Для связи в whatsapp +905441085890

Разложение рациональной дроби на сумму элементарных дробей

Рациональной дробью называют частное двух многочленов одного и того же аргумента

Разложение рациональной дроби на сумму элементарных дробей

где Разложение рациональной дроби на сумму элементарных дробей — действительные числа.

Рациональная дробь (6.9) называется правильной, если Разложение рациональной дроби на сумму элементарных дробей. При Разложение рациональной дроби на сумму элементарных дробей дробь называется неправильной, в этом случае делением числителя на знаменатель можно выделить целую часть, которая будет многочленом степени Разложение рациональной дроби на сумму элементарных дробей и дробный остаток, который является правильной дробью. Такую процедуру называют выделением целой части.

Пример №1

В неправильной рациональной дроби выделить целую часть и правильный рациональный остаток:

Разложение рациональной дроби на сумму элементарных дробей

Решение:

Разделим числитель на знаменатель «уголком».

Разложение рациональной дроби на сумму элементарных дробей

В результате получим: Разложение рациональной дроби на сумму элементарных дробей.

Пусть дробь (6.9) — правильная. Предположим, что её знаменатель Разложение рациональной дроби на сумму элементарных дробей можно разложить на множители

Разложение рациональной дроби на сумму элементарных дробей

Здесь Разложение рациональной дроби на сумму элементарных дробей — простой корень многочлена Разложение рациональной дроби на сумму элементарных дробей, Разложение рациональной дроби на сумму элементарных дробей — корень кратности Разложение рациональной дроби на сумму элементарных дробей.

Квадратные трёхчлены Разложение рациональной дроби на сумму элементарных дробей не имеют действительных корней. Тогда правильную дробь (6.9) можно представить суммой простейших дробей.

Зависимость типа простейшей дроби от характера корней знаменателя

  1. Каждому простому действительному корню соответствует простейшая дробь 1-го типа.
  2. Каждому кратному действительному корню кратности Разложение рациональной дроби на сумму элементарных дробей соответствует одна дробь 1-го типа и Разложение рациональной дроби на сумму элементарных дробей дробей 2-го типа, показатель степени знаменателя которых возрастает от 2-й до Разложение рациональной дроби на сумму элементарных дробей-й.
  3. Каждому простому многочлену второй степени с отрицательным дискриминантом соответствует простейшая дробь 3-го типа.
  4. Каждому кратному многочлену второй степени с отрицательным дискриминантом соответствуют простейшие дроби 3-го и 4-го типа.
Разложение рациональной дроби на сумму элементарных дробей

Выражения в каждой квадратной скобке соответствуют каждому множителю в разложении (6.10).

Неизвестные коэффициенты Разложение рациональной дроби на сумму элементарных дробей, Разложение рациональной дроби на сумму элементарных дробей, Разложение рациональной дроби на сумму элементарных дробей определяются путём приведения правой части (6.11) к общему знаменателю.

Затем используют равенство числителей полученной и исходной дроби, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях Разложение рациональной дроби на сумму элементарных дробей.

Другой прием заключается в том, что переменной Разложение рациональной дроби на сумму элементарных дробей в равенстве числителей задают ряд числовых значений, причем «удобными» значениями являются действительные корни знаменателя.

И в том и в другом случае образуется система алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов.

Пример №2

Разложить на простейшие дроби

Разложение рациональной дроби на сумму элементарных дробей

Решение:

Простому корню знаменателя Разложение рациональной дроби на сумму элементарных дробей соответствует одна простейшая дробь, корню Разложение рациональной дроби на сумму элементарных дробей кратности 2 соответствуют две простейшие дроби. Квадратный трёхчлен Разложение рациональной дроби на сумму элементарных дробей не имеет действительных корней, ему соответствует одна простейшая дробь, в числителе которой — линейный двучлен.

Разложение рациональной дроби на сумму элементарных дробей

Приводим правую часть к общему знаменателю, приравнивая затем числители левой и правой частей. Получим тождество:

Разложение рациональной дроби на сумму элементарных дробей

Подставляя в тождество различные значения Разложение рациональной дроби на сумму элементарных дробей, получаем уравнения относительно неизвестных коэффициентов (в первую очередь используем значения Разложение рациональной дроби на сумму элементарных дробей, равные корням знаменателя 0 и -1).

Пусть Разложение рациональной дроби на сумму элементарных дробей, тогда Разложение рациональной дроби на сумму элементарных дробей.

Пусть Разложение рациональной дроби на сумму элементарных дробей, тогда Разложение рациональной дроби на сумму элементарных дробей. Задавая далее Разложение рациональной дроби на сумму элементарных дробей получаем систему уравнений:

Разложение рациональной дроби на сумму элементарных дробей

Решаем систему одним из методов (Крамера, Гаусса или матричным). Получим Разложение рациональной дроби на сумму элементарных дробей. Запишем окончательный вид разложения заданной дроби на простейшие:

Разложение рациональной дроби на сумму элементарных дробей

Вывод:

Определение интеграла от рациональной дроби производят в следующей последовательности.

  1. Выясняют, правильная дробь, или неправильная. Если дробь правильная, переходят к пункту 2. Если дробь неправильная, то выделяют целую часть и правильную рациональную дробь.
  2. Знаменатель правильной рациональной дроби разлагают на простейшие множители.
  3. Правильную рациональную дробь представляют суммой простейших дробей 1-4 типов и определяют неизвестные коэффициенты.
  4. Интеграл от исходной дроби равен сумме интегралов от целой части и простейших дробей.

Эта лекция взята с этой страницы, там вы найдёте все темы лекций по высшей математике для студентов 1 курса:

Высшая математика для 1 курса

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Интегрирование простейших рациональных дробей
Разложение многочлена на множители
Интегралы от иррациональных функций
Интегрирование тригонометрических функций