Функции: задачи с решением и примерами

Оглавление:

Сначала идёт подробная теория по функциям, а потом примеры решения задач по функциям.

Функция

К оглавлению…

Функция Функции задачи с решением и примерами считается заданной, если каждому Функции задачи с решением и примерамисоответствует единственное по определенному правилу вычисленное Функции задачи с решением и примерами, где Функции задачи с решением и примерами и Функции задачи с решением и примерами — числовые множества. Говорят, что Функции задачи с решением и примерамизависит от Функции задачи с решением и примерами, и функция — это зависимость переменной Функции задачи с решением и примерамиот переменной Функции задачи с решением и примерами. Множество Функции задачи с решением и примерами называется областью определения функции, множество Функции задачи с решением и примерамиобластью значений функции. Переменную Функции задачи с решением и примерами называют независимой переменной, а переменную Функции задачи с решением и примерамизависимой. Переменная Функции задачи с решением и примерами является функцией от Функции задачи с решением и примерами, что записывается Функции задачи с решением и примерами Для записи функций используются и другие буквы: Функции задачи с решением и примерамиФункции задачи с решением и примерами и т. п.

Переменная Функции задачи с решением и примерами называется аргументом функции, Функции задачи с решением и примерами — ее значением.

Функция может быть задана формулой, таблицей и другими способами. Если функция задана формулой, и область определения функции не указана, то считается, что область определения состоит из всех значений независимой переменной, при которых эта формула имеет смысл.

Например, если Функции задачи с решением и примерами то область определения функции все Функции задачи с решением и примерами, кроме Функции задачи с решением и примерами, т. е. Функции задачи с решением и примерами

Если Функции задачи с решением и примерами — многочлен, то Функции задачи с решением и примераминазывается целой рациональной функцией; если Функции задачи с решением и примерами — это дробно-рациональная функция. Например, Функции задачи с решением и примерами — целая рациональная функция 3-й степени; Функции задачи с решением и примерами—— дробно-рациональная функция.

Введем понятие координатной плоскости. Проведем на плоскости через точку Функции задачи с решением и примерами две взаимно перпендикулярных прямые Функции задачи с решением и примерами иФункции задачи с решением и примерами — оси координат. Ось Функции задачи с решением и примерами называется осью абсцисс, осьФункции задачи с решением и примерами — осью ординат, точка Функции задачи с решением и примерами— началом координат. Этой точкой каждая из осей разбивается на две полуоси, одна из которых — положительная, другая — отрицательная.

Каждой точке плоскости ставится в соответствие пара чисел Функции задачи с решением и примерами; Функции задачи с решением и примерамикоординаты точки. Это записывается Функции задачи с решением и примерами, Функции задачи с решением и примерами — абсцисса точки, Функции задачи с решением и примерами — ордината. Значение Функции задачи с решением и примерами определяется как расстояние от начала координат до основания перпендикуляра, опущенного из точки Функции задачи с решением и примерами на ось Функции задачи с решением и примерами; значение Функции задачи с решением и примерами— расстояние от начала координат до основания перпендикуляра, опущенного из точки Функции задачи с решением и примерами на Функции задачи с решением и примерами.Для определения значений Функции задачи с решением и примерами и Функции задачи с решением и примерами на осях выбираются единичные отрезки.

Функции задачи с решением и примерами

Оси координат разбивают плоскость на 4 четверти: I, II, III и IV. В I четверти обе координаты положительны, во II — координата Функции задачи с решением и примерами отрицательна, Функции задачи с решением и примерами положительна, в III — обе координаты отрицательны, в IV — Функции задачи с решением и примерами положительна, Функции задачи с решением и примерами отрицательна. Приведенное описание — это прямоугольная декартова система координат. Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции. График представляет собой линию на плоскости, непрерывную или разрывную.

Линейная функция

К оглавлению…

Функция вида Функции задачи с решением и примерами где Функции задачи с решением и примерами и Функции задачи с решением и примерами — числа, называется линейной функцией, ее область определения Функции задачи с решением и примерами т.е. Функции задачи с решением и примерами. Область значений линейной функции Функции задачи с решением и примерами, т. е.Функции задачи с решением и примерами, если Функции задачи с решением и примерами; если Функции задачи с решением и примерами, то Функции задачи с решением и примерами.

Функции задачи с решением и примерами

График линейной функции — прямая линия, угол наклона которой к оси Функции задачи с решением и примерами определяется числом Функции задачи с решением и примерами (угловой коэффициент). Если Функции задачи с решением и примерами — угол наклона, то Функции задачи с решением и примерамиесли Функции задачи с решением и примерами, то прямая параллельна Функции задачи с решением и примерами.

Например, график функции Функции задачи с решением и примерамиФункции задачи с решением и примерами — прямая Функции задачи с решением и примерами.

Функции задачи с решением и примерами

График линейной функции строится по двум точкам, т. к. две точки определяют прямую единственным образом.

Квадратичная функция

К оглавлению…

Функция Функции задачи с решением и примерами, где Функции задачи с решением и примерами называется квадратичной. Область определения квадратичной функцииФункции задачи с решением и примерами, или Функции задачи с решением и примерами График квадратичной функции называется параболой, ее ветви направлены вверх, если Функции задачи с решением и примерами, и вниз, если Функции задачи с решением и примерами. И в том, и в другом случае парабола имеет вершину, координаты которой вычисляются по следующим формулам:Функции задачи с решением и примерами;Функции задачи с решением и примерами. Обычно при необходимости по формуле вычисляют Функции задачи с решением и примерами, a Функции задачи с решением и примерами получают подстановкой Функции задачи с решением и примерами в формулу Функции задачи с решением и примерами, т. е. Функции задачи с решением и примерами. Парабола имеет вертикальную ось симметрии, проходящую через вершину. Построение параболы часто сводится к нахождению точек пересечения графика с Функции задачи с решением и примерами т.е. корней уравнения Функции задачи с решением и примерами, если они существуют, и координат вершины. Если корней нет, то находят еще несколько точек.

Функции задачи с решением и примерами

Например, график функции Функции задачи с решением и примерамиФункции задачи с решением и примерами имеет вершину в т. Функции задачи с решением и примерами, т.к. Функции задачи с решением и примерами и проходит через точки Функции задачи с решением и примерами и Функции задачи с решением и примерами. Построим графики функций Функции задачи с решением и примерамиФункции задачи с решением и примерамии Функции задачи с решением и примерамиФункции задачи с решением и примерами

1) Функции задачи с решением и примерамиФункции задачи с решением и примерамиФункции задачи с решением и примерами

2)Функции задачи с решением и примерамиКорни уравнения те же

Функции задачи с решением и примерами

Из графиков видно, что множество значений квадратичной функции Функции задачи с решением и примерами, если Функции задачи с решением и примерами, и Функции задачи с решением и примерами если Функции задачи с решением и примерами

Функции задачи с решением и примерами

Эта функция называется обратной пропорциональностью. Область ее определения Функции задачи с решением и примерами т. к. Функции задачи с решением и примерами.

Множество значений Функции задачи с решением и примерами График этой функции называется гиперболой;

Функции задачи с решением и примерами

он не имеет точек пересечения с осями Функции задачи с решением и примерами и Функции задачи с решением и примерами и имеет эти оси в качестве асимптот, т. е. прямых, к которым кривая бесконечно приближается.

График расположен в I и III четвертях, если Функции задачи с решением и примерами и во II и IV четвертях, если Функции задачи с решением и примерами.

Например, построим график Функции задачи с решением и примерами. Он проходит через точки Функции задачи с решением и примерамиФункции задачи с решением и примерами График симметричен относительно начала координат.

Степенная функция с целым показателем

К оглавлению…

Степенной функцией с целым показателем называется функция вида Функции задачи с решением и примерами, где Функции задачи с решением и примерами — целое число. Отметим, что частными случаями такой степенной функции являются линейная функция Функции задачи с решением и примерами, квадратичная функция Функции задачи с решением и примерами обратная пропорциональность Функции задачи с решением и примерами Графики этих функций представлены ниже.

Функции задачи с решением и примерами

1) Показатель степени Функции задачи с решением и примерами — нечетное положительное числоФункции задачи с решением и примерамиФункции задачи с решением и примерами, Функции задачи с решением и примераминапример, Функции задачи с решением и примерамиФункции задачи с решением и примерами

График Функции задачи с решением и примерами называется кубической параболой.
2) Функции задачи с решением и примерами — четное положительное число Функции задачи с решением и примерамиФункции задачи с решением и примерами.Функции задачи с решением и примерами, например, Функции задачи с решением и примерами

Функции задачи с решением и примерами

3) Функции задачи с решением и примерами — нечетное отрицательное число Функции задачи с решением и примерамиФункции задачи с решением и примерамиФункции задачи с решением и примерами например, Функции задачи с решением и примерами Функции задачи с решением и примерамиФункции задачи с решением и примерами

4) Функции задачи с решением и примерами — четное отрицательное число Функции задачи с решением и примерамиФункции задачи с решением и примерами например , Функции задачи с решением и примерамиФункции задачи с решением и примерами

Функции задачи с решением и примерами

Показательная функция

К оглавлению…

Функция Функции задачи с решением и примерами где Функции задачи с решением и примерами называется показательной. При этом Функции задачи с решением и примерами Функция имеет различные графики при Функции задачи с решением и примерами и Функции задачи с решением и примерами

1) Функции задачи с решением и примерами; если Функции задачи с решением и примерами возрастает, то Функции задачи с решением и примерамитакже возрастает, например, Функции задачи с решением и примерами

2) Функции задачи с решением и примерами; если Функции задачи с решением и примерами возрастает, то Функции задачи с решением и примерами убывает, например, Функции задачи с решением и примерами

Функции задачи с решением и примерами

Логарифмическая функция

К оглавлению…

Функция Функции задачи с решением и примерами, где Функции задачи с решением и примерами и Функции задачи с решением и примерами, называется логарифмической. Так же, как и в случае показательной функции, существуют 2 графика логарифмической функции: при Функции задачи с решением и примерами и при Функции задачи с решением и примерами. Например, Функции задачи с решением и примерами

Функции задачи с решением и примерами

Тригонометрические функции

К оглавлению…

Тригонометрическими функциями называются функции Функции задачи с решением и примерами

1) Функции задачи с решением и примерами График — синусоида, период Функции задачи с решением и примерами

Функции задачи с решением и примерами

2) Функции задачи с решением и примерами График — синусоида, период Функции задачи с решением и примерами

Функции задачи с решением и примерами

3) Функции задачи с решением и примерами период Функции задачи с решением и примерами

4) Функции задачи с решением и примерами период Функции задачи с решением и примерами.

Функции задачи с решением и примерами

Функции: Функции задачи с решением и примерами Функции задачи с решением и примерамиФункции задачи с решением и примерамиФункции задачи с решением и примерами относятся к элементарным. К ним присоединяют еще Функции задачи с решением и примерами

Функции задачи с решением и примерами

График функции Функции задачи с решением и примерами Функции задачи с решением и примерами

Преобразование графиков функции

К оглавлению…

Одним из способов построения графиков является способ получения из графика функции Функции задачи с решением и примерами графиков функций следующего вида:

Функции задачи с решением и примерами

Построение нового графика происходит на основе графика элементарной функции путем его преобразования.

В 1-м случае график Функции задачи с решением и примерами получается из графика Функции задачи с решением и примерамипутем сдвига этого графика как единого целого вдоль оси ординат на Функции задачи с решением и примерами единиц. Например, построим график функции Функции задачи с решением и примерами Сначала построим график Функции задачи с решением и примерами и затем сдвинем его на 3 единицы вниз.

Во 2-м случае график Функции задачи с решением и примерами получается из графика Функции задачи с решением и примерамипутем сдвига вдоль оси абсцисс на Функции задачи с решением и примерами единиц влево, еслиФункции задачи с решением и примерами , и вправо, если Функции задачи с решением и примерами. Например, построим график Функции задачи с решением и примерами

В 3-м случае для построения графика Функции задачи с решением и примерами надо растянуть график Функции задачи с решением и примерами в Функции задачи с решением и примерами раз вдоль оси ординат при неиз —

Функции задачи с решением и примерами

менной оси абсцисс. Если Функции задачи с решением и примерами, то растяжение часто называют сжатием. Например, построим графики: Функции задачи с решением и примерами

Функции задачи с решением и примерами

В 4-м случае для построения графика Функции задачи с решением и примерами надо растянуть или сжать вдоль оси абсцисс при неизменной оси ординат график Функции задачи с решением и примерами Если Функции задачи с решением и примерами, происходит растяжение, если Функции задачи с решением и примерами — сжатие. Например, построим графики Функции задачи с решением и примерамии Функции задачи с решением и примерами

Функции задачи с решением и примерами

В 5-м случае для получения графика Функции задачи с решением и примерамииз графика Функции задачи с решением и примерами нужно отразить его симметрично относительно оси абсцисс. Например, построим график функции Функции задачи с решением и примерами.

В 6-м случае для получения графика Функции задачи с решением и примерами из графика Функции задачи с решением и примерами нужно отразить его симметрично относительно оси ординат. Например, построим график функции Функции задачи с решением и примерами.

Функции задачи с решением и примерами


В 7-м случае для получения графика Функции задачи с решением и примерами из графика Функции задачи с решением и примераминужно отразить симметрично относительно оси абсцисс часть графика, лежащую ниже этой оси. Например, построим график Функции задачи с решением и примерами

Функции задачи с решением и примерами

В 8-м случае для получения графика Функции задачи с решением и примерами из графика Функции задачи с решением и примерами нужно заменить часть графика, лежащую слева от оси ординат, графиком, симметричным части графика, лежащей справа от оси ординат. Например, построим график Функции задачи с решением и примерами

Функции задачи с решением и примерами

9-й случай — это получение обратной функции. Такими взаимно обратными функциями являются Функции задачи с решением и примерами и Функции задачи с решением и примерами

Функции задачи с решением и примерами
Функции задачи с решением и примерами

Для построения обратной функции нужно функцию Функции задачи с решением и примерамисимметрично отразить относительно биссектрисы прямого угла I четверти координатной плоскости. Например, графики Функции задачи с решением и примерами и Функции задачи с решением и примерами

Функции задачи с решением и примерами

Свойства функций

К оглавлению…

1) Четность. Функция Функции задачи с решением и примерами называется четной, если на всей области определения Функции задачи с решением и примерами называется нечетной, если на всей области определения Функции задачи с решением и примерамиНапример,

Функции задачи с решением и примерами — четные функции.

Функции задачи с решением и примерами — нечетные функции.

График четной функции симметричен относительно оси ординат; график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

2) Периодичность. Функция Функции задачи с решением и примерами называется периодической, если на всей области определения Функции задачи с решением и примерами где Функции задачи с решением и примерами — период.

Например, функции Функции задачи с решением и примерами — периодические с периодом Функции задачи с решением и примерами; функции Функции задачи с решением и примерами — периодичес-кие с периодом Функции задачи с решением и примерами. Период функции Функции задачи с решением и примерами равен Функции задачи с решением и примерами, аналогично для Функции задачи с решением и примерами Функции задачи с решением и примерами

3) Возрастание. Функция Функции задачи с решением и примерами возрастает на некотором интервале из области определения, если для любых Функции задачи с решением и примерами и Функции задачи с решением и примерами из этого интервала таких, что Функции задачи с решением и примерами, выполняется Функции задачи с решением и примерами

4) Убывание. ФункцияФункции задачи с решением и примерами убывает на некотором интервале из области определения, если для любых Функции задачи с решением и примерами и Функции задачи с решением и примерами из этого интервала таких, что Функции задачи с решением и примерами выполняется Функции задачи с решением и примерами.

Функции задачи с решением и примерами

5) Экстремумы. Точка Функции задачи с решением и примерами называется точкой минимума функции Функции задачи с решением и примерами, если для всех Функции задачи с решением и примерами из некоторой окрестности Функции задачи с решением и примерами выполняется Функции задачи с решением и примерами. Само значение Функции задачи с решением и примерами — минимум функции (min). Точка Функции задачи с решением и примераминазывается точкой максимума функции Функции задачи с решением и примерами, если для всех Функции задачи с решением и примерами из некоторой окрестности Функции задачи с решением и примерами выполняется Функции задачи с решением и примерами Само значение Функции задачи с решением и примерами в этом случае называется максимумом функции (max). Выше приведена таблица свойств элементарных функций.

Функции задачи с решением и примерами

Производная функции

К оглавлению…

Допустим, областью определения функции Функции задачи с решением и примерами является интервал Функции задачи с решением и примерами Возьмем точку Функции задачи с решением и примерами и точку Функции задачи с решением и примерами в окрестности точки Функции задачи с решением и примерами; тогда разность Функции задачи с решением и примерами называется приращением аргумента в точке Функции задачи с решением и примерами.

Функции задачи с решением и примерами приращение функции в точке Функции задачи с решением и примерами.

Число Функции задачи с решением и примерами называется пределом функцииФункции задачи с решением и примерами в точке Функции задачи с решением и примерами, если для любого Функции задачи с решением и примерамипри всех Функции задачи с решением и примерами, достаточно близких к Функции задачи с решением и примерами, выполняется неравенство Функции задачи с решением и примерами. Обозначается Функции задачи с решением и примерами

Функции задачи с решением и примерами

производная функции Функции задачи с решением и примерами равна пределу отношения приращения функции к приращению аргумента, если такой предел существует и конечен. Производная функции Функции задачи с решением и примерами также обозначается Функции задачи с решением и примерами

Производные элементарных функций

К оглавлению…

Функции задачи с решением и примерами

Правила вычисления производных

К оглавлению…

Если для функций Функции задачи с решением и примерами и Функции задачи с решением и примерами существуют производные Функции задачи с решением и примерами и Функции задачи с решением и примерами, то:

Функции задачи с решением и примерами

Если функция имеет производную на некотором интервале, то она называется дифференцируемой на этом интервале.

Если в каждой точке интервала Функции задачи с решением и примерами, то Функции задачи с решением и примерами возрастает на этом интервале.

Если в каждой точке интервалаФункции задачи с решением и примерами, то на этом интервале Функции задачи с решением и примерами убывает.

Если на интервалеФункции задачи с решением и примерами имеет производную Функции задачи с решением и примерами и Функции задачи с решением и примерами и если Функции задачи с решением и примерами при Функции задачи с решением и примерами и Функции задачи с решением и примерами при Функции задачи с решением и примерами то точка Функции задачи с решением и примерами является точкой максимума функции Функции задачи с решением и примерами; при этом Функции задачи с решением и примерами

И наоборот, если при тех же условиях Функции задачи с решением и примерами при Функции задачи с решением и примерами и Функции задачи с решением и примерами при Функции задачи с решением и примерами, то точка Функции задачи с решением и примерамиточка минимума функции Функции задачи с решением и примерами, при этом Функции задачи с решением и примерами.

Уравнение касательной к графику функции

К оглавлению…

Касательная к графику Функции задачи с решением и примерами в точке Функции задачи с решением и примерами, если Функции задачи с решением и примерамидифференци-руема в точке Функции задачи с решением и примерами, — это прямая, проходящая через точку Функции задачи с решением и примерами и имеющая угловой коэффициент Функции задачи с решением и примерами Уравнение касательной: Функции задачи с решением и примерами

Например, напишем уравнение касательной к функции Функции задачи с решением и примерами в точке Функции задачи с решением и примерами

Функции задачи с решением и примерами

Уравнение касательной:Функции задачи с решением и примерамиФункции задачи с решением и примерами

Исследование функций и построение графиков

К оглавлению…

Исследование функции, т.е. наиболее полное описание ее свойств, производится, как правило, для построения ее графика и состоит из нескольких пунктов:

  1. область определения функции;
  2. область значений функции;
  3. четность, нечетность функции;
  4. периодичность функции;
  5. определение нулей функции, т.е. значений Функции задачи с решением и примерами, в которых функция обращается нуль, и значенияФункции задачи с решением и примерами, которое принимает функция при Функции задачи с решением и примерами;
  6. интервалы возрастания и убывания функции;
  7. экстремумы функции;
  8. нахождение, если это необходимо, дополнительных точек для построения графика.

Иногда к перечисленным пунктам добавляют еще нахождение интервалов знакопостоянства функции.

Однако для построения графика не всегда бывает необходимо проводить исследование по полной схеме, достаточно тех пунктов, которые дают возможность построить график. Так, бывает трудно найти область значений функции и нули функции.

Пример. Исследовать функцию и построить ее график.Функции задачи с решением и примерами.

1.Область определения Функции задачи с решением и примерами.

3.Функции задачи с решением и примерамифункция четная.

Функции задачи с решением и примерами

Метод интервалов:

Функции задачи с решением и примерами

Функция возрастает на интервалах:Функции задачи с решением и примерами и Функции задачи с решением и примерами Функции задачи с решением и примерами при Функции задачи с решением и примерами на этих интервалах функция убывает.

7.Функции задачи с решением и примерами и Функции задачи с решением и примерамиФункции задачи с решением и примерами— эти значения Функции задачи с решением и примерами называют критическими точками.

Только там, где Функции задачи с решением и примерами, возможны экстремумы функции. Экстремумы легко определить по схеме.

Функции задачи с решением и примерами

Стрелка, направленная вверх, означает возрастание функции, вниз — убывание.

Функции задачи с решением и примерами

Если в критической точке возрастание функции сменяется убыванием, то в этой точке — максимум, если наоборот — минимум.

8.Составим небольшую таблицу:

Функции задачи с решением и примерами

Строим график. Область значений функции, которую сразу определять было сложно, Функции задачи с решением и примерами

Наибольшее и наименьшее значения функции

К оглавлению…

Решение многих практических задач часто сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции. Правило нахождения этих значений таково: чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции, имеющей на отрезке конечное число критических точек, нужно вычислить значения функции во всех критических точках и на концах отрезка, а затем из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее.

Например, найдем наименьшее и наибольшее значения функции Функции задачи с решением и примерами на отрезке Функции задачи с решением и примерами

Функции задачи с решением и примерами

Функции задачи с решением и примерамикритические точки.

Составим таблицу: Функции задачи с решением и примерами

Итак, наименьшее значение Функции задачи с решением и примерами а наибольшее 5, часто это записывают так: Функции задачи с решением и примерами Функции задачи с решением и примерами

Первообразная и интеграл

К оглавлению…

Функция Функции задачи с решением и примерами называется первообразной для функции Функции задачи с решением и примерами на некотором промежутке, если для всех Функции задачи с решением и примерами из этого промежутка

Функции задачи с решением и примерами

Например, функция Функции задачи с решением и примерами-первообразная для функции Функции задачи с решением и примерами при Функции задачи с решением и примерами так как

Функции задачи с решением и примерами

Любая первообразная для Функции задачи с решением и примерами при Функции задачи с решением и примерамиможет быть записана как Функции задачи с решением и примерами где Функции задачи с решением и примерами— одна из первообразных для Функции задачи с решением и примерами при Функции задачи с решением и примерами а Функции задачи с решением и примерами — произвольное число.

Функции задачи с решением и примерами

Нахождение первообразной для функции — действие, обратное нахождению производной. Исходя из этого, можно составить таблицу первообразных некоторых функций.

Функции задачи с решением и примерами

Три правила нахождения первообразных

К оглавлению…

  1. Если Функции задачи с решением и примерами— первообразная для Функции задачи с решением и примерами, a Функции задачи с решением и примерами— первообразная для Функции задачи с решением и примерами, то Функции задачи с решением и примерами — первообразная для Функции задачи с решением и примерами
  2. Если Функции задачи с решением и примерами — первообразная для Функции задачи с решением и примерами и Функции задачи с решением и примерами — число, то Функции задачи с решением и примерами — первообразная для Функции задачи с решением и примерами.
  3. Если Функции задачи с решением и примерами — первообразная дляФункции задачи с решением и примерами, Функции задачи с решением и примерами и Функции задачи с решением и примерами — числа и Функции задачи с решением и примерами , то Функции задачи с решением и примерами — первообразная для Функции задачи с решением и примерами

Например, найдем первообразные.

Функции задачи с решением и примерами

Пусть функция Функции задачи с решением и примерами непрерывна на отрезке Функции задачи с решением и примерами и не меняет знака на этом отрезке. Тогда фигуру, ограниченную графиком этой функции, отрезком Функции задачи с решением и примерами и прямыми Функции задачи с решением и примерами называют криволинейной трапецией.

Функции задачи с решением и примерами

Например, Функции задачи с решением и примерами

Заштрихованная фигура — криволинейная трапеция.

Для вычисления площади криволинейной трапеции применяется формула:

Функции задачи с решением и примерами

В нашем примере Функции задачи с решением и примерамиФункции задачи с решением и примерами

Площадь криволинейной трапеции может быть получена так же, как Функции задачи с решением и примерамигде Функции задачи с решением и примерами — сумма площадей Функции задачи с решением и примерами прямоугольников, на которые разбивается криволинейная трапеция. Основания прямоугольников Функции задачи с решением и примерамии Функции задачи с решением и примерами (площадь трапеции). Суммирование площадей называется интегрированием, а площадь трапеции выражается как интеграл, т.е.

Функции задачи с решением и примерами

Функции задачи с решением и примерами — формула Ньютона-Лейбница.

Для удобства используют запись:

Функции задачи с решением и примерами

Например, Функции задачи с решением и примерами

Вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями: Функции задачи с решением и примерами

Сделаем чертеж.

Функции задачи с решением и примерами где Функции задачи с решением и примерами — площадь криволинейной трапеции,

Функции задачи с решением и примерами

ограниченной синусоидой, осью Функции задачи с решением и примерами и прямыми Функции задачи с решением и примерамии Функции задачи с решением и примерами Функции задачи с решением и примерами — площадь 6 6 прямоугольника, ограниченного прямыми Функции задачи с решением и примерамиФункции задачи с решением и примерами

Функции задачи с решением и примерами

Решение задач на функции

К оглавлению…

Найти область определения функций

К оглавлению…

Функции задачи с решением и примерами
Функции задачи с решением и примерами
Функции задачи с решением и примерами

Найти область значений функции

К оглавлению…

Функции задачи с решением и примерами
Функции задачи с решением и примерами
Функции задачи с решением и примерами

Построить график функций методом преобразования

К оглавлению…

Функции задачи с решением и примерами
Функции задачи с решением и примерами
Функции задачи с решением и примерами

Какие из следующих функций являются чётными? нечётными? не являются ни чётными, ни нечётными?

К оглавлению…

Функции задачи с решением и примерами
Функции задачи с решением и примерами

Определить период функций

К оглавлению…

Функции задачи с решением и примерами

Найти производные функций

К оглавлению…

Функции задачи с решением и примерами
Функции задачи с решением и примерами
Функции задачи с решением и примерами

Касательная к графику функции

К оглавлению…

Задача №160

Написать уравнение касательной к графику функции в точке Функции задачи с решением и примерами

Решение, Функции задачи с решением и примерами— уравнение касательной, где Функции задачи с решением и примерами

Функции задачи с решением и примерами
Функции задачи с решением и примерами

Задача №161

Найти тангенс ума наклона касательной, проходящей через точку Функции задачи с решением и примерами графика функции Функции задачи с решением и примерами

Решение:

Функции задачи с решением и примерами

Функции задачи с решением и примерами

Задача №162

Написать уравнение касательной к графику функции Функции задачи с решением и примерами в точке Функции задачи с решением и примерами

Функции задачи с решением и примерами
Функции задачи с решением и примерами

Задача №163

Найти точки графика функции Функции задачи с решением и примерамив которых касательная параллельна оси абсцисс.

Решение:

Если прямая Функции задачи с решением и примерами, то угол между ними равен Функции задачи с решением и примерами, т. е.Функции задачи с решением и примерами

Функции задачи с решением и примерами

Задача №164

Под каким углом пересекается с осью Функции задачи с решением и примерами график функции Функции задачи с решением и примерами

Решение:

Угол пересечения определяется углом между касательной к графику в точке пересечения и осью Функции задачи с решением и примерами.

Функции задачи с решением и примерами

Функции задачи с решением и примерами — уравнение касательной, где Функции задачи с решением и примерами— угол наклона касательной к Функции задачи с решением и примерами в точке Функции задачи с решением и примерами.

Функции задачи с решением и примерами

Задача №165

Под каким углом пересекается с осью Функции задачи с решением и примерами график функции Функции задачи с решением и примерами

Решение. График пересекается с Функции задачи с решением и примерами в точке Функции задачи с решением и примерамиФункции задачи с решением и примерами

Функции задачи с решением и примерами — угол наклона касательной в точке Функции задачи с решением и примерами к Функции задачи с решением и примерами

Функции задачи с решением и примерами

Функции задачи с решением и примерами — угол наклона касательной в этой же точке к Функции задачи с решением и примерами;Функции задачи с решением и примерами

Функции задачи с решением и примерами
Функции задачи с решением и примерами

Задача №166

Найти все значения Функции задачи с решением и примерами, при которых касательные к графикам функций Функции задачи с решением и примерами в точках с абсциссой Функции задачи с решением и примерамипараллельны.

Решение:

Параллельность касательных означает равенство их угловых коэффициентов. Поэтому Функции задачи с решением и примерами

Функции задачи с решением и примерами

Задача №167

К параболе Функции задачи с решением и примерами в точке с абсциссой Функции задачи с решением и примерамипроведена касательная. Найти точку пересечения этой касательной с Функции задачи с решением и примерами.

Решение:

Функции задачи с решением и примерами— уравнение касательной.

Функции задачи с решением и примерами

При пересечении сФункции задачи с решением и примерами

Ответ: точка Функции задачи с решением и примерами

Задача №168

Найти координаты точки пересечения двух касательных, проведенных к графику функции Функции задачи с решением и примерами в точке с абсциссой Функции задачи с решением и примерами и в точке с абсциссой Функции задачи с решением и примерами

Решение:

Функции задачи с решением и примерами
Функции задачи с решением и примерами

Задача №169

Найти уравнения общих касательных к параболам Функции задачи с решением и примерами и Функции задачи с решением и примерами

Решение:

1) Касательная к Функции задачи с решением и примерами проходит через точку с абсциссой Функции задачи с решением и примерами этой параболы. Уравнение касательной: Функции задачи с решением и примерамиФункции задачи с решением и примерами

2) Касательная к Функции задачи с решением и примерамипроходит через точку с абсциссой Функции задачи с решением и примерами этой параболы. Уравнение касательной:

Функции задачи с решением и примерами

Эти касательные — одна и та же прямая, следовательно их угловые коэффициенты и свободные члены совпадают.

Функции задачи с решением и примерами

Уравнения касательной к функцииФункции задачи с решением и примерамив точке с абсциссой

Функции задачи с решением и примерами

Задача №170

Вычислите площадь треугольника, ограниченного осями координат и касательной к графику функции Функции задачи с решением и примерами в точке с абсциссой Функции задачи с решением и примерами

Решение:

Сделаем схематический чертеж. Функция Функции задачи с решением и примерамиФункции задачи с решением и примерамигипербола, т. к.

Функции задачи с решением и примерами

Эта гипербола имеет асимптоты Функции задачи с решением и примерами и Функции задачи с решением и примерамиТ. к. Функции задачи с решением и примерами, начертим только одну ветвь гиперболы.

Функции задачи с решением и примерами

Функции задачи с решением и примерами — Уравнение касательной.

Функции задачи с решением и примерами

Эта прямая пересекается с Функции задачи с решением и примерами при Функции задачи с решением и примерами в точке Функции задачи с решением и примерами и пересекается с Функции задачи с решением и примерами при Функции задачи с решением и примерами в точкеФункции задачи с решением и примерами

Функции задачи с решением и примерами

Задача №171

Найти угол между касательными, проведенными из точки Функции задачи с решением и примерамик параболе Функции задачи с решением и примерами

Функции задачи с решением и примерами

Решение:

Сделаем чертеж. Функции задачи с решением и примерами касательной к графику Функции задачи с решением и примерамив точке с абсциссой Функции задачи с решением и примерами.

Функции задачи с решением и примерами

Эта прямая проходит через точку Функции задачи с решением и примерами, поэтому Функции задачи с решением и примерамиФункции задачи с решением и примерами Возьмем касательную к правой ветви параболы; Функции задачи с решением и примерами иФункции задачи с решением и примерамиФункции задачи с решением и примерами

Функции задачи с решением и примерами

Угол между касательными Функции задачи с решением и примерами

Ответ:Функции задачи с решением и примерами

Задача №172

В точке Функции задачи с решением и примерами к графику функции Функции задачи с решением и примерами проведена касательная. Найти длину ее отрезка, заключенного между осями координат.

Решение:

Уравнение касательной к графику функции приФункции задачи с решением и примерами.

Функции задачи с решением и примерами

Прямая Функции задачи с решением и примерами пересекает ось Функции задачи с решением и примерами в точке Функции задачи с решением и примерами и ось Функции задачи с решением и примерами в точке Функции задачи с решением и примерами Расстояние между этими точками: Функции задачи с решением и примерами

Ответ: Функции задачи с решением и примерами

Задача №173

Найти уравнения тех касательных к графику функции Функции задачи с решением и примерами которые вместе с осями координат ограничивают треугольник площади Функции задачи с решением и примерами.

Решение:

Прямая Функции задачи с решением и примерами отсекает на осях Функции задачи с решением и примерамии Функции задачи с решением и примерамиследующие отрезки:

Функции задачи с решением и примерами

при Функции задачи с решением и примерами

при Функции задачи с решением и примерами имеет катеты Функции задачи с решением и примерами и Функции задачи с решением и примерами

Функции задачи с решением и примерами

Уравнение касательной

Функции задачи с решением и примерами
Функции задачи с решением и примерами

Исследование функций и построение графиков

К оглавлению…

Функции задачи с решением и примерами
Функции задачи с решением и примерами
Функции задачи с решением и примерами
Функции задачи с решением и примерами
Функции задачи с решением и примерами
Функции задачи с решением и примерами
Функции задачи с решением и примерами

Наибольшее и наименьшее значение функции

К оглавлению…

Функции задачи с решением и примерами
Функции задачи с решением и примерами
Функции задачи с решением и примерами
Функции задачи с решением и примерами
Функции задачи с решением и примерами

Первообразная и интеграл

К оглавлению…

Функции задачи с решением и примерами
Функции задачи с решением и примерами
Функции задачи с решением и примерами
Функции задачи с решением и примерами
Функции задачи с решением и примерами
Функции задачи с решением и примерами
Функции задачи с решением и примерами

Эта лекция взята со страницы решения задач по математике:

Решение задач по математике

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Решение задач с помощью неравенств
Решение задач на прогрессии по математике
Числа, числовые и алгебраические выражения
Законы сложения и умножения чисел в математике