Оглавление:
Решение невырожденных линейных систем. Формулы Крамера
Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными
или в матричной форме
Основная матрица такой системы квадратная. Определитель этой матрицы
называется определителем системы. Если определитель системы отличен от нуля, то система называется невырожденной.
Найдем решение данной системы уравнений в случае .
Умножив обе части уравнения слева на матрицу , получим . Поскольку , то
Отыскание решения системы по формуле (4.1) называют матричным способом решения системы.
Матричное равенство (4.1) запишем в виде
то есть
Отсюда следует, что
Но есть разложение определителя
по элементам первого столбца. Определитель получается из определителя путем замены первого столбца коэффициентов столбцом из свободных членов.
Итак,
Аналогично: , где получен из путем замены второго столбца коэффициентов столбцом из свободных членов; .
Формулы
называются формулами Крамера.
Итак, невырожденная система линейных уравнений с неизвестными имеет единственное решение, которое может быть найдено матричным способом (4.1) либо по формулам Крамера (4.2).
Пример №4.3.
Решить систему
Решение:
Значит,
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
Невырожденные матрицы |
Решение систем линейных уравнений |
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса |
Уравнения поверхности в пространстве |