примеры с решением — последовательные отличные от нуля члены арифметической прогрессии.

Эта ссылка возможно вам будет полезна:

Пример №14.

Доказать, что равенство

Разложение многочлена на множители примеры с решением Разложение многочлена на множители примеры с решением

где а, b, с — положительные числа, является верным тогда и только тогда, когда

Разложение многочлена на множители примеры с решением Разложение многочлена на множители примеры с решением

Решение:

Воспользуемся равенством

Разложение многочлена на множители примеры с решением

Это равенство справедливо для любых чисел а, b, с, в чем нетрудно убедиться, произведя действия в левой части (3).

Если а, b, с— положительные числа, то из (1) и (3) следует, что должно выполняться равенство

Разложение многочлена на множители примеры с решением, Разложение многочлена на множители примеры с решением

которое можно записать в виде

Разложение многочлена на множители примеры с решением Разложение многочлена на множители примеры с решением

Но равенство (5) для действительных чисел a, b и с выполняется (является верным) только в том случае, когда выполняются условия (2).

Замечание. Из (3)-(5) следует, что для любых чисел а, b, с справедливо равенство.

Разложение многочлена на множители примеры с решением

Разложение многочлена на множители примеры с решением Разложение многочлена на множители примеры с решением

Если а, b, с — неотрицательные числа, то правая часть (6) — неотрицательное число, и поэтому

Разложение многочлена на множители примеры с решением Разложение многочлена на множители примеры с решением

Полагая в Разложение многочлена на множители примеры с решением получаем неравенство Разложение многочлена на множители примеры с решением

связывающее среднее арифметическое и среднее геометрическое неотрицательных чисел х, у, z.

Пример №15.

Доказать, что если три действительных числа а, b, с удовлетворяют условию

Разложение многочлена на множители примеры с решением Разложение многочлена на множители примеры с решением

то по крайней мере два из этих чисел равны по абсолютной величине и противоположны по знаку, т.е. выполняется хотя бы одно из условий

Разложение многочлена на множители примеры с решением Разложение многочлена на множители примеры с решением

Решение:

Умножив обе части равенства (1) на Разложение многочлена на множители примеры с решением приведем его к виду

Разложение многочлена на множители примеры с решением Разложение многочлена на множители примеры с решением

Раскрыв скобки в левой части (3), получим

Разложение многочлена на множители примеры с решением Разложение многочлена на множители примеры с решением

Разложим левую часть S равенства (4) на множители:

Разложение многочлена на множители примеры с решением Разложение многочлена на множители примеры с решением

Из (4) и (5) следует, что

Разложение многочлена на множители примеры с решением

и поэтому выполняется хотя бы одно из условий (2).

Замечание. Полученный результат позволяет сформулировать следующее утверждение: если действительные числа а, b, с связаны условием (1), то при любом натуральном k справедливо равенство

Разложение многочлена на множители примеры с решением

Пример №16.

Сократить дробь

Разложение многочлена на множители примеры с решением

Решение:

Так как числитель Разложение многочлена на множители примеры с решением и знаменатель Разложение многочлена на множители примеры с решением дроби Разложение многочлена на множители примеры с решением обращаются в нуль при Разложение многочлена на множители примеры с решением, то многочлены Разложение многочлена на множители примеры с решением и Разложение многочлена на множители примеры с решением делятся на Разложение многочлена на множители примеры с решением Разложим эти многочлены на множители. Получим

Разложение многочлена на множители примеры с решением

Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:

Решение задач по математике

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Рациональные числа примеры с решением
Множество действительных чисел примеры с решением
Производные пропорции примеры с решением
Действия с корнями (радикалами) примеры с решением