Решение задач на движение

При решении задач на движение следует иметь в виду, что движение тел, о которых идет речь в задаче, если нет специальных оговорок, считается равномерным. Обычно вводятся следующие неизвестные: Решение задач на движение — путь, Решение задач на движение — скорость, Решение задач на движение — время, в течение которого путь Решение задач на движение преодолевается со скоростью Решение задач на движение. Основная формула, использующаяся в этих задачах: Решение задач на движение, и производные формулы:Решение задач на движение и Решение задач на движение Возможны и другие обозначения, например, путь часто обозначают Решение задач на движение, скорость — Решение задач на движение. Повороты движущихся тел считаются мгновенными, т.е. они происходят без затрат времени, скорости также меняются мгновенно. Если тело движется по течению реки, то его скорость складывается из его собственной скорости, т.е. скорости движения в стоячей воде, и скорости течения реки, а если оно движется против течения реки, то из его собственной скорости вычитается скорость течения реки. Можно записать так: Решение задач на движениеРешение задач на движениеСчитается, что плот движется со скоростью течения.

При решении задач на движение часто встречаются следующие две возможности:
1) движение навстречу друг другу; если два тела движутся навстречу друг другу со скоростями Решение задач на движениеи Решение задач на движение первоначальное расстояние между ними равно Решение задач на движение, то время, через которое они встретятся:Решение задач на движениев этом случае — скорость сближения тел;
2) движение в одном направлении, когда скорость одного тела превышает скорость другого, и первое тело догоняет второе. Если первоначальное расстояние между ними равно Решение задач на движение и Решение задач на движение то время до их встречи Решение задач на движение В этом случае скорость сближения Решение задач на движение

Задача №7

Поезд должен был пройти 220 км за определенное время. Через 2 часа после начала движения он был задержан на 10 мин и, чтобы прийти вовремя в пункт назначения, увеличил скорость на 5 км/ч. Найти первоначальную скорость поезда.

Решение:

Обозначим первоначальную скорость поезда Решение задач на движение км/ч. Тогда на весь путь он должен был затратить Решение задач на движение— часов. Реально он за 2 часа прошел Решение задач на движение км, и ему осталось пройти Решение задач на движение км. Последний участок пути он прошел со скоростью Решение задач на движение км/ч и затратил на него Решение задач на движение часов. 10 мин = Решение задач на движениечаса. Составим уравнение: Решение задач на движение

Решим уравнение:

Решение задач на движение

Ответ: первоначальная скорость поезда Решение задач на движение

Задача №8

Моторная лодка, скорость которой в стоячей воде равна 15 км/ч, прошла Решение задач на движение км вниз по течению реки и вернулась обратно. Найти скорость течения реки, если на весь путь затрачено 20 часов.

Решение:

Обозначим скорость течения реки Решение задач на движение км/ч. Тогда скорость лодки по течению равна Решение задач на движение км/ч, ее скорость против течения равна Решение задач на движение км/ч. Составим уравнение:Решение задач на движение

Решим уравнение: Решение задач на движение

Решение задач на движение

не подходит)

Ответ: скорость течения 4 км/ч.

Задача №9

Две автомашины выехали одновременно из одного пункта в одном и том же направлении. Одна машина движется со скоростью 50 км/ч, другая — 40 км/ч. Спустя полчаса из того же пункта в том же направлении выехала третья машина, которая обогнала 1-ю машину на 1 ч 30 мин позже, чем 2-ю. Найти скорость третьей машины.

Решение:

Пусть скорость 3-й машины Решение задач на движение км/ч. Т.к. она обогнала две предыдущие машины, то Решение задач на движение 1-я машина за полчаса прошла Решение задач на движение (км), 2-я машина Решение задач на движение Соответствующие скорости сближения 1-й и 3-й машин, 2-й и 3-й машин: Решение задач на движение км/ч и Решение задач на движение км/ч. Составим уравнение:

Решение задач на движение

Ответ: скорость третьей машины 60 км/ч.

Задача №45

Стрекоза и муха двигаются по прямой. Стрекоза догоняет муху, их скорости равны 1,2 м/с и 0,3 м/с. Через сколько секунд расстояние между насекомыми сократится с 6,5 м до 20 см?

Решение:

Скорость сближения стрекозы и мухи равна разности их скоростей:

Решение задач на движение

Расстояние, которое нужно преодолеть с этой скоростью, равно Решение задач на движение м. Следовательно, время равно Решение задач на движение

О т в е т: 7 с.

Задача №46

Из двух сел одновременно навстречу друг другу выехали автобус и грузовик. Через 0,5 ч они встретились. Какое расстояние между селами, если скорость автобуса 60, а грузовика 48 км/ч?

Решение:

Скорость сближения автобуса и грузовика: Решение задач на движениеРешение задач на движение км/ч. Они ехали 0,5 ч, следовательно, расстояние между селами Решение задач на движение

Задача №47

Катер прошел расстояние между пристанями по течению реки за 2 часа, а обратно против течения за 3 часа. Найти собственную скорость катера, если скорость течения реки 2 км/ч.

Решение:

Пусть собственная скорость катера Решение задач на движение км/ч. Тогда его скорость по течению Решение задач на движение, а против течения Решение задач на движение км/ч. Приравняем расстояния:Решение задач на движениеРешение задач на движение

Ответ: собственная скорость катера 10 км/ч.

Задача №48

Пассажирский поезд проходит за 3 часа на 10 км больше, чем товарный за 4 часа. Скорость товарного поезда на 20 км/ч меньше скорости пассажирского. Найти скорость пассажирского поезда.

Решение. Пусть искомая скорость Решение задач на движение, тогда скорость товарного поездаРешение задач на движение км/ч. За 3 часа пассажирский поезд проходит Решение задач на движение, а товарный за 4 часа Решение задач на движение км. Уравнение Решение задач на движение

Ответ: скорость пассажирского поезда 70 км/ч.

Задача №49

Велосипедист и пешеход отправились из пунктов Решение задач на движение и Решение задач на движение, расстояние между которыми 12 км, и встретились через 20 мин. Пешеход прибыл в пункт Решение задач на движение на 1 ч 36 мин позже, чем велосипедист в Решение задач на движение. Найти скорость пешехода.

Решение. Пусть скорость пешехода Решение задач на движение, а скорость велосипедиста Решение задач на движение км/ч. Скорость их сближения Решение задач на движение км/ч, поэтому

Решение задач на движение

Время пешехода в пути Решение задач на движение, время велосипедиста Решение задач на движение ч, поэтому

Решение задач на движение

Решаем систему уравнений:

Решение задач на движение
Решение задач на движение

Пара чисел Решение задач на движение не подходит, т. к. скорость считается положительной.

Ответ: скорость пешехода 6 км/ч.

Задача №50

Из пункта Решение задач на движение в пункт Решение задач на движение вышел товарный поезд. Спустя 3 ч вслед за ним вышел пассажирский поезд, скорость которого на 30 км/ч больше скорости товарного. Через 15 ч после своего выхода пассажирский поезд оказался впереди товарного на 300 км. Определить скорость товарного поезда.

Решение. Пусть скорость товарного поезда Решение задач на движение, тогда скорость пассажирского поезда Решение задач на движениекм/ч. Товарный поезд шел 18 ч и прошел расстояние Решение задач на движение км, пассажирский поезд шел 15 ч и прошел расстояние Решение задач на движение км. Получаем

Решение задач на движение

Ответ: скорость товарного поезда 50 км/ч.

Задача №51

Путь от Решение задач на движение до Решение задач на движение автомобиль проезжает с определенной скоростью за 2,5 часа. Если он увеличит скорость на 20 км/ч, то за 2 ч проедет на 15 км больше, чем расстояние от Решение задач на движение до Решение задач на движение. Найти расстояние от Решение задач на движение до Решение задач на движение .

Решение. Пусть Решение задач на движение км — расстояние от Решение задач на движение до Решение задач на движение. Тогда неувеличенная скорость автомобиля Решение задач на движение, а увеличенная Решение задач на движениекм/ч. Получаем Решение задач на движение Решаем уравнение:

Решение задач на движение

Ответ: расстояние Решение задач на движениеравно 125 км.

Задача №52

Половину пути мотоциклист ехал с намеченной скоростью 45 км/ч, затем задержался на 10 мин и поэтому, чтобы наверстать время, увеличил скорость на 15 км/ч. Каков весь путь мотоциклиста?

Решение. Примем весь путь за Решение задач на движение км. Тогда, если бы мотоциклист ехал с намеченной скоростью, он потратил бы времени Решение задач на движение ч, но реально время его движения: Решение задач на движениеПоэтому

Решение задач на движение

Ответ: путь мотоциклиста 60 км.

Задача №53

Расстояние между двумя пунктами поезд должен пройти за 10 часов. Пройдя первые 9 ч с намеченной скоростью, он снизил скорость на 7 км/ч и прибыл в конечный пункт с опозданием на 6 мин. Найти первоначальную скорость поезда.

Решение. Пусть первоначальная скорость поезда Решение задач на движение км/ч. Тогда расстояние между пунктами Решение задач на движение

Решение задач на движение

км. Поезд прошел снача-
ла 9х, затем (х — 7) км. Таким образом,
10х = 9® + (х — 7) • 1,1 =► х = 1,1.x — 7,7 => 0,1х = 7,7 => => х = 77.

Ответ: скорость поезда была 77 км/ч.

Задача №54

Велосипедист едет из одного города в другой со скоростью 10 км/ч. Если бы он ехал со скоростью 12 км/ч, то приехал бы в конечный пункт на 4 ч раньше. Какое расстояние преодолеет велосипедист?

Решение. Пусть расстояние между городами Решение задач на движение км. Тогда при скорости 10 км/ч велосипедист затратит на поездку Решение задач на движениеа при скорости 12 км/ч Решение задач на движение часов.

Уравнение Решение задач на движение

Ответ: 240 км.

Задача №55

Из города Решение задач на движение в город Решение задач на движение выезжает велосипедист, а через 3 часа после его выезда из города Решение задач на движение навстречу ему выезжает мотоциклист, скорость которого в 3 раза больше скорости велосипедиста. Велосипедист и мотоциклист встречаются посередине между Решение задач на движение и Решение задач на движение. Если бы мотоциклист выехал не через 3, а через 2 часа после велосипедиста, то встреча произошла бы на 15 км ближе к Решение задач на движение. Найти расстояние между Решение задач на движение и Решение задач на движение.

Решение. Пусть расстояние Решение задач на движениеравно Решение задач на движение км, а скорость велосипедиста Решение задач на движение км/ч. Тогда скорость мотоциклиста Решение задач на движение км/ч; время Решение задач на движение поездки в 1-м случае

Решение задач на движение
Решение задач на движение

Ответ: расстояние Решение задач на движение км.

Задача №56

Города Решение задач на движение и Решение задач на движение расположены на берегу реки, причем город Решение задач на движение расположен ниже по течению. Из этих городов одновременно навстречу друг другу выходят две лодки, которые встречаются посередине между городами Решение задач на движение и Решение задач на движение. Продолжив свой путь после встречи в прежних направлениях и достигнув соответственно городов Решение задач на движение и Решение задач на движение, лодки мгновенно поворачивают обратно и встречаются вновь на 20 км ближе к городу Решение задач на движение. Если бы те же лодки, выйдя одновременно из Решение задач на движение и Решение задач на движение, поплыли обе против течения, то лодка из Решение задач на движение догнала бы лодку из Решение задач на движение в 150 км отРешение задач на движение. Найти расстояние от Решение задач на движение до Решение задач на движение.

Решение.

Решение задач на движение

Обозначим: Решение задач на движение км/ч — собственная скорость лодки, вышедшей из Решение задач на движение; Решение задач на движение км/ч — собственная скорость лодки, вышедшей из Решение задач на движение; Решение задач на движение км/ч — скорость течения; Решение задач на движение км — расстояние между Решение задач на движение и Решение задач на движение. Тогда 1-е условие дает соотношение:

Решение задач на движение

Из 2-го условия следует:

Решение задач на движение

И из 3-го условия следует:

Решение задач на движение
Решение задач на движение

Задача №57

Автомобиль с грузом ехал из одного города в другой со скоростью 60 км/ч, а возвращался обратно порожняком со скоростью 100 км/ч. Найти среднюю скорость автомобиля.

Решение. ПустьРешение задач на движение км — расстояние между городами, тогда Решение задач на движение — время движения автомобиля с грузом и Решение задач на движение время движения автомобиля обратно.

Решение задач на движение

Ответ: средняя скорость автомобиля 75 км/ч.

Задача №58

Поезд прошел мимо наблюдателя за 6 сек, а по мосту длиной 350 метров проходил в течение 20 сек. Найти скорость и длину поезда.

Решение. Пусть Решение задач на движение м — длина поезда и Решение задач на движение м/сек — его скорость.

Тогда имеем систему:

Решение задач на движение

Задача №59

В гору ехал автомобиль. В 1-ю секунду после достижения пункта Решение задач на движение он проехал 30 м, а в каждую следующую секунду он проезжал на 2 м меньше, чем в предыдущую. Через 9 сек после того, как автомобиль достиг пункта Решение задач на движение, навстречу ему выехал автобус из пункта Решение задач на движение, находящегося на расстоянии 258 м от пункта Решение задач на движение. В 1-ю секунду автобус проехал 2 м, а в каждую следующую секунду он проезжал на 1 м больше, чем в предыдущую. Какое расстояние проехал автобус до встречи с автомобилем?

Решение.

Решение задач на движение

Автомобиль за 9 сек проехал расстояние Решение задач на движение, причем Решение задач на движение может быть найдено как сумма Решение задач на движение членов арифметической прогрессии:

Решение задач на движение

Расстояние Решение задач на движениеПусть автомобиль из Решение задач на движение и автобус из Решение задач на движение двигались навстречу друг другу до встречи Решение задач на движение сек. Тогда путь автомобиля считается как сумма к членов арифметической прогрессии: Решение задач на движение

Путь автобуса также можно посчитать как сумму Решение задач на движение членов арифметической прогрессии:Решение задач на движение

Решение задач на движение

Задача №60

Из пункта Решение задач на движение в пункт Решение задач на движение выехал грузовой автомобиль. Через 1 ч из пункта Решение задач на движение в пункт Решение задач на движение выехал легковой автомобиль, который прибыл в пункт Решение задач на движение одновременно с грузовым автомобилем. Если бы грузовой и легковой автомобили одновременно выехали из пунктов Решение задач на движение и Решение задач на движение навстречу друг другу, то они бы встретились через 1 ч 12 мин после выезда. Сколько времени провел в пути от Решение задач на движение до Решение задач на движение грузовой автомобиль?

Решение. Пусть легковой автомобиль был в пути Решение задач на движение, а грузовой —Решение задач на движение ч; путь от Решение задач на движение до Решение задач на движениеРешение задач на движение км. Тогда скорость легкового автомобиля Решение задач на движение, а грузового — Решение задач на движение км/ч. Из условия

Решение задач на движение

Задача №61

На полпути между городами Решение задач на движение и Решение задач на движение, расстояние между которыми 280 км, расположен поселок Решение задач на движение. Из Решение задач на движение и Решение задач на движение одновременно выехали навстречу друг другу автобус и грузовик: автобус — из Решение задач на движение, грузовик — из Решение задач на движение. Автобус прибыл в Решение задач на движение одновременно с прибытием грузовика в Решение задач на движение. Затем обе машины одновременно выехали навстречу друг другу, встретились в пункте Решение задач на движение и прибыли одновременно: автобус в Решение задач на движение, а грузовик в Решение задач на движение. Найти расстояние от города Решение задач на движение до пункта Решение задач на движение, если известно, что автобус и грузовик двигались каждый со своей постоянной скоростью и оба сделали остановки одинаковой продолжительности: автобус — на пути от Решение задач на движение к Решение задач на движение, а грузовик — на пути от Решение задач на движение к Решение задач на движение.

Решение.

Решение задач на движение
Решение задач на движение

Пусть Решение задач на движение км/ч — скорость автобуса; Решение задач на движение км/ч — скорость грузовика; Решение задач на движение ч — продолжительность остановок; Решение задач на движение км — расстояние Решение задач на движение. Тогда из условий имеем систему:

Решение задач на движение

Задача №62

Из пункта Решение задач на движение в пункт Решение задач на движение по течению отплывает лодка. Одновременно с ней из Решение задач на движениепротив течения отправляется катер, который, прибыв в Решение задач на движение, не останавливаясь, следует обратно в Решение задач на движение, а из Решение задач на движение также без остановки отправляется в Решение задач на движение. На этом последнем участке маршрута катер опять встречает лодку, которая прошла к этому моменту Решение задач на движение пути от Решение задач на движение до Решение задач на движение. Скорость лодки при движении по течению в 9 раз больше ее скорости против течения. Во сколько раз скорость катера по течению больше скорости лодки по течению? Решение.

Решение задач на движение

Пусть Решение задач на движение км/ч — собственная скорость лодки; Решение задач на движение км/ч — собственная скорость катера; Решение задач на движение км/ч — скорость течения; Решение задач на движение — путь Решение задач на движение. Тогда Решение задач на движение и Решение задач на движение км/ч — скорость лодки по и против течения; Решение задач на движениеи Решение задач на движение км/ч — скорость катера по и против течения. Тогда из условий

Решение задач на движение

Требуется определить Решение задач на движение

Решение задач на движение

Решаем 2-е уравнение:

Решение задач на движение

Задача №63

Из двух пунктов одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Определить, через сколько времени они встретятся, зная следующее: если бы один из пешеходов шел вдвое быстрее, то встреча произошла бы на полчаса раньше, а если бы вдвое быстрее шел другой — то на 48 мин раньше.

Решение.

Решение задач на движение

Введенные обозначения и условия задачи позволяют написать систему трех уравнений с 4-мя неизвестными, где Решение задач на движение час — время до встречи при движении пешеходов с первоначальными скоростями.

Решение задач на движение
Решение задач на движение

Задача №64

Из пунктов Решение задач на движениеи Решение задач на движение, находящихся друг от друга на расстоянии 120 км, по прямолинейным дорогам, сходящимся в пункте Решение задач на движение под углом 60°, одновременно выехали грузовик и автобус соответственно со скоростями 40 и 60 км/ч. Автобус прибыл в пункт Решение задач на движение на 1 ч раньше грузовика. Найти время движения автобуса.

Решение. Пусть Решение задач на движениеч — время движения автобуса.

Решение задач на движение

Расстояние Решение задач на движение равно Решение задач на движение расстояние Решение задач на движениекм.

По теореме косинусов

Решение задач на движение
Решение задач на движение

Ответ: автобус ехал 2 часа.

Задача №65

Пункты Решение задач на движение, Решение задач на движение, Решение задач на движение удалены от пункта Решение задач на движение соответственно на 60, 55 и 56 км. Одновременно из этих пунктов в пункт Решение задач на движение вышли 3 пешехода: 1-й из Решение задач на движение, 2-й из Решение задач на движение и 3-й из Решение задач на движение. 1-й прошел весь путь с постоянной скоростью и прибыл в Решение задач на движение на 2 ч раньше 2-го и 3-го, прибывших одновременно. 2-й пешеход, пройдя 40 км с той же скоростью, что и 1-й, сделал остановку на 1 ч. Остаток пути он прошел со скоростью, которая меньше скорости 3-го пешехода на столько же, на сколько скорость 3-го меньше скорости 1-го пешехода. 3-й пешеход прошел весь путь с постоянной скоростью. Определить скорости 1-го и 3-го пешеходов.

Решение.

Решение задач на движение

Задача №66

Из 2-х пунктов, расстояние между которыми 2400 км, навстречу друг другу выезжают одновременно пассажирский и скорый поезда. Каждый из них едет с постоянной скоростью, и в некоторый момент они встречаются. Если бы оба поезда шли со скоростью скорого, то их встреча произошла бы на 3 часа раньше, если бы оба поезда шли со скоростью пассажирского, то их встреча произошла бы на 5 часов позже фактического момента встречи. Найти скорости поездов.

Решение. Пусть Решение задач на движение км/ч — скорость пассажирского и Решение задач на движение км/ч — скорого поезда. Тогда Решение задач на движение — время движения поездов до встречи. Из условий получаем:

Решение задач на движение

Задача №67

В реку впадает приток. Пароход отходит от пристани Решение задач на движение на притоке, идет вниз по течению 80 км до реки, далее по реке вверх против течения до пристани Решение задач на движение, затратив 18 часов на весь путь от Решение задач на движение до Решение задач на движение. Затем пароход возвращается обратно. Время обратного движения от Решение задач на движение до Решение задач на движение по тому же пути равно 15 часам. Собственная скорость парохода равна 18 км/ч. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Каково расстояние от пристани Решение задач на движение до пристани Решение задач на движение и какова скорость притока?

Решение.

Пусть Решение задач на движение км/ч — скорость притока; Решение задач на движение км — расстояние от пристани Решение задач на движение до впадения притока в реку. Тогда из условий имеем систему двух уравнений:

Решение задач на движение

Решение задач на движение

Задача №68

Две реки с прямолинейными руслами и одинаковой скоростью течения впадают в одном и том же месте в озеро, образуя между собой угол 60°. От двух причалов, расположенных на разных реках и отстоящих друг от друга на расстоянии 28 км, одновременно вышли байдарка и лодка, скорости которых в стоячей воде соответственно равны 10 и 3 км/ч. Байдарка достигла озера через 2, а лодка — через 4 часа. Найти скорость течения реки.

Решение.

Решение задач на движение

Путь лодки от Решение задач на движение до озера Решение задач на движение: Решение задач на движениеПуть байдарки от Решение задач на движение до озера Решение задач на движение: Решение задач на движение

По теореме косинусов

Решение задач на движение
Решение задач на движение

и Решение задач на движение (не подходит, т. к. Решение задач на движение).

Ответ: скорость течения реки 4 км/ч.

Задача №69

Две точки движутся по окружности длиной 120 м с постоянными скоростями. Если они движутся в разных направлениях, то встречаются через каждые 15 сек. При движении в одном направлении одна точка догоняет другую через каждые 60 сек. Найти скорости точек.

Решение.

Решение задач на движение

Пусть одна точка движется со скоростью Решение задач на движение, а другая — Решение задач на движение м/с; Решение задач на движение. Тогда, если они движутся навстречу друг другу, tsj- то за 15 сек вместе описывают окружность: Решение задач на движение Если они движутся, догоняя одна другую, то Решение задач на движение

Решение задач на движение

Ответ: скорости точек 5 и 3 м/с.

Задача №70

Из пункта Решение задач на движение в пункт Решение задач на движениеотправился скорый поезд. Одновременно навстречу ему из Решение задач на движение в Решение задач на движение вышел товарный поезд, который встретился со скорым через Решение задач на движение часа после отправления. Расстояние между Решение задач на движение и Решение задач на движение равно 80 км, поезда двигались с постоянными скоростями. С какой скоростью двигался скорый поезд, если 40 км он шел на Решение задач на движение часа дольше, чем товарный поезд шел 5 км?

Решение.

Решение задач на движение

Обозначим через Решение задач на движение и Решение задач на движениескорости скорого и товарного поездов. Из условия, до встречи поездов в Решение задач на движение прошло Решение задач на движение часа, значит можно написать уравнение: Решение задач на движение Из 2-го условия Решение задач на движение

Решение задач на движение

Задача №71

Пароход, отчалив от пристани Решение задач на движение , спустился вниз по течению реки на 60 км до устья впадающего в реку притока и поднялся вверх по притоку на 20 км до пристани Решение задач на движение. Весь путь от Решение задач на движение до Решение задач на движение пароход прошел за 7 часов. Скорость течения реки и скорость течения притока равны 1 км/ч. Найти собственную скорость парохода.

Решение.

Пусть собственная скорость парохода Решение задач на движение км/ч. Тогда при движении по течению реки он затратил Решение задач на движение часов, а при движении против течения притока — Решение задач на движение часов. По условию

Решение задач на движение

Задача №72

Два тела движутся по окружности равномерно в одну сторону, причем 1-е тело проходит окружность на 2 сек быстрее 2-го и догоняет 2-е тело каждые 12 сек. За какое время каждое тело проходит окружность?

Решение. Пусть Решение задач на движение и Решение задач на движение м/с Решение задач на движение — скорости движения тел по окружности, Решение задач на движение — длина окружности. Тогда из условий задачи

Решение задач на движение
Решение задач на движение

Этот материал взят со страницы решения задач по математике:

Решение задач по математике

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Решение задач на проценты по математике
Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации по математике
Решение задач на работу по математике
Решение задач на части по математике