Математика задачи с решением и примерами

Оглавление:

Математика задачи с решением

Прежде чем изучать готовые решения задач по математике, нужно знать теорию, поэтому для вас я подготовила краткие лекции по предмету «математика», с подробным решением задач.

Эта страница подготовлена для школьников и студентов.

Если что-то непонятно — вы всегда можете написать мне в WhatsApp и я вам помогу!

Математика

Математика – это наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. В нее входят такие дисциплины, как арифметика, алгебра, геометрия, тригонометрия, высшая математика (аналитическая геометрия, линейная алгебра, математический анализ, дифференциальное и интегральное исчисления и др.). Каждая из них изучает количественные отношения и пространственные формы мира в особом аспекте и действует своими собственными методами.

Буквенные выражения

Употребление букв. Составление формул

Когда хотят назвать какое-нибудь число, то произносят его наименование или записывают его циф­рами, например Математика (два).

Когда хотят сказать о числе, не указывая, о ка­ком именно, то обозначают его буквой. Так делают по разным причинам: например, потому, что упоминаемое число неизвестно, или потому, что безразлично, чему именно оно равняется.

При решении задач приходится встречаться с раз­личными величинами, определяемыми условиями задачи. Каждая величина может иметь то или иное числовое значение, т. е. выражаться тем или иным числом. Очень часто, обозначив величину бук­вой, в случае надобности вместо буквы подставляют числа.

Предположим, например, что величина, которую мы рассматриваем, есть число уроков в классе: обозначим эту величину буквой Математика. Если сегодня было, допустим, пять уроков, то Математика равно Математика; если завтра будет четыре уро­ка, то можно будет написать: Математика; в воскресенье совсем нет уроков, и потому Математика.

Различные величины, чтобы избежать смешения, обозначают различными буквами.

Так, можно обозначить число классных уроков через Математика, а число часов домашних занятий через Математика.

Если захотим узнать, сколько было всего часов учебных занятий (и классных и домашних), то придется написать Математика.

С числами, которые обозначены буквами, обращаются, как со всякими числами: их можно сравнивать по величине, а также складывать, вычитать, умножать и делить. Нередко числа и буквы встречаются одновременно.

Знаки действий с буквами — те же, что и с числами. Нужно только обратить внимание на две осо­бенности.

1) В качестве знака умножения принята точка, а не косой крест; но ради краткости точка большею частью вовсе опускается .

2) Двоеточие как знак деления малоупотреби­тельно: результат деления обыкновенно записывается в виде дроби.

Таким образом, сумма, разность, произведение и частное (отношение) величин, обозначенных буквами Математика и Математика, записываются следующим образом:

Математика, Математика, Математика или Математика, Математика (реже Математика).

Необходимо ясно понимать, что если, например, величине Математика придается значение Математика, а величине Математика — зна­чение Математика (т. е. Математика, Математика), то сумма Математика имеет уже не иное значение, как Математика, так что Математика; точно так же в этом случае Математика, Математика,Математика.

Записи, составленные из математических знаков, чисел, букв и знаков действий, а также знаков ра­венств или неравенств, носят название формул.

Вот какие формулы пишут студенты, которые учат­ся в университете.

Математика

Формулы, которые составлены из чисел, букв и зна­ков действий и не содержат знаков равенства или нера­венства, называются также алгебраическими (буквенными) выражениями . Вот примеры алгебраических выражений: Математика, Математика, Математика, Математика.

Если в данном выражении совсем нет букв, а есть только числа и знаки действий, то его называют также арифметическим (числовым); таковы выражения:Математика, Математика, Математика.

Арифметика учит обращаться с числами, алгебрас буквами.

Подстановка числовых значений в формулу и составление таблиц по формуле

Математическая формула, выражающая какую-нибудь величину через другие данные величины, указывает, какие действия и в каком порядке нужно выполнить над данными величинами для того, чтобы получить величину, которая нас интересует. Если имеется формула, достаточно заменить содержащиеся в ней буквы их числовыми значениями и произвести над ними арифметические действия, чтобы иметь значение нашей вели­ чины.

Формула не занимает много места; она легко запоминается; в сжатом виде она содержит решение множества задач, различных по числовым данным, но сходных по содержанию.

При составлении (или, как говорят, при выводе) формулы решающему ту или иную задачу необходимо понимать и уметь объяснить, по какой причине или с какой целью выполняется каждое отдельное дей­ствие, указанное формулой. Не всякую формулу легко вывести. Вывод некоторых формул более или менее за­труднителен.

Гораздо легче пользоваться уже готовой формулой.

Вот примеры формул (которые мы не будет выво­дить). Результаты вычислений, по ним произведенных, следует считать приблизительными.

Формулы с одной буквой. Таблица состав­ляется из двух рядов чисел: один ряд содержит число­ вые значения буквы, подставляемые в формулу, дру­гой — те значения рассматриваемой величины, которые получаются по формуле. Располагают эти ряды чисел по строкам (горизонталям) или по столбцам (вертикалям) — смотря как удобнее.

При составлении таблицы букве, входящей в формулу, дают равноотстоящие значения — таким образом, чтобы каждое следующее значение было больше предыдущего на одно и то же число (шаг таблицы). Если при вычислении по­лучаются дробные значения величины, то, записывая в таблицу, их обыкновенно округляют в десятичных дробях.

Формулы с двумя буквами. Если формула содержит две буквы, то таблица имеет более сложный вид. Равноотстоящие значения одной из букв выписывают в исходном столбце (вертикали), равноотстоящие значения другой буквы — в исходной строке (горизонтали); значения, получаемые в результате вычисления, помещают в надлежащих местах внутри таблицы.

Таким образом получается таблица с двойным входом.

Вам прекрасно известен простейший пример таблицы с двойным входом: это — обыкновенная таблица умножения. Она составлена по формуле: Математика.

Начало таблицы имеет вид:

Математика

Словесное чтение формул и запись их под диктовку

Из арифметики известно, что означают слова «сум­ма», «разность», «произведение» и т. п. Скажем кратко относительно употребления подобного рода наименований в алгебре. В алгебре обыкновенно не различают «множимое» и «множитель»: перемножаемые числа или выражения называют «сомножителями» или (гораздо чаше) просто « множителями » . Вместо «частное, получаемое при делении одного числа на другое», говорят короче: « отношение одного числа к другому». Вме­сто «частное, получаемое при делении единицы на данное число», говорят: «число, обратное данному».

Скобки в алгебре употребляются так же, как и в арифметике: они определяют порядок действий в том смысле, что сначала надлежит выполнить действие, указанное внутри скобок.

При отсутствии скобок умножение выполняют рань­ше сложения и вычитания. Например, в формуле Математика подразумевается, что сначала нужно умножить Математика на Математика, затем полученное произведение прибавить к Математика.

Напротив, если требуется сначала к Математика прибавить Математика, а затем полученную сумму умножить на Математика, то придется формуле придать вид Математика.

По поводу употребления скобок при делении го­ворить незачем, так как деление в алгебре большей частью обозначается посредством горизонтальной черты, причем сама черта играет роль скобки. Таким образом, Математика запись означает, что сначала нужно Математика разделить на Математика, затем полученное частное прибавить к Математика; если же требуется сначала к Математика прибавить Математика, затем по­лученную сумму разделить на Математика, то пишут также без скобок Математика.

Уравнения

Рассмотрим неравенство Математика.

Попробуйте подобрать такое числовое значение Математика, при котором это равенство оказывается верным. По­пробуйте сформулировать вопрос словами: «Нужно найти число, обладающее таким свойством:…»

Равенство между двумя числами (или числовыми вы­ражениями) может быть или верным, или неверным.

Верно оно в том случае, если левая и правая его части представляют собою одно и то же число; неверно, если числа различны. Так, равенства Математика, Математика являются верными; равенства же Математика, Математика неверны. Неверные равенства свидетельствуют о сде­ланной ошибке.

Предположим теперь, что некоторое равенство со­держит в какой-нибудь из двух частей или в обеих ча­стях только одну букву, значение которой не указано.

Такое равенство может быть верным при одном число­вом значении буквы и неверным — при другом. Если мы ставим своей задачей узнать, при каких значениях входящей буквы равенство оказывается верным, то мы называем равенство уравнением . Сама буква в этом случае называется неизвестная (буква) или просто неизвестное . О таких числовых значениях неизвестного, при которых равенство становится вер­ным, говорят, что они удовлетворяют уравнению; каждое такое значение называется корнем уравнения (также решением уравнения). Так напри­мер, уравнение Математика имеет корень Математика; уравнение Математика имеет корень Математика; уравнение Математика имеет корень Математика; уравнение Математика имеет корень Математика.

Не всякое уравнение имеет корень. Например, не имеет корня уравнение Математика: на какое бы число — целое или дробное — мы ни стали делить единицу согласно правилам ариф­метики, непременно получится число, отличное от нуля. Не имеет также корня уравнение Математика. В самом деле, если подставим вместо Математика число, большее, чем Математика, то уже одно первое слагаемое в левой части будет больше, чем правая часть; если подставим число, меньшее, чем Математика, то уже одно второе слагаемое будет больше правой части; не удовлетворяет уравнению и само число Математика.

Но в иных случаях уравнение может иметь и больше одного корня. Так, уравнение Математика имеет корень Математика и имеет корень Математика. Уравнение Математика имеет бесчисленное множество корней: именно вы сами сможете убедиться посредством подстановки, что любое число, отличное от нуля, удовлетворяет этому уравнению.

Решить уравнение — значит найти все его корни (или убедиться в их отсутствии).

Найти корень уравнения посредством угадывания не всегда легко. Кроме того, решить уравнение, т.е . найти все его корни, посредством угадывания даже невозможно, если не знать заранее, имеются ли корни и сколько их.

Таким образом, очень важно установить правила для решения уравнений.

Решение уравнений применением свойств арифметических действий

Установление правил для решения уравнений — одна из важнейших задач алгебры.

Некоторые из этих правил чрезвычайно просты. На­ пример, при решении уравнения Математика можно основываться на правиле, известном из арифметики: зная сумму и одно из двух слагаемых, для нахождения другого слагаемого достаточно из суммы отнять известное слагаемое. Таким образом, неизвестное равно раз­ности суммы Математика и слагаемого Математика: Математика, и, следовательно, уравнение имеет единственное решение: Математика.

Трудно ошибиться в выборе нужного правила, если поставить перед собой задачу в форме вопроса: к какому числу нужно прибавить Математика, чтобы получить Математика? Ясно, что из Математика надо вычесть Математика.

Рассмотрим еще уравнение Математика.

Поставим перед собой вопрос: на какое число нужно разделить Математика, чтобы получилось Математика? Очевидно, что для определения этого числа прядется Математика разделить на Математика: делитель равен делимому, деленному на частное (так как один из двух множителей равен произведению, де­ ленному па другой множитель). Получается: Математика.

Иногда при решении уравнения бывает необходимо рассуждения подобного рода проделать несколько раз. Вот примеры.

Пример 1. Математика.

Спросим себя: к какому числу нужно прибавить Математика, чтобы получить Математика? По сумме и второму слагаемому первое слагаемое узнается посредством вычитания: в данном случае оно равно Математика, т. е. Математика. Итак, Математика.

Какое число нужно умножить на Математика, чтобы получить Математика? По произведению и множителю множимое узнается посредством деления: в данном случае не­ известное множимое равно Математика . т. е. Математика. Итак, Математика.

Проверка: Математика.

Пример 2. Математика.

Какое число нужно умножить на Математика, чтобы получить Математика? Чтобы узнать множимое, придется произведение Математика разделить на множитель Математика. Отсюда следует, что Математика.

Из какого числа нужно вычесть Математика, чтобы получить Математика? Для нахождения уменьшаемого нужно к разности Математика прибавить вычитаемое Математика. Значит, Математика.

Какое число нужно разделить на Математика, чтобы получить Математика? Для нахождения делимого нужно частное Математика умножить на делитель Математика. Поэтому Математика.

К какому числу нужно прибавить Математика, чтобы получить Математика? Очевидно, придется из суммы Математика вычесть слагаемое Математика, и тогда получим: Математика.

Наконец, какое число нужно умножить на Математика, чтобы получить Математика? Ответ ясен: нам придется Математика разделить на Математика, что дает нам Математика.

Проверка: Математика.

Только самые простые уравнения решаются непосредственно по правилам арифметики. В дальнейшем постепенно будут указаны более усовершенствованные приемы решения некоторых, часто встречающихся, уравнений; приемы решения других, реже встречающихся, уравнений, иногда настолько сложны, что не рассматриваются в средней школе.

Решение задач при помощи уравнений

Мы будем решать сначала только самые простые задачи, т. е. такие, которые легко решить арифметически, не прибегая к алгебре.

Задача. Я получил Математика руб. и положил деньги в карман. После этого в кармане стало 40 руб. Сколько рублей было в кармане раньше?
Чтобы решить эту простую задачу алгебраическим путем, нужно прежде всего составить уравнение .

Будем рассуждать. Сначала у меня в кармане было какое-то, нам неизвестное, число рублей. Обозначим его буквой Математика. В условии задачи сказано, что я получил Математика руб.; эти деньги прибавились к тем деньгам, которые были раньше, и стало Математика руб. С другой стороны, в условии сказано также, что потом в кармане у меня стало Математика руб. Таким образом, Математика и Математика представляют одно и то же число; отсюда получается равенство Математика.

Так как в него входит неизвестная величина Математика, ко­торую мы хотим определить, то мы составили, следовательно, уравнение из условия нашей задачи.

Остается решить уравнение: в данном случае до­статочно воспользоваться правилами арифметики.

Можно порекомендовать при составлении уравнения говорить (или писать) по возможности короче.

Так, при решении приведенной выше задачи достаточ­но сказать (или написать) следующее:

Сначала у меня в кармане было Математика руб.
Получил я Математика »
После этого стало у меня Математика »
Но по условию у меня стало Математика »
Итак, Математика.
Отсюда вытекает: Математика,
т. е. Математика.

В этой задаче мы пришли к двум различным вы­ражениям для одной и той же величины; соединяя эти выражения знаком равенства, мы получили уравнение задачи. Подобным же образом составляются уравнения и в других случаях.

Графические вычисления в математике

Сравнение величин н изображение их отрезками

Если хотят сравнить два числа, то или вычитают одно из другого, или делят одно на другое.

Так, слова «Математика больше, чем Математика, на Математика» (или «Математика меньше, чем Математика, на Математика») означают, что разность чисел Математика и Математика равна Математика.

Слова же «Математика больше, чем Математика, в Математика раза» (или «Математика меньше, чем Математика, в Математика раза») означают, что частное от де­ления числа Математика на Математика равно Математика.

Отношение чисел

Отношением числа Математика к числу Математика называется частное Математика , происходящее отделения Математика на Математика.

Очевидно, отношение Математика к Математика показывает, во сколько раз Математика больше, чем Математика.

Отношение записывают в виде обыкновенной дроби, с горизонтальной чертой, или в виде десятичной дроби, с округлением, если нужно. Но иногда записывают также и в виде частного двух целых чисел, пользуясь при этом двоеточием как знаком деления: в последнем случае естественно, чтобы числа были взаимно про­стыми.

Например, если у Сергея Математика рублей, а у Фе­дора Математика рублей, то отношение Математика «суммы денег у Сергея» к «сумме денег у Федора» равно Математика; или Математика; или еще говорят, что названные суммы «относятся как Математика к Математика, и пишут «Математика».

Напротив, отношение Математика «суммы денег у Федора» к «сумме денег у Сергея» равно Математика, или (приблизительно) Математика; или можно сказать, что эти суммы «относятся как Математика к Математика» (Математика).

Легко понять, что отношение Математика к Математика и отношение Математика к Математика представляют собою числа, взаимно обратные: в самом деле, Математика.

Прямая пропорциональность

Определение. Две величины Математика и Математика называются пропорциональными (или «прямо пропорциональными»), если при всех их возможных изменениях их отношение Математика остается равным одному и тому же числу.

Обозначая это число через Математика , мы должны, следова­тельно, иметь равенство Математика.

Но, по правилам арифметики, этому равенству можно придать также вид Математика.

Итак, можно сказать иначе: две величины Математика и Математика называются пропорциональными («прямо пропорциональными»), если величина Математика выражает­ся через величину Математика по формуле вида Математика.

Число Математика называется коэффициентом пропорциональности . Возраст сына и возраст отца не пропорциональны; также сторона квадрата и его площадь; также воз­раст и рост ребенка. Но вес купленного хлеба и его сто­имость пропорциональны; коэффициентом пропорциональности служит цена килограмма хлеба.

Очень важно заметить такие свойства прямой про­порциональности:

1. Если коэффициент пропорциональности Математика неиз­вестен, но зато известны некоторое значение одной из величин и соответствующее ему значение другой величины, то коэффициент пропорциональности определяет­ся посредством деления.

Например, если известно, что величины Математика и Математика пропор­циональны между собой и что при Математика мы имеем Математика, то из соотношения Математика получается Математика, так что Математика.

2. Если величины Математика и Математика пропорциональны между со­бой, то при увеличении одной величины в несколько раз другая увеличивается во столько же раз.

В самом деле, раз отношение Математика остается неизменным, то при увеличении знаменателя в несколько раз во столько же раз должен увеличиться и числитель.

Обратно, если при увеличении одной величины в не­ сколько раз другая увеличивается во столько же раз, то эти величины пропорциональны между собой.

Действительно, раз величины Математика и Математика увеличиваются одновременно в одно и то же число раз, то их отношение Математика остается при этом неизменным.

Обратная пропорциональность

Предположим, что мне дано Математика руб., на покупку хле­ба. Хлеб может стоить больше или меньше, например, в зависимости от сорта. Если Математика кг хлеба стоит Математика руб., то я смогу купить Математика кг; если стоит Математика руб., то я смогу ку­пить Математика кг: если Математика руб., то куплю Математика кг. Во всех случаях произведение цены одного килограмма хлеба на число купленных килограммов будет одно и то же, именно — бу­дет равно Математика. Можно написать равенства: Математика и т. д.

Определение. Две величины Математика и Математика называются обратно пропорциональными, если при всех их возможных изменениях произведение Математика остает­ся равным одному и тому же числу.

Обозначая это число через Математика, мы должны, следовательно, иметь равенство Математика. Но по правилам арифметики этому равенству можно придать также вид Математика.

Итак, можно сказать иначе: две величины Математика и Математика
называются обратно пропорциональными, если величина Математика выражается через величину Математика по фор­муле вида Математика .

Число Математика тоже называется коэффициентом пропорциональности (обратной).

Примером обратно пропорциональных величин слу­жит цена килограмма хлеба к числу купленных кило­ граммов при заранее заданной стоимости покупки. Ко­эффициент пропорциональности как раз и равняется этой стоимости.

Заметим по поводу обратной пропорциональности следующее:

1. Если коэффициент пропорциональности не задан, но зато известны два соответствующих друг другу значения самих величин, то коэффициент может быть оп­ределен посредством умножения.

Например, если известно, что величины Математика и Математика об­ратно пропорциональны и что значению Математика соответствует значение Математика, то отсюда следует: Математика.

2. Если величины Математика и Математика обратно пропорциональны, то при увеличении одной величины в несколько раз дру­гая уменьшается во столько же раз.

Действительно, раз произведение Математика остается неиз­менным, то при увеличении одного из множителей в не­сколько раз другой должен уменьшиться во столько же раз.

Обратно, если при увеличении одной величины в несколько раз другая уменьшается во столько же раз, то эти величины обратно пропорциональны между собой.

В самом деле, раз величина Математика увеличивается в несколько раз, а величина Математика при этом уменьшается во столько же раз, то их произведение Математика остается неизменным.

Графическое представление зависимости между величинами

Предположим, что буквами Математика и Математика обозначены две какие-то величины, связанные между собою такой зависимостью, что каждому значению величины Математика соответствует некоторое значение вели­ чины Математика.

Наглядную и выразительную картину этой зависимости можно дать с помощью следующего графического изображения (представления).
На горизонтальной прямой (оси) вправо от некоторой точки Математика откладывается ряд отрезков, изображающих в надлежащем масштабе различные числовые значения Математика; затем, также в надлежащем масштабе, в конце каждого отложенного отрезка строится вертикальный отрезок («столбик»), изображающий полученное по формуле значение Математика.

По расположению точек, являющихся вершинами столби­ков, судят о том, какова зависимость между величинами Математика и Математика.

Иногда вершины столбиков соединяют плавной линией — пря­мой или кривой (график зависимости между Математика и Математика).

Пропорциональное деление. Прямоугольные и секторные диаграммы

Задача. Разделить число Математика на части пропорционально числам Математика, Математика, Математика (или в отношении Математика ).

Это значит: найти три числа, пропорциональные числам Математика, Математика, Математика и в сумме составляющие Математика.

Решение. Обозначая коэффициент пропорциональ­ности буквой Математика, можно записать три искомых числа в виде Математика, Математика и Математика. Их сумма тогда равна: Математика.

Но по условию задачи эта сумма должна равнять­ся Математика. Итак: Математика, Решая это уравнение относительно Математика, получим: Математика.

В таком случае искомые числа будут Математика; Математика и Математика , т. е. Математика; Математика и Математика .

Проверка: Математика.

Задачи, в которых требуется разделить данное число на несколько частей (две, три или больше) пропорционально данным числам, называются задачами на пропорциональное деление.

При решении задач на пропорциональное деление удобнее всего в качестве не­известного брать коэффициент пропорциональности.

Чтобы изобразить распределение на части, различающиеся теми или иными признаками, нередко представляют целое в виде прямоугольника, разделяя его прямыми, параллель­ными одной из сторон, пропорционально заданным размерам частей.

Так строятся прямоугольные диаграммы.

Иногда подобным же образом целое представляют в виде кру­га, разделяя его радиусами таким образом, чтобы были пропорциональны размерам частей центральные углы и, следовательно, площади секторов.

Так строятся секторные диаграммы.

Свойства арифметических действий

Сложение

Из арифметики известно, что сумма двух слагаемых не изменяется при их перестановке, например, Математика.

В случае целых слагаемых эго следует из того, что безразлично, в каком порядке считать кружочки (черт. 18): начиная с первой строки, получим Математика; начиная со второй, то получим Математика. В случае дробей с одинаковыми знаменателями, по правилу сложения дробей, сумма — также дробь с тем же знаменателем, остается сложить в числителе целые числа; например: Математика.

Если же знаменатели разные, то по тому же правилу нужно предварительно привести дроби к общему знаменателю.

Таким образом, наше утверждение верно при каких угодно слагаемых.

В буквенной форме оно записывается так:

I.Математика

Это равенство верно при всех значениях букв Математика и Математика.

Оно называется переместительным законом сложения.

Из арифметики же известно следующее: чтобы к не­которому числу прибавить сумму двух других чисел, до­статочно прибавить сначала первое слагаемое, потом второе. Например: Математика.

Объясним это, в случае целых чисел, тоже с помощью кружоч­ков (черт. 19).

Математика Математика

Можно считать кружочки двумя различными способами: сосчи­тать сначала, сколько кружочков в двух строчках (сначала в пер­вой, потом во второй), и затем присчитать те кружочки; которые в третьей строке; получим Математика; или сосчитать сначала, сколько кружочков. В последних двух строчках (сначала во второй, потом в третьей)» и после этого то, что получилось, присчитать к кружочкам первой строчки; получим Математика , Очевидно, ре­зультат будет один и тот же.

Если данные числа дробные, с одним и тем же знамена­телем, то, действуя по правилам сложения дробей, нужно совер­шать те же действия с числителями, сохраняя общий знаменатель; например: Математика.

Если же знаменатели разные, то можно прежде всего привести дроби к общему знаменателю.

Итак, наше утверждение верно при каких угодно слагаемых.

Запишем в буквенной форме и запомним:

II. Математика

И это равенство тоже верно при всех значениях букв Математика, Математика и Математика.

Оно называется сочетательным законом сложения.

Из переместительного и сочетательного законов сложения вытекает (следует) такой вывод: сумма трех (или большего числа) слагаемых не изменяется при каких угодно перестановках или группировках слагаемых.

В частности, во всякой сумме можно любое число ря­дом стоящих членов заключить в скобки или можно ско­бок не ставить совсем. Например: Математика.

Вычитание

Когда говорят, что «вычитание есть действие, обратное сложению», то подразумевают, что посредством вычитания решается задача: по сумме и одному из слагаемых найти другое слагаемое. Другими словами, вычесть чис­ло Математика из числа Математика означает решить уравнение Математика (или Математика).

Решение уравнения существует, если только Математика не пре­вышает Математика; оно имеет вид Математика.

Из арифметики известны следующие правила, которые мы теперь запишем в буквенной (алгебраической) форме.

Чтобы к некоторому числу прибавить разность, достаточно к нему сначала прибавить уменьшаемое, затем из полученного результата вычесть вычитаемое: Математика.

Чтобы из некоторого числа вычесть сумму двух сла­гаемых, достаточно вычесть из него сначала первое сла­гаемое, потом второе: Математика.

Чтобы из некоторого числа вычесть разность, доста­точно сначала из него вычесть уменьшаемое, затем к по­лученному результату прибавить вычитаемое: Математика .

Умножение

Как известно из арифметики, произведение двух мно­жителей не изменяется Математика. В случае целых множителей это видно из того, что безразлично, как считать кружочки при их перестановке: например, (см. черт. 21): по строкам или по столбцам таблички. Что это верно также для каких угодно дробей, следует из правила умножения дробей: Математика.

Математика Математика


В буквенной форме запись предыдущего утверждения имеет вид:

III. Математика.

Это — переместительный закон умножения, справед­ливый при всевозможных значениях Математика и Математика.

Из арифметики же известно: чтобы умножить некото­рое число на произведение двух чисел, достаточно умно­жить это число сначала на первый множитель, потом на второй.

Например: Математика.

На черт. 22 показано, как нужно сложить Математика кубиков для того, чтобы справедливость последнего равенства для случая целых чи­сел стала очевидной.

В случае дробных множителей утверждение следует из правила умножения дробей, например, Математика

Обыкновенно буквенные множители пишут в алфавитном порядке.

В буквенной записи мы получаем:

IV. Математика.

Это — сочетательный закон умножения.

Из этих двух законов вытекает такое следствие: про­изведение трех или большего числа множителей не изменяется при какой угодно перестановке или группировке этих множителей.

В частности, во всяком произведении можно как угод­но поставить скобки или не ставить их совсем. Например: Математика.

Если хот я бы один из множителей произведения равен нулю , то и само произведение равно нулю .

Это необходимо запомнить.

Итак: Математика

Очень важно также знать, что при умножении ка­кого угодно числа на единицу (или единицы на какое угодно число) это число не изменяется: Математика.

При каких угодно значениях Математика, Математика и Математика имеют место равенства:

V. Математика или Математика.

Справедливы также и равенства:

VI. Математика или Математика,

лишь бы число Математика не превышало числа Математика.

Равенства V и VI выражают разделительный закон умножения относительно сложения и вычитания.

Математика

1)Чтобы умножить на некоторое число сумму двух чисел, достаточно умножить на него каждое из слагаемых и произведения сложить.

2) Чтобы умножить на некоторое число разность двух чисел, достаточно умножить на него уменьшаемое и вычитаемое, и второе произведение вычесть из первого.

Деление

Когда говорят, что деление есть действие, обратное умножению, то подразумевают, что посредством деления решается задача: по произведению и одному из двух множителей найти другой множитель. Другими словами, разделить число Математика на число Математика означает решить уравнение: Математика (или Математика).

Решение существует, если только Математика отлично от нуля, оно записывается следующим образом: Математика (реже Математика).

Проверку делают посредством подстановки найден­ного значения Математика в заданное уравнение с применением прямого действия — умножения.

Таким образом: Математика.

Как известно из арифметики, для того чтобы разде­лить число на некоторую дробь, достаточно умножить на число, ей обратное. Иначе говоря, достаточно разделить на числитель и умножить на знаменатель. Например: Математика

Это правило, очевидно, годится и для того случая, когда нужно разделить на целое число, так как целое число всегда можно представить в виде дроби.

Запомните твердо равенство:Математика

Чтобы разделить на некоторое число, отличное от нуля, достаточно умножить на число, ему обратное.

Посмотрим, что можно сказать о делении числа Математика на число Математика, если делитель равен нулю.

Возможны два случая.

Если Математика не равно нулю, то уравнение Математика не имеет решений; в самом деле, всякое число, будучи умножено на нуль, дает нуль, и, значит, произведение не может равняться числу, отличному от нуля. Иными сло­вами, разделить на нуль число, отличное от нуля, невозможно.

С другой стороны, если Математика равно нулю, то наше уравнение принимает вид: Математика.

Так как всякое число, будучи умножено на нуль, дает нуль, то любое значение Математика удовлетворяет уравнению.

Иными словами, деление нуля на нуль приводит к совершенно неопределенному результату.

По указанным причинам в математике произведение на буквенное выражение, обязательно предполагают, что это выражение имеет значение, отлич­ное от нуля.

При каких угодно значениях Математика, Математика и Математика (лишь бы с бы­ло отлично от нуля) справедливы равенства:

VII. Математика

VIII. Математика

Это — распределительные законы деления (относительно сложения и вычитания).

Все действия

Сложение и вычитание называются действиями первой степени, умножение и деление — действиями второй степени.

Сложение и умножение считаются прямыми действиями, вычитание и деление — обратными действиями.

Таким образом, классификация действий дается в сле­дующей табличке:
Математика

В порядке обзора ниже приводятся некоторые ра­венства, содержащие действия с числами Математика и Математика. В них буква Математика может иметь совершенно произвольные значения; впрочем, в равенствах, отмеченных восклицательным зна­ком, значение Математика должно быть отлично от нуля:

Математика

Делить на нуль нельзя.

Равенства и неравенства

Каждое число можно записать самыми разнообразными способами. Например: Математика и т.п.

Математика и т.п.

С другой стороны, два арифметических выражения могут быть соединены знаком равенства, раз они представляют одно и то же число.

Если два числа не равны, то из них всегда одно меньше, другое больше, Именно из двух целых чисел меньше то, которое раньше встречается в нату­ральном ряде Математика; например, Математика меньше, чем Математика, и это записывается следующим образом: Математика или Математика.

Чтобы судить о том, которая из двух неравных между собой дробей меньше, чем другая, достаточно привести их к общему знаменателю и сравнить числители. Например, Математика, так как Математика, а Математика.

Таким образом, каковы бы ни были два данных числа Математика и Математика (или арифметических выражения), непремен­но имеет место один, и только один, из трех возможных случаев:

1) или Математика и тогда Математика,

2) Математика,

3) Математика.

Если хотят записать, что число Математика не равно числу Математика, то пользуются знаком Математика или Математика: Математика, Математика.

Предположим теперь, что заданы две буквы или два буквенных выражения. Связать их между собой одним из трех знаков Математика , Математика , Математика представляет более трудную задачу и именно по той причине, что выбор знака большей частью зависит от числовых значений букв. Так, если рядом стоят выражения: Математика и Математика, то при Математика, Математика мы получаем Математика, Математика, Математика.

Может случиться так, что два буквенных выражения оказываются равными при всех значениях входящих букв. Такие выражения называются тождественно равными, или тождественными; равенство та­ких выражений носит название тождества.

Тождествами считаются также верные арифметические равен­ства (не содержащие ни одной буквы).

Вот примеры тождеств: 1) Математика; 2) Математика; 3)Математика.

Основные свойства равенств н неравенств

I. Всякая величина равна самой себе: всегда верно
равенство: Математика.

II. Можно переставить между собой левую и правую части равенства. Другими словами: если верно, что Математика, то верно также Математика.

III. Две величины, порознь равные третьей, равны между собою. Другими словами: если верно, что Математика и верно, что Математика, то верно также, что Математика.

Основные свойства неравенств лишь отчасти напоминают основные свойства равенств.

I’. Никакая величина не может быть ни больше, ни меньше себя самой. Итак, неравенства Математика и Математика всегда неверны.

II’. Можно переставить между собою левую и пра­вую части неравенства, изменяя при этом направление знака неравенства. Иначе, если верно, что Математика, то верно также, что Математика; и если верно, что Математика, то вер­но, что Математика.

III’. Если верны неравенства Математика и Математика,то верно и неравенство Математика. Если верны неравенства Математика и Математика, то верно и неравенство Математика.

Числовой луч

Очень удобно изображать всевозможные, целые и дробные, числа в виде точек, расположенных на одном и том же луче (полупрямой).

Пусть Математика — вершина луча, и сам луч направлен вправо (см. черт. 25). Приняв некоторый отрезок за единицу длины, отложим его по лучу вправо от вершины Математика один, два, три и т. д. раза; полученные точки будут представлять числа 1, 2, З и т . д. Числу нуль соответствует сама вершина Математика («начало»). Таким образом точками на луче изображены все целые числа.

Математика

Чтобы отметить на луче данную дробь, например Математика, разделим единицу длины на семь равных частей и таких частей отложим от вершины четыре. Так поступим и со всякой другой дробью. Таким образом на луче изображаются все дробные числа.

Вместо того, чтобы говорить «точка, соответствующая числу Математика », говорят просто «точка Математика » и т. п.

Число, которое изображается данной точкой, называется ее координатой.

Из произведенного построения видно, что точка Математика находится на расстоянии Математика единиц от начала Математика, точка Математика — на расстоянии Математика единицы от Математика и т. д. Вообще любая отмеченная точка Математика находится на расстоянии Математика единиц от начала Математика.

Отсюда следует:

1) Если Математика, то точки Математика и Математика совпадают. Например, совпадают точки Математика и Математика.

Если Математика, то точка Математика расположена левее точки Математика. Если Математика, то точка Математика расположена правее точки Математика.

Чтобы определить расстояние между двумя точ­ками Математика и Математика на луче, достаточно составить разность между большим и меньшим из чисел Математика и Математика. Если Математика, то точки совпадают, и расстояние между ними считается тогда равным нулю.

Числовой луч, точки которого изображают значения величины Математика, мы ради краткости условимся называть «лучом Математика«.

При построении точек на числовом луче существенную роль играет выбор масштаба. Для того чтобы задать масштаб, доста­точно указать, какой отрезок принят за единицу длины. Если используется клетчатая бумага, то можно установить, например, что одна клетка принята за Математика единиц или что в качестве единицы принят отрезок длиной в Математика клеток и т. п.

Координатный угол

Часто бывает нужно изображать графически не числа, а пары чисел. В таких случаях можно было бы взять два луча и первое число изображать в виде точки на одном луче, а второе — на другом. Но обыкновенно поступают иначе.

Пусть требуется изобразить пару чисел (Математика, Математика), Тогда рас­ положим лучи Математика и Математика так, чтобы начало Математика у них было одно и то же, и притом луч Математика был бы направлен впра­во, а луч Математика — вверх; на обоих лучах выби­рают масштабы.

Отметив на луче Математика точку Математика, а на луче Математика — точку Математика, проведем через отмеченные точки пря­мые, параллельные лучам Математика и Математика, и возьмем их точку пересечения Математика (см. черт. 27); эта точка и будет изобра­жать пару чисел (Математика). Ради краткости говорят просто «точка Математика», или даже «точка (Математика)». Первое число Математика называется абсциссой точки М, второе число Математикаординатой; совместно рассматриваемые абсцисса и ордината точки Математиканазываются ее координатами.

Математика

Таким образом, каждой паре чисел Математика соответствует некоторая точка в прямом угле Математика, этот угол иначе называется координатным углом.

Обратно, если дана некоторая точка Математика в нашем угле, то для определения ее координат Математика и Математика достаточно из нее опустить перпендикуляры на лучи Математика и Математика и измерить расстояния оснований перпендикуляров от точки Математика.

Если абсцисса Математика равна нулю, то точка Математика лежит на луче Математика, и обратно.

Если ордината Математика равна нулю, то точка Математика лежит на луче Математика, и обратно.

Точка Математика есть как раз общая вершина лучей Математика и Математика, иначе — начало Математика.

Для удобства отсчетов покрывают координатный угол рядом равностоящих, вертикальных и горизон­тальных прямых ( координатная сетка) .

Числа в математике

Число — одно из основных понятий математики[1], используемое для количественной характеристики, сравнения, нумерации объектов и их частей. Письменными знаками для обозначения чисел служат цифры, а также символы математических операций. Возникнув ещё в первобытном обществе из потребностей счёта, понятие числа с развитием науки значительно расширилось.

Лекции с примерами решения:

Преобразование алгебраических выражений

Числовые выражения – что это?

  • 3+512+1−618−(4+6)1+1+1+1+1 и т.п. – это все числовые выражения, а если в выражении выполнить указанные действия, то найдем значение выражения.

Числовое выражение — это комбинация чисел, знаков арифметических действий, дробных черт, знаков корня (радикалов), логарифмов, обозначений тригонометрических, обратных тригонометрических и других функций, а также скобок и других специальных математических символов, составленная в соответствии с принятыми в математике правилами.

Ниже приведены задачи с решением тождественных преобразований алгебраических выражений:

Тригонометрия

Тригонометрия — раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии.

Лекции с примерами решения:

Уравнения

Уравнение — это равенство, содержащее в себе переменную, значение которой требуется найти. Это значение должно быть таким, чтобы при его подстановке в исходное уравнение получалось верное числовое равенство.

Лекции с примерами решения:

Решение уравнений

Решение уравнения — задача по нахождению таких значений аргументов, при которых это равенство достигается. На возможные значения аргументов могут быть наложены дополнительные условия (целочисленности, вещественности и т. д.).

  • Аргументы заданных функций (иногда называются «переменными») в случае уравнения называются «неизвестными».
  • Значения неизвестных, при которых это равенство достигается, называются решениями или корнями данного уравнения.
  • Про корни говорят, что они удовлетворяют данному уравнению.

Решить уравнение означает найти множество всех его решений (корней) или доказать, что корней нет.

Простейший способ решения уравнений

1. Найти такое значение буквы х, при котором равенство х—8 = 0 становится верным.
Разность двух чисел равна нулю лишь тогда, когда эти числа одинаковые. Поэтому х = 8.

2. Найти такое значение буквы х, при котором равенство x + 8 = 0 становится верным.
Сумма двух чисел равна нулю лишь тогда, когда эти числа противоположны. Поэтому х = — 8.

3. Найти такое значение буквы х, при котором равенство х + 3 = 20 становится верным.
Одно из двух слагаемых равно разности между суммой и другим слагаемым. Поэтому х = 20 — 3, т. е. х = 17.

4. Найти такое значение буквы х, при котором равенство х— 3 = 20 становится верным.
Уменьшаемое равно вычитаемому плюс разность. Поэтому х = 20 + 3, т. е. х = 23.

5. Найти такое значение буквы х, при котором равенство 5х= 20 становится верным.
Один из двух множителей равен произведению, деленному на другой множитель. Поэтому математика, т. е. х = 4.

6. Найти такое значение буквы х, при котором равенство математика становится верным.
Делимое равно делителю, умноженному на частное. Поэтому х = 6 • 12, т. е. х = 72.

7. Найти такое значение буквы х, при котором равенство математика становится верным.
Делитель равен делимому, деленному на частное. Поэтому х = 72 : 12, т. е. x = 6.

8. Найти такие значения буквы х, при которых равенство
(х—4)(х—7)(х—13)=0 становится верным.

Решение. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные множители какие-либо числа. Поэтому наше равенство будет верным либо когда х—4=0, либо когда х—7=0, либо, наконец, когда х—13=0, т. е. данное нам равенство становится верным при х = 4, х = 7 и, наконец, при х = 13. Ни при каких других значениях буквы х данное равенство верным не будет.

9. Найти такое значение буквы х, при котором равенство 2х = Зх становится верным.
Решение. При всяком значении буквы х, отличном от нуля, не равно Зх. При х = 0 как равно нулю, так и Зх равно нулю. Следовательно, равенство 2х = Зх будет верным тогда и только тогда, когда х = 0.

Уравнение и его корень

В каждой из девяти предыдущих задач мы встречались с таким равенством, которое оказывалось верным при одних числовых значениях буквы х и неверным при прочих значениях. Например, равенство х — 8 = 0 является верным лишь при х = 8; равенство (х — 1) (х — 2)(х — 3) = 0 является верным при х = 1, х = 2, х = 3 и неверным при всех прочих значениях буквы х.

Подобные равенства называются уравнениями.

В уравнении х + 5 = 12 буква х называется неизвестной величиной или просто неизвестной.
В уравнении 2у + 3 = 15 буква у есть неизвестная величина, или неизвестное число, или просто неизвестное.

В уравнении математика неизвестное обозначено буквой N.

То числовое значение неизвестного, при котором уравнение становится верным равенством, называется корнем уравнения или решением уравнения. Например уравнение х + 5 = 12 имеет корень 7, уравнение математика имеет корень 124; уравнение
(х — 1) (х — 2) = 0 имеет два корня 1 и 2.

Не всякое уравнение имеет корень. Например, уравнение математика не имеет ни одного корня.

Решить уравнение — это значит найти все его корни или убедиться в их отсутствии.

Примеры простейших уравнений

  1. Решить уравнение:
математика

Решение. Произведение частного на делитель равно делимому. Поэтому

математика

Вычитаемое равно уменьшаемому минус разность. Следовательно,

математика

Делитель равен делимому, деленному на частное, т. е.

математика

Одно из двух слагаемых равно сумме минус другое слагаемое. Поэтому

математика

Отсюда

математика

2. Решить уравнение:

математика

Перемножив двучлены, получим

математика

Раскрыв скобки, получим

математика

Уменьшаемое равно вычитаемому плюс разность. Поэтому

математика

Один из двух множителей равен произведению, деленному на другой множитель. Поэтому

математика

Решение задач при помощи уравнений

Задача 1. Квартальная плата за пользование телефоном взимается в сумме 7,5 руб., если абонент пользуется только одним телефонным аппаратом. Если же у абонента два аппарата под одним телефонным номером, то с него взыскивается 10,5 руб. за квартал. От 1042 абонентов банк принял 7899 руб. Сколько было абонентов, пользующихся двумя аппаратами?

Решение. Пусть было х абонентов, пользующихся двумя аппаратами. Тогда абонентов, пользующихся только одним аппаратом, было
1042 — х.

Абоненты, пользующиеся двумя аппаратами, внесли 10,5х руб. Абоненты же, пользующиеся только одним аппаратом, внесли
7,5 (1042 — х) руб.

Все абоненты вместе внесли [10,5х + 7,5 (1042 — х)] руб. Но по условию задачи от всех абонентов банк принял 7899 руб. Следовательно, буква х должна иметь такое значение, при котором равенство 10,5x + 7,5(1042—х) = 7899 становится верным.

Раскрыв скобки, получим 10,5х + 7,5 • 1042 — 7,5x = 7899, сделав приведение подобных членов, будем иметь Зх + 7815 =7899. Пользуясь свойствами действий, получим:

математика

Итак, абонентов, пользующихся двумя аппаратами, было 28.

Задача 2. Найти такое целое положительное число, чтобы произведение двух следующих за ним целых чисел оказалось больше произведения двух ему предшествующих на 600.

Решение. Обозначим искомое число буквой х. Тогда произведение двух следующих за ним целых чисел будет

математика

а произведение двух ему предшествующих целых чисел будет
(х — 1)(х — 2). По условию задачи разность между этими произведениями должна быть равной числу 600. Поэтому буква х должна иметь такое значение, при котором равенство

математика

становится верным.

Теперь задача свелась к тому, чтобы найти такое значение буквы х, при котором последнее равенство становится верным, т. е. к тому, чтобы решить полученное уравнение.

Раскрыв скобки, получим математика Сделав приведение подобных членов, будем иметь 6x = 600. Отсюда x = 100.

Итак, искомым числом является число 100.

Покажем применение уравнений к решению еще одной такой задачи, которую можно было бы решить значительно проще, чисто арифметическим путем.

Задача 3. В двух домах 48 окон, в одном из них на 2 окна больше, чем в другом. Сколько окон в каждом доме?

Число окон в первом доме обозначим буквой x, тогда число окон во втором доме изобразится выражением х + 2, а число окон в обоих домах будет х + (х + 2).

По условию задачи в обоих домах 48 окон. Поэтому

математика

Отсюда

математика

Значит, в первом доме 23 окна, а во втором 25.

Лекции с примерами решения:

Неравенства

Неравенство в математике — отношение, связывающее два числа или иных математических объекта с помощью одного из перечисленных ниже знаков.

Лекции с примерами решения:

Решение неравенств

Если неравенство содержит символы неизвестных, то решение его означает выяснение вопроса, при каких значениях неизвестных неравенство выполняется.

Лекции с примерами решения:

Решение задач по системам уравнений и неравенств

Системой неравенств называют запись уравнений, объединенных фигурной скобкой с множеством решений одновременно для всех неравенств, входящих в систему.

Лекции с примерами решения:

Решение текстовых задач в математике

Традиционно текстовыми задачами называются задачи на составление уравнений. Однако встречаются задачи, в которых для нахождения требуемых неизвестных величин приходится пользоваться не только уравнениями, но и неравенствами, а иногда и другими условиями, которые не записываются в форме уравнений и неравенств. Поэтому главным, что объединяет задачи такого типа, является лишь то, что условие задано в форме некоторого текста, без формул, без предварительных буквенных обозначений неизвестных. Обычно в задаче описывается более или менее реальная ситуация, в которой одни величины известны, другие неизвестны. Требуется, исходя из условий задачи, определить одну или несколько неизвестных величин, иногда их комбинации и соотношения.

Решение задачи в том случае, когда составляются уравнения, т. е. соотношения между известными и неизвестными величинами, происходит в три этапа:

  1. выбор и обозначение неизвестных;
  2. составление уравнений или неравенств;
  3. решение полученной системы уравнений и неравенств.

При наличии двух или нескольких решений системы выбирается то или те решения, которые соответствуют смыслу задачи. Так, например, не имеет смысла отрицательная стоимость чего-либо и т.п. При решении задачи важны все три этапа. Очень часто удачный выбор неизвестных быстро приводит к получению ответа, в то время как не совсем удачно выбранные неизвестные затягивают решение или делают его невозможным. Если неизвестные выбраны и обозначены, записать уравнения, как правило, труда не составляет, но нужно очень четко представлять, в чем состоит вопрос задачи. В результате решения систем уравнений и неравенств нужно ответить именно на этот вопрос, только тогда задача считается решенной. Для того чтобы записать словесные условия в виде уравнений и неравенств, нужно, читая условие задачи, постепенно вводить неизвестные и сразу записывать связи между известными и неизвестными величинами. Неважно, если неизвестных и уравнений будет много, постепенно ситуация упростится. Лучше выписывать все, что мы знаем о неизвестных величинах, чем упустить что-либо. При этом, если нужно найти какую-то определенную величину, необязательно находить другие величины, входящие в систему уравнений.

Обычно текстовые задачи делят на типы в зависимости от условий, представленных в тексте. Хотя существует достаточно много задач, в которых объединены несколько типичных условий. Так, задачи на «движение» могут включать проценты, а задачи на «работу» — целочисленные неизвестные и т. п. Тем не менее, мы выделили шесть типов текстовых задач, и, хотя готовых рецептов решения задач не существует, определенные подходы для каждого типа могут помочь при их решении. Прежде всего мы остановимся на задачах на проценты, процентное содержание и концентрации.

Лекции с примерами решения:

Решение задач на прогрессии

Арифметическая прогрессия — это ряд чисел, в котором все член получаются из предыдущего методом добавления к нему 1-го и того же числа d, которое называется разностью арифметической прогрессии.

Лекция с примерами решения:

Решение задач на функции

Функция — в математике соответствие между элементами двух множеств, установленное по такому правилу, что каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго множества.

Лекция с примерами решения:

Математика — лекции с примерами решения

Математика — точная наука, наука о пространственных формах и количественных отношениях. Она является основой почти всех наук, даже гуманитарных, поэтому так важно всем с первых классов изучать и понимать этот предмет. Математика не терпит произвола. Это олицетворение строгой логики и порядка. Она помогает изучить наш мир с его законами.

Освоение математики ещё со школьной скамьи позволяет развивать и упорядочивать мышление ребёнка, усиливает умственные способности. Эти знания будут той базой, которая позволит интеллектуально развиваться впоследствии. Здесь вы найдёте коллекцию видеоуроков по математике, а также конспекты, тесты, тренажёры к ним. Это поможет вам изучать и повторять этот предмет в любое время. А выполняя задания к урокам, вы сможете лучше усвоить предложенный материал.

Действительные числа

Действительное, число — математический объект, возникший из потребности измерения геометрических и физических величин окружающего мира, а также проведения таких вычислительных операций, как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение алгебраических уравнений, исследование поведения функций.

Если натуральные числа возникли в процессе счёта, рациональные — из потребности оперировать частями целого, то действительные числа предназначены для измерения непрерывных величин. Таким образом, расширение запаса рассматриваемых чисел привело к множеству вещественных чисел, которое, помимо чисел рациональных, включает элементы, называемые иррациональными числами.

Лекции и примеры с решением:

  1. Прямые и обратные теоремы примеры с решением
  2. Делимость целых чисел примеры с решением
  3. Метод математической индукции примеры с решением
  4. Рациональные числа примеры с решением

Действительные числа, степени и корни, логарифмы. Тождественные преобразования алгебраических выражений

Возведение в степень — арифметическая операция, первоначально определяемая как результат многократного умножения числа на себя.

Корень — это 1) корень степени n из числа a — всякое число x (обозначаемое , a называется подкоренным выражением), n-я степень которого равна a (). Действие нахождения корня называется извлечением корня. 2) Корень уравнения — число, которое после подстановки его в уравнение вместо неизвестного обращает уравнение в тождество.

Логарифм — это степень, в которую надо возвести основание, чтобы получить аргумент, т.е. функция от двух переменных.

Тождественные преобразования представляют собой работу, которую мы проводим с числовыми и буквенными выражениями, а также с выражениями, которые содержат переменные. Все эти преобразования мы проводим для того, чтобы привести исходное выражение к такому виду, который будет удобен для решения задачи.

Алгебраическим выражением называется выражение, получаемое из постоянных и переменных при помощи операций сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в целую степень и извлечения корня.

Задания на тождественные преобразования алгебраических выражений часто встречаются в вариантах экзаменов, проводимых в форме ЕГЭ как в качестве отдельных заданий, так и в качестве компонентов заданий (например, при решении алгебраических уравнений и неравенств). Для их выполнения требуется умение применять формулы сокращенного умножения, разложения квадратного трехчлена на множители и знать определения и свойства степеней, уметь выделять полный квадрат.

Лекции и примеры с решением:

  1. Множество действительных чисел примеры с решением
  2. Разложение многочлена на множители примеры с решением
  3. Производные пропорции примеры с решением
  4. Действия с корнями (радикалами) примеры с решением
  5. Степень с рациональным и действительным показателем примеры с решением
  6. Логарифмы примеры с решением

Последовательность. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Предел последовательности

В математике последовательность — это пронумерованный набор каких-либо объектов, среди которых допускаются повторения, причём порядок объектов имеет значение.

Числовая последовательность – это упорядоченный набор чисел. Члены последовательности удобно нумеровать натуральными числами. Последовательности могут быть конечными и бесконечными.

Последовательность мы можем задать несколькими способами:

  1. словесно (описать ее члены, например: последовательность четных натуральных чисел);
  2. аналитически (задать формулу n-го члена как функцию натурального аргумента);
  3. рекуррентно (задать несколько первых членов и выразить каждый следующий член через один или несколько предыдущих).

Частные случаи последовательностей – арифметическая и геометрическая прогрессии.

Арифметическая и геометрическая прогрессии тесно связаны между собой.

Предел числовой последовательности — предел последовательности элементов числового пространства. Числовое пространство — это метрическое пространство, расстояние в котором определяется как модуль разности между элементами.

Лекции и примеры с решением:

  1. Числовая последовательность и арифметическая прогрессия с примерами решения
  2. Геометрическая прогрессия с примерами решения
  3. Предел последовательности с примером решения
  4. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

Кстати, у меня ещё есть готовые решённые задачи по недорогим ценам, они размещены тут.

Основные формулы тригонометрии. Арксинус, арккосинус и арктангенс числа

Тригонометрия — раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии.

Арксинус (arcsin) – это обратная тригонометрическая функция. Арксинус x определяется как функция, обратная к синусу x, при -1≤x≤1.

Арккосинус (arccos) – это обратная тригонометрическая функция. Арккосинус x определяется как функция, обратная к косинусу x, при -1≤x≤1.

Арктангенс (arctg или arctan) – это обратная тригонометрическая функция. Арктангенс x определяется как функция, обратная к тангенсу x, где x – любое число (x∈ℝ).

Лекции и примеры с решением:

  1. Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла с примером решения
  2. Зависимость между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом с примером решения
  3. Четность, нечетность и периодичность тригонометрических функций с примером решения
  4. Формулы двойного и тройного аргумента с примерами решения
  5. Формулы понижения степени с примерами решения
  6. Формулы приведения с примерами решения
  7. Преобразование произведения синусов и косинусов в сумму с примером решения

Арксинус, арккосинус и арктангенс числа

Арксинус (arcsin) – это обратная тригонометрическая функция. Арксинус x определяется как функция, обратная к синусу x, при -1≤x≤1.

Арккосинус (arccos) – это обратная тригонометрическая функция. Арккосинус x определяется как функция, обратная к косинусу x, при -1≤x≤1.

Арктангенс (arctg или arctan) – это обратная тригонометрическая функция. Арктангенс x определяется как функция, обратная к тангенсу x, где x – любое число (x∈ℝ).

Лекции и примеры с решением:

  1. Арксинус с примером решения
  2. Арккосинус с примерами решения
  3. Арктангенс с примерами решения

Числовые неравенства

Числовое неравенство – это неравенство, в записи которого по обе стороны от знака неравенства находятся числа или числовые выражения.

Лекция и примеры с решением:

Алгебраические уравнения

Алгебраическим уравнением называется уравнение вида P (x) = 0, где P (x)— многочлен с целыми (или рациональными) коэффициентами.

Лекции и примеры с решением:

  1. Уравнение и его корни. Преобразование уравнений
  2. Рациональные уравнения примеры с решением
  3. Иррациональные уравнения примеры с решением

Показательные и логарифмические уравнения

Показательные уравнения — это уравнения в которых неизвестное содержится в показателе степени. Простейшее показательное уравнение имеет вид: ах = аb, где а> 0, а 1, х — неизвестное.

Логарифмические уравнения — это любое уравнение, которое сводится к виду log a f(x) = k, где a > 0, a ≠ 1 — основание логарифма, f(x) — произвольная функция, k — некоторая постоянная.

Лекции и примеры с решением:

  1. Показательные уравнения примеры с решением
  2. Логарифмические уравнения примеры с решением

Тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения — это уравнение вида sinx=a, cos x=a, tgx=a, где a — некоторое действительное число. Решаются тригонометрические уравнения они проще всего с помощью тригонометрического круга

Лекции и примеры с решением:

  1. Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением
  2. Решение уравнений с помощью введения вспомогательного угла, методом замены неизвестного и разложения на множители, с помощью формул понижения степени примеры с решением
  3. Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей с примерами решения
  4. Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Системы уравнений

Система уравнений — это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных.

Лекции и примеры с решением:

Системы алгебраических уравнений

Системы алгебраических уравнений — система уравнений, каждое уравнение в которой является линейным — алгебраическим уравнением первой степени.

В классическом варианте коэффициенты при переменных, свободные члены и неизвестные считаются вещественными числами, но все методы и результаты сохраняются (либо естественным образом обобщаются) на случай любых полей, например, комплексных чисел.

Решение систем алгебраических уравнений — одна из классических задач линейной алгебры, во многом определившая её объекты и методы. Кроме того, линейные алгебраические уравнения и методы их решения играют важную роль во многих прикладных направлениях, в том числе в линейном программировании, эконометрике.

Нелинейные системы уравнений с двумя неизвестными

Решение систем нелинейных уравнений — раздел математики в алгебре считается одним из трудных разделов, так как нет единых способов решения систем алгебраических уравнений, особенно, если речь идет о нелинейных системах уравнений. Так как школьники испытывают затруднения при выполнении такого типа заданий, то возникла идея составить рекомендации для старшеклассников по теме «Нелинейные системы уравнений».

Лекции и примеры с решением:

  1. Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решением
  2. Симметрические системы примеры с решением
  3. Решение других типов систем алгебраических систем уравнений
  4. Иррациональные системы с двумя неизвестными с примерами решения
  5. Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения

Задачи на составление и решение уравнений

На вступительных экзаменах в вузы часто предлагаются задачи на составление и решение уравнений. Для решения таких задач обычно требуется ввести неизвестные, записать условия задачи в виде уравнений, связывающих эти неизвестные, решить полученное уравнение или систему уравнений и произвести отбор решений по смыслу задач.

Лекции и примеры с решением:

  1. Задачи на движение с примерами решения
  2. Задачи на сплавы и смеси с примерами решения
  3. Задачи на совместную работу с примерами решения

Системы показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений

При решении систем уравнений, содержащих неизвестные в показателе степени и в ее основании или под знаком логарифма и в его основании, применяются методы решения систем алгебраических уравнений, а также методы решения показательных и логарифмических уравнений.

Лекции и примеры с решением:

  1. Примеры решения систем показательных уравнений
  2. Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями
  3. Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями
  4. Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Алгебраические неравенства

Алгебраические неравенства — это решение неравенств при которых значение переменной, обращается в это неравенство в верное числовое неравенство.

Алгебраические неравенства подразделяются на неравенства первой степени, второй степени и так далее. 

Метод решения алгебраических неравенств заключается в приведении их с помощью равносильных преобразований к системам или совокупностям легко решаемых рациональных неравенств или уравнений. 

Частным решением алгебраического неравенства называют значение переменной, при которой алгебраическое неравенство является верным числовым неравенством.

Общим решением алгебраического неравенства называют множество всех частных решений данного неравенства.

Решить алгебраическое неравенство — значит найти все его решения (и обосновать, что других решений нет) или доказать, что решений нет.

Неравенства называются равносильными, если они имеют одинаковые решения или решений не имеют.

При решении неравенства его заменяют более простым равносильным неравенством.

  1. Любой член неравенства можно перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, не меняя при этом знак неравенства.
  2. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, не меняя при этом знак неравенства.
  3. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный.

Лекция и примеры с решением:

Квадратный трехчлен и квадратные неравенства

Квадратный трехчлен и квадратные неравенства — это любое квадратное уравнение в котором заменён знак «=» (равно) на любой значок неравенства (> ≥ < ≤ ≠).

Лекция и примеры с решением:

Рациональные неравенства. Метод интервалов

Рациональное неравенство – это неравенство с переменными, обе части которого есть рациональные выражения.

Метод интервалов – простой способ решения дробно-рациональных неравенств. Так называются неравенства, содержащие рациональные (или дробно-рациональные) выражения, зависящие от переменной.

Лекция и примеры с решением:

Расположение корней квадратного трехчлена на числовой оси

Решение многих задач с параметрами по математике, предлагаемых на экзаменах по математике, в частности, на ЕГЭ по математике, требует умения правильно формулировать необходимые и достаточные условия, соответствующие различным случаям расположения корней квадратного трёхчлена на числовой оси.

Лекция и примеры с решением:

Иррациональные неравенства

Иррациональные неравенства – это переменная содержится под знаком корня. Иррациональное неравенство, как правило, сводится к равносильной системе (или совокупности систем) неравенств

Лекция и примеры с решением:

Показательные, логарифмические и тригонометрические неравенства

Показательные неравенства – это неравенства с переменной в показателе степени.

Логарифмические неравенства – это неравенства, содержащее переменную только под знаком логарифма: loga f(х) > logag(х).

Тригонометрические неравенства – это неравенства, которые содержат переменную под знаком тригонометрической функции.

Лекция и примеры с решением:

Логарифмические неравенства

Рассмотрены простейшие логарифмические неравенства, такого типа задания вполне можно встретить в качестве задания 15 на ЕГЭ по математике. При решении логарифмических неравенств очень важно не забывать про область допустимых значений аргумента.

Лекции и примеры с решением:

  1. Логарифмические неравенства с постоянными основаниями с примерами решения
  2. Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

Тригонометрические неравенства

Решение тригонометрических неравенств зачастую сводится к решению простейших тригонометрических неравенств вида:  sinx<a sin⁡x<a,  cosx<a cos⁡x<a,  tgx<a tg⁡x<a,  ctgx<a ctg⁡x<a,  sinx>a sin⁡x>a,  cosx>a cos⁡x>a,  tgx>a tg⁡x>a,  ctgx>a ctg⁡x>a,  sinx≤a sin⁡x≤a,  cosx≤a cos⁡x≤a,  tgx≤a tg⁡x≤a,  ctgx≤a ctg⁡x≤a,  sinx≥a sin⁡x≥a,  cos≥a cos≥a,  tgx≥a tg⁡x≥a,  tgx≥a

Лекция и примеры с решением:

Системы неравенств с двумя переменными

Система неравенств с двумя переменными – это система неравенств, которая в своем составе имеет два и более линейных неравенств с двумя переменными.

Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая его в верное числовое неравенство.

Лекции и примеры с решением:

  1. Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения
  2. Пример решения линейных неравенств с двумя переменными

Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными

Система линейных уравнений и неравенств с двумя переменными – это неравенства вида ax+by≤()c, где и x и y — неизвестные переменные, а и a, b и c — некоторые числа, причем и a и b отличны от нуля.

Лекции и примеры с решением:

  1. Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения
  2. Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля

Нелинейные системы неравенств с двумя переменными

Нелинейные системы неравенств с двумя переменными – это неравенства вида ах + bу + с<0 или ах + bу + с >0, где х и у – переменные, а, b, c – некоторые числа.

Лекция и примеры с решением:

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Множества и операции над ними

Множество может быть задано или перечислением всех своих элементов (если это конечное множество), или указанием определенного признака для элементов этого множества. Например, множество А = {1; 2; 3; 4; 5; 6}, состоящее из шести элементов — натуральных чисел, задано перечислением всех элементов множества. Или множество М =решение задач по математике задано перечислением трех геометрических фигур — элементов этого множества. Множество В = {2; 4; 6; …} всех четных чисел задано указанием признака для элементов этого множества.


То, что элемент а принадлежит множеству А, записывают так: а решение задач по математике А. Знак принадлежности решение задач по математике читают: «принадлежит». Если элемент b не принадлежит множеству А, то пишут b решение задач по математике А. Например, если множество А = {3; 7; 11; 19}, то 7 решение задач по математике А, но 5 решение задач по математике А.


Для наглядности принято изображать элементы множества точками на плоскости. Например, множество А = {яблоко; кит; жук}

решение задач по математике


изображено на рис. 74, или проще на рис. 75, или совсем просто на рис. 76 (не отмечая элементов множества).


Пересечением двух множеств называется множество, состоящее из всех их общих элементов. Пресечение множеств А и В обозначается А решение задач по математике В, знак решение задач по математике читают: «пересечение».


Например, если множество А = {4; кот; решение задач по математике}, а множество В = {жук; 7; кот; репа}, то решение задач по математике = {кот}, т. е. множеству, состоящему из одного элемента —кота. На рис. 77 пересечение-множеств А и В заштриховано дважды.


Объединением двух множеств называется множество, состоящее из всех элементов, входящих хотя бы в одно из этих множеств. Объединение множеств А и В обозначается А решение задач по математикеВ, знак решение задач по математике читают: «объединение». Например, если А = {3; кит; яблоко; Солнце}, а В — {бык;

решение задач по математике


Солнце; 7; 3}, то Aрешение задач по математикеВ — {3; кит; яблоко; Солнце; бык; 7}. На рис. 77 вся заштрихованная фигура изображает множество Aрешение задач по математикеB.


Для некоторых множеств приняты стандартные обозначения: N={1; 2; 3; 4; …} — множество натуральных чисел; Z = {…; —2; — 1; 0; 1; 2; .’..} — множество целых чисел; Q — множество всех рациональных чисел (целые числа, положительные и отрицательные дроби); решение задач по математике— пустое множество, т. е. множество, не содержащее ни одного элемента; R — множество действительных чисел.


Подмножеством множества А называется множество В, каждый элемент которого принадлежит множеству А. Записывают это так: Врешение задач по математике А, что читается: «множество В содержится во множестве A» или «В содержится в A», или так: Aрешение задач по математикеВ, что читается: «множество А содержит множество В» или «A содержит В» (рис. 78). Например, Nрешение задач по математикеZ, Zрешение задач по математикеQ, Qрешение задач по математикеR. Считается, что пустое множество решение задач по математике есть подмножество любого множества.


Дополнением множества А до множества В (содержащего множество А) называется множество всех элементов множества В, не являющихся элементами множества Д. Например, дополнение N до Z есть множество отрицательных целых чисел и нуль, дополнение множества Q до множества R есть множество иррациональных чисел. На рис. 79 дополнение множества А до множества В заштриховано.

Правила арифметических действий

Любые два числа а и b можно сложить и перемножить. Их сумма обозначается а + b, числа а и b называются слагаемыми. Их произведение обозначается а*b или ab, числа а и b называются множителями. Например:
23,9 + 4,57 = 28,47; 3,71*25,4 = 94,234.

Разностью чисел а и b называется такое число с, что b + с — а. Эта разность обозначается а — b, так что с = а — b. Число а называется уменьшаемым, число b — вычитаемым. Вычитание из числа а числа b можно заменить сложением числа а с числом,противоположным b, которое обозначается (—b), например а — Ь = а + (—b). При этом а — а = а + (—а) = 0.


Частным чисел а и b решение задач по математике 0 называется такое число с, что bс = а. Частное обозначается: а : b, или решение задач по математике или а/b. Число а называется делимым, число b — делителем. Деление числа а на число b решение задач по математике 0 можно заменить умножением числа а на число, обратное числу b, которое обозначается: решение задач по математике или решение задач по математике или решение задач по математике При этом

решение задач по математике

Законы арифметических действий

1) переместительный: а + b = b + а и ab = bа;
2) сочетательный: а + (b + с) = (а + b) + с и a(bc) = (ab)c;
3) распределительный: а(b + с) = ab + ас,
4) свойства нуля: а + 0 = а — 0 = а, а*0 = 0, делить на 0 нельзя, а + (—а) = 0;
5) свойства единицы: решение задач по математике

Примеры выполнения арифметических действий:
3,7 + 2,54 — 1,7 = 3,7 — 1,7 + 2,54 = 4,54;
3,6 (2,97: 1,8) = 2,97 (3,6 : 1,8) = 2,97 • 2 = 5,94;
2,57- 1,83 + 7,43 • 1,83 = (2,57 + 7,43) 1,83 = 10 • 1,83 = 18,3;
(5,5 : 0,9) — (3,7 : 0,9) = (5,5 — 3,7): 0,9 = 1,8 : 0,9 = 2.


Сложение, вычитание и умножение обычно выполняют «столбиком»:

решение задач по математике


При сложении и вычитании числа подписываются так, чтобы запятые были расположены друг под другом. Если одно число имеет после запятой меньше знаков, чем другое, то недостающие знаки заменяются нулями — их обычно не пишут. При умножении друг под другом располагают последние (правые) знаки. Умножают, сначала не обращая внимания на запятую. В конечном результате запятую ставят так, чтобы справа от нее было столько же вычисленных знаков (включая нули, полученные при умножении), сколько знаков во всех множителях вместе стоит справа от запятой. Например, в произведении 51,703•9,8041 справа от запятой надо отделить 3+4=7 знаков.


Деление обычно выполняется «уголком». При этом пользуются тем, что при умножении делимого и делителя на одно и то же число частное не меняется. Например найдем частное 16,422 : 4,6. Умножим и делимое и делитель на 10 (если бы делитель имел и сотые, то умножали бы на 100, если делитель справа от запятой имеет k знаков, то умножаем на решение задач по математике, т. е. в делителе и делимом сдвигаем запятую на k мест вправо). После такого преобразования мы приходим к следующему равенству 16,422 : 4,6=164,22 : 46. Деление «уголком» выполняется следующим образом: берем первую цифру делимого, в данном случае это цифра 1, она меньше делителя, т. е. 1 < 46, добавляем следующую цифру делимого — получаем 16< 46, вновь добавляем следующую цифру делимого— получаем 164 > 46. Теперь подбираем целое число k так, чтобы выполнялось неравенство решение задач по математике В нашем примере k = 3. Вычитаем произведение 3 • 46 = 138 из 164 — получаем первый остаток 26. «Сносим» следующую цифру делимого 2 — получаем 262. Так как снесенная цифра 2 стоит уже правее запятой, то после цифры 3 в частном ставим запятую. Подбор следующей цифры частного делаем так же, как и подбор 3, т. е. ищем такое число целое k, чтобы решение задач по математике < (k + 1) • 46. Это число 5. Вычитаем из 262 произведение 5 • 45=230 — получаем второй остаток 32 и «сносим» к нему цифру делимого 2—получаем 322. Подбираем следующую цифру частного так же, как и первые: ищем такое целое число k, чтобы выполнялось неравенство решение задач по математике Получается k — 7 и 7 • 46 = 322. При вычитании получается 0 — частное найдено и деление закончено, итак, мы нашли, что 16,422 : 4,6 = 3,57.


Иногда деление до конца не доводят, т. е. последний остаток р не равен нулю. Тогда говорят, что Деление проведено с остатком и получено неполное частное. Если делимое а, делитель b и с — неполное частное, то а = bс + р.


При умножении (делении) пользуются еще правилом знаков: произведение (частное) двух чисел одинаковых знаков есть число положительное, а разных знаков — отрицательное.

решение задач по математике

Делимость чисел

Делителем данного натурального числа называется натуральное число, на которое заданное число делится нацело. Например, число 12 имеет делители {1; 2; 3; 4; 6; 12}, число 8 имеет делители {1, 2; 4; 8}. Общими делителями для чисел 12 и 8 являются {1; 2; 4}.


Наибольшим общим делителем чисел а и b называется наибольший из их общих делителей, он обозначается D(a, b). Например, наибольший общий делитель чисел 12 и 8 есть D(12; 8) = 4.


Взаимно простыми называются числа а и b, если D(a,b) = 1. Число называется простым, если оно имеет только два делителя — себя и единицу. Вот несколько первых простых чисел: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; …


Кратным числа а называется любое число, для которого а есть делитель. Пересечение множеств чисел, кратных числу а и кратных числу 6, есть множество чисел — общих кратных чисел а и b. Наименьшее из чисел этого множества называется наименьшим общим кратным чисел а и b, оно обозначается К(а, b). Например, числа, кратные 8, образуют множество {8; 16; 24; 32; 40; …}, числа, кратные 12, образуют множество {12; 24; 36; 48; …}. Множество общих кратных чисел 8 и 12 есть пересечение указанных множеств и равно {24; 48; …}, так что К(8; 12) = 24.

Признаки делимости

Если каждое слагаемое суммы делится нацело на число а, то и вся сумма делится нацело на а. Например, 777 + 49 делится на 7, так как каждое слагаемое делится на 7.


Произведение делится на число а, если хотя бы один из множителей делится на а. Например, произведение 36*14*17 делится на 7, так как множитель 14 делится на 7.

Признак делимости на 2

Если число оканчивается четной цифрой, то оно делится на 2. Четные цифры: 0; 2; 4; 6; 8.

Признак делимости на 3

Если сумма цифр числа делится на 3, то число делится на 3. Например, число 25 803 714 делится на 3, так как сумма его цифр 2+ 5+8+0+3+7+1 + 4 = 30 делится на 3, а число 76 458 103 не делится на 3, так как сумма его цифр 7 + 6 + 4 + 5 + 8 + 1 + 0 + 3 = 34 не делится на 3.

Признак делимости на 5

Если число оканчивается цифрой 5 или 0, то оно делится на 5.


Каждое число единственным образом раскладывается в произведение простых чисел. Это разложение проводят, последовательно деля заданное число и его последовательные частные на простые числа, начиная с первого: на 2, на 3, на 5, на 7 и т. д.
Например,

решение задач по математике


После того как числа разложены на простые множители, легко найти их наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Для нахождения наибольшего общего делителя берут все общие простые делители в наименьшей степени. Например, по приведенным выше разложениям решение задач по математике Для нахождения наименьшего общего кратного достаточно взять одно из чисел и домножить его на недостающие множители. Например, К(4464; 315 000) = 315 000*2*31 = 19 530 000.

Обыкновенные дроби

Обыкновенной дробью или рациональным числом называется число вида решение задач по математике где n — натуральное число, а m— целое число. Число n называется знаменателем дроби, а число m — числителем.


Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой больше числитель. Чтобы сложить (вычесть) дроби с одинаковыми знаменателями, складывают (вычитают) их числители, а знаменатель подписывают общий. Например;

решение задач по математике

Основное свойство дроби

Дробь не меняется, если ее числитель и знаменатель умножить или разделить на одной то же число: решение задач по математикерешение задач по математике Этим пользуются при сравнении, сложении и вычитании дробей с разными знаменателями и для упрощения дробей. Прежде чем производить с такими дробями действия, находят наименьшее общее кратное их знаменателей — общий знаменатель. Числитель и знаменатель каждой дроби умножают на такое число — дополнительный множитель, чтобы знаменатель стал равен общему знаменателю. После «приведения дробей к общему знаменателю» действия с ними производят так, как это было описано выше.


Например, а) что больше: решение задач по математике или решение задач по математике?

решение задач по математике


Если слагаемые больше единицы, то удобнее выделить целые части и их складывать (вычитать) отдельно. Например,

решение задач по математике


Произведением двух обыкновенных дробей называется дробь, числитель которой равен произведению числителей множителей, а знаменатель — произведению знаменателей. Например,

решение задач по математике


Частное двух обыкновенных дробей определяется как произведение делимого на дробь, обратную делителю. Например,

решение задач по математике


Если при умножении (делении) в числителе и знаменателе окажутся общие делители, то на них надо сократить. Например,

решение задач по математике


Если действия производят в выражении, содержащем как десятичные, так и обыкновенные дроби, то или все дроби обращают в десятичные, или все дроби обращают в обыкновенные (в зависимости от конкретного примера). Например,

а) что больше: 0,37 или 1/3?

решение задач по математике


При обращении обыкновенной дроби в десятичную «делением уголком» может случиться, что ни один из остатков не обращается в нуль. Тогда получается периодическая десятичная дробь, у которой одна или несколько цифр все время будет повторяться в одном и том же порядке. Например, при обращении 2/3 в десятичную дробь получается периодическая дробь, 0,6666666… Повторяющаяся группа цифр называется периодом и обычно записывается в скобках. Пишут:
0,(6) вместо 0,666666…
2,7(43) вместо 2,743434343…

Чтобы представить число а, заданное в виде периодической десятичной дроби, в виде обыкновенной удобно поступать следующим образом. Пусть а = 2,7(43). Тогда 1000а = 2743,(43) и 10а = 27,(43). Вычитая эти равенства почленно, получаем: 990а = 2716 и, следовательно, а = 2716/990. Ясно, что и в общем случае любая периодическая десятичная дробь обращается в обыкновенную, т. е. представляет рациональное число. Непериодические десятичные дроби представляют иррациональные числа. Примеры иррациональных чисел: решение задач по математике или 0, 12122122212222… (после k-й единицы стоит k двоек — это непериодическая десятичная дробь и потому представляет иррациональное число). Объединение множества рациональных чисел и множества иррациональных чисел есть множество действительных чисел R — их мы будем называть просто числами.

Степень

Степенью числа а с натуральным показателем n называется произведение n множителей, каждый из которых равен а:

решение задач по математике


Число а называется основанием степени, n — показателем степени, решение задач по математикестепенью. По определению полагают, что решение задач по математике и решение задач по математике при решение задач по математике Если целое число n< 0, то согласно определению решение задач по математикерешение задач по математике при решение задач по математике Если n> 1—натуральное число и решение задач по математике то
степенью решение задач по математике называется такое число решение задач по математике что решение задач по математике Это число b называется еще арифметическим корнем степени n из числа а и обозначается решение задач по математике В математической литературе при нечетных n допускаются значения решение задач по математике При этом полагают, что решение задач по математикерешение задач по математике Для любого рационального числа решение задач по математикегде n — натуральное, m — целое, D(n,m) = 1, по определению полагают:

решение задач по математике


При этом считают, что решение задач по математике при четном n.

Свойства степени

Свойства степени: для любых чисел р и q

решение задач по математике


Например, решение задач по математике

решение задач по математике

Порядок выполнения арифметических действий

Если в выражении без скобок подряд стоят несколько чисел или алгебраических выражений, связанных действиями сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень, то действия производятся в следующем порядке: 1) возведение в степень, 2) умножение и деление (в порядке записи — слева направо), 3) сложение и вычитание (в порядке записи — слева направо). Вычислим, например, решение задач по математике решение задач по математике Сначала находим число решение задач по математике Затем выполняем действия умножения и деления: b = 36 : 3 = 12, с = 2*4 = 8, d = а*5 : 4*7 = 8*5 : 4*7 = 40 : 4*7 =10*7 = 70. Затем выполняем сложение и вычитание: b — с + d = 12 — 8 +70 = 74. Заметим, что при вычислении d было бы удобнее переставить умножение на 5 и деление на 4, т. е. решение задач по математике


Если в выражении стоят скобки, то сначала выполняются действия, указанные в скобках. Например, вычислим число а = (26— 19)*(46 — 39). Сначала вычисляем число b = 26— 19 = 7 и число с = 46 — 39 = 7, после чего находим произведение а = bс = 7*7 = 49.


Разберем еще пример:

решение задач по математике

Сначала производим действия, указанные в скобках, т. е. находим числа

решение задач по математике


После этого находим значение выражения, т. е. число
а = bс — е: g — 3 * 3 — 4:2 = 9 — 2 = 7.


Вычисление можно несколько видоизменить, числа b, с, е и g можно находить в любом порядке. При вычислении b можно было поступить так:

решение задач по математике


Если перед скобками стоит знак плюс, то скобки можно опустить. Например,

решение задач по математике


Если перед скобками стоит знак минус, то скобки тоже можно опустить, изменив на противоположный знак каждого слагаемого, заключенного в скобках. Например,

решение задач по математике

Пропорции и проценты

Пропорцией называется равенство вида решение задач по математике где a, b, c,d — числа, причем решение задач по математике и решение задач по математике Эти числа называются членами пропорции: a и d — крайними, b и с — средними.


Основное свойство пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов, т. е. ad = bс.


Процентом называется одна сотая часть числа. Для определения р процентов от числа N используют «формулу процентов»:

решение задач по математике


Пользуясь этой формулой, можно решить три задачи: 1) задано число N и его процент р — найти А; 2) задано число N и число А — сколько процентов р от числа N составляет А ; 3) известно, что число А составляет р% от числа N — найти число N.


Покажем это на следующих примерах:
1) Найти 83% от числа 72. Здесь N = 72, р = 83. Подставляя эти значения в формулу, имеем

решение задач по математике


2) Число 91 составляет 65% от некоторого числа. Найти это число. Здесь А = 91, р = 65. Подставляя эти значения в формулу, получаем
решение задач по математике откуда решение задач по математике

Координатная прямая. Модуль числа

При изображении чисел на координатной прямой выбирают на прямой две точки — 0 и 1 (они изображают число 0 и число 1). Обычно прямую располагают горизонтально, а точку 1 — правее точки 0. Направление от 0 к 1 называется положительным, а противоположное направление — отрицательным. Отрезок с концами 0 и 1 считается единичным. Откладывая последовательно в положительном направлении на прямой единичный отрезок, получаем точки 2; 3; 4; …, которые изображают числа +2; +3; +4; … (рис. 80). Не говорят: «точка, изображающая число +3», а говорят короче: «точка +3».


Точка прямой, симметричная точке +3, относительно точки 0, изображает число —3, ее называют «точкой —3». Вообще точка, симметричная

решение задач по математике

точке k относительно 0 , изображает число —k и называется «точка —k» (рис. 80). Точки — k и k называются противоположными.


Аналогично изображаются и любые рациональные числа. Например, чтобы изобразить число—11/13, делят единичный отрезок на 13 конгруэнтных частей и 11 таких частей откладывают в отрицательном направлении от 0. Полученная точка (рис. 81) изображает число — 11/13 и называется «точка — 11/13».


Кроме рациональных чисел точки прямой изображают и иррациональные числа, т.е. числа, которые не могут быть записаны в виде дроби. Например, число решение задач по математике выражает длину диагонали квадрата, сторона которого равна единичному отрезку. Построив на
единичном отрезке квадрат и проведя окружность радиуса ОА до пересечения с координатной прямой, получаем на прямой «точку решение задач по математике» (рис. 82).

решение задач по математике


Для любого иррационального числа можно найти десятичное приближение с любой точностью.


Прямая, каждая точка которой изображает определенное число,называется координатной прямой. Число а, которое изображается точкой А, называется координатой этой точки А, пишут: А — М(а). Точка а и —а одинаково удалены от точки 0. Это расстояние называется модулем числа а и числа —а и обозначается |а| и |—а|, т. е. |а| = |—а|. Числа а и —а называются противоположными. Для модуля числа х справедливо равенство

решение задач по математике


Для любых двух чисел а и b

решение задач по математике


Из двух разных чисел одно больше и на числовой прямой оно расположено правее. Число 0 делит все числа на положительные, которые расположены на координатной прямой справа от 0, и отрицательные, которые расположены на координатной прямой слева от 0. Любое положительное число больше любого отрицательного.

Тождества. Тождественные преобразования

Выражения, содержащие переменные, принимают различные значения в зависимости от значений переменных. Значения выражений (содержащих переменные) при одних и тех же значениях переменных называются соответственными. Например, для выражений решение задач по математике и 2х + 5 при х = = 0 соответственными значениями будут —1 и 5, а при х = 1 — 3 и 7.


Два выражения называются тождественно равными, если все их соответственные значения равны. Например, решение задач по математике и х(х + 2) + 1; решение задач по математике и решение задач по математике Но выражение x+2 не тождественно равно выражению решение задач по математике так как первое имеет смысл при любых значениях переменной, а второе — при решение задач по математике Про эти выражения можно сказать, что они тождественно равны при решение задач по математике Если же никаких оговорок не сделано, то принято считать, что тождественные выражения определены при одних и тех же значениях переменной.


Замена одного выражения другим, тождественно равным ему, называется тождественным преобразованием выражения.


Тождеством называется равенство двух тождественных выражений.
Приведем пример тождественных преобразований:

решение задач по математике


Таким образом, доказано тождество сокращенного умножения:

решение задач по математике


Аналогично доказываются и остальные тождества сокращенного умножения:

решение задач по математике

Многочлены

Произведение числового множителя на какие-либо степени переменных называются одночленом. Числовой множитель называется коэффициентом одночлена. Так решение задач по математике — одночлен, решение задач по математике — одночлен с коэффициентом 5.


В одночлене стандартного вида все одинаковые множители объединены и заменены соответствующими степенями. Сумма показателей степеней переменных называется степенью одночлена.


Пример. Приведем одночлен к стандартному виду

решение задач по математике


Получили одночлен с коэффициентом —15, его степень равна 7 + 4 = = 11.


Многочленом называется сумма одночленов. Многочлен обычно располагают по убывающим или возрастающим степеням переменной:

решение задач по математике и т. п.


Выражения, представляющие собой сумму, разность и произведение многочленов, называются целыми алгебраическими выражениями. После тождественных преобразований они приводятся к многочленам.


Действия над многочленами подчиняются тем же правилам,что и действия с числами: произведение одночлена на многочлен равно сумме произведений одночлена на каждый член многочлена:

решение задач по математике


Произведение двух многочленов равно сумме произведений каждого члена одного многочлена на каждый член второго многочлена:

решение задач по математике


Разложить многочлен на множители — значит представить его в виде произведения многочленов или одночлена на многочлены. При этом используются следующие приемы:


1) Вынесение общего множителя:
решение задач по математике


2) Группировка:
решение задач по математике


3) Разложение квадратного трехчлена: решение задач по математике + bх + с: если решение задач по математике — его корни, то
решение задач по математике


Например, квадратный трехчлен решение задач по математике имеет корни х = 2 и х = 4. следовательно , решение задач по математике = (х — 2)*(х — 4); квадратный трехчлен решение задач по математике имеет корни х = 2 и х = решение задач по математике и потому решение задач по математике


Корнем многочлена
называется значение переменной, при котором многочлен принимает значение, равное нулю.

Уравнения и неравенства

Высказывания бывают истинные и ложные. Например, 2*2 = 4 и 3< 5 есть истинные высказывания, а 3 < 1 и 7 — 5 = 0 — ложные.


Если из высказывания А следует высказывание В, то пишут: А решение задач по математике В, читается: «из А следует В»,решение задач по математикезнак логического следования.

Если из высказывания А следует высказывание В, а из высказывания В следует высказывание А, то эти высказывания называются равносильными и пишут: А решение задач по математике В, решение задач по математике— знак равносильности, который читается: «равносильно».


Если в предложение с переменной подставить ее значения, то при одних значениях получится истинное высказывание, а при других — ложное. Например предложение с переменной решение задач по математике будет истинным высказыванием при х = —1 и х = 3, так как решение задач по математике и решение задач по математике а при подстановке остальных значений переменной х получим ложные высказывания. Предложение с переменной х < 3 при подстановке значения х = 2 дает истинное высказывание, а при х = 5— ложное.


Равенство с переменной называется уравнением, если нужно найти значения переменной, при которых это равенство истинно. Примеры уравнений: Зх — 6 = 0, решение задач по математике


Корнем или решением уравнения называется значение переменной, при подстановке которого в уравнение получается истинное высказывание. Например, 2 есть корень уравнения Зх — 6 = 0, так как 3*2 — 6 = 0; 4 есть корень уравнения решение задач по математике так как решение задач по математике — 6*4+8 = 0


Решением неравенства называется значение переменной,при котором неравенство истинно. Например, для неравенства х + 5< 0 одним из решений будет число —6, так как —6 + 5<0. Все решения неравенства составляют множество его решений.


Решить неравенство (или уравнение) — значит найти множество его решений. Так, для уравнения Зх — 6 = 0 множество решений есть {2}; для неравенства х + 5 < 0 множество решений есть бесконечный промежуток решение задач по математике


Уравнения (неравенства) называются равносильными, если множества их решений равны. Например, уравнения Зх — 6 = 0 и решение задач по математике равносильны, так как множество их решений есть {2}.


При решении уравнений и неравенств пользуются следующими основными правилами и приемами:

1) К обеим частям уравнения (неравенства) можно прибавить одно и то же число — при этом получается равносильное уравнение (неравенство). Отсюда следует, что любые слагаемые (как числовые, так и буквенные) можно переносить из одной части уравнения (неравенства) в другую с переменой знака. Так, уравнение вида х + а = 0 можно решить, прибавляя к обеим его частям число —а:
х+а = 0решение задач по математикех = — а.


2а) Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю. Например, решение задач по математике


2б) Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число. Например, решение задач по математике


2в) Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, то смысл неравенства нужно изменить на противоположный. Например, решение задач по математике

При помощи этих правил решается любое линейное уравнение (т. е. уравнение вида ах + b — 0, а решение задач по математике 0) и линейное неравенство (т. е. неравенство вида ах + b < 0 или ах + b > 0. а решение задач по математике 0).
Например


решение задач по математике ответ: {2};
решение задач по математике ответ: решение задач по математике

Нередко пользуются и такими свойствами неравенств:

3) Транзитивность: a < b и b<c решение задач по математикеa<c.

4) Правило сложения (вычитания) неравенств:

решение задач по математике

т.е. неравенства одного смысла можно складывать, а противоположного — вычитать.

5) Правило умножения неравенств:

решение задач по математике и следствие решение задач по математике (для любого n>0).


Если ставится задача: найти все общие решения двух или нескольких неравенств, то говорят, что требуется решить систему неравенств. Множество решений системы неравенств есть пересечение множеств решений, входящих в нее неравенств. Например,

решение задач по математике

решение задач по математике

Таким образом, множеством решений этой системы является промежуток решение задач по математике (рис. 83).

Решением уравнения с двумя переменными называется упорядоченная пара значений переменных, обращающая это уравнение в истинное равенство. Например, для уравнения решение задач по математике решением будет пара чисел х = 3, у = 4. Это решение коротко записывают (3; 4): на первом месте х, на втором — у. Для этого уравнения решениями будут также пары (5; 0), ( — 4; 3) и еще множество других пар.


Если ставится задача найти все общие решения для нескольких уравнений от нескольких переменных, то говорят, что требуется решить систему уравнений.


Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое из уравнений системы в истинное равенство. Решить систему уравнений — значит найти множество ее решений.


Система двух линейных уравнений с двумя переменными

решение задач по математике


может иметь:
а) одно решение:
решение задач по математикеответ: {(1; 2)};


б) бесконечно много решений:

решение задач по математике ответ: {(х; Зх — 1)}, где х — любое число;


в) ни одного решения:
решение задач по математике

При решении систем линейных уравнений применяются способы:

1.Сложение (или исключение):


решение задач по математике


Ответ: {(3; 2)}.

2. Подстановка:

решение задач по математике


Ответ: {(3; 2)}.

3. Графический способ состоит в построении прямых, изображающих уравнения системы, тогда координаты точки их пересечения являются решением системы (рис. 84).

решение задач по математике

Квадратные уравнения

Уравнение вида
решение задач по математике


где а, b, и с — числа, называется квадратным уравнением. Корни квадратного уравнения могут быть найдены по формулам:

решение задач по математике

где решение задач по математике называется дискриминантом квадратного уравнения. Если а = 1 и b — четное, то для решения удобнее формула

решение задач по математике

Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня, если D = 0, то квадратное уравнение имеет один корень, если D < 0, то квадратное уравнение действительных корней не имеет.

Теорема Виета

Сумма корней квадратного уравнения равна -b\а, произведение его корней равно c\a: решение задач по математике Верно и обратное утверждение, а именно: если числа решение задач по математике удовлетворяют этим равенствам, то они есть корни квадратного уравнения решение задач по математике + bх + с = 0.


Пример. Разложить на множители квадратный трехчлен
решение задач по математике
Решение:

решение задач по математике


Следовательно, имеем разложение: решение задач по математике +решение задач по математике


Уравнения степени выше первой можно решать или подбором, или введением новой переменной, или при помощи разложения на множители, или графически (см. функции и графики).

Примеры: 1) Решить уравнение решение задач по математике
Разложим многочлен, стоящий в правой части, на множители: решение задач по математике


Таким образом, уравнение приведено к виду (х — 1)*(х — 2)*(х + 2) = 0 и множество его решений {1; 2; —2}.


2) Решить уравнение решение задач по математике


Обозначим решение задач по математике тогда уравнение принимает вид решение задач по математике — 3t — 4 = 0. Следовательно,

решение задач по математике
Ответ: {-3; -2; 2; 3}.


Уравнение вида решение задач по математике называется биквадратным и решается введением новой переменной решение задач по математике Например,

решение задач по математике

решение задач по математике — полученное уравнение решений не
имеет. Множество решений биквадратного уравнения: {—1; 1}.

Функции и графики

Многие алгебраические факты можно истолковать наглядно, если воспользоваться методом координат на плоскости.


Возьмем на плоскости точку О и проведем через нее две взаимно перпендикулярные координатные прямые, для которых точка О есть начало отсчета. Одна из них называется осью абсцисс или осью Ох (ее обычно располагают горизонтально, а положительное направление на ней берут слева направо), а вторая — осью ординат или осью Оу (ее обычно располагают вертикально, а положительное направление на ней берут снизу вверх). Эта пара осей координат называется системой координат на плоскости, а точка О — началом координат (рис. 85).

решение задач по математике


Если на плоскости выбрана система координат, то положение точки на плоскости определяется парой чисел — координатами этой точки. Из точки М опускаются перпендикуляры на оси координат: решение задач по математике Ох и решение задач по математике Координата точки решение задач по математике называется абсциссой точки М или координатой х и обозначается буквой х (рис. 86). Координата точки решение задач по математике называется ординатой точки М или координатой у и обозначается буквой у. Если точка М имеет координаты х и у, то это записывают так: М(х; у) — число х ставят на первом месте, а число у — на втором. На рис. 86 имеем: М(3; 4), К = М9—2; 1).

Линейная функция у — kx + b

Графиком линейной функции служит прямая (рис. 87), пересекающая ось ординат в точке b, k = tga, где a — угол между прямой и осью Ох. Коэффициенты в уравнении прямой имеют названия: b — начальная ордината, k — угловой коэффициент. Важный частный случай линейной функции при b = 0, у = kx называется прямой пропорциональностью, график ее есть прямая, проходящая через начало координат (рис. 88).


С помощью графиков можно наглядно объяснить решения системы линейных уравнений и неравенств:

решение задач по математике


Каждое уравнение системы изображается на плоскости некоторой прямой (исключая особые — «вырожденные» случаи).

решение задач по математике

Если эти прямые пересекаются, то координаты точки пересечения есть решение системы. Поскольку две прямые пересекаются в одной точке, то в этом случае система имеет единственное решение (рис. 89).

решение задач по математике


Если прямые параллельны (рис. 90), то у них или нет общих точек, и система уравнений решения не имеет, или прямые совпадают (рис. 91), тогда система уравнений имеет бесконечно много решений — координаты каждой точки прямой есть решение этой системы уравнений.


Решение неравенства ах + by решение задач по математикес есть полуплоскость, граница которой есть прямая ах + by = с (на рис. 92 изображено неравенство 2х + Зу решение задач по математике6). Решение системы неравенств есть пересечение соответствующих полуплоскостей (на рис. 93 изображено решение системы неравенств х + у решение задач по математике 2 и 2х — у < 1, при этом прямая х + у = 2 изображена сплошной линией, так как соответствующее неравенство нестрогое — точки этой прямой принадлежат решению, а прямая 2х — у = 1 изображена пунктиром, так как соответствующее неравенство строгое, и точки этой прямой не принадлежат решению).

решение задач по математике

Квадратичная функция

решение задач по математике

Графиком этой квадратичной функции служит парабола решение задач по математике подвергнутая параллельному переносу решение задач по математике где решение задач по математике Парабола решение задач по математике изображена на рис. 94 и 95, начало координат — вершина

решение задач по математике


параболы, ось ординат — ее ось симметрии. На рис. 96 изображены параболы: решение задач по математике параболы (3) и (4) симметричны относительно оси абсцисс. На рис. 97 изображена парабола решение задач по математике которая получена при параллельном переносе решение задач по математике параболы решение задач по математике (пунктир).


Решение неравенства решение задач по математике изображено на рис. 98, а неравенства решение задач по математике — на рис. 99.

решение задач по математике

При решении квадратного неравенства решение задач по математике находят корни решение задач по математике квадратного трехчлена, представляют его в виде произведения решение задач по математике и смотрят, какие из промежутковрешение задач по математикерешение задач по математике (здесь решение задач по математике) являются решением. Если квадратный трехчлен действительных корней не имеет, то неравенство или не имеет решения, или множество его решений есть все действительные числа.

Степенная функция задается формулой решение задач по математике На рис. 88 приведены графики степенных функции при n = 1 и разных а. На рис. 94 — 96 приведены графики степенных функция при n = 2 и разных а.

решение задач по математике

На рис. 100 приведен график степенной функции для n = —1 при а > 0 и при a < 0 — на рис. 101. График этой функции называется гиперболой, а сама функция — обратной пропорциональностью. На рис. 102—104 при а — 1 приведены графики некоторых других степенных функций. При целых показателях n степенная функция четная, если n четное, и нечетная, если показатель n нечетный.

решение задач по математике


На интервале решение задач по математике степенная функция (при а > 0) возрастает при n > 0 и убывает при n < 0.

Последовательности

Последовательностью называется функция, заданная на множестве натуральных чисел. Значение этой функции f(n) обозначают еще решение задач по математике и т. п. и называют n-м членом последовательности.

решение задач по математике

Если последовательность задана только на множестве первых n натуральных чисел, то последовательность называется конечной и записывается так: решение задач по математике решение задач по математике Последовательность называется возрастающей, если решение задач по математике и убывающей, если решение задач по математике (при всех n). Все способы задания функции относятся и к последовательностям. График последовательности состоит из отдельных точек. Члены последовательности можно изображать на прямой (рис. 105). Задавать последовательности можно рекуррентным способом, т. е. формулой, выражающей решение задач по математике через предыдущие члены последовательности, например
решение задач по математике


Арифметической прогрессией
называется последовательность, задаваемая формулой решение задач по математике число d называется разностью арифметической прогрессии, при этом решение задач по математике Для суммы n первых членов арифметической прогрессии известны формулы:

решение задач по математике


Геометрической прогрессией
называется последовательность, задаваемая формулой решение задач по математике число q называется знаменателем прогрессии, при этом решение задач по математике Для суммы n первых членов геометрической прогрессии при решение задач по математике известны формулы:

решение задач по математике

Приближенные вычисления

Погрешностью приближенного значения а числа х называется разность х — а = решение задач по математике. Если решение задач по математике то говорят, что а есть приближенное значение числа х с точностью до h, и записывают это так: решение задач по математике Относительной погрешностью приближенного значения а для числа х называется решение задач по математике


Цифра а называется верной, если модуль погрешности данного приближения не превосходит единицы того разряда, в котором записана цифра а.

Правила округления

Если в округляемом разряде стоят цифры 0; 1; 2; 3; 4, то их отбрасывают, т. е. число округляется с недостатком. Если в округляемом разряде стоят цифры 5; 6; 7; 8; 9, то в предыдущий разряд добавляется единица, т. е. число округляется с избытком. При округлении результатов вычислений погрешность округления не превосходит половины единицы того разряда, до которого ведется округление.

Правила сложения и вычитания приближенных слагаемых

Правила сложения и вычитания приближенных слагаемых:

  1. Выделить наименее точное слагаемое, т. е. такое, в котором имеется наименьшее число верных десятичных знаков.

2. Округлить все остальные слагаемые так, чтобы каждое из них имело на один десятичный знак больше, чем выделенное.

3. Округлить ответ на один знак.

Пример. Вычислить сумму трех чисел, в записи которых все десятичные знаки — верные: 0,6; 0,423; 0,286.
Решение. 1. Выделяем слагаемое с наименьшим числом верных десятичных знаков: 0,6 (один десятичный знак).

2. Округляем остальные слагаемые до двух десятичных знаков: решение задач по математике и находим сумму приближенных значений этих трех чисел:
решение задач по математике

3. Округляем ответ на один знак: решение задач по математике

Правила умножения и деления приближенных чисел

Правила умножения и деления приближенных чисел:

1.Выделить множитель с наименьшим числом значащих цифр (значащими цифрами числа, записанного в виде десятичной дроби, называют все его цифры начиная с первой слева, отличной от 0).

2.Округлить все остальные множители так, чтобы каждое из них имело на одну значащую цифру больше.

3.Сохранить в результате столько значащих цифр, сколько их в выделенном сомножителе.


Пример. Вычислить произведение двух чисел, в записи которых все десятичные знаки — верные: 0,2743*0,72.
Решение. 1. Выделяем множитель с наименьшим числом верных значащих цифр: 0,72 (две верных значащих цифры).

2.Округляем второй множитель до трех значащих цифр: 0,274.

3.В полученном произведении 0,274*0,72 = 0,19728 сохраняем две значащие цифры, т. е. произведение решение задач по математике


Примечание. Если полученный результат промежуточный, то в нем сохраняют на одну цифру больше.

При возведении в степень сохраняют столько значащих цифр, сколько их в основании степени.

Производная, дифференциал, интеграл и их применение в математике

Производная

Определение:

Возьмем какую-нибудь функцию, например математика (математика есть функция аргумента х, так как каждому значению х соответствует определенное значение выражения математика).

Дадим аргументу х некоторое произвольное приращение h (положительное или отрицательное). Тогда вместо выражения математика появится выражение математика.

Выражение математика называется наращенным значением функции математика.

Разность же математика называется приращением функции математика.

Рассмотрим отношение приращения функции к приращению аргумента, т. е. дробь

математика

Величина этой дроби зависит и от величины х, и от величины h. Например, при х = 2 и h= 0,1 значение дроби равно 4,1; при x = 3 и h=0,01 величина этой дроби равна 6,01 и т. д.

Если теперь мы станем приближать величину h неограниченно к нулю, то числитель и знаменатель дроби

математика

станут одновременно приближаться неограниченно также к нулю. При этом величина самой дроби будет как-то изменяться.

Характер этого изменения мы не можем обнаружить, если ограничимся лишь рассмотрением отношения

математика

Если же сделаем следующие преобразования

математика

то увидим, что при математикавыражение 2х + h, а следовательно, и дробь математика неограниченно приближаются к выражению 2x.

Таким образом,

математика

Выражение 2x представляет собой новую функцию, которая получилась из исходной функции математика с помощью определенного процесса. Этот процесс заключался в вычислении предела отношения приращения функции математика к приращению аргумента х при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

Полученная с помощью такого процесса функция называется производной от функции математика.

Процесс нахождения производной является новым математическим действием. Это действие обозначается поставленным над данной функцией знаком штрих (‘).

Например, чтобы указать, что есть производная функции математика, пишут так:

математика

Производной от данной функции называется предел отношения приращения этой функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

Примеры.

1. Найти производную функции математика

Решение.

математика

Значит,

математика

2.Найти производную функции математика

Решение.

математика

Значит,

математика

3. Найти производную функции математика, где п — целое положительное число.

Решение.

математика

Значит,

математика

3. Найти производную функции In x.

Решение.

математика

Примечание. математикатак как математика есть величина бесконечно малая, a математика есть величина, обратная этой бесконечно малой.

Найти производную функции sin х.

Решение.

математика

Значит,

математика

Подобным же образом можно вывести производные и других функций. Не останавливаясь на этих выводах, приведем таблицу производных основных функций.

Таблица производных

математика

Заметим, что производными обратных тригонометрических функций служат функции алгебраические, а производными тригонометрических функций — функции тригонометрические.

Производная от какой угодно функции у = f(x) обозначается у’ или f'(x) Cледовательно,

математика

Здесь h есть приращение аргумента х, а разность f(x + h) — f(x) есть соответствующее приращение функции f(x).

Если математика если же математика и т.д.

Общие правила составления производных

1. Производная суммы равна сумме производных.

Доказательство.

математика

Пример:

математика

2. Постоянный множитель можно выносить за знак производной.

Доказательство.

математика

Примеры.

математика

3. Производная произведения двух функций равна первой функции, умноженной на производную второй, плюс вторая функция, умноженная на производную первой.

Доказательство.

математика

Пример.

математика

4. Производная дроби равна произведению знаменателя на производную числителя, минус произведение числителя на производную знаменателя, все разделен-ное на квадрат знаменателя.

Доказательство.

математика

Примеры.

математика

5. Производная постоянной величины равна нулю.

Постоянную величину всегда можно рассматривать как функцию любого аргумента, но лишь такую, которая сохраняет одно и то же значение при любых значениях аргумента. Например, функция математикасохраняет неизменное значение математика при всех значениях аргумента х. (Те значения аргумента х, при которых tg х или ctg х обращаются в бесконечность, здесь исключаются.)

Пользуясь уже известными нам правилами, найдем производную от этой функции:

математика

Итак, производная от функции математика сохраняющей неизменное значение, равна нулю.

Функция, сохраняющая неизменное значение, является постоянной величиной. Поэтому для краткости употребляется термин «производная постоянной величины».

Тот факт, что производная постоянной величины равна нулю, легко доказать в общем виде. Действительно, если функция сохраняет неизменное значение при всех значениях аргумента, то ее приращение всегда будет равно нулю. Но

математика Поэтому и математика

Примеры.

математика

Во всех предыдущих примерах мы обозначали аргумент буквой х. Но это вовсе не обязательно. Аргумент можно обозначать и любой другой буквой. Например,

математика

В том случае, когда функция обозначена какой-нибудь буквой, например буквой z, ее производная обозначается символом z’.

Например, если математика то математика

Если математика то математика Если математика то математика

математика

Производная функции от функции

Пусть математика и u = sin х.

Если рассматривать отдельно равенство математика, то можно считать аргументом u, а функцией у. В этом случае производная от величины у по аргументу u выразится так:

математика

Мы здесь вместо обычного обозначения у’ применили обозначение математика Это мы сделали для того, чтобы в дальнейшем не перепутать между собой эту производную с другой производной, которая у нас еще появится.

Если рассматривать отдельно равенство u = sin x, то можно считать аргументом х, а функцией u.

В этом случае производная от величины и по аргументу х выразится так:

математика

Теперь станем рассматривать равенства математика в их связи друг с другом. Очевидно, что каждому значению аргумента х будет соответствовать определенное значение u, а полученному значению u будет соответствовать определенное значение у. Следовательно, мы можем рассматривать величину у не только как функцию величины u, но и как функцию аргумента х.

При такой постановке вопроса возникает задача найти производную от величины у по аргументу х.

Придадим аргументу х приращение h, тогда величина и получит некоторое приращение математика а после этого и величина у получит некоторое свое приращение математика

По определению производной

математика

Но

математика

Поэтому

математика

Но

математика

Поэтому

математика

Значит,

математика

Приведенные рассуждения применимы и к другим функциям. Например, если

математика

то

математика

Если

математика

то

математика

Пусть требуется найти производную функции математика Приняв u=sin х, получим математика Отсюда

математика

Следовательно,

математика

Механическая интерпретация производной

Известно, что функция

математика

выражает путь, пройденный при свободном падении (см. стр. 399). Придадим аргументу t приращение h. Тогда приращение функции окажется равным

математика

Отношение математика есть средняя скорость на промежутке времени от момента t до момента t + h. Скоростью же в момент t мы называем тот предел, к которому стремится эта дробь при математикаНо этот предел по определению, данному выше, как раз есть производная функция математика.

Таким образом, оказывается, что производная от функции, выражающей пройденный путь при прямолинейном движении, выражает скорость этого движения. В этом и заключается механический смысл производной. Вычислив

математика

(см. стр. 402), найдем формулу скорости движения

математика

где gt есть как раз производная функции

математика

Эту производную можно было получить и так:

математика

Кратко говорят: Производная от пути по времени есть скорость.

Примеры.

1. При равномерно ускоренном прямолинейном движении пройденный путь в зависимости от времени t выражается функцией

математика

где математика и а — величины постоянные и а > 0. Найти скорость v этого движения.

Решение.

математика

Итак,

математика

2. Пройденный путь в зависимости от времени t выражается функцией математика где а и b — постоянные. Найти скорость движения.

Решение.

математика

Итак,

математика

Геометрическая интерпретация производной

К кривой PQ проведена секущая А В через две ее точки М и математика (рис. 209).

Оставляя точку М неподвижной, вообразим, что точка математика движется по кривой, неограниченно приближаясь к М. Тогда секущая АВ станет поворачиваться вокруг неподвижной точки М, стремясь к предельному положению математика Это предельное положение секущей называется касательной к кривой в точке М.

математика

Определение. Касательной к данной кривой в данной на ней точке М называется предельное положение секущей, проходящей через данную точку М и через другую точку математика кривой, при условии, что точка математика приближается по кривой неограниченно к неподвижной точке М.

Кратко можно говорить так: касательной называется предельное положение секущей.

Условимся называть тангенс угла между осью математика и касательной к кривой угловым коэффициентом касательной.

Задача. Найти угловой коэффициент касательной к кривой

математика

в произвольно взятой на ней точке математика (рис. 211).

Возьмем на кривой точку математика и проведем математикаТогда

математика

Проведем секущую математика и обозначим буквой математика угол между осью ОХ и этой секущей. Очевидно, что

математика

Если теперь мы станем приближать точку по кривой к точке математика то секущая математика станет поворачиваться вокруг неподвижной точки М, стремясь к положению касательной АВ. При этом h будет стремиться к нулю, а величина математика к величине математика (математика есть угол между касательной и осью математика). Значит,

математика

Но последний предел есть производная функции математика Следовательно,

математика

т. е. угловой коэффициент касательной равен производной функции математика которой определяется данная кривая.

Эти рассуждения применимы и ко всякой другой кривой. Например, угловой коэффициент касательной к кривой математика равен:

математика

Угловой коэффициент в точке математика будет равен математика, т.е. математика.

Угловой коэффициент касательной к кривой у = sin х будет:

математика

Угловой коэффициент касательной в точке математика будет математика (рис. 212).

математика

Итак, числовое значение производной при х = а равно угловому коэффициенту касательной, проведенной в той точке кривой, абсцисса которой равна а.

Задача о нахождении скорости неравномерного движения и задача о проведении касательной к кривой как раз и были теми задачами, решение которых и привело исторически’к возникновению понятия производной.

Приведем еще несколько примеров, разъясняющих смысл производной.

1. При неравномерном прямолинейном движении скорость есть функция времени. Обозначим приращение времени буквой h, а приращение скорости буквой математика Тогда математика будет среднее ускорение, a математика будет ускорение.

Таким образом, производная от скорости по времени есть ускорение.

2. Количество электричества, протекшее через поперечное сечение цепи, есть функция времени. Обозначим приращение времени буквой h, а приращение количества протекшего электричества буквой математика Тогда математика будет средней силой тока, a математика будет силой тока.

Таким образом, производная от количества протекшего электричества по времени есть сила тока.

С помощью производной решаются многочисленные разнообразные задачи.

С помощью производной осуществляется исследование характера изменения функции, строятся графики функций с учетом всех особенностей получаемых кривых линий.

С помощью производной изучается характер кривизны любой кривой.

С помощью производной произвольные функции изображаются степенными рядами. Например,

математика

Производная дает общий метод решения задач о наибольших и наименьших значениях величин и т. д. и т. д.

Все такие применения производной излагаются в учебниках по дифференциальному исчислению. Нахождение производной называется дифференцированием.

Вывод формул с помощью дифференцирования

Формула бинома Ньютона

Выражение математика, где п — целое положительное число, есть краткое изображение следующего произведения

математика

которое состоит из п одинаковых множителей.

Раскрыв скобки в этом произведении, получим многочлен п-й степени относительно х. Поэтому

математика

Задача заключается в том, чтобы определить коэффициенты

математика

Полагая в тождестве (1) х = 0, найдем, что математика. Дифференцируя левую и правую части тождества (1), получим:

математика

Полагая и здесь х = 0, найдем, что математика

Дифференцируя левую и правую части тождества (2), получим:

математика

Полагая опять х = 0, найдем, что математика

Продолжая этот процесс, найдем, что

математика

Итак,

математика

Найдем разложение для математика

математика

или

математика

Другие формулы

С помощью дгфференцирования можно получить и многие другие формулы.

Например, найдем следующую сумму:

математика

Пользуясь формулой суммы членов геометрической прогрессии, получим:

математика

Дифференцируя, найдем:

математика

Найдем еще следующую сумму:

математика

Пользуясь формулой суммы членов геометрической прогрессии, получим:

математика

Дифференцируя, найдем, что

математика

С помощью дифференцирования можно получить, например, формулу косинуса двойного угла, исходя из формулы синуса двойного угла. Действительно,

математика

С помощью дифференцирования можно из уравнения движения получить формулу скорости. Например,

математика

Следовательно,

математика

где v — скорость.

Дифференциал

Определение:

Если движение совершается по закону

математика

то скорость в момент t выражается формулой v = gt

математика

(см. стр. 700).

Из этой формулы видно, что скорость движения меняется с течением времени. В каждый новый момент времени она становится новой.

Возьмем скорость в момент t и вообразим, что начиная с этого момента тело стало двигаться равномерно с приобретенной к этому моменту скоростью gt. При этих условиях тело пройдет за промежуток времени с момента t до момента t + h расстояние

gth.

Но gt есть S’. Поэтому вместо выражения gth можно написать

S’•h.

Еще раз обратим внимание на то, что S’•h выражает собой то расстояние, которое тело прошло бы за промежуток времени с момента t до момента t + h, если бы наше неравномерное движение превратилось бы с момента t в движение равномерное. Вот этот прирост пути S’•h называется дифференциалом пути и обозначается символом dS. Таким образом,

математика

Здесь S’ есть производная, а h есть приращение аргумента t.

Действительное расстояние, пройденное телом за промежуток времени с момента t до момента t + h, при нашем неравномерном движении будет равно

математика

Это расстояние называется приращением пути и обозначается символом математика. Итак,

математика

Отсюда ясно, что dS и математика — это разные понятия, разные величины.

математика есть настоящее, действительное приращение пути, a dS есть не настоящее, а такое, которое получилось бы, если неравномерное движение заменить с момента t движением равномерным, происходящим со скоростью, приобретенной к моменту t.

Но dS есть, как было показано выше, произведение производной на приращение аргумента.

Отсюда мы приходим к следующему определению:

Дифференциалом функции называется произведение производной на произвольное приращение аргумента.

Например, если математика то

математика

Здесь h есть произвольное приращение аргумента х.

Значение дифференциала зависит от значения аргумента х и от значения приращения h.

Из формулы

математика

при х = 5 и h = 0,1 мы получим, что

математика

Теперь составим еще и приращение функции математика

математика

при х = 5 и h = 0,1

математика

Итак, оказалось, что математика

Дифференциал функции у=х

математика

Оказалось, что dx = h. Пользуясь этим, мы можем формулу дифференциала, например математика записать в следующем виде:

математика

Примеры.

математика

Инвариантность формулы дифференциала

Пусть математикагде u — аргумент. Тогда по определению дифференциала

математика

Здесь du представляет собой произвольное приращение аргумента u.

Пусть теперь

математика

Рассматривая здесь у как функцию аргумента х и пользуясь определением дифференциала, получим:

математика

Здесь dx есть произвольное приращение аргумента х. Но так как математика то мы можем переписать равенство

математика

в следующем виде:

математика

Выражение du в формуле (В) уже не приращение функции u, а ее дифференциал.

Мы получили очень важный результат. Формулы (А) и (В) имеют один и тот же вид, т. е. формула дифференциала

математика

верна и в том случае, когда u есть аргумент, и в том случае, когда величина u сама есть функция какого-либо другого аргумента. Вот это свойство и называется инвариантностью формулы дифференциала.

Значит, если у = tg u, то запись математика будет верной и тогда, когда u является аргументом, и тогда, когда u есть функция какого-либо аргумента (например, математика

Формула же производной не является инвариантной. Действительно, если математика и при этом u есть аргумент, то мы имеем формулу

математика

Если же математика и математика то мы имеем формулу

математика

Формулы (I) и (II) имеют различный вид.

Нахождение производной или дифференциала функции называется дифференцированием функции.

Интеграл

Неопределенный интеграл

Мы уже знаем, что такое производная и что такое дифференциал данной функции. Например, если

математика

Если

математика

Теперь поставим обратную задачу.

Пусть мы знаем, что производная некоторой функции равнаматематика и спрашиваем себя, какой же должна быть в таком случае эта некоторая функция. Этой искомой функцией будет выражение

математика

где С — любое постоянное число. Действительно,

математика

Функцию, производная которой равна, например, математика

Примем к сведению без доказательства, что никакой другой функции, кроме tg х + С, производная которой равнялась бы математика не существует.

Для иллюстрации напишем несколько неопределенных интегралов:

математика

Знак математика называется знаком неопределенного интеграла. Выражение, написанное под знаком неопределенного интеграла, называется подынтегральным выражением.

Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал той функции, которую требуется отыскать.

Чтобы проверить правильность выполненного интегрирования, достаточно вычислить дифференциал полученного результата. Если этот дифференциал окажется равным подынтегральному выражению, то это будет означать, что интегрирование выполнено правильно.

Например,

математика

Значит, формула

математика

написана правильно.

Действие отыскания неизвестной функции по данному ее дифференциалу называется неопределенным интегрированием потому, что в результате этого действия получается не одна функция, а бесконечно много функций. Например,

математика

где С — произвольная постоянная.

Значит, имеется бесконечно много таких функций, дифференциал которых равен математика Такими функциями будут, скажем,

математика

Все эти функции отличаются друг от друга лишь на постоянную величину.

Способы отыскания неизвестной функции по данному ее дифференциалу, т. е. способы неопределенного интегрирования, здесь не излагаются. Эти способы излагаются в учебниках по интегральному исчислению.

Определенный интеграл

Пусть нам дана какая-нибудь функция, например математика, и отрезок числовой оси от точки математика до точки математика (рис. 213).

математика

Разобьем отрезок математика произвольным образом на п частичных отрезке с помощью точек математика На каждом частичном отрезке возьмем произвольным образом по одной точке математика. Точки математика назовем опорными точками.

Теперь напишем такую сумму:

математика

Эта сумма составлена следующим образом: значения данной функции математика, взятые в опорных точках, умножены на длины соответствующих частичных отрезков и все полученные суммы сложены.

Сумма (А) называется интегральной суммой, составленной для функции математика на отрезке математика.

Если вместо функции математика мы возьмем какую-нибудь другую функцию, например математика то, написав выражение

математика

получим интегральную сумму,, составленную для функции математика Таким образом, можно составить интегральную сумму и для любой другой функции.

Величина интегральной суммы зависит от многих обстоятельств. Она зависит:

1) от выбора данной функции;
2) от выбора чисел математика
3) от способа разбиения первоначального отрезка математика на частичные отрезки и, наконец,
4) от выбора опорных точек математика.

Вообразим, что число частичных отрезков, т. е. число п, неограниченно возрастает и разбиение на частичные отрезки происходит так, что длина наибольшего частичного отрезка стремится к нулю. При этих условиях интегральная сумма будет стремиться к определенному пределу, зависящему только от выбора данной функции и от выбора чисел математика. (Конечно, во время всего этого процесса математика остаются неизменными.)

Этот предел не зависит от способа разбиения первоначального отрезка на частичные и не зависит от выбора опорных точек.

Этот предел называется определенным интегралом и обозначается кратко символом

математика

где у обозначает ту функцию, для которой составлена интегральная сумма. Символ математика читается так: «Определенный интеграл от выражения ydx в пределах от математика до математика».

Пример:

математика

Выражение математика обозначает длину наибольшего частичного отрезка.

Выражение математика читается так: «максимум длины».

Прн условии, что длина наибольшего частичного отрезка стремится к нулю, неизбежно окажется, что число п, т. е. число частичных отрезков, стремится к бесконечности.

Поэтому у знака lim нет необходимости писать еще и то, что математика.

Приведем еще один пример предела интегральной суммы и его краткое обозначение:

математика

Существует очень много важных задач, решение которых представляется в форме предела интегральной суммы. Но прямое вычисление пределов интегральных сумм является делом чрезвычайно трудным, выполнимым лишь в некоторых простых случаях, да и то путем применения весьма хитрых искусственных приемов. С помощью искусственных приемов некоторые нз таких пределов были вычислены еще Архимедом, не знавшим никакого интегрального исчисления. (Дифференциальное н интегральное исчисление возникли впервые лишь в XVII веке.)

Ньютон н Лейбниц впервые обнаружили, что между пределом интегральной суммы и неопределенным интегралом существует тесная связь. Они показали, что предел интегральной суммы, например, составленной для функции математика на отрезке математика, можно вычислить следующим образом.

Сначала надо найтн какую-нибудь одну функцию, производная которой равна математика. За такую функцию можно взять, скажем, математика

После этого надо составить разность значений найденной функции при математика т. е. написать

математика

Эта разность будет представлять собой точное значение предела следующей интегральной суммы:

математика

при

математика

Но поскольку этот предел, как уже отмечалось, обозначается символом математика мы получим, что

математика

Таким же способом можно находить и пределы других интегральных сумм, например, суммы

математика

Эта сумма составлена для функции математика Сначала найдем одну такую функцию, производная которой равна математика т. е. выполним неопределенное интегрирование:

математика

Теперь составим разность значений этой функции:

математика
математика

или

математика

По данному выше определению символ, например, математика обозначает предел следующей интегральной суммы:

математика

Символ математика, как уже отмечалось, называется определенным интегралом и читается так: определенный интеграл от выражения cos xdx в пределах от математика до математика. Очевидно, что

математика

так как sin x есть такая функция, производная которой равна

cos х.

Для удобства записи условимся разность, например, sin математика— sinматематика обозначать символом математика Тогда предыдущее равенство можно было записать так:

математика

Примеры вычисления определенных интегралов:

математика

Доказательство данного Ньютоном и Лейбницем способа вычисления пределов интегральных сумм излагается в учебниках по интегральному исчислению.

Вычисление площадей с помощью интегрирования

1. Найти площадь, ограниченную осью ОХ, кривой математика и прямыми АВ и CD, параллельными оси математика (рис. 214).

математика

Фигура ABCD называется., криволинейной трапецией. Разобьем отрезок математика на п частичных отрезков с помощью точек математика Через эти точки проведем прямые, параллельные оси математика. На частичных отрезках выберем произвольным образом опорные точки математика и проведем через них также прямые, параллельные оси математика. Величины отрезков этих вертикалей соответственно равны:

математика

Тогда интегральная сумма

математика

будет приближенным значением площади криволинейной трапеции ABCD. Это значение будет тем точнее, чем меньше будут длины каждого из частичных отрезков.

За истинную, т. е. точную, площадь криволинейной трапеции естественно принять предел написанной выше интегральной суммы при условии, что п стремится к бесконечности и длины всех частичных отрезков стремятся к нулю. Следовательно, площадь криволинейной трапеции ABCD равна

математика

Но этот предел есть следующий определенный интеграл:

математика

Итак, оказалось, что площадь s данной криволинейной трапеции определяется формулой

математика

Если взять математика то получим, что

математика

Аналогично площадь s заштрихованной криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой у = sin х (рис. 215), выразится формулой

математика

При математика получим, что

математика

Значит, площадь фигуры, ограниченной осью ОХ и одной полуволной синусоиды, равна 2 кв. ед.

2. Найти площадь фигуры, заключенной между параболами математика (рис. 216).

Сначала найдем точки пересечения данных парабол. Для этого решим систему:

математика

Подставив в 1 -е уравнение вместо х выражение, взятое из второго уравнения, получим:

математика

При у = 0 получим х = 0. При у = 1 получим х = 1.

Итак, получилось две точки пересечения: 0 (0, 0) и А (1; 1). Площадь фигуры ОmАnО равна разности площадей криволинейных трапеций ОmАВ и ОпАВ.

Но площадь трапеции ОmАВ равна математика а площадь трапеции ОпАВ равна математика Следовательно, искомая площадь s определяется формулой

математика

Значит, математика

С помощью интегрирования можно вычислять длины дуг кривых линий, объемы тел, ограниченных кривыми поверхностями, площади кривых поверхностей.

С помощью интегрирования можно находить центры тяжести плоских фигур или тел, ограниченных произвольными поверхностями, и т. д.

Интегралы широко применяются для решения практических задач, о чем подробно говорится в учебниках по интегральному исчислению.

Запись дифференциала и интеграла с помощью функционального знака

Пользуясь функциональным знаком, мы можем записать определения дифференциала, неопределенного интеграла и определенного интеграла в общем виде.

Пусть у = f(x), тогда

математика

Формулу Ньютона —Лейбница можно записать теперь так:

математика

где

математика

О выражениях математика

Возьмем произвольную функцию у = f(x). Тогда выражение f'(x), как нам уже известно, означает производную этой функции.

Под выражением же f'(а), где а — постоянное число, принято понимать значение выражения f'(x) при х = а.

Примеры.

Если

математика

Если

математика

Итак, если дана какая-нибудь функция f(x) и мы хотим найти f'(a), то должны для этого выполнить следующие две операции:

1) Найти f'(x), т. е. производную от функции f(x).

2) В полученную производную f'(x) подставить вместо независимой переменной число а.

Символ f(a) называется значением производной от функции f(x) при х=а.

Теперь разъясним смысл символа [f(a)]’, где а есть постоянное число.

Выражение [f(a)]’, где а есть постоянное число, всегда равно нулю. Действительно, f(а) есть величина постоянная, а производная от постоянной величины равна нулю. Значит,

математика

Таким образом, следует различать смысл символов

математика

в которых буква а обозначает постоянное число.

Пусть

математика

Тогда

математика

Максимум и минимум функции

Пусть кривая MABCDE есть график функции у = f (x) (рис. 217) и пусть в точках А, В, С, D, Е с абсциссами, равными соответственно а, b, с, d, е, проведены к этой кривой касательные.

Касательная в точке А составляет с положительным направлением оси математика острый угол. Касательная в точке С составляет с положительным направлением оси математика тупой угол. Касательные же в точках В, D, E параллельны оси математика т. е. составляют с ней угол, равный нулю.

Из геометрических наглядных представлений видно, что функция в точках А и Е является возрастающей, в точке С — убывающей, а в точках В, D — ни возрастающей, ни убывающей.

В точке В функция переходит от возрастания к убыванию. В точке О, наоборот, — от убывания к возрастанию.

Значение функции, соответствующее точке В, больше, чем ее значения, соответствующие точкам, близлежащим к точке В, слева и справа.

Значение функции, определяющее такую точку, как В, называется максимумом функции.

Значение функции, определяющее такую точку, как D, называется минимумом функции.

математика

Пользуясь геометрическим значением производной (см. § 1, п. 5), можно записать, что

математика

Значение функции f(x), соответствующее точке х= b, называется максимумом этой функции.

Значение функции f(x), соответствующее точке х = d, называется минимумом этой функции.

Значение функции f(x), соответствующее точке х = е, не является ни максимумом, ни минимумом этой функции.

Отсюда мы можем сделать следующие выводы:

  1. Если при х = b f'(x) = 0 и если слева от точки х = b в непосредственной близи к ней f'(x) > 0, a справа f'(x) < 0, то в точке х = b функция f(x) имеет максимум.
  2. Если при х = d f'(x) = 0 и слева (от точки d) f'(x) < 0, а справа (от точки d) f'(x) > 0, то функция f(x) в точке х = d имеет минимум.
  3. Если при х = е f'(x) = 0 и при этом слева и справа f'(x) сохраняет один и тот же знак, то в точке х = е не будет ни максимума, ни минимума.

Примеры

1. Найти те значения аргумента х, при которых функция у = математика имеет максимум или минимум.

Сначала найдем производную от данной функции. Искомая производная будет:

математика

Затем найдем корни производной, т. е. те значения х, при которых производная равна нулю.

Для этого приравняем производную нулю и решим полученное уравнение

2х = 0.

Отсюда видно, что производная в данном случае имеет лишь один корень, равный нулю.

Теперь исследуем знак производной, т. е. знак функции слева и справа от точки х = 0.

математика

Следовательно, данная функция у = математика имеет только один минимум при х = 0.

Минимальное значение функции у = математика, т. е. ее значение при х = 0, будет также равно нулю.

2. Исследовать на максимум и минимум функцию математика

математика

Производная не меняет знака.

Следовательно, функция математика не имеет ни одного максимума и ни одного минимума.

3. Исследовать на максимум и минимум функцию

математика

Производная имеет следующие корни:

математика

a) При математика при математика (см. замечание, сделанное ниже).

Следовательно, при х = 1 функция не имеет ни максимума, ни минимума.

b) При математика при математика

Следовательно, при х =математика функция имеет максимум.

с) При математика при математика

математика

Следовательно, при х=2 функция имеет минимум (черт. 218).

Замечание. При исследовании знака производной мы берем значения х, расположенные в непосредственной близости к рассматриваемой точке.

Задачи на максимум и минимум

1.Число 14 разбить на три слагаемых так, чтобы второе слагаемое было в два раза больше первого и чтобы сумма квадратов всех трех слагаемых имела наименьшее значение.

Первое слагаемое обозначим через х; тогда второе слагаемое будет , а третье (14 — Зх).

Теперь исследуем на максимум и минимум функцию

математика

или

математика

Найдем производную:

математика

Производная имеет лишь один корень х = 3.

При математика при математикаСледовательно, при х = 3 функция имеет минимум. Этот минимум будет и наименьшим значением функции.

Итак, сумма квадратов трех слагаемых при наших условиях будет иметь наименьшее значение, если этими слагаемыми взять числа 3; 6; 5.

2. Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном объемом 32 математика так, чтобы на облицовку его стен и дна пошло наименьшее количество материала (рис. 219).

Обозначим сторону основания бассейна через х, а высоту через z. Тогда площадь стен и дна, взятых вместе, будет: математика

Но по условию математика , откуда математика и математика

математика

Найдем производную:

математика

или

математика

Производная имеет лишь один действительный корень х = 4.
При х < 4 у’ < 0; при х > 4 у’ > 0.

Следовательно, при x = 4 функция имеет минимум.

Итак, на облицовку стен и дна бассейна при наших условиях пойдет наименьшее количество материала, если сторону основания бассейна взять равной 4 м, а высоту 2 м.

Дополнительное разъяснение о способах задания функции

Изучая вопросы, связанные с понятием функции, учащиеся нередко упускают из виду точное определение понятия функции, привыкают представлять себе функцию прежде всего как формулу, как аналитическое выражение и вне этой связи, как правило, не умеют мыслить о функциональной зависимости. Такое ограниченное представление о функциональной зависимости может затруднить понимание многих других вопросов, связанных с понятием функции. Поэтому мы считаем целесообразным еще раз остановить внимание учащегося на определении понятия функции и на способах ее задания.

Точное определение понятия функции. Величина у есть функция величины математика определенная на некотором множестве (совокупности) действительных значений х, если каждому значению х из этого множества соответствует некоторое определенное значение величины у.

Таким образом, при слове «функция» мы должны мыслить о соответствии между множеством значений величины х и множеством значений величины у, не связывая это обязательно с какой-нибудь одной формулой или одним аналитическим выражением. Правило, устанавливающее соответствие между множеством значений величины х и множеством значений величины у, может быть каким угодно.

Это правило может выражаться при помощи одной формулы, нескольких формул или словесной формулировкой и другими способами. Приведем примеры.

1. Пусть функция у = f(x) изображается графически ломаной линией, состоящей из биссектрис первого и второго координатных углов (рис. 220).

математика

В данном случае соответствие между значениями величины х и значениями величины у устанавливается графически.

Это соответствие можно выразить довольно просто и аналитически, а именно

математика

Однако не следует думать, что переход от графического задания функции к аналитическому всегда можно сделать, да еще с такой легкостью.

Вопрос о том, когда такой переход возможен, и методы такого перехода изучаются в курсе высшей математики.

2. Пусть задана функция у = f(x) следующей записью:

математика

Здесь мы имеем полноценную запись соответствия между значениями величины х и значениями величины у, т. е. имеем полноценное задание одной единственной функции у = f(x), график которой изображен на рисунке 221.

Этот график состоит из одной изолированной точки и одной бесконечно простирающейся ломаной линии, лишенной точки (0; 2).

Таким образом, функциональная зависимость одной и той же функции может задаваться различными аналитическими выражениями на различных участках и определенными числами в отдельных точках.

3. Пусть задана функция у = f(x) следующей записью:

математика

Эта функция определена для всех значений х, кроме значения х = 0. Ее можно выразить с помощью одного аналитического выражения таким образом:

математика

При х = 0 эта функция не определена, так как выражение не является определенным числом.

График этой функции изображен на рисунке 222.

математика

У этого графика нет точки с нулевой абсциссой. Точки (0; 1) и (0, — 1) не принадлежат графику.

4. Пусть задана функция у = f(х) следующей записью:

математика
математика

Эта функция определена для всех значений х. Ее график имеет точку с нулевой абсциссой. Ордината этой точки равна единице.

Этому графику не принадлежит точка (0; — 1). Сравните этот график с графиком, относящимся к примеру 3.

5. Рассмотрим одну из функций, определяемых словесно.

Пусть функция у = Е(х) определяется следующим правилом.

За значение величины у принимается всякий раз целая часть значения величины х. Следуя этому правилу, получим, например:

математика

Примечание. Целой частью целого отрицательного числа мы считаем само это число. Целой частью нецелого отрицательного числа мы считаем ближайшее к нему, но меньшее его, целое отрицательное число.

Функция у = Е(х) называется «целой частью от х» или кратко «антье от х». Слово «антье» происходит от французского слова «entier», что означает «целое».

График функции у = Е(х) изображен на рисунке 223.

математика

Этот график представляет собой ступенчатую линию, состоящую из отдельных отрезков прямой, расположенных параллельно оси математика. Левые концы этих отрезков принадлежат графику, а правые не принадлежат.

Ограничимся этими пятью примерами задания функции, хотя можно было бы привести еще много других не менее интересных примеров.

Замечание 1. Если функция у = f (х) задается просто аналитическим выражением без всяких дополнительных условий, то всегда подразумевают, что областью ее определения является область определенности этого аналитического выражения.

Замечание 2. Не следует думать, что равенство

математика

является справедливым всегда. Например, для функции

математика

имеем:

а f (1) обращается в математика т. е. предел функции и значение функции представляют собой не одно и то же. В данном случае

математика

График функции математика есть прямая линия у = х+1 (рис. 224), лишенная точки (1; 2).

Приведенные выше пять примеров и два замечания облегчат учащемуся понимание того, что изложено в следующем параграфе, озаглавленном «Непрерывность функции».

Непрерывность функции

Непрерывность в точке. Функция у = f(x) называется непрерывной при х = а (или, короче, в точке а), если выполняются следующие четыре требования:

  1. f(a) есть определенное число, т. е. функция f (х) определена в точке а.
  2. Функция f(x) определена в какой-нибудь окрестности точки а (окрестностью точки а называется любой промежуток, содержащий точку а).
  3. При любом законе стремления аргумента х к числу а существует предел функции f (х).
  4. математика

Пример 1. Функция у = математика непрерывна в любой точке х = а. (Здесь f(х)=математика)

Действительно,

  1. математика, т. е. функция определена в точке х = а.
  2. Функция математика определена в любой окрестности точки х = а.
  3. математика т. е. требующийся предел существует, поскольку
математика

(Мы здесь воспользовались тем, что предел протзпедения двух множителей равен произведению пределов этих множителей, если последние пределы существуют.)

4. математика так как и математика

Пример 2. Функция математика не является непрерывной в точках х = 1 и х = — 1, так как в этих точках она не определена. В данном случае f(1) и f(—1) не являются числами.

Пример 3. Функция

математика

не является непрерывной в точке x = 0. Здесь первое требование выполняется: f(0) есть определенное число, а именно единица. Выполняются второе и третье требования. Но не выполняется четвертое требование, так как математика а математика

математика

Пример 4. Функция

математика

не является непрерывной в точке x = 0. Здесь первое требование выполняется:

математика

Выполняется и второе условие: существует окрестность точки х = 0, в которой функция определена. Но третье условие не выполняется. Действительно,

математика

т. е. при разных законах стремления аргумента х к нулю получаются разные пределы, а не один и тот же предел. Для непрерывности же необходимо, чтобы предел функции существовал один и тот же, независимо от способа стремления аргумента х к нулю.

Пример 5. Функция у = Е(х) (антье от х) не является непрерывной при целых значениях аргумента. Покажем, что она не является непрерывной, например, при х = 4.

Первое требование для непрерывности выполняется:

E(4) = 4.

Второе требование также выполняется: существует окрестность точки х = 4, в которой функция Е(х) определена. Но третье требование не выполняется:

математика

Следовательно, математика не существует. Из этого вытекает, что х = 4 не является точкой непрерывности.

Итак, функция называется непрерывной в точке а, если она определена в этой точке, определена в какой-нибудь окрестности этой точки, и если предел функции при произвольном стремлении аргумента х к а существует и равен значению функции при х = а.

Непрерывность на промежутке. Функция, непрерывная в каждой точке промежутка, называется непрерывной в этом промежутке.

Непрерывность на отрезке. Функция у = f(х) называется непрерывной на отрезке [р, q], если она непрерывна в промежутке (р, q) и если

математика

Пример 1. Функция у = tg x имеет следующие промежутки непрерывности:

математика

Если к каждому из этих промежутков присоединить их концы, то на полученных отрезках математика и т. д. функция у = tg x уже не будет непрерывной (см. рис. 173 на стр. 533). (Доказательство этих двух утверждений опускается. Эти утверждения следуют из общей теоремы о непрерывности элементарных функций, см. стр. 733.)

Пример 2. Для функции у = Е(х) (антье от х) любой промежуток, концами которого служат два последовательных целых числа, будет являться промежутком непрерывности. На отрезке же, концами которого служат целые числа, функция у = Е(х) уже не будет непрерывной (см. рис. 223).

Пример 3. Функция у = математика непрерывна на всей числовой оси.

Точки разрыва функции. Точка х = а называется точкой разрыва функции у = f (х), если f (х) определена в какой-нибудь окрестности этой точки и если при этом выполнено хотя бы одно из следующих условий: либо f(х) не имеет предела, когда х стремится к а по произвольному закону, либо этот предел существует, но не совпадает со значением функции в точке х = а, либо, наконец, f(х) не определена в точке х = а.

Каждая точка, которая не являлась точкой непрерывности функции в разобранных выше примерах, является, как это легко доказать, вместе с тем и точкой разрыва соответствующей функции.

Приведем еще несколько примеров точек разрыва.

Пример 4. Функция математика определена для любых значений х, кроме х=0. Следовательно, х=0 является точкой разрыва этой функции. Таким образом, эта функция при произвольном стремлении аргумента х к нулю не имеет предела. Действительно, если мы станем стремить х к нулю слева, т. е. оставляя х отрицательным, то математика будет стремиться к минус бесконечности и

математика

Если же мы станем стремить х к нулю справа, т. е. оставляя х положительным, то математика будет стремиться к плюс бесконечности и

математика

Таким образом, оказалось, что рассматриваемая функция имеет различные пределы при двух различных законах стремления х к нулю. Это означает, что функция не имеет предела при произвольном стремлении аргумента х к нулю. Если математика

График этой функции изображен на рисунке 225.

математика

Асимптота. Пусть имеется кривая, ветвь которой удаляется в бесконечность. Если расстояние от точки кривой до некоторой определенной прямой по мере удаления точки в бесконечность стремится к нулю, то эта прямая называется асимптотой кривой.

математика

На рисунке 226 изображена асимптота АВ к кривой МЫ. Оси координат являются асимптотами кривой математика (см. рис. 85 на стр. 323).

Прямая математика как это видно на рисунке 225, является асимптотой кривой математика

Пример 5. Функция у = tg х не является непрерывной в точках математика (см. рис. 173 на стр. 533).

Эти точки являются одновременно и точками ее разрыва.

Пример 6. Функция математика определена для всех значений х, кроме х = 0. Она и непрерывна при всех значениях х, кроме х = 0. Точка х = 0 является одновременно и ее точкой разрыва. Но есть разница в характере точек разрыва функций математика А именно стремится к нулю, когда х стремится к нулю справа и к единице слева. Функция tg х стремится к плюс бесконечности справа и к минус бесконечности слева, когда х стремится, например, математика.

Функция же математика не стремится ни к какому пределу при стремящемся к нулю (безразлично слева или справа). При стремлении х к нулю математика совершает бесконечное множество колебаний между + 1 и — 1 (рис. 227).

математика

Элементарные функции. Основными элементарными функциями являются следующие:

1) степенная функция: математика где n —постоянное действительное число;

2) показательная функция: математика где а — постоянное положительное число;

3) логарифмическая функция: математика где основание логарифмов а — положительное число;

4) тригонометрические функции: математика а также реже употребляемые: математика

5) обратные тригонометрические функции:

математика

а также математика

Всякая функция, заданная одним аналитическим выражением, составленным из конечного числа основных элементарных функций при помощи арифметических действий (сложения, вычитания, умножения и деления) и взятия функции, называется элементарной функцией.

Например, элементарными функциями будут следующие:

математика

Примем к сведению без доказательства следующее свойство элементарных функций.

Все элементарные функции непрерывны в своих областях определения, т. е. они не являются непрерывными лишь в тех точках, в которых они не определены.

Способ определения предела непрерывной функции. Если функция y=f(x) непрерывна в точке х = а, то , как мы знаем,

математика

Отсюда следует правило: для того чтобы найти предел непрерывной функции, достаточно взять значение функции в соответствующей точке.

Способ определения предела элементарной функции. Для того чтобы найти предел элементарной функции при стремлении аргумента к такой точке а, в которой она определена, достаточно взять значение этой элементарной функции в точке а.

Примеры:

математика

Нельзя писать

математика

так как данная элементарная функция в точке х = 1 не определена. Этот предел надо находить так:

математика

Мы имели право сократить дробь на (х—1), так как математика, а лишь стремится к единице. Нельзя писать так:

математика

Этот предел вычисляется так:

математика

Функции, непрерывные на всей числовой оси математика или на ее отдельных участках, обладают многими важными свойствами, которыми и объясняется огромное значение этих функций в математике и ее приложениях. Например, функция может иметь производную только в точках ее непрерывности. В своих точках разрыва функция производной не имеет.

Теорема Больцано. Функция, непрерывная на отрезке и принимающая на концах этого отрезка значения разных знаков, по крайней мере одни раз обращается в нуль внутри этого отрезка.

Иначе можно сформулировать эту теорему так:

Если функция f(х) непрерывна на отрезке [а, b] и при этом f(а)<0 и f(b)>0 (или f(а) >0 и f(b) < 0), то существует такое число с, что а < с < b и f(с) = 0.

Теорема Больцано прекрасно согласуется с нашим представлением о непрерывной кривой, которая неизбежно должна пересечь ось математика в какой-нибудь точке, чтобы перейти с одной ее стороны на другую (рис. 228).

Доказательство теоремы Больцано мы приводить здесь не будем. Заметим лишь, что, опираясь на эту теорему, можно доказывать некоторые утверждения, на первый взгляд отнюдь не представляющиеся вполне очевидными. Например, можно доказать такое утверждение:

Если А к В — две заданные фигуры на плоскости (рис. 229),» то существует такая прямая в этой плоскости, которая одновременно делит обе фигуры на равновеликие по площади части.

математика

Приведем доказательство этой теоремы, изложенное на странице 418 книги Р. Курант и Г. Роббинс «Что такое математика» (ОГИЗ, 1947).

«Начнем доказательство с того, что выберем произвольную фиксированную точку Р в нашей плоскоcти и проведем из нее фиксированный луч PR, от которого будем вести отсчет углов. Каков бы ни был луч PS, делающий угол х с лучом PR, существует направленная прямая, параллельная PS и делящая фигуру А на равновеликие части. Действительно, возьмем одну из направленных прямых, параллельных PS и имеющих всю фигуру А по одну сторону: пусть эта прямая будет математика станем подвергать ее параллельному перенесению таким образом, чтобы при окончательном положении (которое назовем математика) вся фигура А оказалась уже по другую ее сторону (рис. 230).

математика

В таком случае функция, определяемая как разность площади части А, расположенной вправо от направленной прямой, и площади части А, расположенной влево («вправо» — «к востоку», «влево» — «к западу», если прямая направлена, скажем, «на север»), оказывается положительной для положения прямой математикаи отрицательной для положенияматематика. Так как эта функция непрерывна, то, по теореме Больцано, она обращается в нуль при каком-то промежуточном положении прямой, которое мы обозначим теперь через математика и при котором, очевидно, фигура А разбивается пополам. Итак, каково бы ни было х (0° <х < 360°), существует прямая математика, разбивающая А пополам. Обозначим теперь через у = f(x) разность между площадью части фигуры В справа от математика и площадью части слева от математика.

Допустим для определенности, что прямая математика, параллельная PR и разбивающая А пополам, справа имеет большую часть площади В, чем слева; тогда у положительно при х = 0°. Пусть теперь х возрастает до 180°, тогда прямая математика параллельная RP и разбивающая А пополам, совпадает с математика (но направлена в противоположную сторону, а «правая» и «левая» стороны переместились); отсюда ясно, что значение у при х = 180° численно то же, что и при х = 0°, но с обратным знаком, т. е. отрицательно. Так как у есть функция х, непрерывная при 0°<x< 180° (упомянутая разность площадей, очевидно, изменяется непрерывно при вращении секущей прямой), то существует такое значение х = а, при котором у обращается в нуль. Но тогда прямая математика разбивает пополам обе фигуры А и В одновременно. Наша теорема доказана.

Следует заметить, что мы установили всего-навсего существование прямой, обладающей заданным свойством, но не указали определенной процедуры для ее построения: в этом характерная черта «чистых» математических доказательств существования».

Позиционные системы счисления

Системой счисления называется совокупность правил и приемов записей и наименований чисел.

Особо важную роль играют позиционные системы счисления. В позиционной системе счисления значение цифры изменяется с изменением ее положения в записи числа. Одним из представителей позиционных систем счисления является общепринятая десятичная система. Представителем непозиционных систем счисления является, например-, известная римская система. Непозиционные системы неудобны и в настоящее время почти не употребляются.

Но прежде чем приступить к изучению различных позиционных систем, поясним, почему они в настоящее время представляют особый интерес.

Как известно, создание и широкое применение разнообразных электронных вычислительных машин обеспечило резкий подъем науки и техники. Дальнейшее совершенствование этих машин и их служение достижению новых, еще более огромных успехов в науке и технике имеет необычайно широкие перспективы. В настоящее время электронными вычислительными машинами владеют и пользуются очень многие организации, учреждения и предприятия.

Среди разнообразных электронных вычислительных машин важное место занимают так называемые электронные цифровые вычислительные машины * (ЭЦВМ). Для решения задач на этих цифровых машинах используются в основном следующие системы счисления: десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная. Сами операции в большинстве таких цифровых машин выполняются в двоичной системе счисления. Вот почему знакомство с позиционными системами, отличными от десятичной, не может не представлять интереса для изучающего математику.

* Эти машины способны выполнять сотни тысяч арифметических действий в секунду. С их помощью решаются сложные математические задачи с большим объемом вычислений, исчисляемых миллионами и даже сотнями миллионов арифметических действий. Раньше, до появления ЭЦВМ, такие задачи были практически неразрешимыми.

Десятичная позиционная система счисления

В десятичной системе счисления используются для записей чисел десять различных знаков-цифр: 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, изображающих десять последовательных целых чисел. Число десять изображается уже двумя цифрами «10». Любое другое число записывается в десятичной системе в виде некоторого набора десятичных цифр, разделенного запятой на целую и дробную части. В десятичной системе счисления значение цифр изменяется с изменением ее местоположения в записи числа. Например, в числе 7784,75 первая слева цифра 7 обозначает количество тысяч, вторая цифра 7 обозначает число сотен и, наконец, цифра 7, стоящая после запятой, обозначает количество десятых долей. Поэтому десятичную систему и называют позиционной. Значение цифры зависит от ее местоположения (позиции) в последовательности цифр, изображающей данное число. Всякая другая система счисления, обладающая таким же свойством, тоже будет позиционной.

Десятичное число 7784,75 есть сокращенная запись выражения математика В общем случае десятичное число математика есть сокращенная запись выражения

математика

В этой системе счисления для записи чисел используются, как уже отмечалось, десять различных цифр, и потому она называется десятичной. Число «десять» называется основанием десятичной системы.

Названия чисел в десятичной системе построены из названий цифр и названий некоторых чисел (десять, сто, тысяча, миллион, миллиард и т. д.). Например, двенадцать — сокращенное «два и десять»; двадцать — сокращенное «два по десять»; восемьдесят — сокращенное «восемь десятков»; тридцать пять — сокращенное «три по десять и пять» и т. д.

Широкое распространение десятичной системы объясняется тем, что человек имеет десять пальцев на руках. Древний человек считал по пальцам, считал десятками. Однако имеются в истории примеры использования позиционных систем с другими основаниями, например с основанием двенадцать, шестьдесят.

Подобно десятичной системе счисления можно построить любую другую р-ичную систему (р — целое положительное число).

Двенадцатеричная позиционная система

В двенадцатеричной системе для изображения чисел надо иметь 12 цифр. Для первых десяти цифр оставляются те же значки (цифры) 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, что и в десятичной системе, а для следующих двух целых чисел вводятся значки, например, математика

Для этих значков математика оставим десятичные названия «десять» и «одиннадцать».

Основание системы «двенадцать» будем называть «дюжиной». В позиционной двенадцатеричной системе число «двенадцать» должно изображаться символом «10».

В рассматриваемой системе счисления можно ввести, например, такие названия чисел:

11 — дюжина да один,
12 — дюжина да два,
математика— дюжина да одиннадцать,
20 — две дюжины,
математика — две дюжины да десять,
математика—четыре дюжины да одиннадцать,
100 — дюжина дюжин (или гросс, наподобие «ста» в десятичной системе),
математика — гросс да одиннадцать и т. д.

Чтобы облегчить понимание записей в двенадцатеричной системе, приведем еще следующую таблицу:

математика

Вводить названия чисел в каждой позиционной системе нет необходимости. Позиционными системами, отличными от десятичной, можно пользоваться и без введения для чисел особых для каждой системы названий.

Чтобы отличить запись числа в какой-нибудь системе от записи в десятичной системе, можно пользоваться указателем системы.

Например, запись математика означает число, записанное в двенадцатеричной системе. Запись математика означает запись в восьмеричной системе и т. д.

Легко убедиться, что математика

Запись математика можно прочитать так: «пятьсот четырнадцать в двенадцатеричной системе». Запись математика — «пятьсот четырнадцать в восьмеричной системе» и т. д.

Но можно этот указатель системы счисления не писать, а лишь помнить его.

Восьмеричная система счисления

Восьмеричная система счисления широко используется при подготовке задач для решения на электронных вычислительных цифровых машинах.

В этой системе для записи чисел используются восемь различных цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, которые обозначают последовательно целые числа от нуля до семи.

Число восемь (основание системы) обозначается двумя цифрами в виде «10». Любое другое число можно представить в виде определенной последовательности из восьмеричных цифр, разделенных запятой на целую и дробную части.

Например, число математика есть сокращенная запись выражения математика (10 обозначает восемь). Для перевода этого числа в десятичную систему нужно в последнем выражении вместо 10 поставить 8 и произвести необходимые вычисления (в десятичной системе). Будем иметь:

математика

Теперь рассмотрим обратный перевод. Пусть требуется перевести в восьмеричную систему десятичное число 748.

Разделим 748 на 8.

математика


Результат этого деления показывает, что в числе 748 содержится четыре единицы и 93 восьмерки.

Разделим 93 на 8.

математика

Этот результат показывает, что в 93 единицах 2-го разряда восьмеричной системы содержится 5 единиц 2-го разряда и 11 единиц 3-го разряда.

Разделим 11 на 8.

математика

В 11 единицах 3-го разряда восьмеричной системы содержится три единицы 3-го разряда и одна единица 4-го разряда.

Следовательно,

математика

Произведенное выше последовательное деление на 8 можно расположить кратко так:

математика

Это последовательное деление на 8, т. е. на основание новой системы, продолжается до тех пор, пока частное не окажется меньше восьми.

Чтобы производить арифметические действия в восьмеричной системе, нужно пользоваться таблицами сложения и умножения, составленными для восьмеричной системы.

Восьмеричная таблица сложения

математика

Правило пользования таблицей сложения можно проиллюстрировать на примерах. Пусть требуется, например, сложить 5 и 7. Находим строку таблицы, в левой клетке которой стоит 5,и находим столбец, в верхней клетке которого стоит 7. На пересечении найденных строки и столбца прочитаем ответ 14. Этой же таблицей можно пользоваться и для вычитания. Требуется, например, вычесть 6 из 12. Ищем строку, в левой клетке которой стоит 6, и в этой строке находим столбец с числом 12. Смотрим на верхнюю цифру этого столбца, получаем ответ 4.

При помощи восьмеричной таблицы сложения можно складывать и вычитать восьмеричные числа по таким же правилам, как и в десятичной системе счисления.

Примеры.

математика

Правило получения произведения по двум сомножителям по восьмеричной таблице умножения не требует пояснений. Используя восьмеричную таблицу умножения и сложения и руководствуясь правилами, которые применяются в десятичной системе счисления, можно производить умножение и деление восьмеричных чисел.

Примеры:

математика

Двоичная система

Двоичная система счисления особенно важна. В двоичной системе, как уже отмечалось, выполняются операции почти во всех типах ЭЦВМ.

Числа, над которыми машина должна выполнить нужные действия по составленной программе, сначала переводятся в двоичную систему. Для ввода этих чисел в машину служат перфорированные карты или лента, размеченные таким образом, что каждому разряду числа соответствует определенное место на перфокарте. Если в этом месте пробито отверстие, то в соответствующем разряде стоит 1, если же отверстия нет, .то в разряде стоит нуль. Места для пробивки разрядов на карте располагаются для каждого числа слева направо. Пробивка отверстий производится вручную на специальном перфораторе. После этого карты вводятся в специальное электромеханическое устройство вычислительной машины.

В двоичной системе для записи чисел употребляются только цифры 0 и 1. Число два (основание системы) изображается двумя цифрами так же, как и основание любой другой системы, а именно символом «10».

Символ «10» в двенадцатеричной системе обозначает число двенадцать, в восьмеричной — восемь, в двоичной — два, в троичной — три и т. д.

Целые числа, начиная с трех и кончая десятью, изображаются в двоичной системе соответственно символами:

11; 100; 101; 110; 111; 1000; 1001; 1010.

Любое число, записанное в двоичной системе, легко перевести в десятичную систему.

Например,

математика

Теперь покажем перевод целого числа из десятичной системы в двоичную.

Пусть требуется изобразить число 185 в двоичной системе. Выполним последовательное деление числа 185 на 2, т. е. на основание двоичной системы.

математика

Следовательно, число 185, данное в десятичной системе, изобразится в двоичной системе так: 10111001.

Действительно,

математика

Это разложение числа по степеням основания 2 можно записать в двоичной системе так:

математика

Здесь «10» означает два. Показатели степени также записаны в двоичной системе. Например, 111 означает 7, а 110 означает б и т. д

В двоичной системе число изображается большим количеством разрядов по сравнению с десятичной. Например, число 185 в десятичной системе является трехразрядным, а в двоичной — восьмиразрядным (10111001). Но это обстоятельство не создает каких-нибудь трудностей.

Для того чтобы с двоичными числами можно было производить арифметические действия, необходимо знать двоичные таблицы сложения и умножения. Эти таблицы имеют очень малый объем и легко запоминаются.

математика

Используя эти таблицы и применяя правила, известные из «десятичной арифметики», можно производить сложение, вычитание, умножение и деление двоичных чисел.

Примеры:

математика
математика

Из этих примеров видно, что арифметические действия в двоичной системе выполняются особенно просто. Так, при умножении множимое переписывается без изменения «со сдвигами» столько раз, сколько раз цифра 1 содержится во множителе. Деление выполняется также просто. В частном получаются только цифры 0 и 1, которые определяются очень легко. Сложение и вычитание в двоичной системе выполняются также проще, чем в других системах. Но не в этом заключается главное решающее достоинство двоичной системы для конструкции электронных цифровых машин. Чтобы машина работала, например, в десятичной системе, она должна была бы иметь десять различных устойчивых состояний, соответствующих десяти различным цифрам 0,1, 2,3,4, 5,6,7,8,9 десятичной системы. При двоичной же системе машине надо иметь только два устойчивых состояния, соответствующих цифрам 0 и 1 двоичной системы. Создание физических элементов, имеющих больше чем два различных устойчивых состояния, труднее, чем элементов с двумя устойчивыми состояниями. В этом и заключается огромное преимущество двоичной системы для конструкции ЭЦВМ.

Шестнадцатеричная система

Если основание системы счисления больше десяти, то для записи чисел общепринятых (арабских) цифр будет недостаточно. Число цифр должно равняться числу, являющемуся основанием данной системы. Например, для шестнадцатеричной системы можно принять следующие 16 цифр и их названия:

математика

Здесь 10 означает шестнадцать.

Приведем пример перевода шестнадцатиричного изображения числа в десятичное:

математика

Теперь приведем два примера обратного перевода.

математика


Следовательно, математика

математика


Следовательно, математика Здесь математика является цифрой 2-го разряда и означает четырнадцать.

Перевод сделан правильно. Действительно,

математика

В качестве дополнительной иллюстрации приведем таблицу записей небольшого ряда чисел в различных позиционных системах счисления:

математика

Перевод целых чисел из одной недесятичной системы в другую недесятичную

Мы уже рассматривали перевод целых чисел из недесятичной системы в десятичную и перевод из десятичной в недесятичную.

Поэтому перевод из одной недесятичной системы в другую недесятичную можно было бы сделать так: сначала перейти от данной недесятичной системы к десятичной, а затем из десятичной перейти к требуемой недесятичной. Покажем это на примере.

математика
математика




Отсюда 23=10111. Следовательно, математика

Однако делать перевод изложенным способом нецелесообразно, так как его можно делать непосредственно, т. е. без использования десятичной системы.

Покажем на примерах, как это нужно делать.

Пример 1. В восьмеричной системе некоторое число имеет изображение 2704. Найти изображение этого числа в пятеричной системе.

Произведем последовательное деление числа математика на 5, делая все расчеты в восьмеричной системе:

математика




Следовательно, математика

Пояснения: математика

Пример 2. Число математика изобразить в двоичной системе:

математика



Следовательно, математика

Пример 3. Число математикаизобразить в восьмеричной системе. Произведем последовательное деление числа 11011 на 8, делая расчеты в двоичной системе:

математика


Следовательно, математика

Пример 4. Число математика изобразить в восьмеричной системе.

математика

Расчет ведем в двоичной системе:

математика


математика
Следовательно, математика

Пример 5. Число математика изобразить в пятеричной системе:

математика
математика




математика
Следовательно, математика

Перевод правильных дробей из одной системы в другую

Сначала напомним на примерах смысл дробей, записанных в разных системах счисления:

математика

Теперь перейдем к рассмотрению вопроса о переводе правильных дробей из одной системы счисления в другую. Способ этого перевода изучим на примерах.

Пример 1. Правильную десятичную дробь 0,34375 перевести в восьмеричную систему.

Увеличим данную дробь 0,34375 в 8 раз:

математика

В полученном произведении целая часть содержит две единицы. Но эти две целые единицы мы должны рассматривать как две восьмые доли, так как их мы получили умножением данной десятичной дроби на 8.

Таким образом, восьмеричное изображение данной десятичной дроби должно иметь первой цифрой после запятой цифру 2.

Теперь умножим дробь 0,75000 на 8:

математика

Полученные 6 целых единиц образовались в результате двух последовательных умножений на число 8. Таким образом, это число 6 мы должны рассматривать как 6 не целых единиц, а как шесть шестьдесят четвертых долей. Следовательно, восьмеричное изображение данной дроби 0,34375 должно иметь второй цифрой после запятой цифру 6.

Так как в последнем произведении 6,00000 все знаки после запятой являются нулями, на этом процесс перевода заканчивается и искомым изображением числа 0,34375 в восьмеричной системе будет 0,26.

Итак, математика

Проверка. математика

Краткая схема перевода без объяснений:

математика

Пример 2. Дробь 0,816 изобразить в пятеричной системе. 0,816 X 5

математика

Пример 3. Дробь 0,34375 изобразить в двоичной системе.

математика

Пример 4. Дробь 0,34375 изобразить в шестнадцатеричной системе.

математика

Пример 5. Двоичную дробь 0,01011 изобразить в восьмеричной системе.

Последовательные умножения на 8 будем производить в двоичной системе, зная, что математика

математика



математика
Следовательно, математика
(Для проверки см. примеры 1 и 3.)



Пример 6. Число математика изобразить в двоичной системе. Последовательные умножения на 2 будем производить в восьмеричной системе.

математика





Следовательно, математика
(Для проверки см. пример 5.)



Замечание. Обратим внимание, что при переводе р-ичной правильной дроби в какую-нибудь другую систему надо последовательные умножения производить в р-ичной системе.

Следует иметь в виду, что при переводе дроби из одной системы в другую процесс последовательных умножений может и не обрываться или обрываться не скоро. В таких случаях нужно обрывать процесс умножения при достижении достаточной точности перевода.

Пример 1. Десятичную дробь 0,12 требуется перевести в восьмеричную систему счисления.

математика

Обрывая процесс после пяти умножений, получим приближенное значение нашей дроби в восьмеричной системе счисления: 0,075341.

Если требуется перевести неправильную дробь из одной системы в другую, то отдельно переводят целую и отдельно дробную части.

Пример 2. Десятичное число 158, 34375 перевести в двоичную систему. Сначала переведем целое число 158:

математика

Далее, математика (см. пример 3 на стр. 75Q).

Следовательно,

математика

Рационализированный способ перевода чисел из восьмеричной системы в двоичную и обратно

Двоичная система счисления применяется для представления чисел и выполнения операций в большинстве современных машин. Восьмеричная же система применяется при подготовке данных для работы машины. Восьмеричная система выбрана для целей подготовительной работы потому, что при ее использовании достаточно просто осуществляется перевод подготовленных чисел в двоичную систему и обратный перевод.

Поэтому вопрос о переходе от восьмеричной системы к двоичной и вопрос об обратном переходе мы подвергнем здесь рассмотрению еще раз.

Примечание. Число,записанное в р-ичиой системе, будем называть для краткости р-ичным числом.

Рассмотрим восьмеричное и двоичное изображения одного и того же числа N:

математика

Разделим число N, записанное в восьмеричной системе, на 8. Тогда получим в частном математика и в остатке математика.

Число математика действительно является остатком, так как, являясь цифрой восьмеричной системы, оно не может обозначать собой число, большее 7.

Разделим то же число N, записанное в двоичной системе, так же на 8.

Тогда получим в частном

математика

и в остаткематематика.

Число математика не больше семи, так математика — цифры двоичной системы.

В обоих случаях мы делили на 8 одно и то же число. Поэтому должны быть равными между собой как частные, так и остатки Следовательно,

математика

и

математика

Равенство (В) дает развернутую запись восьмеричного числа математика в двоичной системе счисления, т. е.

математика

Из равенства (А) таким же путем (т. е. путем деления его левой и правой части на 8) найдем, что

математика

Таким образом, для перевода целого восьмеричного числа в двоичное нужно каждую цифру заменить ей равным двоичным числом согласно следующей таблице:

математика

Это правило сохраняет силу и при переводе восьмеричных дробей в двоичную систему.

В самом деле, если математика есть восьмеричное число, то математикабудет целым числом, которое можно перевести в двоичную систему указанным в этом параграфе способом.

Для того чтобы получить требуемое двоичное число, нужно полученное число разделить на математика т. е. поставить запятую после Зm цифр справа.

Пример. Восьмеричное число 376, 174 перевести в двоичное. Используя таблицу, пишем ответ: 11 111 110, 001 111 100 (нуль в первой тройке 011 отброшен).

Теперь можно сразу сформулировать и правило для перевода двоичных чисел в восьмеричные.

Для перевода двоичного числа в восьмеричное нужно, начиная от запятой, разбить набор двоичных цифр на тройки; если левая и правая группы цифр не составляют полной тройки, то они дополняются нулями до полных троек. Далее, каждая тройка двоичных чисел заменяется одной восьмеричной цифрой согласно таблице (А).

Пример. Двоичное число 10 111 011, 111 011 0111 требуется перевести в восьмеричную систему счисления.

Разбиваем набор цифр на тройки, начиная от запятой. Имеем математика Дополняем левую и правую (крайние) группы нулями до тройки цифр

математика

Применяя таблицу (А), получим ответ: 273, 7334.

Теперь можно предложить более простой способ и для перевода чисел из десятичной системы в двоичную.

Для того чтобы десятичное число перевести в двоичное, нужно выполнить два этапа: 1) перевести десятичное число в восьмеричную систему счйсления (это сделать проще, чем перевести десятичное число в двоичное); 2) перевести восьмеричное число (по рассмотренному правилу) в двоичное.

Пример. Десятичное число 286,15 перевести в двоичную систему счисления.

1-й этап. Перевод целой части в восьмеричную систему:

математика

Перевод дробной части в восьмеричную систему:

математика



В восьмеричной системе будет дробь бесконечной периодической:

0,(11463).

Таким образом, наше число в восьмеричной системе счисления будет иметь вид: 436,(11463).

2-й этап. Используя изложенное правило и таблицу (А), пишем сразу ответ:

математика

Об условиях необходимых и достаточных

В математике часто встречаются понятия: «необходимое условие», «достаточное условие» и «необходимое и достаточное условие».

1. Когда мы говорим, что данное условие является «необходимым», то это означает, что некоторое событие не может иметь места без этого условия. Иначе говоря, если событие имеет место, то и это условие обязательно будет иметь место.

Пример. Для того чтобы число делилось на 19, необходимо, чтобы оно было не меньше 19.

38 делится на 19 (38 не меньше 19),
19 делится на 19 (19 не меньше 19),
15 ие делится на 19 (15 меньше 19).

Таким образом, требование, чтобы число было не меньше 19, является необходимым условием делимости этого числа на 19.

2. Когда мы говорим, что данное условие является «достаточным», то это означает, что при наличии этого условия некоторое событие обязательно будет иметь место.

Пример. Если каждое слагаемое делится на 7, то и их сумма разделится на 7.

Числа 14; 35; 56 делятся на 7. Их сумма 14 + 35 + 56, т. е. 105, также делится на 7.

Таким образом, условие делимости каждого слагаемого на 7 является достаточным для делимости их суммы на 7.

3. Когда мы говорим, что данное условие является «необходимым и достаточным», то это означает, что при наличии некоторого события это условие обязательно будет иметь место и, наоборот, при наличии этого условия упомянутое выше событие обязательно также будет иметь место.

Пример. Для того чтобы число делилось на 9, необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 9.

Действительно, из арифметики известны следующие два положения:

1) Если число делится на 9, то сумма его цифр также делится на 9.
2) Если сумма цифр числа делится на 9, то и само число делится на 9.

Таким образом, условие делимости на 9 суммы цифр числа является условием «необходимым и достаточным» для делимости на 9 и самого числа.

Дополнительные пояснения. Мы видели, что требование, чтобы число было не меньше 19, является условием необходимым для делимости этого числа нa 19.

Однако это условие вовсе не является достаточным. Действительно, число 45 не меньше 19, но 45 на 19 не делится.

Таким образом, могут существовать условия необходимые, но вовсе не являющиеся достаточными.

Мы видели, что требование делимости каждого слагаемого на 7 является условием достаточным для делимости на 7 их суммы.

Однако это условие вовсе не является необходимым. Действительно, числа 30 и 54 не делятся на 7, между тем как их сумма 30 + 54, т. е. 84, делится на 7.

Таким образом, могут существовать условия достаточные, но вовсе не являющиеся необходимыми.

Наконец, могут существовать условия, которые не являются необходимыми и в то же время не являются достаточными.

Пример. Делимость суммы цифр числа на 7 не является условием необходимым для делимости самого числа на 7.

Действительно, число 6734 делится на 7, между тем как сумма его цифр на 7 не делится.

Делимость суммы цифр числа на 7 не является также и достаточным условием. Действительно, сумма цифр числа 786 делится на 7, между тем как само это число на 7 не делится.

Приведем еще несколько примеров.

Примеры необходимых условий

1. Условие а < b+ с является необходимым для того, чтобы из отрезков а, b, с можно было построить треугольник, так как одна сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Однако условие а < b + с не является достаточным, чтобы из отрезков а, b, с можно было построить треугольник. Например, если а = 5, b = 3, с = 17, то хотя а < b + с, но все же треугольника со сторонами 5, 3 и 17 построить нельзя.

2. Условие математика является необходимым для того, чтобы система

математика

не имела ни одного решения. Однако это условие не является достаточным. Например, система

математика

имеет решения, хотя

математика

3. Свойство целого числа m быть делителем свободного члена приведенного уравнения п-й степени с целыми коэффициентами является условием, необходимым для того, чтобы m было корнем этого уравнения. Однако это условие не является достаточным, так как не всякий делитель свободного члена будет обязательно корнем уравнения (см. 628).

Примеры достаточных условий

1. Делимость на 17 каждого из двух слагаемых является условием, достаточным для делимости суммы этих двух слагаемых на 17. Однако это условие вовсе не является необходимым. Например, числа 40 и 45 не делятся на 17 и все же их сумма делится на 17.

2. Условие, что оба множителя суть положительные числа, является достаточным для того, чтобы их произведение было положительным. Однако это условие не является необходимым. Произведение двух чисел будет положительным и тогда, когда оба множителя отрицательные.

Условие математика является достаточным для того, чтобы выполнялось неравенство sin>0. Однако оно не является необходимым, так как sin будет больше нуля, например, и приматематика

Примеры необходимых и достаточных условий

1. Отрицательность числа x является необходимым и достаточным условием для того, чтобы выражение математика имело отрицательное значение.

2. Условие математика является «необходимым и достаточным условием» для того, чтобы система

математика

имела одно и только одно решение.

3. Свойство дискриминанта квадратного уравнения быть неотрицательным числом является необходимым и достаточным условием того, чтобы это уравнение не имело мнимых корней.

4. Свойство числа а быть корнем многочлена п-й степени относительно х является условием необходимым и достаточным для делимости этого многочлена на х — а.

Понятия «необходимое условие», «достаточное условие» и «необходимое и достаточное условие» — очень важные понятия. Непонимание этих логических категорий может приводить к путанице при формулировках ,и доказательствах многих положений математики.

Что такое число в математике

Мы уже знакомы с несколькими различными системами чисел: системой целых чисел, системой рациональных чисел, вещественных (действительных) чисел и, наконец, системой комплексных чисел. Каждая из этих систем, начиная со второй, шире предыдущей, так как она содержит ее в себе. Например, система рациональных чисел содержит в себе систему целых чисел; система вещественных чисел содержит в себе систему рациональных чисел и, наконец, система комплексных чисел — систему вещественных чисел.

Целые числа являются частным случаем рациональных чисел; рациональные числа являются частным случаем вещественных чисел. Наконец, вещественные числа являются частным случаем комплексных.

Переход от одной системы чисел к следующей представляет собой, таким образом, расширение этой системы, а вместе с тем и расширение понятия числа. Такой принцип расширения и обобщения понятия числа называется генетическим.

Исходным понятием числа было понятие натурального числа. Это понятие возникло очень рано, явившись первой математической абстракцией, выработанной человечеством. Долгое время натуральные числа были единственными известными числами; понятие числа было синонимом только натурального числа. Даже у Евклида термин «число» употребляется только применительно к натуральным числам. Дробные числа, хотя и были ему известны, все же не были для него числами, а были только отношениями целых чисел. Отрицательных чисел он совсем не знал.

Теперь остановимся подробнее на том, как именно последовательно происходило исторически расширение понятия числа. Сначала люди производили сложение, вычитание, умножение и деление только над натуральными числами. Но в то время как сложение оказывалось выполнимым всегда, вычитание уже сделать можно было не всегда. Соответственно этому уравнение х + а = b разрешимо не для» всех натуральных чисел а и b. Чтобы снять это ограничение, сделать вычитание всегда выполнимым и уравнение х + а = b всегда разрешимым, мы расширяем понятие числа, вводя новые символы
—1; — 2; — 3; … , т. е. отрицательные числа, считая по определению, что — k есть корень уравнения х + k = 0, т. е. что ( — k) + k = 0.

Для того чтобы символы — 1; — 2; — 3;… признать числами, надо сложению и умножению положительных и отрицательных чисел дать такое определение, при котором эти действия обладали бы такими же свойствами, как и сложение и умножение натуральных чисел.

Среди этих правил, как мы уже знаем, имеются, например, такие:

математика

Тогда все законы (переместительный, сочетательный и распределительный) останутся в силе для системы целых положительных и отрицательных чисел. Этим путем мы приходим к системе целых чисел и соответственно расширяем понятие натурального числа до понятия целого числа.

Аналогично происходит расширение области целых чисел до области всех рациональных чисел.

В области целых чисел деление возможно не всегда. Уравнение ах = b разрешимо не для всех целых а и b. Чтобы сделать деление выполнимым всегда, т. е. уравнение ах = b разрешимым всегда, мы пополняем наш запас чисел (т. е. целых чисел) введением новых символов математика т. е. дробей. Надо отметить, что исторически дробные числа появились раньше отрицательных.

В этой расширенной области (целые числа и дроби) мы определяем сложение и умножение так, чтобы законы этих действий совпадали с законами в первоначальной области.

Продолжая таким образом, мы приходим к системе действительных чисел и, наконец, к системе комплексных чисел.

С алгебраической точки зрения множество рациональных чисел, множество действительных чисел и множество комплексных чисел характеризуется каждое в отдельности тем, что над числами каждого из этих множеств можно неограниченно производить все четыре алгебраических действия: сложение, вычитание, умножение и деление, не выходя за пределы этих множеств. Деление на нуль исключается.

Множества такого рода в современной математике называются полями.

Множество, например, целых чисел не является полем, так как в этом множестве деление не всегда можно выполнить, не выходя за пределы этого множества.

Поле комплексных чисел обладает исключительно» особенностью. В этом поле можно, не выходя из него, выполнять не только первые четыре действия, но и все прочие математические действия (возведение в любую комплексную степень, извлечение корня n-й степени из любого комплексного числа, нахождение логарифма отрицательного или комплексного числа, нахождение sin х и arcsin х при любых комплексных значениях х).

Примеры.

математика

k — любое целое число;

математика

k — любое целое число (см. 688).

математика

k — любое целое число, т. е. математика имеет бесконечное множество действительных значений.

математика

т. е. cos i есть действительное число (см. 688).

Возникает вопрос: нельзя ли понятие числа расширить дальше и построить такую новую систему чисел, которая содержала в себе, как свою часть, множество комплексных чисел и чтобы в этой новой области законы (переместительный, сочетательный и распределительный) сложения и умножения были бы сохранены?

Этот вопрос чрезвычайно сильно занимал математиков XIX века. И это вполне понятно. Введение комплексных чисел в математики принесло столь плодотворные результаты во всех разделах математики и математического естествознания, что мысль ввести какие-то новые, еще более общие числа естественно должна была привлечь к себе внимание математиков. За решение этой задачи принялись многие ученые (Гамильтон, Грассман и др.). Результат оказался крайне неожиданным: расширить область комплексных чисел, сохраняя при этом все свойства сложения и умножения, нельзя. Поле комплексных чисел оказалось самой широкой областью чисел, в которой сохраняются переместительный, сочетательный и распределительный законы сложения и умножения. После этого задачу дальнейшего расширения понятия числа можно было ставить лишь при условии отказа хотя бы от какого-либо одного из обычных свойств сложения или умножения.

Таким путем Гамильтон построил такую новую систему чисел, которая содержит в себе, как свою часть, множество комплексных чисел. Но эта новая система чисел, названных кватернионами, обладая всеми прочими обычными свойствами сложения и умножения, не обладает переместительным свойством умножения, т. е. вообще

математика

где математика — кватернионы.

Посмотрим, что такое кватернион.

Чтобы облегчить понимание структуры кватерниона, мы сначала остановим внимание на структуре комплексного числа.

Допустим, что сумма квадратов двух действительных чисел х и у разлагается на линейные множители следующим образом:

математика

Выясним, какому условию должен удовлетворять символ математика чтобы написанное разложение было справедливым.

Очевидно, что

математика

Следовательно, должно быть:

математика

Но мы знаем, что в выражении a + bi, в котором а и b— действительные числа, символ i удовлетворяет условию

математика

Отсюда заключаем, что за математика нужно взять мнимую единицу i.

Итак, структура комплексного числа математика такова, что оно образуется с помощью двух действительных чисел а и b и двух символов 1 и i. Символ 1 называется вещественной единицей, а символ i — мнимой единицей.

При выполнении действий над комплексными числами мы принимаем следующую таблицу умножения для этих двух единиц:

математика

Теперь допустим, что сумма квадратов четырех действительных чисел х, у, z, t разлагается на два линейных множителя следующим образом:

математика

где i, j, k — какие-то неизвестные нам символы.

Посмотрим, какое требование надо наложить на символы i, j, k чтобы написанное выше разложение было справедливым.

Произведя умножение в правой части этого разложения, получим:

математика

Для того чтобы последнее равенство было верным при любых вещественных значениях х, у, z, t, необходимо и достаточно подчинить символы i, j, k следующим требованиям:

математика

Примем символ i имеющим тот же смысл, что и в комплексном числе а + bi. Но тогда символы j и k будут иметь иной смысл, чем i. Действительно, если допустить, например, что j = i, то получим математика между тем как должно быть ij + ji = 0.

Выражение

математика

где x, у, z, t —действительные числа, a i, j, k — символы, удовлетворяющие следующим требованиям:

математика

и называется кватернионом.

Итак, структура кватерниона такова, что он образуется с помощью четырех действительных чисел х, у, z, t и четырех символов 1; i; j; k, удовлетворяющих указанным выше условиям.

Символы 1; i; j; k, называются единицами, с помощью которых составляется кватернион.

Первая из этих четырех единиц есть обыкновенная вещественная 1.

В кватернионе

математика

x называется скалярной составной частью кватерниона, а

математика

его векториальной составной частью.

Чтобы считать кватернионы «числами», мы должны установить, по определению, правила их сложения и умножения.

Сложение естественно определить так: если

математика

и

математика

то

математика

Чтобы определить умножение, достаточно задать «таблицу» умножения символов 1, i, j, k:

математика

При этих условиях для кватернионов сохранятся все обычные свойства действий, кроме переместительного закона умножения, т. е. вообще

математика

Полагая в выражении

математика

получим:

математика

т. е. получим обычное комплексное число.

Таким образом, область кватернионов является расширением области комплексных чисел. Но в этой расширенной области уже не выполняется переместительный закон умножения.

Составим произведение двух кватернионов в общем виде:

математика

Мы здесь пользовались тем, что

математика

При перемене порядка сомножителей математика шесть подчеркнутых членов меняют свои знаки, так чтоматематика вообще говоря, существенно отлично от математика и притом не только по знаку, как это имеет место для произведений отдельных единиц i, j, k.

Наряду с этим произведение кватерниона на действительное число обладает переместительным свойством, т. е.

математика

где а — действительное число.

Заметим, между прочим, что каждая из трех единиц i, j, k является корнем уравнения математика

В области кватернионов уравнение математика имеет бесконечное множество корней. Действительно, всякий кватернион математика в котором математика будет корнем уравнения математика. Докажем это.

Подставив в левую часть уравнения математика вместо х кватернион математика получим:

математика

Итак, доказано, что кватернион математика при любых действительных значениях b, с, d, удовлетворяющих условию математика будет корнем уравнения математика.
Два кватерниона

математика

и

математика

называются взаимно сопряженными. Легко убедиться, что

математика

Величина математика называется модулем кватерниона и обозначается через математика

Всякому кватерниону:

математика

не являющемуся нулем, соответствует вполне определенный другой кватернион:

математика

такой, что

математика

Можно доказать, что

математика

т. е. модуль произведения двух кватернионов равен произведению модулей этих кватернионов.

Мы здесь изложили лишь некоторые общие, далеко не полные сведения о кватернионах, не дав им ни геометрической, ни физической интерпретации (истолкования).

Читателю может показаться, что кватернионы являются лишь формальной выдумкой и никакой пользы принести не могут. Чтобы рассеять такое неверное представление о кватернионах, мы покажем хотя бы одно их несложное применение. А именно докажем с помощью кватернионов, что произведение суммы четырех квадратов на сумму четырех квадратов может быть представлено в виде суммы четырех квадратов.

Доказательство.

Пользуясь разложением суммы четырех квадратов на произведение двух сопряженных кватернионов, и тем, что произведение кватерниона на действительное число обладает переместительным свойством, найдем последовательно следующее:

математика

В последнем выражении произведение Первых двух множителей можно заменить кватернионом

математика

а произведение остальных двух множителей кватернионом

математика

который можно записать и так:

математика

Кватернионы (А) и (В) являются сопряженными,, а поэтому их произведение равно

математика

Таким образом, получилось, что

математика

что и требовалось доказать.

Пример.

математика

получим, что

математика

Значит, произведение суммы четырех квадратов математикаматематика на сумму четырех квадратов математика оказывается также суммой четырех квадратов математика

Кватернионы применяются в геометрии, физике, механике и особенно в современной квантовой механике. Все же их роль не столь велика, как роль комплексных чисел.

Степень, корни и иррациональные числа

Свойства степени с целым показателем

Как мы уже знаем, степенью математика данного числа а с целым положительным показателем п называется произведение n множителей, каждый из которых равен а. Так,

математика

Само число а называется основанием степени. Степень с
показателем 2 называется квадратом, с показателем 3— кубом.

При действиях над степенями нужно руководствоваться
следующими правилами, которые формулируем в виде теорем.

Теорема 1. Произведение двух степеней с одинаковым
основанием равно степени того же основания с показателем, равным сумме показателей перемножаемых степеней.

Короче: при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются. Например,

математика

Эта теорема записывается в виде следующей формулы:

математика

Доказательство. математика есть произведение m сомножителей, равных а; математика есть произведение n сомножителей, равных а. Следовательно, математика математика есть произведение m + n сомножителей, равных а, т. е. равноматематика В буквенной записи

математика

Следовательно,

математика

Правило сложения показателей при умножении степеней с одинаковыми основаниями остается верным при любом числе множителей. Именно, верна следующая теорема.

Теорема 2. Произведение степеней с одинаковыми основаниями равно степени того же основания с показателем, равным сумме показателей перемножаемых степеней, при любом числе сомножителей.

Доказательство.

математика

Например,

математика

Теорема 3. Результат возведения степени в степень равен степени того же основания с показателем, равным произведению показателей, участвующих в действии, т. е.

математика

Короче: при возведении степени в степень показатели перемножаются. Например,

математика

Доказательство.

математика

Теорема 4. Степень произведения нескольких чисел равна произведению степеней множителей с тем же показателем, т. е.

математика

Доказательство. Проведем доказательство для произведения трех множителей.

математика

Теорема 5. Степень дроби равна дроби, числитель и
знаменатель которой равны соответственно степени числителя и знаменателя исходной дроби, с тем же показателем, т. е.

математика

Доказательство.

математика

Квадрат суммы нескольких слагаемых

Правила возведения в степень произведения, частного и степени очень просты. Иначе дело обстоит со степенью суммы. Формула для степени суммы нескольких слагаемых сложна и становится все сложнее с возрастанием показателя степени и числа слагаемых.

Действительно,

математика

Непосредственным умножением легко проверить, что

математика

и т. д. Мы ограничимся рассмотрением формулы для квадрата суммы любого числа слагаемых.

Теорема. Квадрат суммы любого числа слагаемых есть сумма их квадратов плюс сумма всевозможных удвоенных попарных произведений слагаемых. Доказательство.

математика

По правилу умножения многочлена на многочлен мы должны каждый член первого множителя умножить на каждый член второго множителя и сложить полученные произведения. При умножении слагаемых первого множителя на такие же слагаемые, взятые из
второго множителя, мы получим квадраты всех слагаемых. При умножении же двух различных слагаемых каждое произведение будет получаться два раза. Например, математика будет получено при умножении математика взятого из первого множителя, на математика взятое из второго и при умножении математика , взятого из первого множителя, на математика взятое из второго. То же самое будет и для любой другой пары слагаемых. Итак,

математика

При пользовании этой формулой следует сначала написать квадраты всех слагаемых, затем приписать всевозможные удвоенные произведения. Чтобы не пропустить какое-либо из них, следует их записать в таком порядке: сначала всевозможные, удвоенные произведения первого слагаемого на остальные, затем — удвоенные произведения второго слагаемого на остальные, кроме первого, затем — удвоенные произведения третьего слагаемого на остальные, кроме первых двух, и так далее.

Пример.

математика

Некоторые свойства степени

Очевидно, что любая степень числа 0 равна нулю, любая степень положительного числа положительна.

Правило возведения в степень отрицательного числа дается следующей теоремой.

Теорема 1. Степень с четным показателем отрицательного числа равна такой же степени его абсолютной величины, взятой со знаком плюс. Степень же с нечетным показателем отрицательного числа равна такой же степени его абсолютной величины, взятой со знаком минус.

Например,

математика

Доказательство. Пусть — а есть отрицательное число, тогда а есть его абсолютная величина и

математика

но математика и т. д., т. е.
математика при четном показателе n и математика при n нечетном. Следовательно, математика при четном n, математика при нечетном n, что и требовалось доказать.

Важно отметить, что четная степень любого рационального числа не может быть отрицательным числом, ибо четная степень положительного числа положительна, четная степень отрицательного числа тоже положительна, а степень нуля равна нулю.

Докажем еще две теоремы, в которых устанавливаются важные свойства степени.

Теорема 2. Из двух степеней положительных чисел с одинаковым показателем больше та, основание которой больше.

Иными словами, степень положительного числа с данным показателем возрастает с возрастанием основания. Сначала докажем следующие две леммы*), касающиеся умножения положительных чисел.

Лемма 1. Если а > b и с — положительное число, то ас > . Иными словами, обе части неравенства а > b можно умножить на любое положительное число с.

Доказательство. В самом деле, если а > b, то а — b есть положительное число; следовательно, (а — b)с тоже есть положительное число как произведение двух положительных чисел. Но

математика

Из установленной положительности разности ас — bc заключаем, что ас > bс.

Лемма 2. Если a, b, c, d—четыре положительных числа
и a >b , c > d, то ac > bd.

Доказательство. Действительно, в силу первой леммы,
ас > bс. В силу той же леммы bc > bd, ибо c > d и b положительно. Следовательно, ac > bd.

Теперь обратимся к доказательству теоремы.

Доказательство теоремы 2. Пусть а и b — положительные числа и а > b Положим с = а; d = b. Тогда c > d и, в силу второй леммы, ac > bd; но

математика

Следовательно, математика

Положим теперь математика Мы уже установили, что c > d. В силу второй леммы ac > bd; но

математика

следовательно, математика

Положим теперь математика Мы уже установили, что c > d, В силу второй леммы ac > bd; но

математика

Следовательно, математика

*) Леммой называется вспомогательная теорема, содержание которой используется в других доказательствах.

Положив математика и применив лемму 2, получим тем же рассуждением, что математика

Применив то же рассуждение еще раз, получим, что математика и т. д. Таким рассуждением мы можем дойти до любого значения показателя n. Теорема доказана.

В математике принято заменять цепочку единообразных рассуждений, подобных приведенным выше, одним рассуждением «от n— 1 к n». Это рассуждение для интересующей нас теоремы выглядит так:

Допустим, что теорема верна для показателя n— 1, и в этом предположении докажем ее для показателя n. Положим математика В силу сделанного предположения о том, что для показателя n— 1 теорема доказана, мы заключаем, что c > d, в силу второй леммы ac > bd; но

математика

Следовательно, математика

Итак, мы доказали следующее: если теорема верна для
показателя n—1, то она верна и для показателя n. Но мы знаем, что для показателя 2 теорема верна, мы ее доказали. Следовательно, она верна и для показателя 3. Раз она верна для показателя 3, то она верна и для показателя 4 и т. д. Таким рассуждением мы дойдем до любого показателя.

Доказательство «от n—1 к n» называется иначе доказательством методом математической индукции. Этот метод нам придется в дальнейшем неоднократно применять.

Теорема 3. При безграничном увеличении положительного основания степени сама степень тоже безгранично растет.

Например, математика становится больше 100, как только a > 10; математика становится больше 1000 000, как только a > 1000, и вообще математика становится больше любого заданного числа, если только взять а достаточно большим.

Доказательство. Положим, что а >1. Тогда математика при
любом n, и следовательно, при безграничном увеличении а число математика тоже растет безгранично и даже быстрее, чем а. Теорема доказана.

Корень любой степени из числа

Корнем n-й степени из числа а называется такое число, п-я степень которого равна а. Например, корень третьей степени из 27 есть 3, так как математика корень четвертой степени из 16 есть 2, так как математика и т. д.

Корень n-й степени из числа а обозначается математика Корень второй степени иначе называется квадратным корнем, корень третьей степени— кубическим. Квадратный корень из числа а обозначается через математика без указания показателя.

Знак математика часто называют радикалом, иногда с указанием степени. То же название «радикал» часто относят и к алгебраическим выражениям, в которых последнее действие есть действие извлечения корня.

Так, выражение математика может быть названо квадратным радикалом, содержит кубический радикал математика в знаменателе и т. д.

Заметим, что числа 2 и —2 одинаково могут считаться
квадратными корнями из числа 4, так что квадратный корень из числа 4 имеет два значения 2 и — 2.

Сколько значений может иметь корень любой степени из данного числа? Ответ на этот вопрос дают следующие теоремы.

Теорема 1. Корень любой степени из положительного числа имеет не более одного положительного значения.

Так, математика и не существует другого положительного числа, куб которого равнялся бы 8. Действительно, пусть математика Если x < 2, то математика в силу теоремы 1 § 3. Если х > 2, математика в силу той же теоремы. Остается только одна возможность x = 2.

Таким же образом теорема доказывается и в общей формулировке.

Пусть корень n-й степени из положительного числа а имеет два положительных значения х и у. Тогда математика Докажем, что х = у. С этой целью допустим противное, что х и у не равны. Тогда х > у или y > x Если х > у, то, в силу теоремы 1 § 3, математика что противоречит тому, что математика Если у > х, то математика что также противоречит равенству математика Следовательно, х = у, что и требовалось доказать.

Теорема 2. Корень любой степени из 0 имеет единственное значение, равное 0.

Доказательство. математика Всякое же число, отличное от нуля, при возведении в любую степень даст результат, отличный от 0.

Следовательно, единственным значением математика является 0.

Теорема 3. Корень нечетной степени из положительного числа имеет не более одного значения, и это значение может быть только положительным.

Доказательство. Корень нечетной степени из положительного числа не может быть отрицательным, ибо всякое отрицательное число при возведении в нечетную степень дает отрицательный результат.
Нуль также не может быть значением корня из положительного числа. Положительных же значений корня не может быть более одного в силу теоремы 1.

Теорема 4. Корень нечетной степени из отрицательного числа имеет не более одного значения, и это значение может быть только отрицательным.

Так, математика и не существует другого числа, куб которого равнялся бы — 27. Действительно, если математика откуда, в силу теоремы 3, для —х имеется единственное возможное значение —x = 3. Следовательно, х = — 3, и других значений для математика не существует.

Совершенно таким же образом теорема доказывается и в общей формулировке.

Пусть n— нечетное число, математика — отрицательное число и х есть математика Тогда математика и следовательно, математика т. е. —х есть значение корня n-й степени из положительного числа. В силу теоремы 3 этот корень
имеет не более одного значения, и это значение положительно. Следовательно, х имеет не более одного значения, и это значение отрицательное.

Теорема 5. Корень четной степени из отрицательного
числа не существует.

Доказательство. Никакое число при возведении в четную степень не дает отрицательного результата.

Теорема 6. Если существует одно значение корня четной степени из положительного числа, то существует еще одно и только одно значение, отличающееся от первого значения знаком.

Так, математика имеет два значения: 2 и —2, ибо математика Если бы нашлось третье значение х, то существовало бы и четвертое — х. Из четырех значений 2, — 2, х и — х два положительных и два отрицательных. Но, в силу теоремы 1, математика имеет не более одного положительного значения, так что предположение о существовании отличного от ±2 значения дляматематика привело нас к противоречию.

Таким же образом можно рассуждать при доказательстве теоремы в общей формулировке. Именно, если х есть корень четной степени из
положительного числа а, то — х тоже есть корень той же степени из а, ибо при возведении в четную степень числа х и —х дают одинаковые результаты. Если бы, кроме этих двух значений, нашлось бы третье у, отличное от них, то нашлось бы и. четвертое —у и оказалось бы, что корень имеет по крайней мере два положительных значения, что противоречит теореме 1.

Положительное значение корня четной степени называется его арифметическим значением. Под обозначением математика при четном n и а > 0 всегда подразумевается арифметическое значение корня.
Отрицательное же значение корня n-й степени из положительного числа а при четном n обозначается через математика Так математика математика и т. д.

Недостаточность совокупности рациональных чисел для извлечения корня из любого рационального положительного числа

Как было выяснено в гл. IX, § 3, далеко не из каждого рационального положительного числа можно извлечь квадратный корень. Именно, было установлено, что если целое положительное число a не является квадратом другого целого положительного числа, то не
существует и дробного рационального числа, квадрат которого равняется а. Следовательно, извлечение квадратного корня из такого целого числа невыполнимо, если оставаться в области рациональных чисел. Аналогичное обстоятельство имеет место для корней любой степени.

Приведем в дополнение к изложенному в первой части книги строгое и простое доказательство следующей теоремы, являющейся лишь частным случаем сказанного выше.

Теорема. Не существует рационального числа, квадрат
которого равен двум.

Иными словами, не существует рационального значения для математика

Доказательство. Допустим, что найдется несократимая
дробь математика где m и n — натуральные числа, такая, что

математика

Тогда математика Из последнего равенства следует, что m есть четное число, и, следовательно, математика целое. После подстановки в математика и деления обеих частей равенства на 2 получим, что математика откуда следует, что и n есть четное число.

Итак, m и n оба четные, что противоречит не сократимости дроби математика Таким образом, предположение о том, что существует рациональное число математика квадрат которого равен 2, привело нас к противоречию. Следовательно, такой дроби не существует, что и требовалось доказать.

Приближенное извлечение корня

Ввиду невозможности точного извлечения корня данной степени из данного положительного числа, целесообразно поставить задачу о приближенном извлечении корня. В применении к квадратным корням этот вопрос был разобран в первой части книги (гл. IX, § 3).

Напомним относящиеся сюда определения и теоремы, обобщив их на корень любой степени n.

Приближенным значением с недостатком для корня n-й степени из данного положительного числа а, например с точностью до математика называется такое положительное число b, что математика но математика В свою очередь математика называется приближенным значением с избытком для математика

Вообще приближенным значением с недостатком для корня n-й степени из данного положительного числа а с точностью до а называется такое положительное число b, что математика но математика В свою очередь число b + а называется приближенным значением с избытком для математика с точностью до а, а число а мерой точности.

При практических вычислениях чаще всего принимается за меру точности математика где m— некоторое натуральное число, а за приближенное значение с недостатком принимается десятичная дробь с m цифрами после запятой. Тогда приближенным значением с избытком явится большая смежная с ней десятичная дробь, т. е. такая, последняя цифра которой увеличена на одну единицу. Например, 1,259 и 1,260 являются приближениями с недостатком и с избытком к математика с точностью до 0,001, ибо

математика

Такие приближения называются десятичными с точностью до единицы m-гo знака после запятой. Так, 1,259 и 1,260 суть десятичные приближения к математика с недостатком и с избытком с точностью до единицы третьего знака после запятой.

Теорема 1. Для каждого положительного числа а, не являющегося n-й степенью целого числа, существует целое число b, являющееся приближенным значением с недостатком для математика с точностью до единицы.

Например, для математика приближенным значением с недостатком с точностью до единицы есть 3, ибо

математика

Доказательство. Нам нужно доказать, что для данного
положительного а найдется такое целое неотрицательное число b, что математика согласно определению приближенного значения с недостатком для а. Если а < 1, то утверждение теоремы очевидно. Именно, в качестве числа b можно взять нуль, ибо математика математика

Допустим теперь, что а > 1. Выберем целое число математика и рассмотрим ряд чисел

математика

Согласно теореме 1 § 2 это возрастающий ряд чисел, т. е.
каждое последующее число больше предыдущего. Первое число 1 этого ряда меньше а, последнее математика больше а, так как математика Само число а не находится среди чисел этого ряда, так как а не является n-й степенью целого числа. Следовательно, а попадает в какой-то промежуток между двумя соседними числами рассматриваемого ряда, т. е. найдутся два таких смежных целых числа b и b + 1, что математика

Число b и есть искомое приближение.

Теорема 2. Для каждого положительного числа а, не
являющегося n-й степенью десятичной дроби с m цифрами после запятой, существует десятичное приближение к математика с точностью до единицы m-го знака после запятой.

Раньше чем привести доказательство в общем виде, рассмотрим численный пример. Пусть, например, требуется найти приближенное значение с точностью до 0,01 для математика Обозначим это значение через х. Тогда

математика

Умножим обе части каждого из этих неравенств на математика получим

математика

(лемма 1 § 3). Следовательно, 100x есть приближенное значение с точностью до 1 для математика В силу теоремы 1 такое приближенное значение существует. Посредством испытаний убеждаемся, что

математика

Следовательно, 100x =144; х =1,44. Действительно,

математика

Доказательство. Обратимся теперь к доказательству в общем случае. Пусть нам требуется найти десятичное приближение с недостатком к положительному числу а с точностью до единицы m-го знака после запятой. Рассмотрим число математика Число математика не является n-й степенью целого числа, ибо если математика при целом х, то

математика

a математика есть десятичная дробь с m цифрами после запятой, что противоречит условию теоремы. Поэтому, согласно теореме 1, для математика найдется целое приближение с недостатком математика с точностью до единицы, т. е. такое число, что

математика

Тогда

математика

но

математика

Таким образом, мы нашли две десятичные дроби математика с m цифрами после запятой, отличающихся на математика т. е. на одну, единицу последнего знака, и такие, что n-я степень меньшей дроби меньше а, n-я степень большей дроби больше а. Следовательно, математика и есть искомое приближение.

Теорема 2 решает вопрос о существовании приближенных значений для корня любой степени из любого положительного числа, но способ нахождения приближений к корню, использованный для доказательства теоремы, практически мало пригоден. Трудность заключается в отыскании приближенного значения с точностью до 1 из числа математика которое может быть огромным по величине. Для приближенного извлечения квадратного корня существует удобная схема вычислений, разобранная в гл. IX первой части книги.

Замечание. Для корней степени выше второй приближенное извлечение корня производится косвенными средствами: или с привлечением логарифмов (что будет изложено в гл. VII), или посредством применения общих методов приближенного решения уравнений высших степеней (некоторые из них разобраны в гл. IV). Эти методы можно применить, так как извлечение корня n-й степени из числа а равносильно решению алгебраического уравнения математика

Связь задачи об извлечении корня с задачей об измерении отрезков

Рассмотрим задачу об извлечении корня с геометрической точки зрения. Это поможет нам глубже понять, почему точное извлечение корня из положительного числа часто является неосуществимой
задачей, если оставаться в области рациональных чисел.

Пусть, например, требуется найти математика . Представим себе, что мы идеально точно построили график зависимости математика , соединив непрерывной линией все точки, ординаты которых равны кубам абсцисс (рис. 30). Найдем на этом графике точку М с ординатой, равной 2. С этой целью проведем через точку Р, взятую на оси ординат на расстоянии 2 от начала прямую математика параллельную оси абсцисс. Эта прямая пересечется с графиком в искомой точке М. Тогда абсцисса точки М должна равняться математика так как ее куб, согласно зависимости математика , должен равняться 2.

Итак, математика есть абсцисса точки М, т. е. длина отрезка ON Но, с другой стороны, среди рациональных чисел математика не существует. Как же разрешить создавшееся противоречие?

математика

С одной стороны, мы видим на чертеже математика это есть абсцисса точки M, т. е. длина отрезка ON. Результат точного измерения этого отрезка в выбранном масштабе даст нам точное значение для математика С другой же стороны, математика среди рациональных чисел не существует.

Противоречие разрешается так. Не всякий отрезок имеет длину, измеряемую (в данном масштабе) рациональным числом, так что совокупность рациональных чисел оказывается недостаточной для измерения длин любых отрезков.

Если же мы так обобщим и расширим понятие числа, что окажется возможным каждому отрезку сопоставить число (из расширенной совокупности чисел) в качестве длины этого отрезка, то в этой расширенной совокупности чисел задача о точном извлечении корня любой степени из любого положительного числа окажется разрешимой. Действительно, естественно считать, что математика есть абсцисса точки графика зависимости математика , ордината которой равна а, т. е. математика есть длина некоторого вполне определенного отрезка.

Измерение отрезков. Определение иррационального и действительного числа

Измерение отрезка осуществляется посредством сравнения его с некоторым отрезком, принятым за единицу масштаба. Именно, если длина отрезка АВ равна, например, математика причем за единицу масштаба принят отрезок CD, то это значит, что математика часть отрезка CD укладывается на отрезке АВ ровно 45 раз. Таким образом, в рассматриваемом случае найдется отрезок MN (математика часть отрезка CD) такой, что он укладывается на обоих сравниваемых отрезках целое число раз — 23 раза на отрезке CD и 45 раз на отрезке АВ.

Вообще длина отрезка АВ при сравнении с единицей масштаба CD выражается рациональным числом в том и только в том случае, если найдется отрезок MN, который укладывается на обоих отрезках целое число раз. Именно, если MN укладывается на единице масштаба CD n раз, а на отрезке АВ m раз, то длина АВ равна математика (рис. 31). Обратно, если длина АВ равнаматематика (при единице масштаба CD), то— часть CD укладывается на CD n раз, на АВ — m раз. Отрезок MN, укладывающийся целое число раз на отрезках CD и АВ, называется их общей мерой. Сами отрезки CD и АВ, если они имеют общую меру, называются соизмеримыми.

математика

Итак, длина отрезка АВ выражается рациональным числом в том и только в том случае, если отрезок АВ соизмерим с отрезком CD, принятым за единицу масштаба.

Если бы оказалось, что любые два отрезка соизмеримы, то совокупность рациональных чисел оказалась бы достаточной для измерения любого отрезка. Однако это не так. Именно, существуют несоизмеримые отрезки. В геометрии устанавливается, например, что диагональ квадрата несоизмерима с. его стороной. Мы дадим почти чисто арифметическое доказательство этой замечательной теоремы.

Из арифметики известно, что площадь прямоугольника (измеренная в квадратных единицах масштаба) равна произведению длин его сторон (измеренных в соответствующих линейных единицах). Конечно, это устанавливалось в . арифметике в предположении, что стороны прямоугольника выражаются рациональными числами.

математика

Примем за единицу масштаба сторону квадрата ОАВС (рис. 32). Отложим на продолжении сторон ОА и ОС, от вершины О, отрезки OD и OF,
равные ОА. Тогда четырехугольник ACDF будет квадратом.. Действительно, все четыре треугольника АО АС, AOCD, AODF и A OF А, очевидно, равны между собой и каждый из них есть равнобедренный прямоугольный треугольник. Поэтому, все 8 острых углов этих треугольников, при вершинах А, С, D, F равны 45°, и следовательно, все углы при вершинах четырехугольника ACDF прямые. Кроме того, из того же равенства треугольников следует, что AC=CD = DF=FA.

Итак, ACDF есть квадрат. Допустим, что его сторона АС
(являющаяся диагональю квадрата ОАВС) соизмерима с единицей масштаба ОА и пусть длина АС равна рациональному числу а. Тогда площадь квадрата ACDF равна математика С другой стороны,

математика

ибо квадрат ACDF составлен из четырех треугольников, каждый из которых равен математика Но точно из таких же треугольников, математика , математика составлен прямоугольник FEBC. Следовательно, пл. FEBC=4 пл. ОАС =пл. ACDF. Вычисляя, получим

математика

Итак, если длина АС равна а, то математика Но, согласно
теореме § 5, рационального числа, квадрат которого равен 2, не существует.

Таким образом, допустив, что диагональ квадрата соизмерима с его стороной, мы пришли к противоречию, тем самым мы убедились в существовании несоизмеримых отрезков.

Следовательно, рациональных чисел недостаточно для целей измерения отрезков. Именно, при любом выборе единицы масштаба найдутся отрезки несоизмеримые с этой единицей, и потому длины их не могут быть выражены в рациональных числах.

Однако наглядное представление о длине отрезка имеет смысл, независимо от того, соизмерим отрезок с выбранной единицей измерения или нет. По своим свойствам длины отрезков совершенно аналогичны числам. Так же, как и числа, их можно сравнивать по величине. Далее, мы понимаем, что представляет собой сумма длин двух данных отрезков — это есть длина отрезка, который может быть разбит на два отрезка, равных данным. Таким образом, длины отрезков, подобно числам, можно складывать.

Если отрезок соизмерим с единицей масштаба, то его длина есть рациональное число. Будем считать, что длина отрезка, несоизмеримого с единицей масштаба, тоже есть число, но только это число является числом новой природы—«иррациональным», выходящим за пределы совокупности рациональных чисел.

Совершенно такое же положение, как с измерением длин отрезков, имеет место при измерении других величин, когда оно осуществляется посредством сравнения с некоторой величиной, принятой за единицу.

Так можно представить себе, например, кусок железа, вес которого несоизмерим с единицей веса — граммом. Действительно, примем, для простоты рассуждения, что удельный вес железа точно равен 7,8. Тогда железный брусок, сечение которого равно точно математика а длина равна длине диагонали квадрата со стороной 1 см, не может иметь вес, выраженный в целых долях грамма. Действительно, вес такого бруска должен равняться p = 7,8 d г, где d— длина бруска, и если бы р выражалось рациональным числом граммов, то математика выражалось бы рациональным числом сантиметров, что, как мы видели, не имеет места *).

Таким образом, для измерения веса тел рациональных чисел оказалось тоже недостаточно. То же самое имеет место при измерении любой величины, могущей изменяться непрерывно. Для измерения таких величин тоже необходимо привлечение иррациональных чисел.

Итак, иррациональные числа суть числа, служащие для измерения величин, несоизмеримых с выбранной единицей измерения.

Такое определение вполне согласуется с представлением о понятии числа как результата измерения величины. Ведь числа и должны являться средством для описания результата измерений каких-либо величин — длины отрезков, площадей, объемов, промежутков времени, температуры, силы и т. д.

Введение иррациональных чисел совершенно аналогично введению дробных чисел в дополнение к ранее изученным целым. Ведь и в арифметике дробные числа появляются из потребности измерения величин, допускающих дробление на равные части.

В дальнейшем при описании свойств иррациональных чисел, в частности при описании способа их записи при помощи цифр (§ 10) и свойств действий (§ 12 —14), мы будем исходить из более узкого, геометрического, определения иррационального числа. Именно, иррациональные числа суть числа, служащие для измерения длин отрезков, несоизмеримых с единицей масштаба.

Такое сужение задачи измерения (вместо любых величин мы рассматриваем отрезки) не является существенным, так как процесс измерения, посредством сравнения с единицей измерения, для любых величин ничем не отличается от процесса измерения отрезков. Поэтому, ограничиваясь геометрическим представлением об иррациональном числе как о длине отрезка, мы не проигрываем в общности в смысле широты возможных приложений, но выигрываем в простоте и наглядности.

С геометрической точки зрения иррациональное число ничем не «хуже» рационального. Например, нет никакого качественного отличия между длиной диагонали квадрата, стороной которого является единица масштаба, и диагональю прямоугольника, с длинами сторон 3 и 4, несмотря на то, что первая длина, как мы установили, есть иррациональное число, а вторая равна рациональному числу 5.

*) Конечно, наше рассуждение идеализировано — мы отвлеклись от атомного строения материи, представляя себе материю непрерывной, только при этом отвлечении приведенное выше рассуждение имеет силу.

Действительно, рассмотрим квадрат ABCD, длина стороны которого равна 7, и впишем в него другой квадрат так, как показано на рис. 33. Площадь ABCD равна 49, треугольники aDd и bсВ, будучи сложены по гипотенузе, образуют прямоугольник с длинами сторон 3 и 4, площадь которого равна 12. Треугольники аАb и
dcC вместе имеют площадь тоже 12.

математика

Следовательно, площадь abcd равна 49— 12 —
— 12 = 25 и потому ab = 5.

Мы дали выше определение только положительным иррациональным числам.
Отрицательные иррациональные числа определяются подобно отрицательным рациональным числам. Именно, каждому положительному иррациональному числу сопоставляется противоположное ему отрицательное. Так же, как для рациональных чисел, отрицательные иррациональные числа можно связать с величинами направленных отрезков.

Все рациональные и иррациональные числа, положительные, отрицательные и нуль, вместе называются действительными или вещественными числами.

Присоединение к рациональным числам чисел иррациональных, т. е. переход от совокупности рациональных чисел к совокупности всех действительных чисел, является очередным и предпоследним шагом в расширении понятия числа. Так же, как и предшествующие расширения понятия числа (переход от натуральных чисел к любым рациональным положительным числам целым и дробным; введение отрицательных чисел), введение иррациональных чисел расширяет возможности
приложений математики. Следует отметить, что могущественные методы так называемой высшей математики, изучающей прежде всего переменные величины, изменяющиеся непрерывно, не могут быть обоснованы без пользования всеми действительными числами.

Вместе с тем и в пределах самой алгебры введение иррациональных чисел вносит общность и простоту. В частности, действие извлечения корня из положительного числа, не всегда осуществимое в области рациональных чисел, становится осуществимым всегда при переходе в область чисел действительных, как мы увидим далее в § 14.

Изображение действительных чисел на числовой оси. Неравенства

Мы видели раньше, что каждое рациональное число — целое или дробное, положительное или отрицательное — может быть изображено точкой на прямой линии, так называемой числовой оси.

Числовая ось есть направленная прямая с выбранной точкой отсчета О и с выбранной единицей масштаба (рис. 34). Изображением рационального числа а является точка А, расстояние которой от точки отсчета равно абсолютной величине а, и отрезок ОА направлен по направлению прямой или в противоположном направлении в соответствий со знаком числа а.

математика

Совершенно так же мы можем изобразить в виде точки и любое иррациональное число. Именно, чтобы построить изображение иррационального числа, нужно от точки отсчета О отложить в сторону направления прямой или в противоположную, в зависимости от знака a, отрезок, длина которого в данном масштабе равна числу | а |. Точка, являющаяся концом этого отрезка, и будет изображением числа а.

Принято для сокращения речи говорить вместо «точка, изображающая число а» просто «точка а», т.е. как бы отождествлять число с точкой, являющейся его изображением.

Таким образом, каждое действительное число, рациональное или иррациональное, изображается в виде точки на числовой оси.

Обратим внимание на то, что если ограничиться рациональными числами, то мы получим, что не все точки числовой оси являются изображением чисел. Так, если мы отложим от точки отсчета отрезок, равный диагонали квадрата со стороной, равной единице, то построенная точка не будет изображением рационального числа. Таким образом, если представить себе изображенными на числовой оси все рациональные числа, то не вся числовая ось будет покрыта их изображениями. Найдутся точки числовой оси, не являющиеся изображениями рациональных чисел, так что числовая ось будет как бы «просвечивать» сквозь совокупность изображений рациональных чисел.

Но изображения всех действительных чисел, рациональных и иррациональных, заполняют уже всю числовую ось.

В самом деле, любая точка А числовой оси является изображением некоторого действительного числа, положительного или отрицательного, в зависимости от того, с какой стороны от начальной точки О точка А находится. Абсолютная величина этого числа равна длине отрезка ОА. Такое число существует, ибо в области всех действительных чисел каждый отрезок имеет длину, выражаемую числом.

Для действительных чисел естественным образом определяются понятия «больше» и «меньше». Если заданы два неравных отрезка, то из них бoльшим считается тот отрезок, на который целиком укладывается другой меньший отрезок. Соответственно, из двух положительных действительных чисел считается бoльшим то, которое является длиной большего отрезка.

Далее, каждое положительное число, по определению, больше нуля и больше каждого отрицательного числа, а из двух отрицательных чисел больше то, абсолютная величина которого меньше. Так же, как для рациональных чисел (см. гл. II первой части книги), легко установить, что при изображении действительных чисел точками на числовой оси, направленной слева направо, большее из двух чисел изображается точкой, лежащей правее.

Такое изображение действительных чисел вносит наглядность в понятие «больше» и «меньше» в применении к любым действительным числам.

Приближения к действительным числам

К любым действительным числам можно приблизиться
посредством рациональных чисел. Приближением с недостатком к действительному числу а с точностью, например, до математика называется такое рациональное число r, что математика но математика уже больше а.

Особенно удобно рассматривать десятичные приближения. Десятичным приближением с недостатком к действительному числу а с точностью до математика (или, как говорят тоже, с точностью до
единицы m-го знака после запятой) называется десятичная дробь r с m цифрами после запятой и такая, что математика но математика

Очевидно, что число математика получается из числа r посредством увеличения последней цифры на одну единицу.

Число математика называется десятичным приближением к числу r с избытком с точностью доматематика .

Например, десятичными приближениями к числу математика с недостатком являются 0,3 (с точностью до 0,1); 0,33 (с точностью до 0,01); 0,333 (с точностью до 0,001) и т.д. Соответственно приближениями с избытком являются 0,4; 0,34; 0,334 и т.д.

К числу математика приближениями с недостатком будут: 2,2 (с точностью до 0,1); 2,25 (с точностью до 0,01); 2,250 (с точностью до 0,001); 2,2500 (с точностью до 0,0001) и т.д. Здесь все приближения, начиная с 2,25, равны между собой и равны числу математика .

Мы рассмотрели примеры приближений к рациональным числам. Подобным образом можно строить приближения и к числам иррациональным. Например, десятичные приближения к иррациональному числу математика (которым измеряется длина диагонали квадрата со стороной, равной единице) суть: 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; … , т.е. «приближенные значения» математика с соответствующей точностью.

Легко видеть, что последующее десятичное приближение с недостатком к данному действительному числу а получается из предшествующего посредством приписывания одной цифры без изменения предыдущих.

Чтобы установить это в общем виде, обратимся к геометрическому изображению чисел. Пусть математика есть десятичное приближение (с недостатком) к числу
а с точностью до единицы m-го знака после запятой. Тогда математика есть соответствующее приближение с избытком. Изображение числа а находится внутри (или на левом конце) промежутка от математика до математика

математика

Разобьем этот промежуток на 10 равных частей (рис. 35). Длина каждой части будет равна, очевидно, математика

т. е. одной единице m + 1 знака. Следовательно, точки деления будут представлять собой десятичные дроби с
m + 1 знаками после запятой, целая часть и первые m знаков которых образуют десятичную дробь математика . Точка, изображающая число а попадет внутрь или на левый конец одного из десяти промежутков. Тогда числа, изображениями которых являются левый и правый концы этого промежутка, будут представлять собой соответственно десятичные приближения математика и математика к числу a c m + 1 знаком после запятой. Таким образом, при записи приближения математика в виде десятичной дроби все цифры в десятичной записи математика
действительно сохраняются, и только добавляется одна новая цифра.

Представим теперь себе, что мы смогли найти все десятичные приближения к числу а, т.е. мы знаем, какая цифра на каком месте в этих приближениях находится. Представим себе все эти цифры записанными подряд, одну за другой, в том порядке, как они входят в десятичные приближения (с недостатком), мы получим так называемую бесконечную десятичную дробь. (Конечную десятичную дробь можно рассматривать как частный случай бесконечной, считая, что все цифры, начиная с некоторой, равны нулю.) Отрезки бесконечной десятичной дроби, т.е. дроби, составленной из конечных последовательностей ее цифр, являются десятичными приближениями (с недостатком) к действительному числу а.

Естественно считать, что эта бесконечная дробь является записью положительного действительного (рационального или иррационального) числа с помощью цифр. Каждое действительное число вполне
определяет такую запись, и неравные действительные числа определяют различные бесконечные десятичные дроби, так как если два действительных числа неравны, т.е. изображаются различными точками на числовой оси, то их приближения с недостатком должны различаться при достаточно большой точности, т.е. при достаточно большом числе цифр после запятой.

Приближение с недостатком математика может совпадать с предыдущим приближением математика , только если m+ 1-я цифра после запятой есть 0.

Приближение с избытком математика может совпадать с предыдущим приближением математика только если m+1-я цифра (в приближении с недостатком) есть 9.

Заметим, что по определению приближения с избытком оно не может совпадать ни при каком n с приближаемым действительным числом.

Отсюда нетрудно установить (но мы не будем на этом останавливаться), что десятичные приближения с избытком не могут оставаться неизменными, начиная с некоторого места. Поэтому записью положительного действительного числа не может быть бесконечная десятичная дробь с девяткой в периоде.

Мы рассмотрели десятичную запись для положительных действительных чисел. Для записи отрицательного числа достаточно записать в виде бесконечной десятичной дроби его абсолютную величину и поставить знак минус.

Итак, каждое действительное число может быть записано в виде бесконечной десятичной дроби (без девятки в периоде). Справедливо и обратное утверждение, что каждая бесконечная десятичная дробь (без девятки в периоде) является записью некоторого действительного числа. Доказательство последнего утверждения теснo связано с так называемым свойством непрерывности прямой линии, изложению сущности которого посвящен следующий § 11.

Отметим один важный случай, в котором бесконечные десятичные дроби появляются естественным образом. В § 6 мы доказали, что из любого положительного числа можно приближенно извлечь корень любой степени с любой точностью*). Составляя последовательные десятичные приближения (с недостатком) к математика , мы получим ряд конечных десятичных дробей, из которых каждая последующая получается посредством приписывания одной цифры к предыдущей. Например, для математика мы получим 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; 1,41421;1,414213 и т. д.

Представив себе этот процесс продолжающимся безгранично, мы получим бесконечную десятичную дробь. Естественно предполагать, что эта бесконечная десятичная дробь есть запись действительного числа, являющегося точным значением математика Например, математика = 1,414213… (Строгое доказательство этого мы проведем в § 14.)

Замечание. Можно доказать, что бесконечная десятичная дробь является записью рационального числа в том и только в том случае, если она периодическая.

В гл. VI будет доказана одна сторона этого утверждения, именно, что всякая периодическая десятичная дробь действительно является записью некоторого рационального числа.

*) При доказательстве рассматривались, конечно, только рациональные подкоренные числа, однако все рассуждения легко перенести на любые действительные числа.

Свойство непрерывности совокупности действительных чисел

Мы установили, что всякое действительное число может быть задано в виде бесконечной десятичной дроби. Значительно сложнее доказывается, что всякая бесконечная десятичная дробь (без девятки в периоде) может служить записью некоторого действительного числа. Доказательство этого утверждения тесно связано с так называемым свойством непрерывности прямой линии.

Наглядная сущность свойства непрерывности прямой линии состоит в том, что между отдельными точками на прямой нет никаких пустот. Строго это свойство описывается одной из аксиом геометрии, так называемой аксиомой непрерывности.

Раньше, чем сформулировать эту аксиому, введем некоторые вспомогательные понятия.

Пусть на прямой даны два отрезка АВ и CD такие, что оба конца С и D отрезка CD лежат на отрезке АВ (т. e внутри или на концах его). Будем говорить, что отрезок CD вложен в отрезок АВ.

Теперь представим себе, что нам дана бесконечная совокупность отрезков математика из которых каждый последующий вложен в предыдущий. Предположим, кроме того, что длины отрезков математика становятся все меньше и меньше, неограниченно близко подходя к нулю (например, длина математика равна математика , длина математика равна математика , длина математика равна математика и т. д. — см. рис. 36).

математика

Такая последовательность промежутков называется стягивающейся.

Теперь мы можем сформулировать аксиому непрерывности.

Аксиома. Для всякой стягивающейся последовательности промежутков на прямой существует точка, принадлежащая всем промежуткам последовательности.

Как было сказано выше, сущность аксиомы непрерывности состоит в том, что между точками, лежащими на прямой линии, нет никаких пустот. Действительно, в аксиоме непрерывности как раз и утверждается, что всякая стягивающаяся последовательность промежутков «стягивается» к точке, а не к «пустому месту».

Легко видеть, что точка х, к которой «стягивается» стягивающаяся последовательность промежутков, может быть только одна (рис. 7). В самом деле, если бы таких точек оказалось две, М и N, то длина каждого из промежутков последовательности была бы не меньше длины промежутка MN и, следовательно, эти длины не могли бы неограниченно приближаться к нулю.

Теперь легко доказать, что бесконечная десятичная дробь является записью некоторого действительного числа.

Пусть дана бесконечная десятичная дробь, например,

2,1211211121111211111…

(мы взяли дробь с такой закономерностью следования цифр: первая цифра есть двойка, вторая единица, затем двойка и две единицы, затем двойка и три единицы, затем двойка и четыре единицы и т. д. Ясно, что эта дробь не является периодической и, следовательно, не может являться записью рационального числа).

Рассмотрим на числовой оси отрезки математика математика и т. д., левые концы которых изображают числа 2; 2,1; 2,12; 2,121; 2,1211 и т. д., а правые концы изображают числа 3; 2,2; 2,13; 2,122; 2,1212 и т. д.

Таким образом, за левые концы промежутков мы принимаем точки математика изображающие последовательные «отрезки» данной бесконечной десятичной дроби, а за правые концы — точки математика математика изображающие числа, полученные из «отрезков» данной дроби посредством увеличения последней цифры на одну единицу.

Ясно, что каждый последующий отрезок вложен в предыдущий. Далее, длины построенных отрезков равны соответственно 1; математика ; математика эти длины неограниченно приближаются к нулю. Следовательно, нами построена стягивающаяся последовательность отрезков.

Обозначим через С точку, принадлежащую всем промежуткам этой последовательности, а через х действительное число, соответствующее точке С. Тогда

математика

и т. д.

Из этих неравенств мы заключаем, что «отрезки» 2; 2,1; 2,12; 2,121;… являются десятичными приближениями с недостатком к числу х, и следовательно, бесконечная десятичная дробь, соответствующая числу х, совпадает с данной дробью 2,1211211121111…

Таким же образом можно рассуждать для любой другой бесконечной десятичной дроби.

Действительно, пусть дана бесконечная десятичная дробь (без девятки в периоде) математика Здесь математика обозначает целую часть дроби, математика математика последовательные цифры после запятой. Пусть математика есть «отрезок» этой дроби, математика есть дробь, получающаяся из математика увеличением последней цифры на одну единицу. Очевидно, что

математика

Обозначим через математика точки на числовой оси, изображающие числа математика а через математика точки, изображающие числа математика Так как математика при любом n, отрезок математика вложен в отрезок математика т. е. в последовательности отрезков математика каждый последующий отрезок вложен в предыдущий.

Далее, длина математика равна математика , длина математика

равна математика и т. д., т. е. длины построенных промежутков неограниченно приближаются к нулю. В силу аксиомы непрерывности найдется точка С, принадлежащая всем
построенным отрезкам: Обозначим через х действительное число, соответствующее точке С. Тогда в силу того, что С принадлежит отрезку математика заключаем, что математика при всех n. Из этих неравенств непосредственно следует, что число х записывается данной десятичной дробью математика

Из аксиомы непрерывности непосредственно вытекает следующая теорема, которая, по сути дела, является алгебраической формулировкой аксиомы непрерывности. Теорема эта выражает свойство непрерывности совокупности всех действительных чисел.

Теорема. Пусть даны две бесконечные последовательности чисел математика математика такие, что математика математика при всех n и разности математика неограниченно приближаются к нулю при безграничном увеличении n. Тогда существует одно и только одно число х такое, что математика при всех n.

Для доказательства этой теоремы достаточно представить себе ее условие геометрически.

Рассмотрим на числовой оси отрезки математика Так мы обозначаем отрезок, концами которого являются точки, изображающие числа математика и т. д. Условие математика означает, что для отрезка математика точка математика является левым концом, точка математика — правым. Условия математика означают, что при переходе от отрезка математика к отрезку математика левый конец может сдвинуться только вправо, а правый — только влево , т. е. отрезок математика вложен в отрезок математика . Из неравенств математика заключаем, что отрезок математика вложен в отрезок математика и т. д., каждый отрезок совокупности математика вложен в предыдущий.

Наконец, неограниченное уменьшение разностей математика означает, что длины отрезков математика неограниченно уменьшаются. Таким образом, эти отрезки образуют стягивающуюся последовательность.

Согласно аксиоме непрерывности найдется одна и только одна точка х (т. е. точка, изображающая некоторое действительное число х) принадлежащая всем отрезкам последовательности. Но то, что х принадлежит отрезку математика , как раз и означает, что математика Это неравенство выполняется при любом значении n, так как точка х принадлежит всем отрезкам рассматриваемой стягивающейся последовательности.

Сложение и вычитание действительных чисел

Совокупность действительных чисел шире совокупности рациональных чисел— к рациональным числам присоединяются еще новые, иррациональные числа. Основные арифметические действия же определены пока только в применении к рациональным числам. Теперь необходимо распространить действия на все действительные числа. Этот вопрос требует специального рассмотрения, потому что при расширении совокупности чисел мы должны и действия над ними понимать в каком-то новом смысле, обобщающем прежний.

Ограничимся сначала положительными действительными числами и начнем с рассмотрения действия сложения. Дадим следующее определение.

Суммой двух положительных действительных чисел (рациональных или иррациональных) называется длина отрезка, получающегося сложением отрезков, длинами которых являются слагаемые числа. (Сложение отрезков здесь следует понимать в том же смысле, как в геометрии. Именно, чтобы сложить отрезки, нужно их «приложить» один к другому, т. е., взяв некоторую точку на прямой,, отложить от нее отрезок, равный одному из слагаемых отрезков, и от его конца отложить в ту же сторону отрезок, равный второму слагаемому. Отрезок, соединяющий начало первого отрезка с концом второго» и есть сумма данных отрезков.)

Сложение действительных чисел, согласно этому определению, является обобщением хорошо известного нам сложения положительных рациональных чисел. Действительно, если длины слагаемых отрезков выражаются рациональными числами, то в геометрии доказывается, что длина суммы отрезков равна сумме длин слагаемых отрезков. Если же один или оба отрезка несоизмеримы с единицей масштаба, т. е. длина одного из них или обоих не может быть выражена рациональным числом, то действие сложения отрезков сохраняет смысл и длина суммы двух отрезков, в силу данного выше определения действия сложения действительных чисел, тоже равна сумме длин слагаемых отрезков.

Из данного определения можно установить справедливость переместительного и сочетательного законов сложения

математика

Мы не будем на этом останавливаться.

Далее, если a, b и с — положительные числа и а > b, то

математика

Действительно, отрезки с длинами а и b можно расположить так, что они будут иметь общий конец N и отрезок MN с длиной b окажется частью отрезка KN с Длиной а (см. рис. 37).

математика

Приложив к точке N отрезок NP длины с, мы получим, что MP есть часть КР. Но, согласно определению сложения действительных чисел, длина КР равна а + с, длина MP равна b + с. Следовательно, а + с > b + с.

Если a, b, c, d — действительные положительные числа и а > b, c > d, то

математика

Действительно, a + c > b + c > b+d.

Установим теперь, как производится сложение положительных действительных чисел, записанных в виде бесконечных десятичных дробей. Обратимся к численному примеру. Из таблиц известно, что

математика

Составим, например, десятичные приближения с тремя знаками после запятой с недостатком и с избытком к каждому из этих чисел. Это будут 1,732 и 1,733 для математика и соответственно 1,414 и 1,415 для математика Отсюда заключаем, что математика

Следовательно, в силу только что доказанных свойств неравенств,

математика

т. е. истинным трехзначным приближением (с недостатком) к числу математика является 3,146 или 3,147.

Таким образом, взяв в записи для математика и математика по три цифры после запятой и сложив полученные приближения с недостатком, мы получаем трехзначное приближение для математика в котором последняя цифра не достоверна — может быть, ее нужно увеличить на одну единицу.

Таким же образом, исходя из восьмизначных приближений, мы получим, что математика Последняя цифра здесь не достоверна, ибо, привлекая, как раньше, приближение с избытком, мы получим математика так что, может быть, в десятичном восьмизначном приближении (с недостатком) следует последнюю цифру увеличить на одну единицу.

Для того чтобы узнать, нужно ли это сделать, надо знать девятые цифры для математика и математика Если окажется, что их сумма меньше 9, то восьмой цифрой в записи числа математика является цифра 6. Если сумма девятых цифр больше 9, то восьмой цифрой в записи математика является 7. Если, наконец, сумма девятых цифр равна 9, то для установления точной восьмой цифры дляматематика пришлось бы привлечь десятые, а может быть и одиннадцатые (если бы оказалось, что и сумма десятых цифр равна 9) цифры.

Выскажем теперь в общем виде некоторые выводы из проведенного исследования.

Если действительные числа х и у заданы при помощи бесконечных десятичных дробей, то чтобы получить m-значное приближение (с недостатком) к их сумме х + у, нужно сложить m-значные десятичные приближения (с недостатком) для чисел х и у. При этом последняя цифра будет недостоверной, возможно, что ее нужно увеличить на одну единицу, что можно выяснить, только зная следующие цифры.

Чтобы получить надежные границы для х + у, нужно взять m-значные приближения с недостатком и с избытком к слагаемым числам и соответственно сложить их. В результате мы получим два числа, между которыми заключена сумма х + у. Разность между полученными границами равна двум единицам последнего знака, т. е. может быть сделана сколь угодно близкой к нулю.

Перейдем теперь к действию вычитания положительных действительных чисел в предположении, что уменьшаемое больше вычитаемого.

Вычитание определяется как действие, обратное сложению, т. е. как действие, посредством которого по данной сумме и одному из слагаемых определяется второе слагаемое. Геометрический смысл вычитания в рассматриваемом случае ясен (рис. 38)

математика

Если действительные числа х и у заданы при помощи бесконечных десятичных дробей, то, чтобы получить m-значное десятичное приближение к разности ху, нужно вычесть m-значные десятичные приближения (с недостатком) для чисел х и у. Так же, как при сложении, последняя цифра будет недостоверной, может быть, ее следует уменьшить на одну единицу.

Чтобы получить надежные границы для ху, следует из
приближения с недостатком для х вычесть приближение с избытком для y, а из приближения с избытком для х приближение с недостатком для у. Разность между полученными таким образом границами равна двум единицам последнего знака.

Так, математика Отсюда следует, что

математика

После того как действия сложения и вычитания для
положительных действительных чисел определены, они распространяются на действительные числа любых знаков по тем же правилам, как это делается для рациональных чисел.

Так, сумма двух отрицательных действительных чисел равна сумме их абсолютных величин со знаком минус, сумма двух чисел, имеющих противоположные знаки, равна по абсолютной величине разности абсолютных величин слагаемых и берется со знаком слагаемого, имеющего большую абсолютную величину. Наконец, разность двух любых действительных чисел равна сумме уменьшаемого и числа, противоположного вычитаемому.

Умножение и деление действительных чисел

Исходя из определения действительного числа, как длины отрезка, естественнее всего определить произведение двух положительных чисел а и b как длину отрезка, получаемого известным из геометрии
построением первого члена пропорции математика Построение это таково.

Берется произвольный угол POQ (рис. 39). На одной из его сторон откладываются отрезок ОК, длина которого равна единице, и отрезок ОМ с длиной а. На другой стороне откладывается отрезок OL с длиной b. Точки К и L соединяются прямой линией. Через точку М проводится прямая MN, параллельная KL, пересекающая сторону ОР в точке N Длина ON
и есть х.

математика

Действительно, если отрезки ОМ и OL соизмеримы с единицей масштаба ОK, т. е. их длины выражаются рациональными числами, то в геометрии доказывается, что длина ON равна ab, так что умножение действительных чисел, согласно данному определению, содержит обычное умножение рациональных чисел как частный случай.

Можно доказать справедливость переместительного и сочетательного законов умножения: ab = ba и (ab)c=a(bc), а также справедливость распределительного закона )для сложения с умножением а(b + с) = ab + ас, но мы на этом останавливаться не будем.

Далее, если математика — положительные действительные числа и математика то математика В самом деле, если математика то отрезок математика с длиной математика длиннее отрезка ОМ с длиной а (рис. 40). Следовательно, и математика длиннее ON, т. е. математика

математика

Далее, если математика — положительные числа и математика то математика Действительно, математика математика

Последнее неравенство дает возможность строить приближения к произведению двух действительных чисел, если они заданы бесконечными десятичными дробями. Именно, умножив приближения с недостатком к положительным числам х и у, мы получим результат, меньший чем х у, а если умножим приближения с избытком, то полупившийся результат будет больше х у. Исходя из более точных приближений, мы будем получать для х у все более тесные границы, так что сможем получить х у с любой степенью точности.

Для того чтобы убедиться в этом, рассмотрим вопрос в общем виде. Пусть математика —десятичные приближения с недостатком и с избытком к числу х с точностью до математика и пусть математика — такие же приближения к числу у. Тогда математика и, следовательно, математика т. е математика являются приближениями к х у с недостатком и с избытком.

Однако разность между этими приближениями может быть больше математика и даже значительно больше, если числа х и у больше. Действительно,

математика

т. е. эта разность приблизительно равна математика

Например, умножив m-значные десятичные приближения с недостатком для чисел математика иматематика , мы получим приближение с недостатком для математика c точностью лишь до математика т. е с точностью около 3 единиц последнего знака.

Однако при беспредельном увеличении числа знаков т мы получим беспредельное усиление точности, так что если нам известны бесконечные десятичные дроби для множителей, мы можем построить любое Число цифр и для их произведения.

Действие деления положительных действительных чисел определяется как действие, обратное умножению, т. е. как действие, посредством которого по данному произведению и одному из сомножителей определяется второй сомножитель.

При представлении действительных чисел в виде длин отрезков отрезок, длина которого равна частному от деления длин двух данных отрезков, строится подобно произведению. Именно, на рис. 39 нужно считать отрезок ON данным, а отрезок ОМ искомым.

Приближения к частному получаются посредством деления приближения с недостатком к делимому на приближение с избытком к делителю и делением приближения с избытком к делимому на приближение с недостатком к делителю, так как

математика

Так же, как при умножении, разность математика беспредельно уменьшается при безграничном возрастании числа десятичных знаков m.

Распространение умножения и деления на любые действительные числа, положительные и отрицательные, делается по обычным, правилам: абсолютная величина произведения или частного равна соответственно произведению или частному абсолютных величин. Произведение и частное двух чисел, имеющих одинаковые знаки, положительно.
Произведение и частное двух чисел, имеющих противоположные знаки, отрицательно. Действие деления на нуль по-прежнему остается невозможным и в области всех действительных чисел.

Возведение в степень и извлечение корня

Степень действительного числа а с натуральным показателем n есть произведение n сомножителей, равных а.

Возведение в степень становится особенно наглядным, если ввести в рассмотрение график зависимости математика (рис. 41) Если представить себе, что этот график построен идеально точно, то задача возведения числа а в степень сводится к измерению ординаты точки на графике, абсцисса которой равна a.

математика

Зная бесконечную десятичную дробь для числа а, мы можем найти его степень математика с любой степенью точности. Для этого нужно возвысить в n-ю степень достаточно точное десятичное приближение (с недостатком или с избытком) к числу а.

Для того чтобы это строго доказать, докажем предварительно следующие две теоремы.

Теорема 1. Если а и b два положительных действительных числа и а > b, то математика при любом натуральном n.

Эта теорема для рациональных чисел а и b была доказана в § 3 (теорема 1). Доказательство дословно переносится и на случай произвольных действительных положительных чисел а и b, так как используемые в доказательстве леммы были установлены в § 13 при изучении действия умножения действительных чисел.

Теорема 2. Если математика при любом натуральном m.

Доказательство. Для m= 2 теорема верна, ибо

математика

Построим дальнейшее доказательство, воспользовавшись- методом математической индукции.

Пусть теорема уже доказана для показателя m—1, т. е. уже установлено что

математика

В этом предположении докажем теорему для показателя m. С этой целью в разность математика вставим выражение математика со знаками минус и плюс. Получим

математика

Во втором слагаемом оба множителя положительны.

Далее, математика в силу индукционного предположения, меньше математика Следовательно,

математика

Теорема доказана пока условно: если теорема верна для показателя m— 1, то она верна и для показателя m. Но для m = 2 она верна. Следовательно, она верна и для m= 3, а раз она верна для m= 3, то верна для m= 4 и т. д. Теорема верна для всех натуральных показателей т, что и требовалось доказать.

Далее поступаем так. Зная бесконечную десятичную дробь для числа a, составляем десятичные приближения математика для числа а с недостатком и с избытком с m цифрами после запятой. Тогда математика В силу теоремы 1 будут верны и неравенства математика т. е. мы смогли заключить математика между двумя границами математика которые можно вычислить. Можно доказать, что эти границы математика становятся все более тесными, если брать число цифр m все больше и больше. Таким образом, мы можем определить математика с любой степенью точности.

Строгое доказательство того, что границы математика действительно неограниченно сближаются, основывается на теореме 2. Обозначим через А наименьшее целое число, большее а. Тогда при любом m

математика

Рассмотрим разность

математика

В силу теоремы 2

математика

откуда следует, что разность математика действительно беспредельно уменьшается при увеличении числа цифр m. Обратимся теперь к действию извлечения корня.

Определение. Корнем n-й степени из действительного
числа b называется такое число х, что математика

Положительное значение корня n-й степени из положительного числа называется арифметическим значением корня.

Таким образом, определения степени, корня и арифметического значения корня для действительных чисел остаются совершенно такими же, как для рациональных чисел. Однако в области действительных чисел верна следующая теорема.

Теорема 3. Арифметическое значение корня любой степени из любого положительного числа всегда существует.

В области рациональных чисел такое утверждение было неверным — не существует, например, рационального значения математика Смысл этой теоремы ясен: извлечь корень n-й степени из данного числа b— значит измерить абсциссу точки на графике зависимости математика ордината которой равна b, а существование такой точки геометрически очевидно.

Однако для того, чтобы это геометрически наглядное рассуждение сделать строгим, нужно было бы доказать, что при непрерывном возрастании числа х число математика возрастает тоже непрерывно, т. е. проходит через все действительные числа. Это же в свою очередь равносильно доказательству теоремы о существовании корня.

Теорема о существовании корня более строго доказывается так:

Пусть дано число b > 0 и показатель n. Найдем две соседние десятичные дроби математика с m цифрами после запятой такие, что

математика

Такие дроби существуют в силу возрастания степени с возрастанием основания (теорема 1, § 14). Числаматематика представляют собой «приближенные значения для математика с точностью до математика с недостатком и с избытком.

Для того чтобы перейти от приближенных значений математика к следующим, мы должны разбить промежуток математика на 10 равных частей. Так как

математика

то найдутся такие соседние точки деления математика что

математика

Эти точки и дают приближенные значения математика с m + 1 цифрой после запятой.

Таким образом, отрезок математика вложен в отрезок математика .

Совокупность отрезков математика есть стягивающаяся последовательность, ибо каждый последующий отрезок вложен в предыдущий, а их
длины математика безгранично приближаются к нулю. Согласно аксиоме непрерывности, найдется одно и только одно число а, принадлежащее всем этим промежуткам, т. е. удовлетворяющее неравенствам

математика

при всех m.

Рассмотрим промежутки с концами математика . Они тоже образуют систему вложенных промежутков, и их длины беспредельно убывают с возрастанием m, что было установлено выше. Следовательно, существует одно и только одно число, принадлежащее всем этим промежуткам. Но перед нами имеются два таких числа —во-первых, b ибо

математика

во-вторых, математика , ибо математика следует

математика

Следовательно,

математика

т. е. а есть арифметическое значение математика

Замечание. Определения основных действий — сложения, вычитания, умножения и деления — можно дать, не опираясь на геометрические представления, используя лишь свойство непрерывности совокупности действительных чисел. Рассмотрим, например, сложение. Пусть математика десятичные приближения с недостатком и с избытком к числам х и у. Тогда математика и математика при m= 1, 2, 3, …образуют концы вложенных промежутков, длины которых безгранично убывают при неограниченном возрастании т. В силу свойства непрерывности существует одно и только одно число z, лежащее во всех этих промежутках, т. е. удовлетворяющее неравенствам

математика

Его и следует, по определению, считать суммой чисел х и у.

Аналогичным образом можно дать чисто алгебраические определения для остальных действий.

Извлечение корня из произведения, дроби и степени

Возвращаемся к свойствам корней любой степени из числа. В формулировках теорем мы будем предполагать, что все числа, участвующие в действии, положительны и значения корней имеются в виду арифметические (т. е. положительные). Без этих предположений некоторые из теорем могут оказаться неверными, что будет оговорено в специальных замечаниях.

При действиях над корнями постоянно приходится пользоваться тождеством

математика

и, в частности,

математика

Эти тождества непосредственно следуют из определения корня. Действительно, математика есть такое число, которое при возведении в n-ю степень дает а. Следовательно, математика

Верно и следующее полезное тождество. Если а положительно, то

математика

Действительно, по определению арифметического значения корня, математика есть такое положительное число, которое, при возведении в степень с показателем n, дает математика . Таким числом является а, и других положительных чисел, удовлетворяющих этому требованию, не существует в силу единственности арифметического значения корня из положительного числа. Следовательно, математика

Заметим сразу, что это утверждение неверно для четного показателя n и отрицательного a. Например, математика а, не —2, и вообще математика но не всегда математика

Теорема 1. Корень из произведения двух или нескольких положительных чисел равен произведению корней той же степени из сомножителей, т. е.

математика

Доказательство. По свойству степени произведения,

математика

Итак, математика при возведении в n-ю степень дает а b..k. Поэтому математика есть одно из значений математика

Далее, математика есть число положительное, так как все a, b,…,k положительны и значения корней арифметические. Следовательно, математика есть арифметическое значение корня n-й степени из числа ab… k, т. е.

математика

что и требовалось доказать.

Замечание. Без предположения положительности множителей теорема теряет смысл, если п есть четное число, и ее неправильное применение может привести к получению нелепых результатов. Например,

математика

и, по определению корня, математика Получили нелепость: 1 = —1. Здесь все дело в том, что в ходе выкладки мы, неправильно применив теорему 1, ввели в рассмотрение выражение математика не имеющее смысла в области действительных чисел.

Если же еще расширить понятие числа, введя так называемые комплексные числа (что будет сделано в гл. IX книги), то выражение математика становится осмысленным, но в области комплексных чисел теорема 1 перестает быть верной в данной ее формулировке. Будет верна лишь следующая ослабленная формулировка:

математика

Теорема 2. Корень из частного от деления двух положительных чисел равен частному от деления корней той же степени из делимого и делителя, т. е.

математика

Доказательство. математика и следовательно, математика есть одно из значений математика именно арифметическое, так как числа а и b положительны и корни математика арифметические.

Теорема 3. Значение корня из положительного числа не изменится, если подкоренное» число возвысить в некоторую степень и одновременно умножить показатель корня на показатель той степени, в которую возведено подкоренное число, т. е.

математика

Доказательство. Согласно правилу возведения степени в
степень

математика

Следовательно, математика есть одно из значений корня степени nk из числа математика Так как, по предположению, а положительно и математика как арифметическое значение корня, тоже положительно, то математика есть арифметическое значение корня степени nk из числа математика , т. е.

математика

что и требовалось доказать.

Замечание. При отрицательном а теорема оказывается, вообще говоря, неверной. Например, математика есть отрицательное число, а математика есть число положительное. Следовательно, математика не равно математика

Умножение и деление корней

Теоремы 1—3 § 15 позволяют упрощать результаты действий умножения и деления над корнями из положительных чисел.

Рассмотрим вопрос об умножении корней. Если нужно перемножить корни из нескольких чисел с одинаковыми показателями, то, согласно теореме 1, достаточно умножить их подкоренные числа и написать произведение под знаком корня с тем же показателем. Действительно,

математика

Если же показатели перемножаемых радикалов различны, то нужно предварительно привести4 все радикалы к общему показателю. Это делается посредством умножения каждого показателя на подходящий дополнительный множитель одновременно с возведением в ту же степень подкоренного числа. За общий показатель следует принять общее кратное показателей перемножаемых радикалов. Например,

математика

Подобным же образом следует поступить при делении корней. Именно, если корни имеют одинаковый показатель, то при их делении следует разделить их подкоренные числа под знаком корня с тем же показателем, ибо

математика

Если же показатели корней делимого и делителя различны, то следует привести их предварительно к общему показателю. Например,

математика

Указанные преобразования часто оказываются полезными, так как они позволяют привести результат действия умножения и деления над несколькими корнями к такому виду, что действие извлечения корня
приходится делать только один раз.

Возведение корня в степень и извлечение корня из корня

Теорема 1. Для возведения корня в степень достаточно
возвысить в ту же степень подкоренное число, т. е.

математика

Доказательство.

математика

и следовательно, по правилу умножения корней с одинаковым показателем,

математика

что и требовалось доказать.

Заметим, что после возведения корня в степень, согласно теореме 1, иногда удается сократить показатели степени и корня, воспользовавшись теоремой 3 § 13. Действительно, в силу этой теоремы,

математика

Таким образом, если под знаком радикала находится степень некоторого положительного числа и показатель степени имеет с показателем корня общий множитель, то можно, не изменив значения корня,
сократить на этот множитель, т. е. отбросить его как в показателе степени, так и в показателе корня.

математика

Во втором примере возможно «сокращение», так как математика математика и следовательно, математика

Теорема 2. Для того чтобы извлечь корень из корня,
достаточно перемножить их показатели, не меняя подкоренного числа, т. е.

математика

Доказательство. математика согласно теореме 1
§ 15 и теореме 3 § 13. Следовательно, по определению корня,

математика

что и требовалось доказать.

Пример. математика

Замечание. Установленные теоремы верны безоговорочно лишь в обычных предположениях, что речь, идет об арифметических значениях корней из положительных чисел.

Вынесение рационального множителя из-под знака корня и введение его под знак корня

Теорема. Если а и b— положительные числа, то

математика

Доказательство. Мы видели, что математика Следовательно,

математика

что и требовалось доказать.

Формула математика применяется двумя способами. Иногда она применяется в чтении «слева направо», т. е.математика заменяется на математика

Пусть, например, нам нужно вычислить математика с точностью до 0,01. Если мы вычислим математика с точностью до 0,01 и результат умножим на 5, то мы получим некоторое приближение значения для математика его погрешность окажется в пять раз больше погрешности исходного приближения математика . Целесообразнее ввести множитель 5 под знак корня, воспользовавшись доказанной теоремой. Получим

математика

затем вычислим обычным способом математика с точностью до 0,01. Действительно, приближенное значение к математика с точностью до 0,01 есть математика Таким образом, введение множителя 5 под знак радикала уменьшает погрешность на 0,02.

При извлечении корня из произведения числа на корень тоже целесообразно вводить множитель под знак корня, например

математика

Чаще бывает целесообразно применять ту же формулу, читая ее «справа налево», именно — выносить множитель из-под знака радикала, если он имеется в подкоренном выражении с показателем, равным показателю корня, например

математика

Однако при преобразовании корня этим способом нужно твердо помнить, что формула математика выведена в предположении положительности чисел а и b. Мы не можем, например, записать безоговорочно, что математика Это равенство верно для а > 0 но для а < 0 оно неверно. Преобразование выражения математика , верное при всех действительных значениях а, есть математика

Поэтому при вынесении буквенного множителя из-под знака радикала с четным показателем необходимо записывать этот множитель под знаком абсолютной величины, если только заранее не делается оговорка о его положительности.

Вынесение множителя из-под знака корня удобно применять к извлечению корня из дроби.

При этом следует пользоваться формулой математика непосредственно вытекающей из теоремы 1 этого параграфа.

Действительно,

математика

При преобразовании корня n-й степени из дроби посредством этой формулы нужно предварительно умножить числитель и знаменатель подкоренного выражения на такой дополнительный множитель, чтобы в результате умножения в знаменателе получилась полная n-я степень.

математика

Подобные радикалы и их сложение

Вообще говоря, сумма или разность двух различных корней не может быть приведена к более простому виду. Например, никакими преобразованиями нельзя упростить выражение математика Но в одном частном случае упрощающие преобразования возможны, именно, если слагаемые радикалы подобны.

Подобными называются такие радикалы, которые, во-первых, имеют одинаковую степень и, во-вторых, могут быть преобразованы к произведениям одного и того же радикала на рациональные числа или рациональные выражения. Например, математика и математика подобны, ибо

математика

Два радикала n-й степени подобны в том и только в том случае, если отношение их подкоренных выражений есть n-я степень рационального числа или рационального выражения.

Для того чтобы сложить или вычесть подобные радикалы, нужно предварительно сделать такие вынесения множителей из-под знака корня, чтобы подкоренные выражения оказались равными, и после
этого сделать вынесение радикала за скобку, например

математика

Если же я алгебраической сумме, содержащей радикалы, не все радикалы подобны, то следует порознь объединить все подобные между собой радикалы.

Исключение иррациональности в знаменателе

Дробное выражение, в знаменатель которого входят радикалы, может быть преобразовано к виду дроби, не содержащей радикалов в знаменателе. Такого рода преобразования называются исключением иррациональности в знаменателе.

Мы рассмотрим лишь некоторые частные случаи этого преобразования.

Случай 1. Знаменатель есть радикал, т. е. дробь имеет вид

математика

В этом случае нужно подобрать дополнительный множитель к подкоренному числу до полной n-й степени и затем умножить числитель и знаменатель дроби на корень n-й степени из этого дополнительного множителя.

Пример. Исключить иррациональность в знаменателе

математика

Решение. Умножим числитель и знаменатель на математика Получим

математика

Пример. Исключить иррациональность в знаменателе

математика

Решение. Умножим числитель и знаменатель наматематика Получим

математика

Случай 2. Знаменатель есть сумма или разность рационального выражения и квадратного радикала, т.е. дробь имеет вид

математика

В этом случае целесообразно умножить числитель и знаменатель на выражение математика или соответственно на выражение математика Получим

математика

Таким же образом

математика

Радикальные выражения вида математика и математика часто называют сопряженными радикальными выражениями. Таким образом, в рассматриваемом случае для исключения иррациональности в знаменателе нужно умножить числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное со знаменателем.

Пример.

математика

Пример.

математика

Случай 3. Знаменатель есть сумма или разность двух квадратных корней, т. е. дробь имеет вид

математика

Здесь применяется тот же прием, что и в предыдущем случае.

Пример. Исключить иррациональность в знаменателе дроби

математика

Пример. Исключить иррациональность в знаменателе дроби

математика

Решение. Избавимся сначала от математика в знаменателе. С этой целью умножим числитель и знаменатель дроби на математика Получим

математика

Теперь умножим числитель и знаменатель на математика Получим

математика

Пример. Исключить иррациональность в знаменателе дроби

математика

Решение. Умножим числитель и знаменатель на «неполный квадрат суммы» чисел математика Получим

математика

Расположенные многочлены

Многочлены с одной буквой

Мы знаем, что члены алгебраической суммы можно как угодно переставлять между собою: на основании переместительного закона сложения число­ вое значение суммы при этом не изменяется.

Все же для соблюдения порядка при записи многочленов обыкновенно соблюдают определенные пра­вила, касающиеся расположения отдельных членов.

Если многочлен содержит только одну букву, то члены его могут быть той или иной степени — в зависимости от того, каков показатель степени, стоящий при букве. Так, в многочлене Математика примеры с решениемчлен Математика примеры с решением второй степени, член Математика примеры с решением третьей степени, член Математика примеры с решением первой степени, член Математика примеры с решением пятой степени, член Математика примеры с решением второй степени, член Математика примеры с решением снова пятой. Если член не содержит буквы вовсе, то говорят, что этот член «нулевой» степени; такие члены чаще называют также свободными (подразумевают: свободными от буквы), В нашем примере имеется один свободный член Математика примеры с решением.

Предположим, что уже выполнено приведение по­добных членов (т. е. членов одной и той же степени); тогда степени оставшихся членов непременно различны между собою. Наивысшую из степеней членов называют также степенью многочлена; член наи­высшей степени ради краткости называют старшим.

Многочлены первой степени называют также линейными.

При записи многочлена, зависящего от одной буквы, руководствуются следующим правилом: после приве­дения подобных членов располагают члены или в порядке убывания степеней, или в порядке их возрастания.

Таким образом получаются многочлены, расположенные по убывающим степеням буквы или по возрастающим степеням. В том и в другом случае более кратко говорят о расположенных многочленах.

Например, приведенный выше многочлен — пятой степени: будучи расположен по убывающим степеням буквы Математика примеры с решением, принимает вид: Математика примеры с решением.

Располагая его же по возрастающим степеням бук­вы Математика примеры с решением, мы получим: Математика примеры с решением.

В этом многочлене коэффициенты при степенях Математика примеры с решением, Математика примеры с решением, Математика примеры с решением, Математика примеры с решением, Математика примеры с решением соответственно равны Математика примеры с решением, Математика примеры с решением, Математика примеры с решением, Математика примеры с решением, Математика примеры с решением. На вопрос, каков коэффициент при степени Математика примеры с решением, нужно ответить: он равен нулю.

Примечание. Следует обратить внимание на то обстоятельство, что после приведения подобных членов и иных случаях может остаться только один член или даже не остаться ни одного. Ради общности, чтобы избежать оговорок, и в этих случаях назы­вают то, что получится (одночлен или нуль), «многочленом».

В дальнейшем мы будем располагать многочлены по убывающим степеням входящей буквы.

Такие действия, как сложение и вычитание данных многочленов, расположенных по степеням од­ной и той же буквы, а также умножение расположенного многочлена на некоторое число, совершаются по общим правилам.

Иногда при сложении и вычитании расположенных многочленов бывает удобно пользоваться систематиче­ской записью: писать «столбиком», заботясь о том, чтобы подобные члены стояли друг под другом. В таком слу­чае, если какого-нибудь члена не хватает, следует оставлять место пустым.

Пусть, например, даны многочлены: Математика примеры с решением, Математика примеры с решением, Математика примеры с решением.

Тогда возможна следующая запись сложения:

Математика примеры с решением

Подобным же образам, чтобы вычислить разность Математика примеры с решением, напишем:

Математика примеры с решением

Такая же запись не в меньшей степени удобна в том случае, если, например, требуется вычислить Математика примеры с решением:

Математика примеры с решением

Можно рекомендовать множители Математика примеры с решением, Математика примеры с решением, Математика примеры с решением выписывать по вертикали за чертой, и коэффициенты при степенях подсчитывать в уме: Математика примеры с решениемМатематика примеры с решением.

Умножение расположенных многочленов выполняется, конечно, по тому же правилу, что и умножение каких угодно многочленов: надо каждый член многочлена «множимого умножить на каждый член мно­гочлена-множителя и полученные одночлены сложить; разумеется, необходимо следить за порядком членов в про­изведении.

Применение систематической записи при умножении расположенных многочленов в более сложных случаях часто бывает существеннее» чем при сложении или вычитанием. Например, при умножении многочлена Математика примеры с решением на многочлен Математика примеры с решением можно писать «столбиком» сначала произведения многочлена-множимого на член Математика примеры с решением, затем на член Математика примеры с решением и, наконец, на член Математика примеры с решением, потом складывать:

Математика примеры с решением

Из предыдущего видно, что всякое алгебраи­ческое выражение, содержащее только одну букву, мож­но представить в виде многочлена, расположенного по убывающим степеням буквы; для этого достаточно рас­крыть все скобки и затем, сделав приведение подобных членов, переставить члены в надлежащем порядке Получающийся в результате многочлен тождественно равен первоначальному выражению.

Для того чтобы проверить, не сделано ли ошибки при вычислении, часто производят числовую подстановку одного или нескольких значений входящей буквы.

Десятичная система счисления

Во всем мире люди считают десятками. Это, несомненно, зависит от устройства человеческой руки: маленькие дети прежде всего считают пальцы, или «по пальцам».

Римская цифра пять (Математика примеры с решением) изображает ладонь руки; римская цифра (Математика примеры с решением) образовалась из двух «ладоней», приставленных одна к другой.

Десять десятков составляют сотню; десять сотен — тысячу и т. д. Другими словами, единицы высших разрядов — это степени десяти: обозначая для краткости число Математика примеры с решением буквой Математика примеры с решением, мы получаем:

Математика примеры с решением

To обстоятельство, что степень такого большого числа, как десять, при увеличении показателя возрастает очень быстро, делает степени десяти пригодными для изображения чисел, как бы велики они ни были.

Если нужно изобразить, например, число Математика примеры с решением, то смотрят прежде всего, какая самая большая степень десяти содержится в этом числе и сколько раз. Такой степенью оказывается четвертая: Математика примеры с решением содержится она Математика примеры с решением раза; итак, мы получаем Математика примеры с решением, и еще остается Математика примеры с решением. Здесь содержится Математика примеры с решением раз третья степень: Математика примеры с решением; после того как отнимаем Математика примеры с решением, останется еще Математика примеры с решением. В этом новом остатке Математика примеры с решением раз содержится вторая степень: Математика примеры с решением. Затем, отняв Математика примеры с решением. будем иметь число Математика примеры с решением. В нем число Математика примеры с решением содержится Математика примеры с решением раз (что составляет Математика примеры с решением) и еще остается Математика примеры с решением.

В этом числе никакая степень Математика примеры с решением уже не содержится ни разу. Со­бирая вместе все отдельные части, на которые разбилось наше число, мы получаем: Математика примеры с решением.

Итак, всякое целое положительное (натуральное) число за­писывается в виде многочлена, расположенного по степеням бук­вы, которая обозначает число Математика примеры с решением: коэффициенты этого многочлена непременно целые положительные числа (они могут также равняться нулю и меньшие чем Математика примеры с решением).

Ясно, что справедливо обратное: всякий расположенный много­член, обладающий указанными свойствами, изображает целое положительное число.

Общеупотребительная запись является сокращенной: опущены плюсы и буква, заменяющие десятку в различных степенях.

Запись числа в виде многочлена, расположенного по букве Математика примеры с решением, называется систематической.

Правила действий над многозначными числами (сложение, вычитание, умножение), которыми мы постоянно пользуемся, по существу, не отличаются от правил действий с многочленами и из них вытекают.

Так, сложение чисел Математика примеры с решением и Математика примеры с решением мы могли бы записать следующим образом: Математика примеры с решением, и получили бы Математика примеры с решением.

Однако, выполняя действия над многозначными числами, приходится нередко преодолевать своеобразную трудность — «переход через десяток». Если бы, например, нужно было сложить числа Математика примеры с решением и Математика примеры с решением, то запись Математика примеры с решением привела бы к правильному результату, который, однако, трудно было бы прочесть по десятичной системе, так как коэффициент при члене первой степени больше, чем Математика примеры с решением.

Тогда, не упуская из виду, что Математика примеры с решением и Математика примеры с решением— одно и то же, мы «переходим через десяток» следующим образом:

Математика примеры с решением

и теперь ясно, что сумма равна Математика примеры с решением. Нам приходится:

1) представить число Математика примеры с решением в виде многочлена Математика примеры с решением;

2) воспользоваться распределительным законом умножения (раскрываем скобки);

3) воспользоваться сочетательным законом сложения (присоединяем Математика примеры с решением к Математика примеры с решением);

4) сделать приведение подобных членов Математика примеры с решением и Математика примеры с решением (снова распределительный закон).

Подобным же образом «объясняются» и другие арифметические действия над многозначными числами.

С помощью систематической записи чисел можно легко решать некоторые задачи-загадки.

Пример 1. Сумма цифр трехзначного числа Математика примеры с решением равна Математика примеры с решением, и притом каждая следующая цифра на единицу больше предыдущей. Что это за число Математика примеры с решением?

Решение: Обозначим первую цифру через Математика примеры с решением; тогда вторая будет Математика примеры с решением; третья Математика примеры с решением. В систематической записи все число имеет вид:
Математика примеры с решением, а сумма цифр равна Математика примеры с решением; значит, Математика примеры с решением.

Решая это уравнение, получаем: Математика примеры с решением. Подставляя это значение в формулу для Математика примеры с решением, получим: Математика примеры с решением.

Пример 2. Сумма цифр трехзначного числа Математика примеры с решением равна Математика примеры с решением, и притом каждая следующая цифра на единицу больше предыдущей. Что это за число Математика примеры с решением?

Решение. Предположим, что первая цифра обозначена че­рез Математика примеры с решением. Тогда по-прежнему число Математика примеры с решением изображается формулой: Математика примеры с решением.

Условие, что сумма цифр равна Математика примеры с решением, приводит нас к уравнению: Математика примеры с решением; решая уравнение, видим, что единственный корень его есть Математика примеры с решением.

Уравнение решено верно. Но решения задачи мы не получаем, и вот почему: по смыслу задачи требуется не только то, чтобы удовлетворялось наше уравнение, но и то, чтобы число Математика примеры с решением было целым, а именно, одним из чисел Математика примеры с решением. Добиться удовлетворения обоих требований сразу нет возможности. Значит, за­дача не имеет решения.

С которого из двух требований начинать — в сущности безраз­лично. Мы начали с первого, но могли бы начать и со второго; тогда пришлось бы подставлять все числа Математика примеры с решением одно за другим в наше уравнение, и мы убедились бы, что ни одно из них не яв­ляется корнем уравнения, т. е. не удовлетворяет первому требованию.

Нужно ясно представлять себе, в чем здесь дело. Первому требованию удовлетворяет одно число, второму — десять чисел: но ни одно из десяти не совпадает с единственным числом, удовлетворяющим первому требованию. Итак, удовлетворить обоим требованиям вместе — невозможно.

Задачи на делимость

Уже из курса арифметики начальной школы известно, что если предлагается разделить одно целое положительное (натуральное) число Математика примеры с решением (делимое) на другое целое число Математика примеры с решением (делитель), отличное от нуля, то поставленную таким образом задачу можно по­нимать двояко:

(1) или требуется решить относительно Математика примеры с решением уравнение

т. е. найти такое число Математика примеры с решением, которое, будучи умножено на Математика примеры с решением дает в точности Математика примеры с решением,

(2) или требуется найти два таких целых числа Математика примеры с решением (частное) и Математика примеры с решением (остаток), чтобы, во-первых, имело место равенство Математика примеры с решением («делимое равно делителю, умноженному на частное, плюс оста­ток») и, во-вторых, чтобы имело место неравенство Математика примеры с решением («остаток меньше делителя»).

Деление в первом смысле можно было бы назвать точным делением: деление во втором смысле называется делением с остатком.

Пусть, например, Математика примеры с решением, Математика примеры с решением. Если идет речь о точном де­лении, то мы, решая уравнение Математика примеры с решением, получаем дробь если идет речь о делении с остатком, то получаем частное Математика примеры с решением и остаток Математика примеры с решением, так что Математика примеры с решением, Математика примеры с решением.

Точное деление и деление с остатком следует рассматривать как различные действия каждом данном случае отдавать себе отчет, о каком из них идет речь.

Эти два действия совпадают, если остаток Математика примеры с решением равен нулю.

Тогда делимое равно делителю, умноженному на частное Математика примеры с решением и, следовательно, целое число Математика примеры с решением есть корень уравнения Математика примеры с решением.

В этом случае говорят, что число Математика примеры с решением делится на число Математика примеры с решением; другими словами, существует такое целое число Математика примеры с решением, при котором Математика примеры с решением.

Чтобы найти все целые числа Математика примеры с решением, которые делятся на Математика примеры с решением, достаточно в последней формуле давать букве Математика примеры с решением всевозможные целые значения; мы получаем: Математика примеры с решением и т.д.

Точно так же, чтобы найти все целые числа Математика примеры с решением, которые при деле ник на Математика примеры с решением дают назначенный остаток Математика примеры с решением, достаточно в формулу Математика примеры с решением подставлять вместо буквы Математика примеры с решением всевозможные целые значения, мы получаем, Математика примеры с решением и т — д.

Например, все целые числа, которые при делении на Математика примеры с решением дают остаток Математика примеры с решением, содержатся в такой последовательности: Математика примеры с решением и т. д ., т. е. Математика примеры с решением и т. д.

Деление многочленов

Предположим, что заданы два многочлена Математика примеры с решением и Математика примеры с решением, расположенные по степеням одной и той же буквы, например, буквы Математика примеры с решением.

Требуется разделить многочлен Математика примеры с решением на многочлен Математика примеры с решением. Что это значит?

Вполне правильным является такой ответ. Результатом деления многочлена Математика примеры с решением на многочлен Математика примеры с решением будет дробь Математика примеры с решением . Такое утверждение вытекает из понимания деления как действия, обратного умножению: разделить Математика примеры с решением на Математика примеры с решением — значит найти такое алгебраическое выражение Математика примеры с решением (зависящее также от буквы Математика примеры с решением), чтобы при всех значениях буквы Математика примеры с решением было справедливо равенство Математика примеры с решением.

Таким выражением является дробь Математика примеры с решением.

Но можно поставить вопрос и иначе, а именно: Разделить многочлен Математика примеры с решением На многочлен Математика примеры с решением — значит найти такой новый, расположенный также по степеням буквы Математика примеры с решением, многочлен Математика примеры с решением, который, будучи умножен на многочлен Математика примеры с решением, дает многочлен Математика примеры с решением; другими словами, требуется, чтобы при всех значениях Математика примеры с решением выполнялось равенство Математика примеры с решением.

Новое толкование «деления многочлена на многочлен» от прежнего отличается лишь тем, что от искомого «частного» (Математика примеры с решением или Математика примеры с решением) требуется дополнительно, чтобы оно само было также многочленом.

Мы увидим, что при таком толковании деления поставленная задача не во всех случаях выполнима.

Пример 1. Разделить многочлен Математика примеры с решением на многочлен Математика примеры с решением.

Станем искать такой многочлен Математика примеры с решением, который, будучи умножен (по правилу умножения многочленов) на Математика примеры с решением, даст Математика примеры с решением; посмотрим прежде всего, каков должен быть его старший член.

Легко понять, что старший член многочлена произведения всегда есть не что иное, как произведение старших членов перемножаемых многочленов.

Поэтому, чтобы получить старший член многочлена Математика примеры с решением (если такой многочлен существует), надо, обратно, старший член Математика примеры с решением многочлена Математика примеры с решением разделить на старший член Математика примеры с решением многочлена Математика примеры с решением, мы получим Математика примеры с решением, Составим теперь произведение Математика примеры с решением и рассмотрим разность многочленов: Математика примеры с решением .

Так как старшие члены многочленов Математика примеры с решением и Математика примеры с решением одинаковы, то эта разность (которую мы обозначим через Математика примеры с решением) будет иметь степень, меньшую, чем степень Математика примеры с решением: Математика примеры с решением.

Чтобы определить следующий член многочлена Математика примеры с решением, сделаем теперь с многочленом Математика примеры с решением то же самое, что мы делали с многочленом Математика примеры с решением.

Разделив старший член Математика примеры с решением многочлена Математика примеры с решением на старший член Математика примеры с решением многочлена Математика примеры с решением, мы получаем Математика примеры с решением. Произведение Математика примеры с решением имеет тот же старший член, что и многочлен Математика примеры с решением, со­ставим разность: Математика примеры с решением; она представляет собою многочлен (назовем его Математика примеры с решением), степень ко­торого меньше, чем степень Математика примеры с решением.

Обращаемся далее к многочлену Математика примеры с решением. Разделив его старший член Математика примеры с решением на старший член Математика примеры с решением многочлена Математика примеры с решением, получаем Математика примеры с решением. Произведение Математика примеры с решением имеет тот же старший член, что и многочлен Математика примеры с решением, Разность
Математика примеры с решением (которую мы обозначим через Математика примеры с решением) оказывается тождественно равной нулю: Математика примеры с решением

Мы получили ряд тождеств: Математика примеры с решением

Принимая во внимание, что Математика примеры с решением сводится к нулю, им можно придать вид Математика примеры с решением

Складывая их вместе и вычитая почленно Математика примеры с решением и Математика примеры с решением , получаем тождество: Математика примеры с решением.

Вынося в правой части Математика примеры с решением за скобки, будем иметь: Математика примеры с решением.

Таким образом, мы видим, что выражение Математика примеры с решением, определяемое равенством Математика примеры с решением, и есть искомый многочлен.

Все эти действия записывают короче, именно, следующим об­ разом (наподобие записи при делении многозначных чисел):

Математика примеры с решением

Пример 2. Разделить многочлен Математика примеры с решением на многочлен Математика примеры с решением.

В этом примере, как и в предыдущем, мы получим: Математика примеры с решением.

Но разность Математика примеры с решением, которую мы обозначим через Математика примеры с решением, на этот раз не будет тождественно равной нулю. Мы будем иметь

Математика примеры с решением

Таким образом, теперь Математика примеры с решением

Полученным тождествам Математика примеры с решением,можно придать вид Математика примеры с решением и продолжать дальше уже нельзя, так как степень Математика примеры с решением меньше, чем степень Математика примеры с решением.

Отсюда, как н раньше, посредством сложения получится: Математика примеры с решением. Обозначая многочлен Математика примеры с решением через Математика примеры с решением и заменяя Математика примеры с решением через Математика примеры с решением, мы приходим к тождеству Математика примеры с решением т. е. Математика примеры с решением

Расположение действия таково:

Математика примеры с решением

В первом примере многочлен Математика примеры с решением делится на многочлен Математика примеры с решением; это значит, что существует такой многочлен Математика примеры с решением, что имеет место тождество Математика примеры с решением.

Во втором примере многочлен Математика примеры с решением не делится на многочлен Математика примеры с решением: при делении получается остаток Математика примеры с решением. Подобрать такой многочлен Математика примеры с решением, чтобы произведение Математика примеры с решением равнялось Математика примеры с решением, уже нельзя, но можно подобрать два многочлена Математика примеры с решением и Математика примеры с решением (последний — степени меньшей, чем степень Математика примеры с решением) таким образом, чтобы имело место тождество Математика примеры с решением.

Итак, задачу деления с «остатком» многочлена на многочлен ставят следующим образом:

Разделить многочлен Математика примеры с решением («делимое») на многочлен Математика примеры с решением («делитель») — значит найти два таких многочлена Математика примеры с решением («частное») и Математика примеры с решением (остаток»), чтобы, во-первых, имело место тождество Математика примеры с решением и, во-вторых, чтобы степень остатка Математика примеры с решением была меньше, чем сте­пень делителя Математика примеры с решением.

Основное тождество выражается такими словами:

Многочлен-делимое тождественно равен многочлену-делителю, умноженному на многочлен-частное, плюс многочлен-остаток.

Или, короче (как в арифметике):

Делимое равно делителю, умноженному на частное, плюс остаток.

Во всем предыдущем изложении предполагается, что много­член-делитель Математика примеры с решением тождественно не равен нулю. Излишне также считать его числом постоянным (не зависящим от буквы Математика примеры с решением) и от­личным от нуля, так как в этом случае деление выполняется очевидным образом, без всякого остатка. Итак, можно предполагать, что степень Математика примеры с решением не меньше единицы.

Разложение многочленов на множители

Если мы перемножим два многочлена первой степени, то получим многочлен второй степени. Если умножим многочлен второй степени на многочлен первой степени, получается многочлен третьей степени. Умножая много­ член третьей степени на многочлен первой степени или перемножая два многочлена второй степени, получаем многочлен четвертой степени.

Возникает вопрос: можно ли данный многочлен степени выше первой представить как произведение двух (или большего числа) многочленов низших степеней? Всегда ли это можно сделать?

Представляя данный многочлен в виде произведения многочленов низших степеней, мы выполняем его разложение на множители.

В некоторых отдельных случаях такое разложение можно выполнить без труда, с помощью догадки или пользуясь основными формулами умножения.

Например:

1) многочлен Математика примеры с решением есть разность квадратов чисел Математика примеры с решением и Математика примеры с решением; поэтому он равен произведению их суммы на их раз­ность: Математика примеры с решением;

2) многочленМатематика примеры с решением есть квадрат суммы чисел Математика примеры с решением и Математика примеры с решением: Математика примеры с решением

3) многочлен Математика примеры с решением, как легко догадаться, раз­лагается на множители следующим образом: Математика примеры с решением.

Разложение многочлена на множители — задача, в общем случае представляющая очень большие труд­ности. Она не всегда выполнима: например, такой про­стой многочлен второй степени, как Математика примеры с решением, нельзя раз­ложить на два множителя.

Если бы такое разложение было возможно, то мы легко на­шли бы такое значение Математика примеры с решением, при котором один из множителей обратился бы в нуль (пришлось бы решить уравнение); но раз обратился бы в нуль один из множителей, то обратилось бы в нуль и произведение, т. е. многочлен Математика примеры с решением. Однако Математика примеры с решением есть число положительное, а Математика примеры с решением при всяком значении Математика примеры с решением также есть число поло­жительное (или равное нулю— при Математика примеры с решением); значит, сумма Математика примеры с решением всегда есть число положительное и, следовательно, никогда в нуль не обращается.

Ниже предлагаются некоторые упражнения в разложении на множители расположенных многочленов, на­чиная с многочленов второй степени.

Многочлены с двумя буквами

Предположим, что наш многочлен содержит две бук­вы: Математика примеры с решением и Математика примеры с решением.

Степенью данного члена в этом многочлене называется сумма показателей при той и при другой букве.

Так, в многочлене Математика примеры с решением член Математика примеры с решением третьей степени, член Математика примеры с решением четвертой степени, член Математика примеры с решением первой степени, член Математика примеры с решением нулевой степени (свободный член), член Математика примеры с решением четвертой степени, член Математика примеры с решением третьей степени, член Математика примеры с решением четвертой степени, член Математика примеры с решением первой степени.

Чтобы упорядочить расположение членов (расположить по степеням двух букв), пишут обыкновенно, после приведения подобных членов, группами подряд все члены одной и той же степени таким образом, чтобы степени убывали от группы к группе; в пределах же каждой группы располагают члены таким образом, чтобы степени одной из букв (первой, например, буквы Математика примеры с решением) убывали, а степени другой (второй, например, буквы Математика примеры с решением) возрастали.

При соблюдении этого правила приведенный выше многочлен должен быть записан следующим образом: Математика примеры с решением.

Те члены, которые имеют наибольшую степень, называются старшими; их может быть несколько; они об­разуют первую группу.

Степенью многочлена называют степень старших членов.

В нашем примере имеется три старших члена; степень многочлена — четвертая.

Если все члены многочлена — одной и той же степени, то многочлен называется однородным: о «старшинстве» в этом случае не может быть речи. В предыдущем примере каждая из групп в скобках, взятая в отдельно­сти, есть однородный многочлен.

Буквенные коэффициенты

В данном алгебраическом выражении, составленном из нескольких букв, часто приходится выделять од­ну или две буквы и считать их главными, остальные же, не выделенные, буквы считать побочными (или параметрами). Выделение главных букв про­изводится большею частью с той целью, чтобы было видно, каким буквам предполагается давать различные числовые значения и какие можно рассматривать как имеющие (в пределах предложенной задачи) одно и то же неизменное значение.

Обыкновенно главные буквы берутся из конца ла­тинского алфавита» побочные — из начала или из се­редины.

При условии разделения букв на главные и побочные такие понятия, как «одночлен», «многочлен», «ко­эффициент» подвергаются обобщению. Именно:

Одночленом называют выражение, представляющее собою произведение множителя, не содержащего главных букв, и одного или нескольких множителей, являющихся главными буквами. При этом множитель, не содержащий главных букв, называется коэффициентом.

Многочленом называют алгебраическую сумму нескольких одночленов (в обобщенном смысле).

Например: считая главными буквы Математика примеры с решением и Математика примеры с решением, можно назвать одночленами такие выражения, как Математика примеры с решением; а коэффициентами здесь являются: Математика примеры с решением.

Выражение Математика примеры с решениемможно назвать многочленом относительно Математика примеры с решением и Математика примеры с решением.

Буквы же Математика примеры с решением и Математика примеры с решением являются параметрами.

Если выделены главные буквы, то счет степеней ведется исключительно по этим буквам (т. е. на параметры не обращают внимания). Итак, в нашем примере первый и второй члены — второй степени, третий — пер­вой, четвертый — нулевой (свободный член).

В том же примере можно было бы условиться считать главной лишь букву Математика примеры с решением, а букву Математика примеры с решением относить к числу параметров. Тогда наш многочлен был бы вто­рой степени относительно буквы Математика примеры с решением, но член — Математика примеры с решением был бы уже первой степени, с коэффициен­томМатематика примеры с решением.

Напротив, если считать главной лишь буквуМатематика примеры с решением, то тот же многочлен будет относительно Математика примеры с решением линейным (первой степени); тогда второй член Математика примеры с решением будет первой степени с коэффициен­том Математика примеры с решением, а прочие члены — свободными.

Соответственным образом обобщается и понятие «подобные члены». Так, в выражении (с главной буквой Математика примеры с решением) Математика примеры с решением члены Математика примеры с решением и Математика примеры с решением— подобные (т