Разложение в ряд Фурье периодических функций с периодом 2п: определение и пример с решением

Как и в случае ряда Тейлора (Маклорена), ряд Фурье не всегда сходится к порождающей функции. Выясним, при каких условиях ряд Фурье для функции Разложение в ряд Фурье периодических функций с периодом 2п всё-таки сходится и имеет своей суммой как раз функцию .

Эти условия изложены в теореме Дирихле, представляющей собой достаточное условие разложимости периодической функции Разложение в ряд Фурье периодических функций с периодом 2п с периодом в ряд Фурье. Сформулируем её без доказательства.

Теорема Дирихле: Пусть периодическая функция Разложение в ряд Фурье периодических функций с периодом 2п с периодом на отрезке удовлетворяет двум условиям:

1) Разложение в ряд Фурье периодических функций с периодом 2п кусочно — непрерывна, т.е. непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода;

2) Разложение в ряд Фурье периодических функций с периодом 2п кусочно — монотонна, т.е. монотонна на всём отрезке, либо этот отрезок можно разбить на конечное число интервалов так, что на каждом из них функция монотонна. Тогда соответствующий функции Разложение в ряд Фурье периодических функций с периодом 2п ряд Фурье сходится на этом отрезке и при этом:

в точках непрерывности функции сумма ряда совпадает с самой функцией: ;
в каждой точке разрыва функции сумма ряда равна среднему арифметическому пределов функции в данной точке справа и слева;
на концах отрезка (в точках и ) сумма ряда равна

Таким образом, если функция Разложение в ряд Фурье периодических функций с периодом 2п с периодом на отрезке удовлетворяет условиям теоремы Дирихле, то для неё имеет место разложение в ряд Фурье: Разложение в ряд Фурье периодических функций с периодом 2п , где коэффициенты Фурье
вычисляются по формулам

Заметим, что большинство функций, которые встречаются в математике и её приложениях, удовлетворяют условиям теоремы Дирихле, поэтому для них ряд Фурье сходится к порождающей функции в обычном смысле. Однако существуют функции, не удовлетворяющие условиям теоремы Дирихле, но при этом разложимые в ряд Фурье. Таким образом, теорема Дирихле даёт лишь достаточное условие разложимости, но не необходимое.

Пример №37.2.

Разложите в ряд Фурье функцию Разложение в ряд Фурье периодических функций с периодом 2п на отрезке .

Решение:

Так как функция Разложение в ряд Фурье периодических функций с периодом 2п дифференцируема на и удовлетворяет условиям теоремы Дирихле, то она разложима в ряд Фурье. Собственно ряд Фурье для неё на Разложение в ряд Фурье периодических функций с периодом 2п был получен в примере 37.1.:

Следовательно, разложение в ряд Фурье для функции Разложение в ряд Фурье периодических функций с периодом 2п на отрезке имеет вид:

При этом значение полученного ряда в концах интервала равно Разложение в ряд Фурье периодических функций с периодом 2п , следовательно, сумма ряда равна значению порождающей функции для всех точек интервала .

Ответ: Разложение в ряд Фурье периодических функций с периодом 2п .