Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации

Более сложны задачи на смеси, процентное содержание и концентрации. Смесь или сплав состоит из нескольких веществ (компонентов). Отношение объема (веса, массы) одного из компонентов ко всему объему (весу, массе) смеси называется концентрацией этого компонента. О какой концентрации (объемной, весовой, массовой) идет речь в конкретной задаче, всегда ясно из ее условия. Концентрации — это безразмерные величины, выражающиеся либо в долях, либо в процентах. Очевидно, что сумма концентраций всех веществ, составляющих смесь, равна 1, если концентрации измеряются в долях, и равна 100%, если концентрации измеряются в процентах.

Задача №4

Смешали 30%-й раствор соляной кислоты с 10%-м и получили 600 г 15%-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора взяли?

Решение:

Пусть взяли х г 30%-ного раствора и у г 10%-ного раствора. Тогда можно написать два уравнения:

Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации

Ответ: взяли 150 г 30%-ного раствора соляной кислоты и 450 г 10%-ного раствора.

Задача №5

Кусок сплава меди и цинка массой 36 кг содержит 45% меди. Какую массу меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный новый сплав содержал 60% меди?

Решение:

В 36 кг сплава Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации кг меди. Если добавить х кг меди, то в сплаве меди будет Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации кг, а масса всего сплава будет Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации кг. По условию

Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации

Ответ: нужно добавить 13,5 кг меди.

Следует обратить особое внимание на задачи с вычислением сложных процентов. Это, как правило, задачи с экономическим содержанием. Например, о хранении денег в банке с определенной процентной ставкой.

Эта ссылка возможно вам будет полезна:

Задача №6

В банк положили 2000 рублей под 3% годовых. Каков будет вклад в банке через 5 лет?

Решение:

Через год в банке будет

Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации

Ответ: в банке будет около 2320 рублей.

Таким образом, если некое количество Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации регулярно увеличивается на определенный постоянный процент Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации, то через Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации этапов будет Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации Это и есть вычисление сложного процента.

Задача №23

18%-ный раствор соли массой 2 кг разбавили стаканом воды массой 0,25 кг. Какой концентрации раствор в процентах получится?

Решение:

Найдем, сколько соли находится в 2 кг раствора: Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрацииПосле добавления воды получили раствор массой Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации Новая концентрация раствора:Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации Ответ: 16%.

Задача №24

Товар Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации до уценки стоил в 1,4 раза дороже, чем товар Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации. Товар Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации был уценен на 15%, а товар Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации — на 30%. Во сколько раз товар Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации стал дороже товара Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации после уценки?

Решение:

Пусть товар Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации стоил до уценки Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации рублей, тогда товар Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрациистоил до уценки Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации рублей. После уценки товар Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации стал стоить Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации (руб.), а товар Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрацииРешение задач на смеси, процентное содержание и концентрации

Найдем отношение новых цен товаров:

Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации

Ответ: в 1,7 раза.

Задача №25

При выпаривании из 8 кг рассола получили 2 кг пищевой соли, содержащей 10% воды. Каков процент содержания воды в рассоле?

Решение:

Пусть в рассоле содержится Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации воды, тогда это составляет Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации воды, т.е. Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации воды. При этом чистой соли в растворе Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации В 2 кг соли Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации кг воды, т. е. чистой соли Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации Получаем Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрацииРешение задач на смеси, процентное содержание и концентрации

Ответ: 77,5%.

Задача №26

Сумма двух чисел равна 24. Найти меньшее из них, если 35% одного равны 85% другого.

Решение:

Пусть одно из чисел Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации, тогда другое Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации. Получаем Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации. Решаем уравнение:

Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации

Ответ: меньшее из чисел 7.

Задача №27

Завод увеличивал объем выпускаемой продукции ежегодно на одно и то же число процентов. Найти это число, если за два года объем продукции увеличился на 21%.

Решение:

Пусть каждый год объем продукции увеличивался на Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации, а первоначальный объем продукции Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации. Тогда через 1 год объем продукции стал Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации Через 2 года:Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации Составляем уравнение:

Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации

Задача №28

Цену товара первоначально снизили на 20%, затем новую цену снизили еще на 30% и, наконец, еще на 50%. На сколько всего процентов снизили первоначальную цену?

Решение:

Пусть первоначальная цена товара Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации рублей. После 1-го снижения товар стоил: Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации т. е. Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации После 2-го снижения: Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрацииРешение задач на смеси, процентное содержание и концентрации руб. После 3-го снижения: Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрацииРешение задач на смеси, процентное содержание и концентрациируб. Итак, цена уменьшилась на Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации, что составляет 72% от первоначальной цены. Ответ: 72%.

Задача №29

Имеется руда двух типов: с содержанием меди 6% и 11%. Сколько руды с меньшим содержанием меди надо взять, чтобы при смешивании с другой рудой получить 20 тонн руды с содержанием меди 8%?

Решение:

Допустим, нужно взять Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации тонн более бедной руды и Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации тонн более богатой руды. Тогда

Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации

Ответ: нужно взять 12 т бедной руды.

Задача №30

Имеются два куска сплава меди и цинка с процентным содержанием меди 20 и 30% соответственно. В каком отношении нужно взять эти сплавы, чтобы, переплавив взятые куски вместе, получить сплав, содержащий 26% меди?

Решение:

Если 1-го сплава взять Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации кг, а 2-го Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации кг, то меди в них будет соответственно Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации кг и Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации кг. Сплавленные вместе, они будут весить Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации кг, и меди в новом куске будет Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации кг. Поэтому

Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации

Ответ: в отношении 2 : 3.

Задача №31

Выработка продукции за год работы предприятия возросла на 4%. На следующий год она увеличилась на 8%. Определить средний ежегодный прирост продукции за этот период.

Решение:

Пусть средний прирост Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации, тогда если первоначальная продукция Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации, то через 2 года стало:

Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации

Ответ: средний ежегодный прирост около 6%.

Задача №32

В сосуд налито 4 литра 70%-го раствора серной кислоты. Во второй такой сосуд налито 3 литра 90%-го раствора серной кислоты. Сколько литров раствор нужно перелить из второго сосуда в первый, чтобы в нем получился 74%-й раствор серной кислоты? Емкости сосудов не менее 7 литров.

Решение:

Допустим, нужно перелить Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации л раствора из 2-го сосуда в 1-й. В 1-м сосуде Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации чистой серной кислоты, в Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрациилитрах из 2-го сосуда Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрациил чистои серной кислоты, тогда в 1-м сосуде будет Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации чистой серной кислоты. Следовательно: Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации

Ответ: нужно перелить 1 литр раствора.

Задача №33

Цена на товар была повышена на 25%. На сколько процентов надо после этого ее снизить, чтобы получить первоначальную цену товара?

Решение:

Пусть Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации — первоначальная цена товара, тогда Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации — повышенная цена. Пусть новую цену нужно снизить на Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации. Запишем уравнение: 1 / 1 \ у

Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации

Задача №34

Руда содержит 40% примесей, а выплавленный из нее металл содержит 4% примесей. Сколько получится металла из 24 т руды?

Решение:

Руда без примесей составляет: Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрацииРешение задач на смеси, процентное содержание и концентрации Если Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрациит — количество металла из 24 т руды, тоРешение задач на смеси, процентное содержание и концентрации

Ответ: 15 тонн металла.

Эта ссылка возможно вам будет полезна:

Задача №35

Ежегодный прирост населения города составляет 20%. Через сколько лет население города удвоится?

Решение:

ПустьРешение задач на смеси, процентное содержание и концентрации чел. — население города в некоторый момент времени. Тогда через 1 год население составит: Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации

Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации

Ответ: население города удвоится через 4 года.

Задача №36

Выработка продукции за год работы предприятия возросла на 8%, а за следующий год она увеличилась на 47%. Найти средний годовой прирост продукции за этот период.

Решение:

Пусть Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации — первоначальный объем продукции, тогда через год: Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации Через 2 года: Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрацииРешение задач на смеси, процентное содержание и концентрации Если Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации средний годовой прирост продукции, то через 1 год объем продукции Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации через 2 года Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации Из условия

Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации

Ответ: средний годовой прирост продукции 26%.

Задача №37

Имеются два сплава, состоящие из цинка, меди и олова. Известно, что 1-й сплав содержит 40% олова, а 2-й — 26% меди. Процентное содержание цинка в 1-м и 2-м сплавах одинаково. Сплавив 150 кг первого сплава и 250 кг второго, получили новый сплав, в котором оказалось 30% цинка. Определить, сколько олова содержится в новом сплаве.

Решение:

Составим таблицу:

Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации

Это таблица процентного, или долевого содержания 3-х компонентов в 2-х сплавах. В Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации кг 1-го сплава Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации кг цинка, в Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации кг 2-го сплава Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрациикг цинка. Поэтому в новом сплаве Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации кг цинка. По условию Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрацииОлова в Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации кг 1-го сплава Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации кг, в Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации кг 2-го сплава Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации

Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации

Ответ: 170 кг.

Задача №38

Имеются 2 слитка золота с серебром. Процентное содержание золота в 1-м слитке в 2,5 раза больше, чем процентное содержание золота во 2-м слитке. Если сплавить оба слитка вместе, то получится слиток, в котором будет 40% золота. Найти, во сколько раз 1-й слиток тяжелее второго, если известно, что при сплавлении равных по весу частей первого и второго слитков получается слиток, в котором содержится 35% золота.

Решение:

Допустим, первый слиток весит Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации кг и содержит Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации частей золота, второй слиток весит Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации кг и содержит Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации частей
золота. Тогда новый слиток весит Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации кг и содержит Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации части золота. Имеем уравнения:

Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации

Ответ: 1-й слиток тяжелее 2-го в 2 раза.

Задача №39

Известно, что вклад, находящийся в банке с начала года, возрастает к концу года на определенный процент (свой для каждого банка). В начале года Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации некоторого количества денег положили в 1-й банк, а оставшуюся часть во 2-й банк. К концу года сумма этих вкладов стала равна 590 денежным единицам, к концу следующего года 701 денежной единице. Было подсчитано, что если бы первоначально Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации исходного количества денег положили во 2-й банк, а оставшуюся часть в 1-й банк, то по истечении одного года сумма вкладов в эти банки стала бы равной 610 денежным единицам. Какова в этом случае была бы сумма вкладов в эти банки к концу второго года?

Решение:

Пусть Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации — общая первоначальная сумма денег.Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации положили в 1-й банк, — Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации 2-й банк; Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации и Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации — соответствующие процентные ставки 1-го и 2-го банков. Тогда из условий получаем систему уравнений:

Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации

Нужно определить

Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации

При решении системы примем:

Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации
Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации

Ответ: сумма вкладов равнялась бы 749 денежным единицам.

Задача №40

Свежие фрукты содержат 72% воды, а сухие 20%. Сколько сухих фруктов получится из 20 кг свежих фруктов?

Решение:

В 20 кг свежих фруктов содержится Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрацииРешение задач на смеси, процентное содержание и концентрации кг воды, а, значит, сухого вещества Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации кг. Допустим, из 20 кг свежих фруктов получится Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации кг сухих , фруктов. Тогда в них Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации — кг воды и сухого вещества

Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации

Ответ: 7 кг сухих фруктов.

Задача №41

Имеются два раствора серной кислоты в воде: 1-й — 40%-й, а 2-й — 60%-й. Эти два раствора смешали, после чего добавили 5 кг чистой воды и получили 20%-й раствор. Если бы вместо 5 кг чистой воды добавили 5 кг 80%-го раствора, то получился бы 70%-й раствор. Сколько было 70%-го и 60%-го растворов?

Решение:

Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации

В 1-м растворе Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрациичистои кислоты, во 2-м растворе Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрациичистой кислоты, из первого условия получаем Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрацииВ 5 кг 80%-го раствора Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрациичистой серной кислоты, поэтому из второго условия получаем

Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации

Имеем систему:

Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации

Ответ: 1 кг 40%-го раствора и 2 кг 60%-го раствора.

Задача №42

Сплавляя два одинаковых по весу куска чугуна с разным содержанием хрома, получили сплав, в котором содержалось 12 кг хрома. Если бы 1-й кусок был в 2 раза тяжелее, то в сплаве содержалось бы 16 кг хрома. Известно, что содержание хрома в 1-м куске на 5% меньше, чем во 2-м. Найти процентное содержание хрома в каждом куске чугуна.

Решение:

Если вес каждого куска чугунаРешение задач на смеси, процентное содержание и концентрации кг, а содержание хрома в 1-м куске Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации, а во 2-м —Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации, то получим систему:

Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации

Ответ: в 1-м куске 5% хрома, во 2-м — 10% хрома.

Задача №43

Имеются два бака: 1-й бак наполнен чистым глицерином, 2-й бак — водой. Взяли 2 трехлитровых ковша, зачерпнули 1-м ковшом глицерин из 1-го бака, а 2-м ковшом — воду из 2-го бака, после чего 1-й ковш влили во 2-й бак, а 2-й ковш — в 1-й бак. Затем после перемешивания снова зачерпнули 1-м ковшом смесь из 1-го бака, а 2-м ковшом — смесь из 2-го бака и влили 1-й ковш во 2-й бак, а 2-й ковш в 1-й бак. В результате половину объема 1-го бака занял чистый глицерин. Найти объемы баков, если известно, что их суммарный объем в 10 раз больше объема 1-го бака.

Решение:

Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации

На 1-м этапе в I баке осталось Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации л глицерина, во II баке стало 3 л глицерина. На 2-м этапе из I бака взяли Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации— л глицерина, т.к. доля глицерина в I баке Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации В I бак добавили Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрациил. глицерина, т.к. доля глицерина во II баке Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации.

По условию

Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации

Получаем систему:

Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации

Ответ: 10 литров и 90 литров.

Задача №44

Для приготовления смеси из двух жидкостей Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации и Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации были взяты два сосуда емкостью по 15 л каждый, в которых находилось всего 15 л жидкости Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации. Затем 1-й сосуд доверху долили жидкостью Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации, и было произведено перемешивание. После этого 2-й сосуд дополнили доверху смесью из 1-го сосуда. Затем из второго сосуда отлили в 1-й 6 л получившейся смеси. После этого в 1-м сосуде оказалось жидкости Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации на 1 л больше, чем во 2-м. Сколько литров жидкости Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации было первоначально во 2-м сосуде?

Решение:

Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации

Пусть в 1-м сосудеРешение задач на смеси, процентное содержание и концентрации л жидкости Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации, а во 2-м сосудеРешение задач на смеси, процентное содержание и концентрации л жидкости Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации, причем из условия Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации В 1-й сосуд долили Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации л жидкости Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации. Доля жидкости Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации в 1-м сосуде Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации доля жидкости Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации в 1-м сосуде Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрацииРешение задач на смеси, процентное содержание и концентрации л смеси взяли из 1-го сосуда; в этой смеси Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрациил жидкости Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации. Во 2-м сосуде стало Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации жидкости Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации; доля жидкости Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации во 2-м сосудеРешение задач на смеси, процентное содержание и концентрацииВ 6 л Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации л жидкости Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации.

В 1-м сосуде перед добавлением 6 л было Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации л, в них жидкости Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации

Получаем систему уравнении:

Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации

Ответ: во 2-м сосуде было 5 л жидкости Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации.

Этот материал взят со страницы решения задач по математике:

Решение задач по математике

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Решение систем уравнений и неравенств
Решение задач на проценты по математике
Решение задач на движение по математике
Решение задач на работу по математике