Теория вероятностей задачи с решением и примерами

Оглавление:

Теория вероятностей задачи с решением

Прежде чем изучать готовые решения задач по теории вероятности, нужно знать теорию, поэтому для вас я подготовила краткую теорию по предмету «теория вероятностей», после которой подробно решены задачи.

Эта страница подготовлена для школьников и студентов.

Если что-то непонятно — вы всегда можете написать мне в WhatsApp и я вам помогу!

Введение в теорию вероятностей

Прежде чем переходить к строгим определениям основных понятий теории вероятностей, мы рассмотрим несколько простых и в то же время типичных ситуаций, призванных проиллюстрировать идейную сторону дальнейшего изложения.

Схема случаев

Потребность в теоретико-вероятностных методах, как правило, возникает в ситуации, когда исход изучаемого явления по тем или иным причинам не может быть однозначно спрогнозирован. Одной из простейших моделей такого сорта ситуаций может служить схема случаев. Под схемой случаев мы понимаем такую ситуацию, когда, во-первых, множество возможных исходов рассматриваемого эксперимента образует конечную совокупность, а во-вторых, каждый из исходов имеет такие же шансы на осуществление, как и любой другой. При этом предполагается, что исследуемое явление может наблюдаться в идентичных условиях неограниченное число раз — эксперимент обладает свойством повторяемости. Очевидно, что в этом случае шансы на осуществление того или иного исхода в каждом отдельно взятом эксперименте тем меньше, чем больше самих исходов, а шансы на осуществление какой-либо группы исходов пропорциональны количеству исходов в рассматриваемой группе.

Пример 1. Рассмотрим эксперимент, состоящий в подбрасывании монеты. Пренебрегая «нештатными» возможностями — монета стала на ребро, закатилась в щель, прилипла к потолку и т. п. — будем считать, что возможные исходы этого эксперимента — это выпадение герба или решетки (решки). Если предположить дополнительно, что монета является физически симметричной и что эксперимент производится «честно», то мы получим простейший пример схемы случаев с двумя равновозможными исходами. Заметим, что если монета несимметрична, то рассмотренный эксперимент схемой случаев в нашем понимании описан быть не может, так как исходы уже не будут обладать свойством равновозможности.

Пример 2. Пусть в урне лежит N физически идентичных шаров, пронумерованных от 1 до N. Эксперимент состоит в извлечении шара из урны, возможный исход однократного извлечения — любой номер от 1 до N. Если шары тщательно перемешаны и извлекаются из урны наугад, то мы имеем пример схемы случаев с N равновозможными исходами.

Вероятность исхода. Событие. Вероятность события

Для описания возможности осуществления того или иного исхода в схеме случаев введем количественную характеристику указанной возможности — вероятность исхода, которую определим как величину, обратно пропорциональную общему количеству N равновозможных при однократном проведении эксперимента исходов:

Теория вероятностей


где к — некоторый коэффициент пропорциональности

Для того чтобы понять, каким он должен быть, введем понятие события, которое может (или не может) осуществляться в эксперименте:

Событием в эксперименте, описываемом схемой случаев, назовем любую совокупность исходов рассматриваемого эксперимента.

Мы будем говорить, что событие осуществилось, если в результате однократного проведения эксперимента реализовался один из составляющих это событие исходов.

Пример 3. Рассмотрим эксперимент, состоящий в извлечении ровно одной карты из тщательно перетасованной колоды, содержащей 36 карт. Этот эксперимент может быть описан схемой случаев с 36 равновозможными исходами.

Примерами событий в рассматриваемой ситуации могут служить следующие:
Теория вероятностей = {извлеченная карта имеет масть пик}. Это событие состоит из всех (9) пиковых карт. Оно осуществляется (происходит) в эксперименте, если мы извлекли из колоды любую пиковую карту.
— Десятка = {извлеченная карта — десятка}. Это событие состоит из всех (4) карт с изображением десятки. Оно происходит, если мы извлекли из колоды любую десятку.
— Картинка = {извлеченная карта — валет, дама, король или туз}.

Если у нас есть пара событий А и В, то можно сконструировать из них новые события, пользуясь следующими простыми правилами действий:

Суммой двух событий А и В назовем событие, происходящее, если происходит либо событие А, либо событие В, либо оба эти события одновременно. Легко понять, что сумма событий составляется из всех исходов входящих либо в А, либо в В, при этом общие исходы (т. е. входящие одновременно и в Л, и в В) входят в сумму однократно.

Обозначение для суммы: A U В.

Пример 4. В описанном выше эксперименте с извлечением одной карты из 36-листовой колоды суммой событий А = {извлеченная карта масти пик} = {6Теория вероятностей,…, ТТеория вероятностей} и В = {извлеченная карта — король} = {КТеория вероятностей, КТеория вероятностей, КТеория вероятностей, КТеория вероятностей} будет событиеТеория вероятностей, состоящее в извлечении карты масти пик или любого короля.

Совмещением (произведением) двух событий А и В назовем событие, происходящее, если события Л и В осуществляются одновременно.

Совмещение событий состоит из всех общих для событий А и В исходов.

Обозначение для совмещения: Теория вероятностей Чаще всего знак совмещения Теория вероятностей опускают, обозначая совмещение событий А • В = АВ.

Если у событий отсутствуют общие исходы, то такие события вместе не происходят. Они называются несовместными. При сложении несовместных событий обычно используется значок «+» вместо значка объединения Теория вероятностей — сумма обозначается в этом случае как А + В.

Пример 5. В описанном выше эксперименте совмещением событий А и В будет событие, состоящее в извлечении короля пик.

Здесь же события Теория вероятностей и Теория вероятностей — несовместны.

Отрицанием события А или событием, противоположным событию А, назовем событие, происходящее, когда событие А не происходит. Отрицание (противоположное событие) состоит из всех тех исходов эксперимента, которые не входят в А.

Обозначение для отрицания (противоположного события): Теория вероятностей

Пример 6. В описанном выше эксперименте отрицанием события В будет событие, состоящее в извлечении любой карты, не являющейся королем.

Рассмотрим теперь событие, которое в дальнейшем будем обозначать буквой Теория вероятностей, составленное из всех исходов рассматриваемого эксперимента. Очевидно, что при любой реализации эксперимента какой-нибудь исход обязательно осуществится, а следовательно, осуществится событие Теория вероятностей, что дает основание назвать это событие достоверным. Оно происходит всегда, когда проводится эксперимент. Пополним множество возможных в рассматриваемом эксперименте событий событием невозможным, которое в данном эксперименте не происходит. Невозможное событие будем обозначать символом Теория вероятностей.

Легко понять, что если мы имеем дело со схемой случаев с N равновозможными исходами, то общее количество всех событий в рассматриваемом эксперименте равно Теория вероятностей.

◄ Действительно, событий, состоящих ровно из одного исхода, будет N, из двух исходов — Теория вероятностей, и вообще, событий, состоящих из S исходов, будет Теория вероятностей. Таким образом, число возможных событий равно

Теория вероятностей

если добавить теперь к этому количеству еще одно — невозможное — событие, получим искомый результат, так как известно, что

Теория вероятностей

откуда и следует искомое. ►

Отметим несколько очевидных соотношений:

Теория вероятностей

Естественно под вероятностью события понимать величину, пропорциональную количеству входящих в него исходов — если некоторое событие составлено S исходами, то его вероятность положим равной

Теория вероятностей

При этом ясно, что чем больше исходов входят в событие (говорят — благоприятствуют осуществлению события), тем больше шансы на его осуществление, как следствие — тем больше его вероятность. Все события, осуществляющиеся в эксперименте, с точки зрения шансов на осуществление естественно располагаются между невозможным и достоверным событиями.

Вероятность невозможного события положим равной нулю, отмечая тем самым, что шансов на осуществление невозможного события нет.

Вероятность достоверного события может быть принята равной любому положительному числу — никаких запретов или ограничений на это значение нет. Так как достоверное событие включает все возможные исходы, то его вероятность больше вероятности любого другого события в этом эксперименте и равна, в силу (2), сумме вероятностей всех исходов, т. е. Теория вероятностейТаким образом, коэффициент пропорциональности в соотношении (1) равен вероятности достоверного события.

Поскольку выбор значения вероятности достоверного события не влияет на содержательную сторону описания возможности осуществления того или иного исхода в схеме случаев, а меняет только масштаб шкалы измерения вероятностей, положим

Теория вероятностей

и, тем самым, завершим определение вероятностей исхода и события в схеме случаев.

Суммируя вышеизложенное, еще раз отметим, что все события, происходящие в эксперименте, могут быть естественным образом ранжированы в соответствии с их шансами на осуществление при однократной реализации эксперимента. В этой ранжировке они располагаются между невозможным событием, которое не происходит никогда, и достоверным, которое реализуется всегда, когда реализуется эксперимент.

Мерой осуществимости любого события А выступает его вероятность, определяемая как отношение количества S благоприятствующих осуществлению события исходов к общему числу N всех возможных исходов:

Теория вероятностей

Отметим некоторые свойства вероятности события в схеме случаев.

1. Вероятность любого события, происходящего в рассматриваемом эксперименте, задается положительным числом, заключенным в пределах между 0 и 1

Теория вероятностей

2. Если события А и В — несовместны, то вероятность суммы равна сумме вероятностей

Теория вероятностей

в частности, справедлив так называемый принцип дополнительности

Теория вероятностей

Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих технику нахождения вероятностей событий в схеме случаев.

Пример 7. Пусть в урне лежит m+n физически идентичных шаров, окрашенных соответственно в белый (n шаров) и черный (m шаров) цвета. Эксперимент состоит в извлечении из урны одного шара. Найдем вероятность извлечения шара белого цвета

Теория вероятностей Поскольку всего возможных исходов N = m + n, а благоприятствующих извлечению белого шара — п, то искомая вероятность дается отношением n/(m + n). ►

Пример 8. В условиях предыдущего примера производится извлечение двух шаров. Какова вероятность того, что оба извлеченных шара — белые? Извлечены разноцветные шары?

Теория вероятностей Ответ на первый вопрос задачи может быть получен, например, с помощью следующих рассуждений.

Всего различных пар шаров из урны, содержащей m + n физически идентичных шаров, можно составить Теория вероятностей, так что можно считать, что всего различных исходов в рассматриваемом эксперименте Теория вероятностей. В то же время количество пар белых шаров дается числом Теория вероятностей, откуда искомая вероятность равна

Теория вероятностей

Аналогичные соображения для второго вопроса дают.

Теория вероятностей

Заметим, что рассматриваемый эксперимент — извлечение пары шаров — эквивалентен двукратному последовательному извлечению шаров из урны.

Пример 9. В условиях предыдущего примера производится последовательное извлечение двух шаров с возвращением каждого извлеченного шара обратно в урну. Какова вероятность того, что оба извлеченных шара — белые’ Извлечены разноцветные шары?

Теория вероятностей В отличие от предыдущей ситуации, общее количество возможных исходов в рассматриваемом эксперименте будет уже равно Теория вероятностей, а количество S исходов, благоприятствующих интересующему нас событию (оба шара — белые) — Теория вероятностей, и, следовательно, искомая вероятность равна

Теория вероятностей

Аналогичные рассуждения для второго вопроса дают:

Теория вероятностей

Пример 10. Ребенок, играя с четырьмя карточками разрезной азбуки, на которых изображены буквы А, А, М, М, случайным образом выкладывает их в ряд. Какова вероятность того, что у него получится слово МАМА?

Теория вероятностей Предполагая, что все возможные расстановки четырех карточек в ряд равновозможны, получаем схему случаев с общим количеством исходов N = 4! = 24. Количество исходов, благоприятствующих интересующему нас событию, равно S = 4, откуда искомая вероятность равна 4/24 =1/6. ►

Пример 11. Студент подготовил к экзамену 40 из 50 вопросов, охватывающих программу изученного курса. На экзамене ему предлагается дать ответ на два случайным образом выбранных из общего списка вопроса. Какова вероятность того, что студент знает ответ на оба предложенных ему вопроса?

Теория вероятностей Легко видеть, что всего различных вариантов выбора пары различных вопросов из общего списка, содержащего 50 вопросов, будет Теория вероятностей. Интересующее нас событие состоит из таких пар вопросов, оба из которых известны студенту. Их количество Теория вероятностей Таким образом, искомая вероятность дается отношением

Теория вероятностей

Пример 12. В урне лежит всего 10 черных и белых шаров. Из урны извлекают без возвращения пару шаров. Известно, что вероятности извлечения одноцветных шаров относятся как 2 : 5. Можно ли по этим данным установить состав шаров в урне?

Теория вероятностей Пусть в урне лежит п белых (черных) (соответственно, 10 — n черных (белых)) шаров. Тогда вероятность извлечения из урны пары белых (черных) шаров будет равна

Теория вероятностей

аналогично, пары черных (белых) шаров

Теория вероятностей

Из условия задачи следует

Теория вероятностей

откуда для n получаем уравнение

Теория вероятностей

единственное целое положительное решение (n = 4) которого дает ответ — в урне возможно наличие 4 белых и 6 черных, либо 4 черных и 6 белых шаров. ►

Пример 13. В урне лежит некоторое количество белых и черных шаров, так что вероятность извлечения пары белых шаров равна 0,5. Какое минимально возможное количество шаров находится в урне? Каков при этом состав шаров в урне?

Теория вероятностей Пусть в урне лежит всего N шаров, из которых n < N — белые. Вероятность извлечения пары белых шаров (см. предыдущий пример) дается соотношением

Теория вероятностей

и условие задачи приводит к уравнению, связывающему N и n

Теория вероятностей

Учитывая, что величины n и N — целые положительные числа, удовлетворяющие условию n < N, выразим из этого соотношения п через N

Теория вероятностей

и, придавая величине N последовательно значения 1, 2,… , найдем, что наименьшее значение N, при котором n — целое положительное, равняется 4. Значение n при этом равно 3. ►

Пример 14. Среди выпущенных N лотерейных билетов n — выигрышных. Некто приобрел r < N — n лотерейных билетов. Какова вероятность того, что среди них по крайней мере один выигрышный?

Теория вероятностей Заметим, что событие А = {среди приобретенных r билетов по крайней мере один выигрышный} противоположно событию Теория вероятностей= {среди приобретенных r билетов выигрышных нет}. Для решения задачи воспользуемся принципом дополнительности: Теория вероятностей

Найдем вероятность Теория вероятностей. Всего возможных исходов (т. е. различных наборов из r лотерейных билетов) Теория вероятностей, среди них таких, которые не содержат ни одного выигрышного билета —Теория вероятностей. Для вероятности Теория вероятностей получаем

Теория вероятностей

откуда искомая вероятность дается соотношением

Теория вероятностей

Пример 15. Среди выпущенных N лотерейных билетов n — выигрышных. Некто приобрел r < min{n, N — n} лотерейных билетов. Какова вероятность того, что среди них ровно k выигрышных?

Теория вероятностей Как и выше, всего возможных исходов (т. е. различных наборов из r лотерейных билетов) будет Теория вероятностей. Набор, содержащий ровно k выигрышных билетов, образуется в результате объединения любых k выигрышных билетов с любыми r — k невыигрышными. Количество различных наборов из к выигрышных билетов равно Теория вероятностей, количество различных наборов из r — k невыигрышных билетов равно Теория вероятностей. Следовательно, количество различных комбинаций из выигрышных и невыигрышных билетов дается числом Теория вероятностей, а искомая вероятность равна

Теория вероятностей

Геометрические вероятности

Другая схема описания экспериментов с неоднозначно прогнозируемыми исходами, которая позволяет довольно просто ввести количественную характеристику осуществимости того или иного события — это схема геометрических вероятностей, которая , как и рассмотренная выше схема случаев, эксплуатирует идею о равновозможности исходов эксперимента.

Аналогично тому, как это было проделано в схеме случаев, количественная характеристика осуществимости события — его вероятность — определяется как нормированная некоторым образом величина, пропорциональная запасу исходов, благоприятствующих осуществлению события.

Пусть множество исходов исследуемого эксперимента может быть описано как множество Теория вероятностей точек некоторого «геометрического континуума» — каждому исходу соответствует некоторая точка и каждой точке отвечает некоторый исход. В качестве «геометрического континуума» Теория вероятностей может выступать отрезок на прямой, дуга спрямляемой кривой на плоскости или в пространстве, квадрируемое множество на плоскости (треугольник, прямоугольник, круг, эллипс и т. п.) или часть квадрируемой поверхности, некоторый объем в пространстве (многогранник — призма, пирамида, шар, эллипсоид и т. п.)

Событием назовем любое квадрируемое подмножество множества Теория вероятностей.

Как и в схеме случаев, событие состоит из точек-исходов, однако уже не любая совокупность исходов образует событие, атолькотакая, меру которой (длину, площадь, объем) мы можем измерить.

Предполагая равновозможность исходов, назовем вероятностью события А число, пропорциональное мере подмножества А множества Теория вероятностей:

Теория вероятностей

Если Теория вероятностей — событие, невозможное в данном эксперименте, a Теория вероятностей — достоверное, то положим Теория вероятностейВероятность любого события А будет при этом заключена между нулем — вероятностью события невозможного, и единицей — вероятностью события достоверного. Условие нормировки позволяет найти константу k — коэффициент пропорциональности, задающий вероятность. Он оказывается равен Теория вероятностей.

Таким образом, в схеме геометрических вероятностей вероятность любого события определяется как отношение меры подмножества А, описывающего событие, к мере множества Теория вероятностей, описывающего эксперимент в целом:

Теория вероятностей

Отметим некоторые свойства так определенной вероятности:

  1. Теория вероятностей
  2. Если Теория вероятностей

◄ Свойство очевидно следует из того обстоятельства, что множество, содержащееся внутри другого, не может быть больше последнего. ►

Как и в схеме случаев, события в схеме геометрических вероятностей можно объединять, совмещать и строить на их основе противоположные — при этом будут получаться, вообще говоря, отличные от исходных события. Следующее свойство весьма важно.

Если события А и В — несовместны, то Р(А U В) = Р(А)+Р(В), в частности, справедлив принцип дополнительности: Теория вероятностей

◄ Это свойство, называемое обычно правилом сложения вероятностей, очевидно следует из аддитивности меры. ►

В заключение отметим, что вероятность осуществления любого исхода в схеме геометрических вероятностей всегда равна нулю, равно как равна нулю вероятность любого события, описываемого «тощим» множеством точек, т. е. множеством, мера которого (соответственно — длина, площадь, объем) равна нулю.

Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих вычисление вероятностей в схеме геометрических вероятностей.

Пример 1. Эксперимент состоит в случайном выборе точки из отрезка [а, b]. Найти вероятность того, что выбрана точка, лежащая в левой половине рассматриваемого отрезка.

◄ По определению, вероятность выбора точки из любого множества на отрезке [а, b] пропорциональна длине этого множества. Следовательно, искомая вероятность равна 0,5:

Теория вероятностей

Пример 2. Эксперимент состоит в случайном выборе точки Теория вероятностей из квадрата Теория вероятностей Какова вероятность того, что уравнение

Теория вероятностей

имеет действительные корни? Равные корни?

Теория вероятностей Хорошо известно, что у квадратного уравнения корни действительны, если его дискриминант неотрицателен. В рассматриваемом случае дискриминант D дается соотношением

Теория вероятностей

и будет неотрицателен, если Теория вероятностей удовлетворяют условию

Теория вероятностей

т е если точка Теория вероятностей будет выбрана из множества А, являющегося пересечением квадрата К и множества точек, описываемого вышеприведенными условиями (рис. 1).

Теория вероятностей

Следовательно, для искомой вероятности получаем:

Теория вероятностей

Далее, корни квадратного уравнения совпадают, если D = 0. Этому значению дискриминанта отвечает отрезок оси Теория вероятностей от — 1 до +1 и отрезок биссектрисы первого и третьего координатного угла, лежащий внутри квадрата К (рис. 1). Легко понять, что площадь этого множества точек равна нулю и, следовательно, вероятность совпадения корней рассматриваемого уравнения равна нулю. ►

Следующий пример является классическим и призван проиллюстрировать то простое соображение, что понятие «случайности» не является очевидным и одинаково понимаемым всеми, а потому должно быть, вообще говоря, аккуратно формализовано, иначе использование вероятностных соображений может привести к недоразумениям.

Пример 3. В круге радиуса R случайным образом выбрана хорда. Какова вероятность того, что длина этой хорды больше радиуса?

◄ В первую очередь следует понять, что значит хорда выбрана случайно.

1. Поскольку длина хорды однозначно определяется расстоянием этой хорды от центра круга, то одна из возможных интерпретаций случайного выбора может выглядеть так:

Случайный выбор хорды эквивалентен случайному выбору точки на диаметре круга.

Длина хорды, находящейся на расстоянии d от центра, равна Теория вероятностей, и для того чтобы длина хорды превышала длину радиуса круга, нужно, чтобы выбранная точка была расположена от центра круга на расстоянии, не превышающем Теория вероятностей (рис. 2)

Поэтому искомая вероятность раана

Теория вероятностей
Теория вероятностей

2. Всякая хорда может быть задана парой точек на окружности, являющихся ее концами. Поэтому другая интерпретация случайного выбора хорды может быть сформулирована так.

Случайный выбор хорды эквивалентен случайному выбору пары точек на дуге окружности.

Теория вероятностей

Выбирая на окружности начало отсчета и задавая направление обходе (например, против часовой стрелки), пометим положение любой точки на окружности ее координатой, меняющейся в пределах от 0 до Теория вероятностей. Множество хорд может быть описано множеством упорядоченных пар чисел (x, у), Теория вероятностей — координат начала и конца каждой из хорд (рис. 3, слева). Это множество на плоскости координат (x, у) изображается треугольником ОАВ (рис. 3, справа). Понятно, что длина хорды будет больше радиуса, если координаты начала и конца хорды удовлетворяют условиям

Теория вероятностей

Последние могут быть записаны одним двойным неравенством

Теория вероятностей

Множество точек (х,у), удовлетворяющих этому условию, заштриховано на рис. 3 (справа). Теперь легко находим

Теория вероятностей

и искомая вероятность равна

Теория вероятностей

что отличается от результата, полученного выше. ►

Условные вероятности. Взаимное влияние и независимость

Информация о реализации некоторого события в эксперименте может менять наши представления о шансах на осуществление других событий.

Пример 1. Пусть в эксперименте с бросанием симметричной монеты рассматриваются события Г — выпадение герба и Р — выпадение решки. Очевидно, что если нам известно: выпал герб, т. е. осуществилось событие Г, то осуществление события Р — выпадение решки в этом эксперименте невозможно.

Пример 2. Если в эксперименте с извлечением карты извлечена карта КТеория вероятностей, то очевидно, что одновременно осуществились события Теория вероятностей = {извлечена карта масти пик} и К = {извлечен король}. Другими словами, осуществление события КТеория вероятностей влечет за собой осуществление и этих событий.

Но, конечно, может оказаться и так, что осуществление одного из событий в эксперименте ничего не говорит нам об осуществлении или неосуществлении другого, точнее, не меняет наших представлений о шансах на его осуществление.

Пример 3. Рассмотрим эксперимент, состоящий в двукратном извлечении шаров из урны с последующим возвращением извлеченного шара обратно в урну. Пусть в урне лежит N = m + n соответственно черных (m) и белых (n) шаров. Рассмотрим события: А — шар, извлеченный первым, белый, В — шар, извлеченный вторым, белый. Поскольку после каждого извлечения шар возвращается в урну, то ясно, что зависимости между этими событиями нет.

Из общих соображений понятно, что при условии осуществления одного из событий шансы на осуществление другого должны быть пропорциональны запасу их общих исходов — чем значительнее общая часть рассматриваемых событий, тем выше должны быть шансы на осуществление одного из них, в предположении, что другое произошло.

Введем соответствующее формальное понятие.

Условной вероятностью осуществления события А относительно события В назовем число

Теория вероятностей

где Теория вероятностей —запас исходов эксперимента, благоприятствующих осуществлению соответственно событий Теория вероятностей

Пусть событие В фиксировано и таково, что Р(В) > 0. Тогда условная вероятность обладает следующими очевидными свойствами:

1. Теория вероятностей

2. Если события А и В — несовместны, то Р(А|В) = 0, если же события А и В таковы, что В составляет часть А, то Р(А|В) = 1, в частности Р(В|В) = 1.

3. Для условных вероятностей справедливо правило сложения

Теория вероятностей

если только события Ai и А2 несовместны.

Таким образом, условная вероятность обладает всеми свойствами вероятности и описывает шансы на осуществление события А при уже происшедшем событии В. Очевидно, что, вообще говоря, Теория вероятностей

Сразу же заметим, что условная вероятность может быть вычислена как отношение вероятности совместного осуществления событий А и В к вероятности события-условия В:

Теория вероятностей

Из последнего соотношения следует правило умножения вероятностей

Теория вероятностей

справедливое для событий с положительной вероятностью.

Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих введенное понятие.

Пример 4. Из урны, содержащей n белых и m черных шаров, извлекают без возвращения пару шаров. Какова вероятность извлечь вторым черный шар, если известно, что первым был извлечен черный?

Теория вероятностей Очевидно, что если первым был извлечен черный шар, то в урне осталось всего n+m— 1 шаров, m — 1 среди которых черных m — 1. Поэтому искомая вероятность равна Теория вероятностей

Пример 5. Эксперимент состоит в случайном выборе точки из квадрата Теория вероятностей. Найти вероятность того, что первая координата точки не превышает 0,5, если известно, что выбрана точка, лежащая выше биссектрисы первого и третьего координатных углов (рис. 4).

◄ Из рисунка легко усмотреть, что вероятность события В = {выбрана точка, лежащая выше биссектрисы} равна 0,5, а вероятность совместного осуществления событий В и Теория вероятностейТеория вероятностей. Отсюда для искомой вероятности получаем: Р(A|В) = 3/4. ►

Теория вероятностей

Понятие условной вероятности позволяет ввести также количественную меру, характеризующую степень влияния одного из событий на другое.

Будем говорить, что событие А не зависит от события В, если осуществление события А не меняет вероятности осуществления события В, т. е. если условная вероятность Р(А|В) совпадает с безусловной Р(А):

Теория вероятностей

В противном случае будем говорить, что событие А зависит от В.

Сразу же отметим, что понятия зависимости-независимости, несмотря на явную несимметричность определения, носят взаимный характер — если событие А зависит (не зависит) от события В, то и событие В зависит (не зависит) от события А.

◄ Действительно, пусть событие А не зависит от события В. Рассмотрим

Теория вероятностей

но, в силу независимости, Р (А|В) = Р (A), откуда и следует независимость В от А. ►

В случае независимых событий правило умножения вероятностей принимает особенно простой вид: вероятность совместного осуществления двух событий равна произведению их вероятностей:

Теория вероятностей

Соотношение (5) может быть принято в качестве определения независимости.

Нижеследующие примеры иллюстрируют использование правила умножения при вычислении вероятностей событий.

Пример 6. Из урны, содержащей п белых и т черных шаров, извлекают три шара. Какова вероятность того, что среди извлеченных есть хотя бы один белый шар?

◄ Заметим, что интересующее нас событие А противоположно событию — все извлеченные шары черные. В соответствии с принципом дополнительности Теория вероятностей Вероятность события Теория вероятностей найдем, воспользовавшись тем, что Теория вероятностей, где события Теория вероятностей означают, что шар, извлеченный і-м — черный. В соответствии с правилом умножения получаем

Теория вероятностей

Для вероятностей, участвующих в этом соотношении, легко получаем

Теория вероятностей

откуда ответ

Теория вероятностей

Пример 7. В круге радиуса R случайным образом независимо друг от друга выбрано N точек. Найти вероятность того, что расстояние от центра круга до ближайшей из них будет не менее r.

◄ Ясно, что если ближайшая из точек находится от центра на расстоянии не меньшем r, то и все прочие будут находиться от центра на не меньшем расстоянии.

Вероятность того, что случайная в круге точка находится от центра на расстоянии не меньшем r, дается отношением

Теория вероятностей

В соответствии с правилом умножения (5), искомая вероятность равна

Теория вероятностей

Пример 8. Некто забыл последнюю цифру номера телефона и набирает ее наугад. Какова вероятность того, что он дозвонится до нужного абонента не более чем за три попытки?

◄ Воспользуемся принципом дополнительности — противоположным рассматриваемому событию А будет событие Теория вероятностей, состоящее в том, что первые три попытки дозвониться до нужного абонента оказались безуспешными. Последовательные попытки дозаониться до нужного абонента Теория вероятностей — зависимые события, так как однажды набранная и не принесшая успеха цифра в дальнейшем уже не набирается. Применим прааило умножения (4):

Теория вероятностей

Для сомножителей очевидно имеем

Теория вероятностей

Отсюда

Теория вероятностей

и для искомой вероятности получаем Теория вероятностей

Пример 9. Исследовать связь между темным цветом глаз у отца (событие Теория вероятностей) и сына (событие Теория вероятностей) на основании следующих данных, полученных при переписи населения Англии и Уэльса в 1891 году.

Темноглазые отцы и темноглазые сыновья Теория вероятностей составляли 5% среди всех обследованных, темноглазые отцы и светлоглазые сыновья Теория вероятностей — 7,9%, светлоглазые отцы и темноглазые сыновья Теория вероятностей — 8,9%, светлоглазые отцы и светлоглазые сыновья Теория вероятностей — 78,2%.

◄ Для оценки исследуемой связи найдем условные вероятности Теория вероятностей и сравним их с соответствующей безусловной Теория вероятностей.

По определению имеем

Теория вероятностей

Условия задачи дают основания для следующей оценки вероятностей

Теория вероятностей

Поскольку очевидно, что Теория вероятностей, постолькуТеория вероятностей Отсюда

Теория вероятностей

В то же время Теория вероятностей. Сравнивая значения условной и безусловной вероятностей, делаем заключение о наличии связи между темным цветом глаз у отца и темным цветом глаз у сына — у темноглазых отцов темноглазые сыновья встречаются почти втрое чаще, чем вообще среди обследованных. Заметим, между прочим, что светлоглазые сыновья у темноглазых отцов встречаются примерно а 6 случаях из Теория вероятностей

Подсчитаем теперь вероятность Теория вероятностей. Рассуждения, аналогичные вышеприведенным, дают:

Теория вероятностей

Заключаем, что светлоглазые отцы, вообще говоря, могут иметь темноглазых сыновей, однако значительно реже, чем светлоглазых — примерно в одном случае из 10 у светлоглазых отцов темноглазые сыновья и, соответственно, в 9 случаях из 10 — светлоглазые. ►

Формула полной вероятности

Введенные в предыдущем разделе понятия условной вероятности и независимости событий позволяют получить простое соотношение, облегчающее вычисление вероятностей в многоальтернативных ситуациях — когда событие, вероятность которого отыскивается, может происходить совместно с другими событиями, относительно которых подсчет вероятностей интересующего нас события оказывается по каким-то причинам проще. Это соотношение носит название формулы полной вероятности.

Пусть события Теория вероятностей имеют ненулевую вероятность, несовместны и вместе исчерпывают все возможные исходы эксперимента:

Теория вероятностей
Теория вероятностей

Совокупность событий, обладающих перечисленными свойствами, задает альтернативное разбиение множества всех исходов эксперимента и обычно называется полной группой несовместных событий.

Если А — некоторое событие, то очевидно, что разбиение эксперимента, задаваемое полной группой событий Теория вероятностей задает и разбиение множества исходов, образующих событие А (рис. 5):

Теория вероятностей

(при этом, конечно, некоторые слагаемые в приведенной сумме могут оказаться невозможными событиями).

Поскольку события Теория вероятностей — несовместны, то и события Теория вероятностейТеория вероятностей — также несовместны, и по правилу сложения заключаем, что

Теория вероятностей

Правило же умножения (4) позволяет вычислить каждое из слагаемых

Теория вероятностей

Объединяя два последних соотношения, получаем искомую формулу

Теория вероятностей

Пример 1. На книжной полке стоит два десятка книг, из которых 4 уже прочитаны хозяином, а оставшиеся еще нет Хозяин выбирает случайным образом книгу и читает (или перечитывает) ее, после чего ставит обратно на полку После этого он выбирает наугад очередную книгу. Какова вероятность того, что вновь выбранная книга еще не была прочитана?

◄ Рассуждения выглядят следующим образом пусть Теория вероятностей — событие, состоящее в том, что первая книга читанная, Теория вероятностей — нечитанная, А — вновь выбранная книга еще не была прочитана

Легко установить, что имеют место следующие соотношения

Теория вероятностей

и формула (6) для искомой вероятности дает

Теория вероятностей

Пример 2. На перегоне между двумя остановками в автобусе едут 3 пассажира, каждый из которых, независимо от прочих, с вероятностью 0,1 покидает автобус на ближайшей остановке. На этой остановке ожидают транспорт 3 пассажира, каждый из которых, независимо от прочих ожидающих, садится в подошедший автобус с вероятностью 0,3. Какова вероятность того, что после отправления с этой остановки количество пассажиров в салоне автобуса не изменится?

Теория вероятностейОчевидно, что количество пассажиров в салоне автобуса останется неизменным, если количество вышедших будет равно количеству вошедших.

Пусть события Теория вероятностей состоят соответственно в том, что в автобус не сел никто, сел ровно один, два или три пассажира, событие А — количество пассажиров в салоне автобуса не изменилось. По формуле полной вероятности получаем

Теория вероятностей

Учитывая независимость посадки пассажиров в автобус, легко находим

Теория вероятностей

Заметим, что условные вероятности Теория вероятностей есть вероятности того, что из автобуса вышло на остановке ровно г пассажиров.

Теория вероятностей

Окончательно

Теория вероятностей

Формула полной вероятности вместе с формулой условной вероятности позволяет выносить некие суждения о «правдоподобности» гипотез:

Если событие А может происходить в эксперименте совместно с одним из альтернативных событий Теория вероятностей и в результате эксперимента это событие осуществилось, то можно попытаться ответить на вопрос — с каким именно из событий Теория вероятностей оно произошло вместе. Для этого оценим условную вероятность события (гипотезы) Теория вероятностей при условии, что событие А реализовалось:

Теория вероятностей

В соответствии с правилом умножения, вероятность, стоящая в числителе, дается выражением Теория вероятностей, а стоящая в знаменателе может быть подсчитана с помощью формулы полной вероятности (6), что дает

Теория вероятностей

Сравнивая вероятностиТеория вероятностей для различных значений i, будем считать ту из гипотез наиболее вероятной, для которой эта вероятность наибольшая.

Формула (7) называется формулой Бейеса, вероятности Теория вероятностейаприорными, т. е. доопытными вероятностями, вероятности Теория вероятностейапостериорными, т. е. послео-пытными вероятностями.

Пример 3. Из урны, в которой находится 4 белых и 6 черных физически идентичных шаров, извлекли наугад один швр и положили его в урну, содержащую 5 белых и 4 черных шаров. Случайно извлеченный из второй урны шар оказался черным. Что более вероятно — из первой урны был извлечен черный шар или белый?

◄ Пусть событие Теория вероятностей состоит в том, что из первой урны извлечен белый шар, Теория вероятностей — из первой урны извлечен черный шар, Ч — из второй урны извлечен черный шар.

Очевидно, что

Теория вероятностей

Для оценки апостериорной вероятности Теория вероятностей воспользуемся формулой (7):

Теория вероятностей

Полученный результат позволяет считать гипотезу о том, что из первой урны был извлечен белый шар менее предпочтительной в сравнении с гипотезой, предполагающей извлечение из первой урны черного шара. ►

Для содержательного заключения о правдоподобности той или иной гипотезы важно, чтобы рассматриваемые события были действительно случайными в контексте рассматриваемых проблем. В противном случае выводы могут оказаться неадекватными реальному положению дел.

Пример 4. В одном из телевизионных шоу ведущий предлагает игроку выбрать один из стоящих перед ним ларцов, предупреждая, что только в одном из ларцов заключен ценный приз (скажем, ключи от автомобиля). После того как игрок произвел выбор, ведущий открывает один из оставшихся ларцов и, демонстрируя, что в нем ничего нет, предлагает игроку еще раз подумать и, если захочется, изменить свое решение — выбрать оставшийся ларец, вместо того, который был выбран первоначально. Имеет ли смысл игроку менять свое решение?

Теория вероятностей Ответ на вопрос задачи зависит от того, случаен или нет выбор ведущим одного из ларцов для демонстрации его содержимого.

Пусть выбор ведущего случаен. Обозначим через Теория вероятностей событие, состоящее в том, что ларец, выбранный игроком, содержит приз, через Теория вероятностей — что он приза не содержит, через А — что ларец, выбранный ведущим, пуст. Тогда по формуле полной вероятности заключаем, что

Теория вероятностей

А формула Бейеса (7) дает следующую оценку, например, для вероятности Теория вероятностей:

Теория вероятностей

и, следовательно, в этом случае игроку нет нужды менять свой выбор, так как шансы его на получение приза одинаковы, остановится ли он на своем первоначальном выборе или сменит его.

2. Пусть выбор ведущего не случаен, и он, зная где лежит приз, всегда открывает для всеобщего обозрения ларец, приза не содержащий, т. е. событие А не является случайным и происходит с вероятностью 1 В этом случае по формуле условной вероятности заключаем, что

Теория вероятностей

и в двух случаях из трех игроку выгоднее изменить свой выбор, чем настаивать на первоначальном ►

Теория вероятностей

Теория вероятностей – это математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений.

Теория вероятностей — раздел математики, в котором изучаются общие закономерности случайных явлений массового характера независимо от их конкретной природы. Она разрабатывает методы количественной оценки влияния случайных факторов на различные явления. Знание этих закономерностей позволяют предвидеть, как эти события будут протекать в реальном опыте.

Элементы комбинаторики

Пусть дано множество Теория вероятностей задачи с решением, состоящее из Теория вероятностей задачи с решением элементов

Теория вероятностей задачи с решением

Перестановками на множестве из Теория вероятностей задачи с решением элементов называются всякие упорядоченные множества, состоящие из этих Теория вероятностей задачи с решением элементов. Количество всех перестановок на множестве из Теория вероятностей задачи с решением элементов обозначается Теория вероятностей задачи с решением и определяется по формуле

Теория вероятностей задачи с решением

Таким образом, перестановки одинаковы по составу элементов, но различаются порядком их перечисления.

Размещениями на множестве из Теория вероятностей задачи с решением элементов по Теория вероятностей задачи с решением элементов называются всякие упорядоченные подмножества, состоящие из Теория вероятностей задачи с решением элементов. Два различных размещения отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число размещений на множестве из Теория вероятностей задачи с решением элементов по Теория вероятностей задачи с решением элементов обозначается Теория вероятностей задачи с решением и определяется формулой

Теория вероятностей задачи с решением

Сочетаниями из Теория вероятностей задачи с решением различных элементов но Теория вероятностей задачи с решением элементов называется подмножество, состоящее из Теория вероятностей задачи с решением элементов, каждый из которых встречается один раз. Два различных сочетания отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний па множестве из Теория вероятностей задачи с решением элементов по Теория вероятностей задачи с решением элементов обозначается Теория вероятностей задачи с решением и определяется формулой

Теория вероятностей задачи с решением

Если среди Теория вероятностей задачи с решением элементов одного вида есть Теория вероятностей задачи с решением, второго вида — Теория вероятностей задачи с решением и т.д., то, поменяв местами элементы одного вида, получим ту же перестановку. Поэтому число перестановок с повторениями определяется формулой

Теория вероятностей задачи с решением

где

Теория вероятностей задачи с решением

Число размещений на множестве из Теория вероятностей задачи с решением элементов по Теория вероятностей задачи с решением элементов с повторениями определяется формулой

Теория вероятностей задачи с решением

Возможно эта страница вам будет полезна:

Предмет теория вероятностей и математическая статистика

Задача №1

Имеется множество, состоящее из 5 цифр Теория вероятностей задачи с решением. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из этих цифр?

Решение:

Так как пятизначные числа отличаются только порядком следованием цифр в числе, то количество различных пятизначных чисел будет равно количеству перестановок на множестве из 5 элементов

Теория вероятностей задачи с решением

Задача №2

Студентам нужно сдать пять экзаменов за 20 дней. Сколькими способами можно составит ь расписание экзаменов.

Решение:

Расписание определяется датами (пять дат) проведения экзаменов и последовательностью дисциплин, по которым они проводятся. Поэтому число различных вариантов расписаний экзаменов будет равно количеству размещений па множестве из 20 элементов по 5 элементов

Теория вероятностей задачи с решением

Задача №3

Из команды, состоящей из 10 человек, выбирают 4 кандидатов для эстафеты 4×100 м. Сколькими способами это можно сделать?

Решение:

Число различных комбинаций из 10 членов команды для участия в эстафете

4 кандидатов будет равно количеству сочетаний на множестве из 10 элементов по 4 элемента

Теория вероятностей задачи с решением

Задача №4

Имеется слово КОЛОКОЛ. Сколько различных слов можно составить из букв этого слова?

Решение:

В слово буквы входят с повторениями. Поэтому количество различных перестановок определяется по формуле (1.4)

Теория вероятностей задачи с решением

Определении вероятности

Пусть проводится случайный эксперимент. Элементарным событием или исходом в случайном эксперименте называется всякая конкретная реализация этого эксперимента. Множество всех исходов эксперимента образует пространство элементарных исходов. Случайным событием называется всякое подмножество пространства элементарных исходов.

Исход называется благоприятствующим событию Теория вероятностей задачи с решением, если появление исхода влечет появление события Теория вероятностей задачи с решением.

Пусть случайный эксперимент имеет Теория вероятностей задачи с решением равновозможных элементарных исходов.

Классическое определение вероятности. Вероятностью события Теория вероятностей задачи с решением называется отношение числа исходов, благоприятствующих событию Теория вероятностей задачи с решением к общему числу всех единственно возможных и равновозможных элементарных исходов опыта

Теория вероятностей задачи с решением

где Теория вероятностей задачи с решением число исходов, благоприятствующих событию Теория вероятностей задачи с решением; Теория вероятностей задачи с решением число всех равновозможных исходов.

Относительной частотой события Теория вероятностей задачи с решением называется отношение числа испытаний, в которых наступило событие Теория вероятностей задачи с решением, к общему числу проведенных испытаний

Теория вероятностей задачи с решением

где Теория вероятностей задачи с решением — общее число проведенных испытаний; Теория вероятностей задачи с решением — число испытаний, в которых наступило событие Теория вероятностей задачи с решением.

При неограниченном увеличении числа испытаний относительная частота события Теория вероятностей задачи с решением стремится к вероятности наступления события в отдельном испытании. На этом факте основано статистическое определение вероятности, когда вероятности полагаются равными относительным частотам событий при большом Теория вероятностей задачи с решением.

Пусть имеется некоторая область Теория вероятностей задачи с решением на плоскости или в пространстве и другая область Теория вероятностей задачи с решением. В область Теория вероятностей задачи с решением случайным образом ставится точка. Нужно найти вероятность того, что она попадет в область Теория вероятностей задачи с решением. Все отборы положения точки в области Теория вероятностей задачи с решением считаются равновозможными. Геометрической вероятностью называется отношение меры области Теория вероятностей задачи с решением к мере области Теория вероятностей задачи с решением

Теория вероятностей задачи с решением

Свойства вероятности

  • Вероятность невозможного события Теория вероятностей задачи с решением равна О
Теория вероятностей задачи с решением
  • Вероятность достоверного события Теория вероятностей задачи с решением равна 1
Теория вероятностей задачи с решением
  • Для любого случайного события Теория вероятностей задачи с решением
Теория вероятностей задачи с решением
  • Вероятность события Теория вероятностей задачи с решением противоположного событию Теория вероятностей задачи с решением определяется по формуле
Теория вероятностей задачи с решением

Задача №5

Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и. помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

Решение:

Обозначим через Теория вероятностей задачи с решением событие — {набраны две нужные цифры]. Для определения вероятности события Теория вероятностей задачи с решением будем использовать классическое определение вероятности Теория вероятностей задачи с решением. Всего можно набрать столько различных цифр по две цифры, сколько может быть составлено размещений из десяти цифр по две Теория вероятностей задачи с решением. Благоприятствует событию В только одна пара цифр: Теория вероятностей задачи с решением. Тогда Теория вероятностей задачи с решением.

Задача №6

На девять вакантных мест претендуют 15 кандидатов, из них 7 женщин, остальные мужчины. Какова вероятность того, что из девяти случайно отобранных кандидатов ровно пять женщин.

Решение:

Пусть событие Теория вероятностей задачи с решением состоит в том, что из 9 отобранных кандидатов 5 женщин. Для решения используем классическое определение вероятности. Общее число исходов будет равно числу способов, которыми можно выбрать 9 человек из 15 кандидатов

Теория вероятностей задачи с решением

Число благоприятствующих исходов

Теория вероятностей задачи с решением

Задача №7

В квадрат со стороной Теория вероятностей задачи с решением случайным образом ставится точка. Какова вероятность того, что эта точка попадет в круг, вписанный в этот квадрат.

Решение:

Пусть событие Теория вероятностей задачи с решением состоит в том, что {точка попадет в круг}. Для определения вероятности события Теория вероятностей задачи с решением используем геометрическую вероятность

Теория вероятностей задачи с решением

Теоремы сложения и умножения вероятностей

Теорема сложения. Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления

Теория вероятностей задачи с решением

Если события Теория вероятностей задачи с решением и Теория вероятностей задачи с решением несовместные, то вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий

Теория вероятностей задачи с решением

Суммой двух событий называется событие, состоящее из элементарных исходов, благоприятствующих либо первому событию, либо второму, либо обоим событиям.

Два события называются несовместными, если они не имеют общих исходов.

Произведением двух событий называется событие, состоящее из элементарных исходов, благоприятствующих и первому, и второму событиям.

Два события называются независимыми, если вероятность появления одного события не зависит от того, произошло или не произошло второе событие.

Условной вероятностью Теория вероятностей задачи с решением называют вероятность события Теория вероятностей задачи с решением, вычисленную в предположении, что событие Теория вероятностей задачи с решением произошло.

Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятностей одного события на условную вероятность второго события при условии, что произошло первое событие

Теория вероятностей задачи с решением

Если события Теория вероятностей задачи с решением и Теория вероятностей задачи с решением независимые, то вероятность произведения двух событий равна произведению вероятностей этих событий

Теория вероятностей задачи с решением

Задача №8

Найти вероятность того, что случайно взятое двузначное число будет кратным двум или пяти.

Решение:

Пусть событие Теория вероятностей задачи с решением состоит в том, что {случайно взятое число будет кратным двум или пяти}; Теория вероятностей задачи с решением — событие, состоящее в том, что {число, кратное двум}; Теория вероятностей задачи с решением — событие, состоящее в том, что {число, кратное пяти}. События Теория вероятностей задачи с решением и Теория вероятностей задачи с решением являются совместными, так как есть числа, которые одновременно делятся на два и пять. Так как Теория вероятностей задачи с решением, то Теория вероятностей задачи с решением. Вычислим вероятности этих событий, воспользовавшись классическим определением вероятности

Теория вероятностей задачи с решением

Тогда

Теория вероятностей задачи с решением

Задача №9

Для подготовки к экзамену студентам дано 60 вопросов. Студент, идя на экзамен, выучил 50 вопросов. Найти вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для сдачи экзамена студенту нужно ответить на два вопроса из двух заданных.

Решение:

Пусть событие Теория вероятностей задачи с решением состоит в том, что студент сдаст экзамен. Событие Теория вероятностей задачи с решением = {студент ответил на первый вопрос}, Теория вероятностей задачи с решением = {студент ответил на второй вопрос}. Тогда Теория вероятностей задачи с решением. События Теория вероятностей задачи с решением и Теория вероятностей задачи с решением — зависимые. Применяя теорему умножения вероятностей, мы получаем

Теория вероятностей задачи с решением

Найдем вероятности событий, воспользовавшись классическим определением вероятности

Теория вероятностей задачи с решением

Задача №10

Стрелок делает независимо друг от друга два выстрела по мишеням. Вероятность попадания в мишень при первом выстреле равна 0,7, при втором — 0.9. Найти вероятность того, что при двух выстрелах будет только одно попадание в мишень.

Решение:

Пусть событие Теория вероятностей задачи с решением состоит в том, что {будет только одно попадание при двух выстрелах}, событие Теория вероятностей задачи с решением состоит в том, что {будет попадание при первом выстреле}, событие Теория вероятностей задачи с решением = {попадание при втором выстреле}.

Теория вероятностей задачи с решением

Тогда

Теория вероятностей задачи с решением

Формула полной вероятности. Формулы Баиеса

Пусть событие Теория вероятностей задачи с решением может произойти вместе с одним из событий Теория вероятностей задачи с решением. События Теория вероятностей задачи с решением образуют полную группу попарно несовместных событий, если они: 1) попарно несовместны; Теория вероятностей задачи с решением; 2) сумма событий Теория вероятностей задачи с решением является достоверным событием, то есть Теория вероятностей задачи с решением.

Теорема 4.1. Пусть событие Теория вероятностей задачи с решением может произойти совместно с одним из событий Теория вероятностей задачи с решением которые образуют полную группу попарно несовместных событий. Тогда вероятность события Теория вероятностей задачи с решением определяется по формуле полной вероятности

Теория вероятностей задачи с решением

События Теория вероятностей задачи с решением называются гипотезами.

Теорема 4.2. Пусть событие Теория вероятностей задачи с решением может произойти совместно с одной из гипотез Теория вероятностей задачи с решением Если событие Теория вероятностей задачи с решением произошло, то вероятности появления гипотез вычисляются по формулам Байеса

Теория вероятностей задачи с решением

Задача №11

Электролампы изготавливаются на трех заводах. Первый завод изготавливает 45% общего количества электроламп, второй — 40%, третий — 15%. Продукция первого завода содержит 70% стандартных электроламп, второго — 80%, третьего — 81%. Найти вероятность того, что случайно взятая электролампа будет стандартной.

Решение:

Пусть событие Теория вероятностей задачи с решением состоит в том. что {случайно взятая лампа стандартна). Введем гипотезы Теория вероятностей задачи с решением [лампа произведена на Теория вероятностей задачи с решением заводе]. Вероятность события Теория вероятностей задачи с решением определяется по формуле полной вероятности

Теория вероятностей задачи с решением

Найдем вероятности гипотез:

Теория вероятностей задачи с решением

Условные вероятности будут равны:

Теория вероятностей задачи с решением

Подставив в формулу полной вероятности, получим

Теория вероятностей задачи с решением

Задача №12

В пирамиде 10 винтовок, из них 6 снабжены оптическим прицелом, а остальные винговки — с обыкновенным прицелом. Вероятность попадания в цель из винтовки с оптическим прицелом равна 0,9; из обыкновенной винтовки — 0,7. Стрелок поразил цель из случайно взятой винтовки. Какова вероятность того, что он стрелял из обычной винтовки.

Решение:

Пусть событие Теория вероятностей задачи с решением состоит в том, что стрелок поразил цель, событие Теория вероятностей задачи с решением = {стрелял из обыкновенной винтовки}, событие Теория вероятностей задачи с решением = {из винтовки с оптическим прицелом}.

Теория вероятностей задачи с решением

Из условия задачи

Теория вероятностей задачи с решением

Схема повторных независимых испытаний (схема Бернулли)

Схемой Бернулли называется последовательность из Теория вероятностей задачи с решением независимых испытаний, в каждом из которых возможны только два исхода: событие Теория вероятностей задачи с решением может наступить или не наступить, и вероятность появления события Теория вероятностей задачи с решением в каждом испытании постоянна.

Формула Бернулли. Вероятность того, что в Теория вероятностей задачи с решением независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события Теория вероятностей задачи с решением равна Теория вероятностей задачи с решением, событие Теория вероятностей задачи с решением наступит ровно к раз, равна

Теория вероятностей задачи с решением

где

Теория вероятностей задачи с решением

Локальная теорема Муавра-Лапласа. Вероятность того, что в Теория вероятностей задачи с решением независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна Теория вероятностей задачи с решением, событие наступит ровно Теория вероятностей задачи с решением раз, приближенно равна 1

Теория вероятностей задачи с решением

где

Теория вероятностей задачи с решением

Значения функции Теория вероятностей задачи с решением находятся по таблице по вычисленным значениям Теория вероятностей задачи с решением. Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Вероятность того, что в Теория вероятностей задачи с решением независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события Теория вероятностей задачи с решением равна Теория вероятностей задачи с решением событие Теория вероятностей задачи с решением наступит от Теория вероятностей задачи с решением до Теория вероятностей задачи с решением раз, приближенно равна

Теория вероятностей задачи с решением

где

Теория вероятностей задачи с решением

Значения функции Теория вероятностей задачи с решением находят по таблице по вычисленным значениям Теория вероятностей задачи с решением. Формула Пуассона. Если в схеме Бернулли число испытаний велико, а вероятность появления события Теория вероятностей задачи с решением мала, то вероятность того, что в Теория вероятностей задачи с решением независимых испытаниях событие Теория вероятностей задачи с решением наступит ровно Теория вероятностей задачи с решением раз приближенно равна

Теория вероятностей задачи с решением

Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности.

Вероятность того, что в Теория вероятностей задачи с решением независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события Теория вероятностей задачи с решением равна Теория вероятностей задачи с решением, абсолютная величина отклонения относительной частоты от вероятности появления события Теория вероятностей задачи с решением не превосходит положительного числа Теория вероятностей задачи с решением, приближенно равна

Теория вероятностей задачи с решением

Наивероятнейшее число появлений события в независимых испытаниях

Число Теория вероятностей задачи с решением называют наивероятнейшим, если вероятность того, что в Теория вероятностей задачи с решением независимых испытаниях событие Теория вероятностей задачи с решением наступит ровно Теория вероятностей задачи с решением раз не меньше вероятностей остальных возможных значений Теория вероятностей задачи с решением.

Наивероятнейшее число определяется из неравенства

Теория вероятностей задачи с решением

причем:

а) если число Теория вероятностей задачи с решением дробное, то существует одно наивероятнейшее число; Теория вероятностей задачи с решением, где Теория вероятностей задачи с решением — целая часть числа Теория вероятностей задачи с решением,

б) сели число Теория вероятностей задачи с решением — целое, то существуют два наивероятнейших числа Теория вероятностей задачи с решением и Теория вероятностей задачи с решением;

в) если Теория вероятностей задачи с решением — целое, то Теория вероятностей задачи с решением.

Задача №13

Прибор состоит из четырех узлов. Вероятность безотказной работы каждого узла равна 0,8. Узлы выходят из строя независимо друг от друга. Найти вероятность того, что выйдут из строя росно два узла.

Решение:

Для решения задачи используем формулу Бернулли.

Теория вероятностей задачи с решением

Задача №14

Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена 75 раз.

Решение:

Решаем задачу с использованием локальной теоремы Лапласа.

Теория вероятностей задачи с решением

Задача №15

В гараже имеется 100 автомашин. Вероятность того, что в течение рабочего дня машина находится вне гаража, равна 0,8. Найти вероятность того, что вне гаража будут находиться от 70 до 85 машин.

Решение:

Для решения используем интегральную теорему Муавра-Лапласа. По условию задачи

Теория вероятностей задачи с решением

тогда

Теория вероятностей задачи с решением

Функция распределения и плотность распределения случайных величин

Краткие теоретические сведения

Случайной величиной Теория вероятностей задачи с решением называется действительная функция Теория вероятностей задачи с решением, определенная на пространстве элементарных исходов Теория вероятностей задачи с решением и такая, что при любых действительных .v определена вероятность события Теория вероятностей задачи с решением.

Функцией распределения вероятностей называется функция Теория вероятностей задачи с решением, равная вероятности того, что Теория вероятностей задачи с решением

Теория вероятностей задачи с решением

Функция распределения обладает следующими свойствами:

  1. Теория вероятностей задачи с решением
  2. Теория вероятностей задачи с решением
  3. Теория вероятностей задачи с решением — неубывающая функция.
  4. Теория вероятностей задачи с решением — непрерывная слева, т.е. Теория вероятностей задачи с решением.
  5. Вероятность попадания Теория вероятностей задачи с решением в интервал Теория вероятностей задачи с решением определяется формулой
Теория вероятностей задачи с решением

Теория вероятностей задачи с решением называется дискретной, если она принимает конечное или счетное количество значений.

Теория вероятностей задачи с решением называется непрерывной на Теория вероятностей задачи с решением, если она принимает все значения из этого интервала.

Законом распределения дискретной Теория вероятностей задачи с решением называется соответствие, но которому каждому возможному значению Теория вероятностей задачи с решением Теория вероятностей задачи с решением ставится в соответствие вероятность его появления Теория вероятностей задачи с решением. Закон распределения дискретной Теория вероятностей задачи с решением записывается в виде таблицы.

Теория вероятностей задачи с решением

Плотностью распределения называется функция Теория вероятностей задачи с решением, удовлетворяющая условию

Теория вероятностей задачи с решением

Плотность распределения обладает следующими свойствами:

Теория вероятностей задачи с решением
Теория вероятностей задачи с решением

Чтобы задать закон распределения непрерывной Теория вероятностей задачи с решением, нужно задать либо плотность распределения, либо функцию распределения.

Задача №16

Закон распределения дискретной Теория вероятностей задачи с решением имеет вид

Теория вероятностей задачи с решением

Найти функцию распределения.

Решение:

По определению Теория вероятностей задачи с решением. Тогда

Теория вероятностей задачи с решением

Задача №17

Непрерывная Теория вероятностей задачи с решением задана плотностью распределения

Теория вероятностей задачи с решением

Нужно определить значение параметра Теория вероятностей задачи с решением и найти Теория вероятностей задачи с решением.

Решение:

Для определения параметра Теория вероятностей задачи с решением воспользуемся свойством плотности распределения

Теория вероятностей задачи с решением
Теория вероятностей задачи с решением

Функцию распределения определим из соотношения Теория вероятностей задачи с решением.

  1. Если Теория вероятностей задачи с решением, то Теория вероятностей задачи с решением.
  2. Если Теория вероятностей задачи с решением. то Теория вероятностей задачи с решением
  3. Если Теория вероятностей задачи с решением, то Теория вероятностей задачи с решением

Таким образом,

Теория вероятностей задачи с решением

Задача №18

Дана функция распределения Теория вероятностей задачи с решением

Теория вероятностей задачи с решением

Требуется найти плотность распределения и вероятность попадания Теория вероятностей задачи с решением в интервал

Теория вероятностей задачи с решением

Решение:

Вероятность попадания Теория вероятностей задачи с решением в интервал Теория вероятностей задачи с решением определяется по формуле

Теория вероятностей задачи с решением

Если известна функция распределенияТеория вероятностей задачи с решением, то Теория вероятностей задачи с решением

Теория вероятностей задачи с решением

Числовые характеристики случайных величин

Пусть дискретная Теория вероятностей задачи с решением имеет следующий закон распределения

Теория вероятностей задачи с решением

Математическим ожиданием Теория вероятностей задачи с решением называется сумма произведений всех возможных значений Теория вероятностей задачи с решением на соответствующие вероятности

Теория вероятностей задачи с решением

Математическое ожидание обладает следующими свойствами:

Теория вероятностей задачи с решением

Математическое ожидание характеризует среднее значение Теория вероятностей задачи с решением.

Для непрерывной Теория вероятностей задачи с решением математическое ожидание вычисляется по формуле

Теория вероятностей задачи с решением

Начальным моментом Теория вероятностей задачи с решением-го порядка называется математическое ожидание Теория вероятностей задачи с решением, т.е. Теория вероятностей задачи с решением. Начальные моменты Теория вероятностей задачи с решением-го порядка для дискретных и непрерывных Теория вероятностей задачи с решением вычисляются соответственно по формулам

Теория вероятностей задачи с решением

Центральным моментом Теория вероятностей задачи с решением-го порядка называется математическое ожидание Теория вероятностей задачи с решением

Теория вероятностей задачи с решением

Для дискретных и непрерывных Теория вероятностей задачи с решением центральный момент Теория вероятностей задачи с решением-го порядка вычисляется по формулам:

Теория вероятностей задачи с решением

Дисперсией Теория вероятностей задачи с решением называется центральный момент второго порядка

Теория вероятностей задачи с решением

Дисперсия характеризует степень разброса значений Теория вероятностей задачи с решением относительно математического ожидания. Дисперсия обладает следующими свойствами:

Теория вероятностей задачи с решением

Дисперсия Теория вероятностей задачи с решением равна разности математического ожидания квадрата Теория вероятностей задачи с решением и квадрата математического ожидания

Теория вероятностей задачи с решением

Средним квадратическим ожиданием Теория вероятностей задачи с решением называется корень квадратный из дисперсии

Теория вероятностей задачи с решением

Задача №19

Дискретная Теория вероятностей задачи с решением задана законом распределения

Теория вероятностей задачи с решением

Вычислить

Теория вероятностей задачи с решением

Решение:

Теория вероятностей задачи с решением

Дисперсию вычислим по формуле

Теория вероятностей задачи с решением

Задача №20

Непрерывная Теория вероятностей задачи с решением задана функцией распределения

Теория вероятностей задачи с решением

Вычислить

Теория вероятностей задачи с решением

Решение:

Найдем плотность распределения

Теория вероятностей задачи с решением

Вычислим математическое ожидание

Теория вероятностей задачи с решением

Дисперсия определяется по формуле

Теория вероятностей задачи с решением

Законы распределения дискретных случайных величин

Дискретная Теория вероятностей задачи с решением называется распределенной по биномиальному закону, если она принимает конечное число значений Теория вероятностей задачи с решением с вероятностями, которые определяются по формуле Бернулли

Теория вероятностей задачи с решением

Для дискретной Теория вероятностей задачи с решением, распределенной по биномиальному закону, справедливы следующие соотношения

Теория вероятностей задачи с решением

Дискретная Теория вероятностей задачи с решением называется распределенной по закону Пуассона, если она принимает счетное число значений Теория вероятностей задачи с решением с вероятностями, которые определяются по формуле Пуассона

Теория вероятностей задачи с решением

Для дискретной Теория вероятностей задачи с решением, распределенной по закону Пуассона справедливы соотношения

Теория вероятностей задачи с решением

Задача №21

О сигнализации о пожаре установлено три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при пожаре сработает каждое устройство постоянна и равна 0,9. Теория вероятностей задачи с решением равна количеству срабатывающих устройств при пожаре. Требуется составить закон распределения Теория вероятностей задачи с решением и вычислить Теория вероятностей задачи с решением.

Решение:

Теория вероятностей задачи с решением принимает значение 0; 1; 2; 3. Определим вероятности Теория вероятностей задачи с решением по формуле (8.1).

Теория вероятностей задачи с решением

Проверка:

Теория вероятностей задачи с решением

Закон распределения Теория вероятностей задачи с решением имеет вид

Теория вероятностей задачи с решением

Вычислим

Теория вероятностей задачи с решением

Законы распределения непрерывных случайных величин

Непрерывная Теория вероятностей задачи с решением называется равномерно распределенной на Теория вероятностей задачи с решением, если плотность распределения вероятностей имеет вид

Теория вероятностей задачи с решением

Для Теория вероятностей задачи с решением. равномерно распределенной на Теория вероятностей задачи с решением, справедливы следующие соотношения:

Теория вероятностей задачи с решением

Непрерывная Теория вероятностей задачи с решением называется распределенной но показательному закону, если плотность распределения вероятностей имеет вид

Теория вероятностей задачи с решением

Для Теория вероятностей задачи с решением, распределенной по показательному закону, справедливы следующие соотношения

Теория вероятностей задачи с решением

Функция

Теория вероятностей задачи с решением

определяет вероятность отказа за время Теория вероятностей задачи с решением.

Вероятность безотказной работы за это время будет равна

Теория вероятностей задачи с решением

Функцию Теория вероятностей задачи с решением называют функцией надежности.

Непрерывная Теория вероятностей задачи с решением называется распределенной по нормальному закону, если плотность распределения вероятностей имеет вид

Теория вероятностей задачи с решением

Для нормально распределенной Решение задач по теории вероятностей справедливы следующие соотношения:

Решение задач по теории вероятностей

Задача №22

Решение задач по теории вероятностей распределена равномерно на (3;5). Требуется найти:

Решение задач по теории вероятностей

Решение:

На основании формул (9.1) и (9.2) имеем

Решение задач по теории вероятностей

Задача №23

Решение задач по теории вероятностей распределенная по показательному закону, имеет функцию распределения вида

Решение задач по теории вероятностей

Вычислить

Решение задач по теории вероятностей

Решение:

Согласно формуле (9.4) Решение задач по теории вероятностей. Тогда

Решение задач по теории вероятностей

Задача №24

Решение задач по теории вероятностей распределена по нормальному закону с параметрами

Решение задач по теории вероятностей

Требуется: 1) записать Решение задач по теории вероятностей и Решение задач по теории вероятностей; 2) вычислить

Решение задач по теории вероятностей

Решение:

Согласно формулам (9.5) и (9.6) имеем

Решение задач по теории вероятностей

Предельные теоремы теории вероятностей

Неравенство Чебышева. Вероятность того, что отклонение Решение задач по теории вероятностей от ее математического ожидания по модулю меньше данного числа Решение задач по теории вероятностей не менее, чем Решение задач по теории вероятностей

Решение задач по теории вероятностей

Теорема Чебышева. Пусть даны Решение задач по теории вероятностей, которые попарно независимы, имеют математические ожидания Решение задач по теории вероятностей и дисперсии, ограниченные одним и тем же числом Решение задач по теории вероятностей. Тогда для любого числа Решение задач по теории вероятностей выполняется неравенство

Решение задач по теории вероятностей

Если Решение задач по теории вероятностей имеют одно и то же математическое ожидание Решение задач по теории вероятностей, то неравенство (10.2) примет вид

Решение задач по теории вероятностей

Переходя в неравенство (10.3) к пределу при Решение задач по теории вероятностей, получим

Решение задач по теории вероятностей

В этом случае говорят, что при Решение задач по теории вероятностей последовательность Решение задач по теории вероятностей сходится по вероятности к своему математическому ожиданию Решение задач по теории вероятностей.

Теорема Бернулли. Если в каждом из Решение задач по теории вероятностей независимых испытаний вероятность Решение задач по теории вероятностей появления события Решение задач по теории вероятностей постоянна, то вероятность того, что отклонение относительной частоты Решение задач по теории вероятностей от вероятности Решение задач по теории вероятностей по модулю не превзойдет положительного числа Решение задач по теории вероятностей больше чем разность Решение задач по теории вероятностей

Решение задач по теории вероятностей

Переходя в неравенство (10.5) к пределу при Решение задач по теории вероятностей, получим

Решение задач по теории вероятностей

При большом числе испытаний относительная частота Решение задач по теории вероятностей события Решение задач по теории вероятностей сходится по вероятности к вероятности Решение задач по теории вероятностей появления события в отдельном испытании.

Центральная предельная теорема Ляпунова. Пусть Решение задач по теории вероятностей последовательность независимых Решение задач по теории вероятностей для каждой из которых существует математическое ожидание Решение задач по теории вероятностей и дисперсия Решение задач по теории вероятностей, центральный момент третьего порядка

Решение задач по теории вероятностей

и выполняется условие Ляпунова

Решение задач по теории вероятностей

Тогда при Решение задач по теории вероятностей распределение Решение задач по теории вероятностей стремится к нормальному закону с функцией распределения

Решение задач по теории вероятностей

Задача №25

Средняя длина детали равна 50 см, а дисперсия длины равна 0,1. Оценить вероятность того, что изготовленная деталь окажется по своей длине не менее 49,5 см. и не более 50,5 см.

Решение:

По условию задачи

Решение задач по теории вероятностей

Так как Решение задач по теории вероятностей непрерывна, то

Решение задач по теории вероятностей

Применяя неравенство (10.1), получим

Решение задач по теории вероятностей

Задача №26

При штамповке деталей брак составляет 3%. Найти вероятность того, что при проверке партии из 1000 деталей выявится отклонение от установленного процента брака меньше, чем на 1%.

Решение:

По условию задачи

Решение задач по теории вероятностей

Воспользуемся неравенством (10.5)

Решение задач по теории вероятностей

Задача №27

Складываются 48 попарно независимых Решение задач по теории вероятностей, распределенных по равномерному закону на интервале (0; 1). Записать приближенно функцию распределения суммы этих Решение задач по теории вероятностей. Найти вероятность того, что эта сумма будет заключена в пределах от 26 до 28.

Решение:

Решение задач по теории вероятностей

Обозначим

Решение задач по теории вероятностей
Решение задач по теории вероятностей

Тогда

Решение задач по теории вероятностей

и функция распределения Решение задач по теории вероятностей имеет вид

Решение задач по теории вероятностей

Найдем вероятность попадания Решение задач по теории вероятностей в интервал (26; 28).

Решение задач по теории вероятностей

Двумерные случайные величины. Законы распределения. Условные законы распределения

Двумерной Решение задач по теории вероятностей называется совокупность двух случайных величин Решение задач по теории вероятностей, описывающих тот или иной случайный эксперимент. Решение задач по теории вероятностей и Решение задач по теории вероятностей называются составляющими.

Если составляющие двумерной Решение задач по теории вероятностей являются дискретными Решение задач по теории вероятностей. то двумерная Решение задач по теории вероятностей называется дискретной, если составляющие являются непрерывными Решение задач по теории вероятностей. то двумерная Решение задач по теории вероятностей называется непрерывной. Если одна из составляющих является дискретной, а вторая — непрерывной, то двумерная величина называется сметанной.

Законом распределения дискретной двумерной Решение задач по теории вероятностей называется соответствие между всевозможными парами Решение задач по теории вероятностей и вероятностями их появления Решение задач по теории вероятностей. Закон распределения дискретных двумерных Решение задач по теории вероятностей задается в виде таблицы

Решение задач по теории вероятностей

Если известен закон распределения двумерной дискретной Решение задач по теории вероятностей, то законы распределения составляющих находятся следующим образом

Решение задач по теории вероятностей

Функцией распределения двумерной Решение задач по теории вероятностей называется вероятность события

Решение задач по теории вероятностей

Функция распределения вероятностей двумерной Решение задач по теории вероятностей обладает следующими свойствами:

  1. Решение задач по теории вероятностей
  2. Решение задач по теории вероятностей
  3. Решение задач по теории вероятностей
  4. Решение задач по теории вероятностей, где Решение задач по теории вероятностей — функции распределения составляющих Решение задач по теории вероятностей и Решение задач по теории вероятностей.
  5. Функция распределения Решение задач по теории вероятностей является не убывающей функцией по каждому из своих аргументов.

Функция Решение задач по теории вероятностей называется плотностью распределения вероятностей двумерной Решение задач по теории вероятностей, если она удовлетворяет соотношению

Решение задач по теории вероятностей

Плотность распределения вероятностей двумерной Решение задач по теории вероятностей обладает следующими свойствами:

Решение задач по теории вероятностей

Чтобы задать закон распределения непрерывной двумерной Решение задач по теории вероятностей, достаточно задать либо функцию распределения, либо плотность распределения.

Условным законом распределения называется закон распределения одной из составляющих при условии, что вторая составляющая приняла определенное значение. Для дискретных двумерных Решение задач по теории вероятностей условные вероятности определяются по формулам:

Решение задач по теории вероятностей

Условные плотности распределения находятся по формулам:

Решение задач по теории вероятностей

где Решение задач по теории вероятностей — плотности распределения составляющих Решение задач по теории вероятностей.

Составляющие Решение задач по теории вероятностей и Решение задач по теории вероятностей двумерной Решение задач по теории вероятностей называются независимыми, если

Решение задач по теории вероятностей

Задача №28

Двумерная дискретная Решение задач по теории вероятностей задана законом распределения

Решение задач по теории вероятностей

Требуется найти законы распределения составляющих и условный закон распределения составляющей Решение задач по теории вероятностей при условии, что Решение задач по теории вероятностей = 1.

Решение:

Законы распределения составляющих Решение задач по теории вероятностей и Решение задач по теории вероятностей найдем с использованием формул (11.1).

Решение задач по теории вероятностей

Тогда закон распределения составляющих Решение задач по теории вероятностей имеет вид

Решение задач по теории вероятностей

Аналогично находится закон распределения составляющей Решение задач по теории вероятностей.

Решение задач по теории вероятностей

Условный закон распределения составляющей Решение задач по теории вероятностей при условии, что Решение задач по теории вероятностей = 1, найдем с использованием формул (11.3).

Решение задач по теории вероятностей

Задача №29

Дана функция распределении двумерной Решение задач по теории вероятностей

Решение задач по теории вероятностей

Требуется найти плотность распределения Решение задач по теории вероятностей и условные плотности распределения

Решение задач по теории вероятностей

Решение:

Плотность распределения найдем, используя свойство 3 плотности распределения

Решение задач по теории вероятностей

Плотности распределения составляющих найдем, используя свойство 5 плотности распределения

Решение задач по теории вероятностей

Условные плотности распределения составляющих найдем с использованием формул (11.4)

Решение задач по теории вероятностей

Так как условные плотности распределения вероятностей совпадают с плотностями распределения составляющих, то составляющие являются независимыми Решение задач по теории вероятностей.

Числовые характеристики двумерных случайных величин. Коэффициент корреляции

Начальным моментом порядка Решение задач по теории вероятностей двумерной Решение задач по теории вероятностей называется математическое ожидание произведения Решение задач по теории вероятностей

Решение задач по теории вероятностей

Для непрерывных Решение задач по теории вероятностей

Решение задач по теории вероятностей

для дискретных

Решение задач по теории вероятностей

Центральным моментом порядка Решение задач по теории вероятностей двумерной Решение задач по теории вероятностей называется математическое ожидание произведения

Решение задач по теории вероятностей
Решение задач по теории вероятностей

Для непрерывной двумерной Решение задач по теории вероятностей центральный момент порядка Решение задач по теории вероятностей вычисляется по формуле

Решение задач по теории вероятностей

для дискретных Решение задач по теории вероятностей

Решение задач по теории вероятностей

Корреляционным моментом двумерной Решение задач по теории вероятностей называется центральный момент Решение задач по теории вероятностей. Для непрерывной Решение задач по теории вероятностей корреляционный момент вычисляется по формуле

Решение задач по теории вероятностей

для дискретных

Решение задач по теории вероятностей

Корреляционный момент характеризует тесноту связи между составляющими Решение задач по теории вероятностей и Решение задач по теории вероятностей. Коэффициентом корреляции Решение задач по теории вероятностей Решение задач по теории вероятностей и Решение задач по теории вероятностей называется отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений составляющих

Решение задач по теории вероятностей

Коэффициент корреляции обладает следующими свойствами:

Решение задач по теории вероятностей

Если зависимость между Решение задач по теории вероятностей и Решение задач по теории вероятностей отсутствует, то Решение задач по теории вероятностей. Если Решение задач по теории вероятностей, то зависимость между Решение задач по теории вероятностей и Решение задач по теории вероятностей линейная. Решение задач по теории вероятностейи Решение задач по теории вероятностей, для которых Решение задач по теории вероятностей называются некоррелированными. Очевидно, что независимые Решение задач по теории вероятностей не коррелированы. Обратное утверждение верно лишь при условии нормального распределения двумерной Решение задач по теории вероятностей. Коэффициент корреляции вычисляется по формуле

Решение задач по теории вероятностей

Задача №30

Двумерная Решение задач по теории вероятностей задана таблицей

Решение задач по теории вероятностей

Вычислить коэффициент корреляции.

Решение:

Составим законы распределения составляющих

Решение задач по теории вероятностей

Вычислим математические ожидания и средние квадратические отклонения составляющих

Решение задач по теории вероятностей
Решение задач по теории вероятностей

Вычислим коэффициент корреляции по формуле (12.9)

Решение задач по теории вероятностей

Составляющие Решение задач по теории вероятностей и Решение задач по теории вероятностей являются некоррелированными Решение задач по теории вероятностей. Очевидно, что независимые Решение задач по теории вероятностей не коррелированы. Обратное утверждение верно лишь при условии нормального распределения двумерной Решение задач по теории вероятностей.

Задача №31

Непрерывная двумерная Решение задач по теории вероятностей задана плотностью распределения

Решение задач по теории вероятностей

Найти коэффициент корреляции.

Решение:

Найдем математические ожидания составляющих

Решение задач по теории вероятностей

Найдем дисперсии

Решение задач по теории вероятностей

Вычислим корреляционный момент

Решение задач по теории вероятностей

Коэффициент корреляции вычислим по формуле (12.8)

Решение задач по теории вероятностей

Статистическое распределение. Эмпирическая функция распределения и ее свойства. Полигон и гистограмма. Числовые характеристики выборки

Генеральной совокупностью называется совокупность элементов, объединенных по некоторому признаку, из которых производится выборка.

Выборочной совокупностью или выборкой называется совокупность объектов, случайно выбранных для исследования.

Объемом выборки называется количество объектов, входящих в выборку.

Пусть из совокупности извлечена выборка объемом п.

Выборочная совокупность, расположенная по возрастанию или убыванию значения признака, называется вариационным рядом, а сс объекты — вариантами.

Если значения вариант совпадают или отличаются незначительно, то их можно сгруппировать, придав частоту каждой варианте.

В результате получим сгруппированный вариационный ряд.

Частостью или относительной частотой варианты называется отношение частоты варианты к объему выборки

Решение задач по теории вероятностей

Статистическим распределением называется соответствие, по которому каждому возможному значению варианты ставится в соответствие частота (относительная частота) се появления. Статистическое распределение записывается в виде таблицы, в которой в первой строке перечислены все значения вариант, а во второй частоты или частости, которые соответствуют вариантам

Решение задач по теории вероятностей

Для построения интервального статистического ряда разбивают множество вариант на полуинтервалы Решение задач по теории вероятностей. т.е. производят группировку. Рекомендуется число интервалов Решение задач по теории вероятностей определять по формуле

Решение задач по теории вероятностей

Длина интервала равна

Решение задач по теории вероятностей

Для наглядности используются графические изображения вариционных рядов в виде полигона и гистограммы.

Полигоном частот или частостей называется ломаная линия, соединяющая точки с координатами

Решение задач по теории вероятностей

Гистограммой частот или частостей называют ступенчатую фигуру, составленную из прямоугольников с основанием Решение задач по теории вероятностей и высотой

Решение задач по теории вероятностей

Эмпирической функцией распределения называют функцию Решение задач по теории вероятностей, определяющую для каждого значения Решение задач по теории вероятностей относительную частоту события Решение задач по теории вероятностей:

Решение задач по теории вероятностей

где Решение задач по теории вероятностей — число вариант (с учетом их кратностей) меньших Решение задач по теории вероятностей — объем выборки. Эмпирическая функция распределения обладает следующими свойствами:

  1. Значения эмпирической функции принадлежат отрезку [0; l],
  2. Эмпирическая функция является неубывающей функцией.
  3. Если Решение задач по теории вероятностей наименьшее значение варианты, а Решение задач по теории вероятностей наибольшее значение варианты, то
Решение задач по теории вероятностей

Для описания выборки применяются такие числовые характеристики, как выборочная средняя, выборочная дисперсия, выборочное среднее квадратическое отклонение.

Выборочной средней называется среднее значение варианты, вычисленное по данным выборки

Решение задач по теории вероятностей

где Решение задач по теории вероятностей — частота варианты Решение задач по теории вероятностей.

Выборочной дисперсией называется дисперсия, вычисленная по данным выборки

Решение задач по теории вероятностей

Выборочная дисперсия равна разности между средним значением квадрата вариант и квадратом выборочного среднего

Решение задач по теории вероятностей

Выборочным средним квадратическим отклонением называется корень квадратный из выборочной дисперсии

Решение задач по теории вероятностей

Задача №32

По данному распределению выборки найти эмпирическую функцию распределения и построить полигон частот

Решение задач по теории вероятностей

.

Решение:

Определим объем выборки

Решение задач по теории вероятностей

Определим относительные частоты вариант

Решение задач по теории вероятностей
Решение задач по теории вероятностей

Запишем эмпирическую функцию распределения

Решение задач по теории вероятностей

Построим полигон частот

Решение задач по теории вероятностей

Задача №33

Построить гистограмму частостей по данным выборки объема 100 и вычислить числовые характеристики выборки.

Решение задач по теории вероятностей

Решение:

Вычислим относительные частоты по формуле

Решение задач по теории вероятностей

и найдем высоты прямоугольников по формуле

Решение задач по теории вероятностей

Вычисления сведем в таблицу

Решение задач по теории вероятностей

Построим гистограмму частостей

Решение задач по теории вероятностей

Вычислим числовые характеристики выборки

Решение задач по теории вероятностей

Вычислим

Решение задач по теории вероятностей
Решение задач по теории вероятностей

Точенные оценки неизвестных параметров распределения

Пусть изучается Решение задач по теории вероятностей с законом распределения, зависящим от одного или нескольких параметров. Требуется по выборке, полученной в результате Решение задач по теории вероятностей испытаний оценить неизвестный параметр Решение задач по теории вероятностей.

Точечной оценкой неизвестного параметра Решение задач по теории вероятностей теоретического распределения называется его приближенное значение, зависящее от данных выборки

Решение задач по теории вероятностей

Точечная оценка должна удовлетворять следующим требованиям:

  • оценка должна быть несмещенной, т.е.
Решение задач по теории вероятностей

оценка должна быть состоятельной, т.е. она должна сходиться по вероятности к оцениваемому параметру: для

Решение задач по теории вероятностей
  • оценка должна быть эффективной: если неизвестный параметр имеет несколько оценок, то в качестве оценки нужно брать оценку с наименьшей дисперсией.

Выборочная средняя Решение задач по теории вероятностей является несмещенной и состоятельной оценкой для математического ожидания генеральной совокупности.

Несмещенной и состоятельной оценкой для дисперсии генеральной совокупности является исправленная выборочная дисперсия

Решение задач по теории вероятностей

Исправленным средним квадратическим отклонением называется корень квадратный из исправленной дисперсии

Решение задач по теории вероятностей

Для вычисления Решение задач по теории вероятностей и Решение задач по теории вероятностей разработано много методов. Одним из наиболее распространенных методов является метод произведений. При вычислении выборочного среднего и выборочной дисперсии поступают следующим образом: выбираем «ложный нуль» Решение задач по теории вероятностей. В качестве «ложного нуля» берется варианта стоящая посредине вариационного ряда или варианта, имеющая максимальную частоту;

  • переходим к условным вариантам Решение задач по теории вероятностей по формулам Решение задач по теории вероятностей, где Решение задач по теории вероятностей — шаг разбиения;
  • вычисляем условные моменты 1 -ого и 2-ого порядков
Решение задач по теории вероятностей
  • вычисляем выборочное среднее Решение задач по теории вероятностей и выборочную дисперсию Решение задач по теории вероятностей
Решение задач по теории вероятностей

Задача №34

Методом произведений вычислить выборочную среднюю и выборочную дисперсию по данным выборки

Решение задач по теории вероятностей

Решение:

В качестве «ложного нуля» возьмем варианту 75, Решение задач по теории вероятностей = 75. Перейдем к условным вариантам по формуле Решение задач по теории вероятностей. Результаты вычислений сведем в таблицу.

Решение задач по теории вероятностей

Результаты вычислений можно проверить равенством

Решение задач по теории вероятностей

Равенство выполняется, следовательно, таблица заполнена верно. Вычислим условные моменты

Решение задач по теории вероятностей

Вычислим выборочную среднюю и выборочную дисперсию

Решение задач по теории вероятностей

Интервальные оценки

Пусть Решение задач по теории вероятностей — функция выборки. Это есть случайная величина, называемая статистикой.

Интервальной называют оценку, которая определяется случайным интервалом

Решение задач по теории вероятностей

В качестве интервальной оценки используются доверительные интервалы.

Доверительным интервалом для неизвестного параметра Решение задач по теории вероятностей, называется случайный интервал Решение задач по теории вероятностей, который с заданной вероятностью Решение задач по теории вероятностей (надежностью) накрывает неизвестный параметр, Решение задач по теории вероятностей.

Если исследуемая Решение задач по теории вероятностей распределена по нормальному закону с известным средним квадратическим отклонением Решение задач по теории вероятностей, то доверительный интервал для математического ожидания определяется неравенством

Решение задач по теории вероятностей

где Решение задач по теории вероятностей — точность оценки, Решение задач по теории вероятностей — объем выборки, Решение задач по теории вероятностей — значение аргумента функции Лапласа, при котором

Решение задач по теории вероятностей

Если среднее квадратическое отклонение неизвестно, то доверительный интервал для математического ожидания исследуемой Решение задач по теории вероятностей определяется неравенством

Решение задач по теории вероятностей

Значения Решение задач по теории вероятностей находят по таблице приложения 5 по заданным Решение задач по теории вероятностей и Решение задач по теории вероятностей. Число

Решение задач по теории вероятностей

называют точностью оценки математического ожидания.

Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения исследуемой Решение задач по теории вероятностей определяется неравенством

Решение задач по теории вероятностей

Значения Решение задач по теории вероятностей и Решение задач по теории вероятностей находятся по таблице приложения 6 по заданным Решение задач по теории вероятностей и Решение задач по теории вероятностей.

Задача №35

Найти доверительный интервал для оценки с надежностью Решение задач по теории вероятностей неизвестного математического ожидания нормально распределенного признака Решение задач по теории вероятностей, если известно Решение задач по теории вероятностей, а по данным выборки объемом 100 вычислено Решение задач по теории вероятностей.

Решение:

Так как известно среднее квадратическое отклонение Решение задач по теории вероятностей то для определения доверительного интервала для математического ожидания воспользуемся неравенством (3.1). Определим значение

Решение задач по теории вероятностей

Подставим в неравенство (3.1)

Решение задач по теории вероятностей

Задача №36

Для исследования нормально распределенной Решение задач по теории вероятностей извлечена выборка объемом 25.

Решение задач по теории вероятностей

Найти с надежностью Решение задач по теории вероятностей доверительные интервалы для математического ожидания и среднего кадратического отклонения исследуемой Решение задач по теории вероятностей.

Решение:

По данным выборки методом произведений определим Решение задач по теории вероятностей и Решение задач по теории вероятностей

Решение задач по теории вероятностей

Проверка:

Решение задач по теории вероятностей
Решение задач по теории вероятностей

Для определения доверительного интервала для математического ожидания воспользуемся неравенством (3.2);

Решение задач по теории вероятностей

Для определения доверительного интервала для среднего квадратического отклонения воспользуемся неравенством (3.3):

Решение задач по теории вероятностей

Статистическая проверка гипотез. Критерии согласия Пирсона и Колмогорова

Статистической называется гипотеза о предполагаемом виде неизвестного распределения Решение задач по теории вероятностей или о значениях параметров известного вида распределения. Пулевой гипотезой Решение задач по теории вероятностей называется выдвинутая гипотеза. Конкурирующей (альтернативной) называется гипотеза, которая противоречит нулевой гипотезе. При проверке статистической гипотезы могут быть допущены ошибки двух родов. Ошибка первого рода — будет отклонена верная гипотеза. Ошибка второго рода — будет принята неверная гипотеза.

Вероятность допустить ошибку первого рода называется уровнем значимости. Для проверки статистической гипотезы используют специальную статистику, которая называется критерием.

По рассчитанному значению критерия определяют принимать или отвергать нулевую гипотезу.

Критерий согласия — это проверка гипотезы о виде распределения Решение задач по теории вероятностей.

Основными критериями согласия являются критерии Пирсона Решение задач по теории вероятностей и Колмохорова. При проверке гипотезы с помощью критерия Пирсона поступают следующим образом:

из генеральной совокупности извлекают выборку объемом Решение задач по теории вероятностей; по выборке вычисляют Решение задач по теории вероятностей и Решение задач по теории вероятностей:

переходят к нормированной Решение задач по теории вероятностей по формуле

Решение задач по теории вероятностей

находят вероятности попадания в интервал

Решение задач по теории вероятностей

вычисляют теоретические частоты

Решение задач по теории вероятностей

вычисляют статистику Пирсона

Решение задач по теории вероятностей

из таблицы критических точек распределения Пирсона (приложение 3) по уровню значимости Решение задач по теории вероятностей и числу степеней свободы

Решение задач по теории вероятностей

определяют Решение задач по теории вероятностей, где Решение задач по теории вероятностей — число интервалов в вариационном ряде, Решение задач по теории вероятностей — количество параметров закона распределения, которые оцениваются по выборке (для нормального закона Решение задач по теории вероятностей=2);

• если Решение задач по теории вероятностей то нет необходимости отвергать нулевую гипотезу, т.е. эмпирические и теоретические частоты согласуются;

• если Решение задач по теории вероятностей то гипотеза отвергается, т.е. расхождение между теоретическими и эмпирическими частотами существенно;

• если исследуется дискретная Решение задач по теории вероятностей, распределенная по нормальному закону, то теоретические вероятности определяются по формуле

Решение задач по теории вероятностей

где Решение задач по теории вероятностей — шаг,

Решение задач по теории вероятностей

Задача №37

Пользуясь критерием Пирсона, при уровне значимости Решение задач по теории вероятностей проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с данными выборки

Решение задач по теории вероятностей

Решение:

По данным выборки методом произведений вычислим Решение задач по теории вероятностей и Решение задач по теории вероятностей.

Решение задач по теории вероятностей

Проверка:

Решение задач по теории вероятностей

Вычислим вероятности попадания в интервалы

Решение задач по теории вероятностей

Вычислим Решение задач по теории вероятностей

Решение задач по теории вероятностей

Определим число степеней свободы

Решение задач по теории вероятностей

По уровню значимости Решение задач по теории вероятностей и числу степеней свободы Решение задач по теории вероятностей найдем критическую точку правосторонней критической области распределения Пирсона (приложение 3)

Решение задач по теории вероятностей

Так как Решение задач по теории вероятностей, гипотеза о нормальном распределении совокупности отвергается.

Критерий согласия Колмогорова применяется для проверки гипотезы о законе распределения непрерывной Решение задач по теории вероятностей. Для статистической проверки гипотезы с помощью критерия согласия Колмогорова поступают следующим образом:

  • выбирают из генеральной совокупности выборку;
  • по выборке составляют эмпирическую функцию распределения Решение задач по теории вероятностей;
  • записывают теоретическую функцию распределения Решение задач по теории вероятностей;
  • вычисляют величину
Решение задач по теории вероятностей

вычисляют статистику Колмогорова

Решение задач по теории вероятностей

где Решение задач по теории вероятностей объем выборки. Решение задач по теории вероятностей имеет функцию распределения

Решение задач по теории вероятностей

которая называется функцией Колмогорова;

находим по уровню значимости Решение задач по теории вероятностей (приложение 7);

  • если Решение задач по теории вероятностей, то гипотеза о законе распределения Решение задач по теории вероятностей отклоняется, если Решение задач по теории вероятностей, то нет оснований отклонять нулевую гипотезу.

Рассмотрим применение критерия Колмогорова на примере.

Задача №38

Проверить по критерию Колмогорова гипотезу о нормальном распределении Решение задач по теории вероятностей но данным выборки при уровне значимости Решение задач по теории вероятностей.

Решение задач по теории вероятностей

Решение:

Вычислим выборочную среднюю Решение задач по теории вероятностей и исправленное среднее квадратическое отклонение Решение задач по теории вероятностей.

Решение задач по теории вероятностей

Тогда теоретическая функция распределения в предположении, что Решение задач по теории вероятностей распределена по нормальному закону, имеет вид

Решение задач по теории вероятностей

где Решение задач по теории вероятностей — функция Лапласа.

Эмпирическую функцию распределения определим по формуле

Решение задач по теории вероятностей

где Решение задач по теории вероятностей сумма частот вариант меньших Решение задач по теории вероятностей.

Решение задач по теории вероятностей

Вычислим величину

Решение задач по теории вероятностей
Решение задач по теории вероятностей

Вычислим статистику Колмогорова

Решение задач по теории вероятностей

По уровню значимости Решение задач по теории вероятностей найдем по таблице (приложение 7) Решение задач по теории вероятностей. Т.к. Решение задач по теории вероятностей, то нет оснований отвергать гипотезу о нормальном распределении.

Выборочный коэффициент корреляции и его свойства

Проверка гипотезы о равенстве нулю коэффициента корреляции Краткие теоретические сведения

Для вычисления выборочного коэффициента корреляции данные представляются в виде корреляционной таблицы. Корреляционная таблица представляет собой таблицу следующего вида: в первой строке записаны наблюдаемые значения Решение задач по теории вероятностей, в первом столбце записаны наблюдаемые значения Решение задач по теории вероятностей, на пересечении Решение задач по теории вероятностей-той строки и Решение задач по теории вероятностей-го столбца записывается частота Решение задач по теории вероятностей появления пары Решение задач по теории вероятностей. В последнем столбце записывается частота появления варианты Решение задач по теории вероятностей, в последней строке — частота появления варианты Решение задач по теории вероятностей на пересечении последней строки и последнего столбца записывается суммарное количество наблюдений. Корреляционная таблица имеет вид

Решение задач по теории вероятностей

Основной оценкой тесноты связи между случайными величинами Решение задач по теории вероятностей и Решение задач по теории вероятностей служит выборочный коэффициент корреляции Решение задач по теории вероятностей который определяется так

Решение задач по теории вероятностей

где Решение задач по теории вероятностей — среднее арифметическое произведений значений Решение задач по теории вероятностей.

Свойства выборочного коэффициента корреляции аналогичны свойствам коэффициента корреляции между Решение задач по теории вероятностей:

  1. Решение задач по теории вероятностей;
  2. если переменные Решение задач по теории вероятностей и Решение задач по теории вероятностей умножить на одно и то же число, то коэффициент корреляции не изменится;
  3. если Решение задач по теории вероятностей, то корреляционная связь между значениями Решение задач по теории вероятностей и Решение задач по теории вероятностей представляет собой линейную функциональную зависимость.

Для вычисления выборочного коэффициента корреляции применяется формула

Решение задач по теории вероятностей

Если Решение задач по теории вероятностей, то между наблюдаемыми значениями Решение задач по теории вероятностей и Решение задач по теории вероятностей корреляционная зависимость отсутствует, чем ближе к единице приближается модуль коэффициента корреляции, тем теснее связь между переменными Решение задач по теории вероятностей и Решение задач по теории вероятностей. Т.к. выборочный коэффициент корреляции вычисляется по данным выборки, то в отличие от коэффициента корреляции генеральной совокупности Решение задач по теории вероятностей является случайной величиной. Если Решение задач по теории вероятностей то возникает вопрос, объясняется ли это действительно существующей связью между Решение задач по теории вероятностей и Решение задач по теории вероятностей или вызвано случайными факторами. Для выяснения этого вопроса проверяется гипотеза Решение задач по теории вероятностей о равенстве нулю коэффициента корреляции Решение задач по теории вероятностей генеральной совокупности.

Для того, чтобы при уровне значимости Решение задач по теории вероятностей проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреляции генеральной двумерной нормальной совокупности, вычисляют статистику

Решение задач по теории вероятностей

и по таблице критических точек распределения Стьюдента (приложение 4) по уровню значимости а и числу степеней свободы Решение задач по теории вероятностей находят

Решение задач по теории вероятностей

критическую точку двусторонней критической области. Если

Решение задач по теории вероятностей

нет оснований отвергать нулевую гипотезу, т.е. Решение задач по теории вероятностей; если

Решение задач по теории вероятностей

нулевую гипотезу отвергают, т.е. Решение задач по теории вероятностей. Рассмотрим вычисление выборочною коэффициента корреляции и проверку гипотезы о равенстве нулю коэффициента корреляции генеральной совокупности на примере.

Задача №39

По данной корреляционной таблице вычислить выборочный коэффициент корреляции и при уровне значимости Решение задач по теории вероятностей проверить гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреляции генеральной совокупности.

Решение задач по теории вероятностей

Решение:

Вычислим компоненты, входящие в формулу (5.1), для вычисления Решение задач по теории вероятностей

Решение задач по теории вероятностей

Вычислим выборочный коэффициент корреляции

Решение задач по теории вероятностей

Проверим гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреляции генеральной совокупности. Вычислим

Решение задач по теории вероятностей

По таблице критических точек распределения Стыодента (приложение 4) по уровню значимости Решение задач по теории вероятностей и числу степеней свободы Решение задач по теории вероятностей найдем

Решение задач по теории вероятностей

Так

Решение задач по теории вероятностей

то гипотеза о равенстве нулю коэффициента корреляции генеральной совокупности отвергается, т.е. выбранный коэффициент корреляции значим.

Кстати готовые задачи на продажу по предмету теория вероятности тут.

Линейная регрессия. Определение параметров линейной регрессии

Если обе линии регрессии Решение задач по теории вероятностей на Решение задач по теории вероятностей и Решение задач по теории вероятностей на Решение задач по теории вероятностей являются прямыми, то в этом случае корреляцию называют линейной. Выборочное уравнение прямой линии регрессии Решение задач по теории вероятностей на Решение задач по теории вероятностей имеет вид

Решение задач по теории вероятностей

Уравнение прямой регрессии Решение задач по теории вероятностей на Решение задач по теории вероятностей имеет вид

Решение задач по теории вероятностей

Здесь Решение задач по теории вероятностей — значения Решение задач по теории вероятностей — их выборочные средние.

Коэффициент уравнений (6.1)-(6.2) можно также определить по формулам, полученным методом наименьших квадратов. Например, если уравнение (6.1) взять в виде Решение задач по теории вероятностей, то параметры Решение задач по теории вероятностей и Решение задач по теории вероятностей линейной регрессии имеют вид:

Решение задач по теории вероятностей

Задача №41

Распределение 40 заводов отрасли по количеству слесарей Решение задач по теории вероятностей и числу станкосмен Решение задач по теории вероятностей задано корреляционной таблицей.

Решение задач по теории вероятностей

Составить уравнение прямой регрессии Решение задач по теории вероятностей на Решение задач по теории вероятностей.

Решение:

По корреляционной таблице вычислим

Решение задач по теории вероятностей

Подставим вычисленные значения в уравнение (6.1)

Решение задач по теории вероятностей

Задача №42

При эталонировании медного термометра изучалась зависимость электрического сопротивления Решение задач по теории вероятностей от температуры Решение задач по теории вероятностей. Были получены следующие результаты

Решение задач по теории вероятностей

Оценить параметры уравнения регрессии с помощью метода наименьших квадратов и записать уравнение регрессии Решение задач по теории вероятностей на Решение задач по теории вероятностей.

Решение:

Сведем результаты вычисления в таблицу.

Решение задач по теории вероятностей

Параметры линейной регрессии определим по формулам (6.3)

Решение задач по теории вероятностей

Эмпирическое уравнение регрессии Решение задач по теории вероятностей на Решение задач по теории вероятностей примет вид

Решение задач по теории вероятностей
Решение задач по теории вероятностей
Решение задач по теории вероятностей
Решение задач по теории вероятностей
Решение задач по теории вероятностей
Решение задач по теории вероятностей
Решение задач по теории вероятностей
Решение задач по теории вероятностей
Решение задач по теории вероятностей

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Примеры решения задач по всем темам теории вероятностей

В различных разделах науки и техники нередко возникают ситуации, когда результат каждого из многих проводимых опытов заранее предугадать невозможно, однако можно исследовать закономерности, возникающие при проведении серии опытов. Нельзя, например, точно сказать, какая сторона монеты окажется сверху при данном броске: герб или цифра – но при большом количестве бросков число выпадений герба приближается к половине количества бросков; нельзя заранее предсказать результат одного выстрела из данного орудия по данной цели, но при большом числе выстрелов частота попадания приближается к некоторому постоянному числу. Исследование вероятностных закономерностей массовых однородных явлений составляет предмет теории вероятностей.

Основным интуитивным понятием классической теории вероятностей является случайное событие.

События, которые могут произойти в результате опыта, можно подразделить на три вида:

  • а) достоверное событие – событие, которое всегда происходит при проведении опыта;
  • б) невозможное событие – событие, которое в результате опыта произойти не может;
  • в) случайное событие – событие, которое может либо произойти, либо не произойти.

Теория вероятностей изучает закономерности, возникающие в случайных экспериментах, раскрывает объективные закономерности, присущие массовым явлениям.

Развитие как науки теории вероятностей берет свое начало с переписки Паскаля и Ферма (1654 г.). Но и до этого многих ученых интересовали задачи, относящиеся к азартным играм, теоретико-вероятностные задачи, имеющие прикладное значение (Кардано, Галилей).

Кроме задач азартных игр появлялся интерес к построению таблиц смертности и вопросам страхования (Граунт, Ван Худде, Ван де Витт).

Факты устойчивости частот случайных событий в задачах обработки демографических данных были известны еще в Древнем Китае и Древнем Риме.

С течением времени объект изучения теории вероятностей менялся. Если вначале основной интерес вызывало исследование вероятностей случайных событий, то уже в XIX в. интерес вызывало исследование случайных величин.

Теория вероятностей тесно связана с прикладными исследованиями различной природы. Она применима как в задачах экономики, производства, так и задачах лингвистики и истории. Сейчас без применения понятия доверительного интервала, корреляции, уровня значимости, нормального закона распределения случайной величины сложно представить обширное исследование в педагогике, физике, механике и других науках.

В основе квантовой механики лежат принципы теории вероятностей. В случае радиоактивного распада нет закона природы, позволяющего определить точное время деления ядра. Существуют только законы, согласно которым можно говорить о вероятности рассада ядра за определенный промежуток времени.

Элементарная теория вероятностей

Во многих областях человеческой деятельности существуют ситуации, когда определенные явления могут повторяться неограниченное число раз в одинаковых условиях. Подбрасывание монеты, кости, выброс из колоды карт и т.д.

Заметим, что представляется возможным предсказать исход последующего эксперимента по результатам предыдущих, как бы ни было велико число проведенных испытаний.

Во-вторых, относительная частота определенных исходов по мере роста числа испытаний стабилизируется, приближаясь к определенному числу.

Рассмотрим эксперимент по подбрасыванию монеты. Его результат представлен в таблице 1.

Примеры решения задач по теории вероятности

Примеры решения задач по теории вероятности — номер испытания, Примеры решения задач по теории вероятности — количество подбрасываний, в таблице указывается количество выпадений герба.

Наблюдалась стабилизация частот

Примеры решения задач по теории вероятности

Обнаруженные закономерности, распространенные на испытания с произвольным числом исходов, позволяют построить простейшую математическую модель случайного эксперимента.

Под опытом, или экспериментом, или испытанием понимают осуществление конкретного комплекса условий. Опыт называется случайным, если его результат нельзя точно предсказать до его осуществления.

Например, если опыт заключается в подбрасывании монеты, то результат его -выпадение герба (Г) или решетки (Р) — нельзя предсказать заранее. Точно также при стрельбе по мишени нельзя заранее предсказать, будет ли точное попадание в цель или промах.

Построение математической модели эксперимента начинается с описания множества Примеры решения задач по теории вероятности всевозможных исходов, которые могут произойти в результате каждого испытания.

Пространство Примеры решения задач по теории вероятности называют пространством элементарных исходов, элемент этого пространства Примеры решения задач по теории вероятности — элементарный исход (элементарное событие).

Событием является любое подмножество Примеры решения задач по теории вероятности.

Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет в условиях данного опыта. Например, выбор одной годной детали из партии Примеры решения задач по теории вероятности годных деталей есть событие достоверное. Так как достоверное событие является совокупностью всех элементарных событий из Примеры решения задач по теории вероятности, то оно совпадает с пространством Примеры решения задач по теории вероятности и также обозначается Примеры решения задач по теории вероятности.

Невозможным называется событие, которое в условиях данного опыта не может произойти. Невозможное событие в пространстве не имеет точек в Примеры решения задач по теории вероятности и обозначается Примеры решения задач по теории вероятности. Например, невозможно поразить одну и ту же мишень три раза при двух выстрелах.

Если ограничиться рассмотрением пространства элементарных исходов, состоящих из не более, чем счетного числа элементов, то построение вероятностной модели по существу состоит в задании распределения вероятностей на пространстве Примеры решения задач по теории вероятности в соответствие с которым каждому элементарному исходу Примеры решения задач по теории вероятности ставится в соответствие число Примеры решения задач по теории вероятности, называемое вероятностью элементарного события Примеры решения задач по теории вероятности.

Примеры решения задач по теории вероятности

Различают элементарные и составные события. События, которые невозможно разложить на более простые, называются элементарными. Все остальные события называются составными. Например, пусть событие состоит в том, что сумма очков, выпавших при бросании двух игральных костей, равна шести. Это событие состоит из пяти возможных элементарных событий — выпадение на гранях костей следующих пар цифр: (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) соответственно.

Вероятность любого составного события Примеры решения задач по теории вероятности:

Примеры решения задач по теории вероятности

Число Примеры решения задач по теории вероятности интерпретируется как относительная частота появления события Примеры решения задач по теории вероятности в статистическом эксперименте.

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в условиях одного и того же опыта.

Два или несколько событий называются равновозможными, если нет оснований утверждать, что одно из них имеет больше данных появиться в итоге опыта по сравнению с другими. Например, извлечение туза, валета, короля или дамы из колоды карт.

Событие Примеры решения задач по теории вероятности, которое обязательно произойдет, если не произойдет событие Примеры решения задач по теории вероятности, называется противоположным событию Примеры решения задач по теории вероятности. Например, выигрыш и проигрыш в лотерее — противоположные события.

Если в задаче дана вероятность Примеры решения задач по теории вероятности, тогда чтобы найти вероятность противоположного события, необходимо воспользоваться следующей формулой:

Примеры решения задач по теории вероятности

где Примеры решения задач по теории вероятности — вероятность противоположного события.

Говорят, что несколько событий в условиях данного опыта образуют полную группу событий, если в результате опыта обязательно произойдет хотя бы одно из них. Например, события «извлечение белого шара», «извлечение красного шара», «извлечение голубого шара» образуют полную группу событий в опыте извлечения шара из урны, в которой находятся белые, красные и голубые шары.

Пример №1

  • Подбрасывается монета и регистрируется сторона монеты, которая обращена к наблюдателю после падения. Найти пространство элементарных исходов.

Решение:

Пусть событие Г = {выпал герб}, Р = {выпала решка}.

Тогда Примеры решения задач по теории вероятности.

Пример №2

  • Бросается игральная кость и регистрируется число выпавших очков. Найти пространство элементарных исходов. Найти событие, состоящее в выпадении четного числа очков.

Решение:

Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №3

  • Бросаются две игральные кости. Описать событие, состоящее в том, что сумма очков больше 10.

Решение:

Примеры решения задач по теории вероятности

Вероятностное пространство

Пусть Примеры решения задач по теории вероятности — множество элементарных исходов.

Подмножество пространства Примеры решения задач по теории вероятности называется событием Примеры решения задач по теории вероятности, если статистический эксперимент закончился элементарным исходом Примеры решения задач по теории вероятности.

Рассмотрим теоретико-множественные операции в данном пространстве, которые представлены в следующей таблице.

Примеры решения задач по теории вероятности
Примеры решения задач по теории вероятности

Пусть Примеры решения задач по теории вероятности и Примеры решения задач по теории вероятности — обозначают события выпадения при бросании игральной кости соответственно нечетного числа очков и числа очков, кратного трем. Тогда

Примеры решения задач по теории вероятности

и,значит,

Примеры решения задач по теории вероятности

Булева алгебра и понятие вероятности

Булевой алгеброй называют такой класс Примеры решения задач по теории вероятности подмножеств Примеры решения задач по теории вероятности, что:

Примеры решения задач по теории вероятности

Вероятностью Примеры решения задач по теории вероятности на булевой алгебре Примеры решения задач по теории вероятности подмножеств Примеры решения задач по теории вероятности называется отображение Примеры решения задач по теории вероятности в отрезок [0, 1], обладающее следующими свойствами:

1) Примеры решения задач по теории вероятности.

2) Если события Примеры решения задач по теории вероятности несовместны, то Примеры решения задач по теории вероятности.

3) Если Примеры решения задач по теории вероятности — монотонно убывающая последовательность элементов из Примеры решения задач по теории вероятности и Примеры решения задач по теории вероятности, то Примеры решения задач по теории вероятности. Это может быть записано, как Примеры решения задач по теории вероятности.

Замечание. Вероятность Примеры решения задач по теории вероятности на Примеры решения задач по теории вероятности обладает свойствами:

Примеры решения задач по теории вероятности

Пара Примеры решения задач по теории вероятности, состоящая из пространства элементарных исходов Примеры решения задач по теории вероятности и булевой Примеры решения задач по теории вероятности-алгебры Примеры решения задач по теории вероятности его подмножеств, называется измеримым пространством. Только элементы Примеры решения задач по теории вероятности называются событиями.

Тройка Примеры решения задач по теории вероятности, где Примеры решения задач по теории вероятности — вероятность на Примеры решения задач по теории вероятности — алгебре Примеры решения задач по теории вероятности, называется вероятностным пространством.

Элементы комбинаторики

Комбинаторика — раздел математики, изучающий комбинации конечных множеств элементов различной природы.

Пусть все элементы рассматриваемых множеств различны. Будем изучать комбинации этих элементов, различающихся количеством и/или порядком.

Дано конечное число Примеры решения задач по теории вероятности объектов произвольной природы, которые назовем элементами.

Из них по определенному правилу можно образовать некоторые группы. Подсчетом числа таких возможных групп и занимается комбинаторика.

Будем рассматривать такие множества, в которых каждый элемент входит не более одного раза (соединения без повторений).

Перестановкой из Примеры решения задач по теории вероятности элементов называется конечное множество элементов, в котором установлен порядок. Так, например, из букв Примеры решения задач по теории вероятности можно составить следующие перестановки:

Примеры решения задач по теории вероятности

Число возможных перестановок из Примеры решения задач по теории вероятности элементов равно:

Примеры решения задач по теории вероятности

Множество, для которого указан порядок расположения элементов, называется упорядоченным. Упорядоченные конечные подмножества некоторого множества называются размещениями.

Число всех возможных размещений, содержащих по Примеры решения задач по теории вероятности элементов из множества, содержащего Примеры решения задач по теории вероятности элементов Примеры решения задач по теории вероятности, определяется по формуле:

Примеры решения задач по теории вероятности

Всякое конечное подмножество, состоящее из Примеры решения задач по теории вероятности элементов данного множества из Примеры решения задач по теории вероятности элементов, называется сочетанием Примеры решения задач по теории вероятности элементов из Примеры решения задач по теории вероятности, если каждое подмножества из Примеры решения задач по теории вероятности элементов отличается одно от другого хотя бы одним элементом.

Число всех возможных сочетаний обозначается:

Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №4

  • В группе 10 юношей и 7 девушек. Из группы случайным образом отбирается 5 студентов. Найти вероятность того, что среди них окажется 4 девушки?

Решение:

Пусть событие Примеры решения задач по теории вероятности состоит в том, что из 5 случайно отобранных студентов окажутся 4 девушки. Общее число исходов будет равно количеству способов, сколькими из 17 студентов можно отобрать по 5 студентов Примеры решения задач по теории вероятности. Благоприятствовать событию Примеры решения задач по теории вероятности будут те исходы, в которых будет 4 девушки и 1 юноша

Примеры решения задач по теории вероятности

Тогда

Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №5

  • Сколько способов существует для выбора команды участников субботника, если известно, что в команде должно быть 5 человек, а в студенческой группе 25 человек?

Решение:

Поскольку порядок следования элементов в подгруппе не имеет значения, значит речь идет о количестве сочетаний

Примеры решения задач по теории вероятности

Гипергеометрическое распределение

Большой класс задач, которые интерпретируются в рамках урновой схемы. Типовая задача: Пусть в эксперименте рассматриваются: Примеры решения задач по теории вероятности — черных шаров, Примеры решения задач по теории вероятности — белых шаров.

Отбирается Примеры решения задач по теории вероятности шаров из урны. Какова вероятность, что выборка содержит Примеры решения задач по теории вероятности черных шаров?

Нахождение вероятности в рамках данной схемы осуществляется по следующей формуле:

Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №6

  • Автомат с 30 мягкими игрушками, содержит фигурки зверей и супергероев в пропорции 2:1 соответственно. В случае победы автомат выдает случайным образом две игрушки. Какова вероятность, что это окажутся супергерои?

Решение:

Поскольку в эксперименте есть два ярко выделенных признака, по которым объект можно отнести либо к первому типу (мягкая игрушка), либо ко второму типу (супергерой), речь идет о гипергеометрическом распределении. Примеры решения задач по теории вероятностиПримеры решения задач по теории вероятности (количество супергероев), Примеры решения задач по теории вероятности (количество зверей). Тогда общее количество Примеры решения задач по теории вероятности, выбирают Примеры решения задач по теории вероятности игрушек, Примеры решения задач по теории вероятности (среди тех, которые выбрали, оба оказались супергероями). Тогда по формуле гипергеометрического распределения:

Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №7

  • На складе обоев 10 трубок первой партии и 7 трубок второй партии. Продавец случайным образом выбирает 3 трубки, какова вероятность, что все трубки окажутся одной партии?

Решение:

По вопросу задачи можно сделать вывод, что исходами, благоприятствующими наступлению события Примеры решения задач по теории вероятности = { все три трубки окажутся одной партии}, являются следующие: {три трубки первой партии}, {три трубки второй партии}. Тогда вероятность может быть найдена по следующей формуле:

Примеры решения задач по теории вероятности

Примеры вероятностных пространств

Рассмотрим в таблице примеры вероятностных пространств.

Примеры решения задач по теории вероятности
Примеры решения задач по теории вероятности

Разбиение на группы: перестановки, сочетания и размещения с повторениями

Пусть Примеры решения задач по теории вероятности — целые неотрицательные числа, причем Примеры решения задач по теории вероятности. Число способов, которыми можно представить множество Примеры решения задач по теории вероятности из Примеры решения задач по теории вероятности элементов в виде суммы Примеры решения задач по теории вероятности множеств Примеры решения задач по теории вероятности, число элементов которых составляет соответственно Примеры решения задач по теории вероятности равно:

Примеры решения задач по теории вероятности

Сочетаниями из Примеры решения задач по теории вероятности элементов по Примеры решения задач по теории вероятности элементов с повторениями называются группы, содержащие Примеры решения задач по теории вероятности элементов, причем каждый элемент принадлежит одному из Примеры решения задач по теории вероятности типов.

Число различных сочетаний из Примеры решения задач по теории вероятности типов по Примеры решения задач по теории вероятности объектов с повторениями равно:

Примеры решения задач по теории вероятности

Отображение множества Примеры решения задач по теории вероятности первых натуральных чисел 1, 2, 3, …, Примеры решения задач по теории вероятности в данное множество Примеры решения задач по теории вероятности называется размещением с повторением, составленным из данных Примеры решения задач по теории вероятности элементов (количество типов) по Примеры решения задач по теории вероятности. Количество размещений с повторениями находится по следующей формуле:

Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №8

  • Найдем число различных слов, которые можно получить, переставляя буквы в слове «Математика».

Решение:

Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №9

  • Найти число способов, которыми можно выбрать три буквы из АААТТТГГГЦЦЦ.

Решение:

Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №10

  • Найти количество всевозможных размещений с повторениями из букв Примеры решения задач по теории вероятности по две буквы.

Решение:

Примеры решения задач по теории вероятности

Независимость. Условные вероятности

Зная распределения вероятностей, мы в состоянии оптимизировать свое поведение при игре, производя ставки на те события из Примеры решения задач по теории вероятности, которые обладают наибольшей вероятностью.

Дальнейшая оптимизация такой игры обычно осуществляется за счет дополнительной информации, которой может располагать игрок, и учет такой информации осуществляется в терминах так называемой условной вероятности.

Рассмотрим два случайных события Примеры решения задач по теории вероятности и Примеры решения задач по теории вероятности. Пусть известно, что событие Примеры решения задач по теории вероятности наступило, но неизвестно, какое конкретно из элементарных событий Примеры решения задач по теории вероятности, составляющих событие Примеры решения задач по теории вероятности, наступило. Что можно сказать в этом случае о вероятности наступления события Примеры решения задач по теории вероятности?

Пусть вероятность события Примеры решения задач по теории вероятности — положительная величина. Условной вероятностью события Примеры решения задач по теории вероятности при условии, что произошло событие Примеры решения задач по теории вероятности, называют число:

Примеры решения задач по теории вероятности

Теорема умножения. Пусть

Примеры решения задач по теории вероятности

Тогда

Примеры решения задач по теории вероятности

Теорема.

Примеры решения задач по теории вероятности

Тогда

Примеры решения задач по теории вероятности

Задача. Студент знает 20 вопросов из 30. Экзаменатор задает три вопроса. Какова вероятность того, что студент ответит на все вопросы?

Два события называются независимыми, если вероятность появления одного из них не влияет на вероятность наступления другого. Говорят, что событие Примеры решения задач по теории вероятности не зависит от события Примеры решения задач по теории вероятности, если Примеры решения задач по теории вероятности, т.к. его вероятность не зависит от того, произошло ли событие В или нет. Независимость двух событий — свойство симметричное.

События Примеры решения задач по теории вероятности и Примеры решения задач по теории вероятности называются независимыми, если

Примеры решения задач по теории вероятности

Случайные события Примеры решения задач по теории вероятности называются попарно независимыми, если для любых

Примеры решения задач по теории вероятности

Случайные события Примеры решения задач по теории вероятности называются независимыми в совокупности, если для любого подмножества индексов:

Примеры решения задач по теории вероятности

Задача (Пример Бернштейна). На плоскость бросают тетраэдр, три грани которого окрашены соответственно в красный, зеленый и синий цвета, а на четвертой грани есть все цвета. Рассмотреть вероятности событий «выпала грань, которая содержит красный цвет», «выпала грань, которая содержит синий цвет», «выпала грань, которая содержит зеленый цвет». Будут ли эти события попарно независимыми и независимыми в совокупности?

Пример №11

  • В тире девушке и юноше выдали по одному патрону для попадания в цель и получения плюшевого медведя. Вероятность того, что попадет в цель девушка, равна 0,01. Вероятность того, что попадет юноша, равна 0,95. Каждый сделал по одному выстрелу. Какова вероятность, что мишка будет выигран?

Решение:

Исходы, благоприятствующие наступлению этого события:

{юноша попал и девушка попала},{юноша не попал и девушка попала},{юноша попал и девушка не попала}.

Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №12

  • В вазе стоит 5 роз и 4 гвоздики. Случайным образом выбирается один цветок. После этого выбирается еще один. Какова вероятность того, что второй цветок — роза?

Решение:

Первым выбранным цветком могла оказаться роза, тогда после ее изъятия в вазе останется только 4 розы. Первой могла оказаться гвоздика, тогда после первого изъятия цветка останется 5 роз. Вероятность того, что второй выбранный цветок роза, вычисляется следующим образом:

Примеры решения задач по теории вероятности

Формула полной вероятности. Формулы Байеса

Конечное или счетное число случайных событий Примеры решения задач по теории вероятности,… образует полную группу событий (разбиение) если:

Примеры решения задач по теории вероятности

Теорема (Формула полной вероятности). Пусть случайные события Примеры решения задач по теории вероятности образует полную группу событий. Тогда для произвольного события В, рассматриваемого на том же вероятностном пространстве выполняется следующее:

Примеры решения задач по теории вероятности

Пусть до опыта об исследуемом случайном явлении имеются гипотезы Примеры решения задач по теории вероятности. После опыта становится известной информация о результатах этого

явления, но не полная. Результаты наблюдений показывают, не какой конкретно элементарный исход Примеры решения задач по теории вероятности произошел, а что наступило некоторое событие Примеры решения задач по теории вероятности. Считая, что до опыта были известны (априорные) вероятности Примеры решения задач по теории вероятности и условные вероятности Примеры решения задач по теории вероятности, необходимо определить апостериорные вероятности Примеры решения задач по теории вероятности. Решение поставленной задачи дают формулы Байеса.

Теорема (Формулы Байеса). Пусть случайные события Примеры решения задач по теории вероятности образуют полную группу событий. Пусть для произвольного события Примеры решения задач по теории вероятности. Тогда для любых значений Примеры решения задач по теории вероятности имеют место формулы:

Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №13

  • Студент выучил 20 билетов из 25 и идет отвечать вторым. Какова вероятность, что он вытянет «удачный билет»?

Решение:

Рассмотрим следующие события:

Примеры решения задач по теории вероятности

Тогда

Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №14

  • Соотношение грузовых автомобилей, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, к числу легковых машин, проезжающих по тому же шоссе, равно 2:3. Вероятность того, что будет заправляться грузовая автомашина равна 0,1; для легковой машины эта вероятность равна 0,3. К бензоколонке подъехала для заправки автомашина. Найти вероятность того, что это грузовая автомашина.

Решение:

Пусть событие Примеры решения задач по теории вероятности — к бензоколонке подъехала для заправки автомашина; Примеры решения задач по теории вероятности — подъехала грузовая автомашина; Примеры решения задач по теории вероятности — подъехала легковая автомашина. Тогда

Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №15

  • При лечении больному необходимо принять лекарства двух видов одинаковой дозировки. Вероятность того, что больному станет легче от первого лекарства равна 0,9; от второго — 0,97. Больному стало легче. Какова вероятность того, что на его состояние повлияло первое лекарство?

Решение:

Рассмотрим равновероятные гипотезы Примеры решения задач по теории вероятности={больной принимает первое лекарство}, Примеры решения задач по теории вероятности= {больной принимает второе лекарство}.

Примеры решения задач по теории вероятности

Также рассмотрим событие Примеры решения задач по теории вероятности = {больному стало легче}. Условные вероятности:

Примеры решения задач по теории вероятности

Поскольку известно событие, которое наступило, необходимо использовать формулы Байеса. Вероятность того, что на состояние больного повлияло первое лекарство, будет найдена по формуле:

Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №16

  • На огороде посажены семена гороха и перца в одинаковых пропорциях. Всхожесть гороха равна 0,06. Всхожесть перца составляет 0,15. Растение проросло, какова вероятность, что это взошел перец?

Решение:

Рассмотрим взаимоисключающие гипотезы Примеры решения задач по теории вероятности={посажено семя гороха}, Примеры решения задач по теории вероятности={посажено семя перца}.

Примеры решения задач по теории вероятности

Также рассмотрим событие Примеры решения задач по теории вероятности = {всхожесть семени}.

Примеры решения задач по теории вероятности
Примеры решения задач по теории вероятности

Поскольку известно событие, которое наступило (растение проросло), необходимо использовать формулы Байеса. Вероятность того, что взошел перец, будет найдена по формуле:

Примеры решения задач по теории вероятности

Схема Бернулли

Под испытанием следует понимать эксперимент со случайным исходом.

Пусть производятся Примеры решения задач по теории вероятности независимых испытаний. Известно, что в каждом испытании возможны два исхода: либо происходит событие Примеры решения задач по теории вероятности (успех), либо событие Примеры решения задач по теории вероятности не происходит (неудача). Данная схема называется схемой Бернулли. При том предполагается, что вероятность Примеры решения задач по теории вероятности успеха и Примеры решения задач по теории вероятности неудачи не изменяются при переходе от испытания к испытанию.

Примеры решения задач по теории вероятности

Задача. Известно, что левши составляют 1% от жителей Земли. Найти вероятность того, что среди 200 человек найдется хотя бы 3 левши.

Наивероятнейшее число появления события Примеры решения задач по теории вероятности в Примеры решения задач по теории вероятности независимых испытаниях Примеры решения задач по теории вероятности — число испытаний, при котором достигается максимальная вероятность в Примеры решения задач по теории вероятности независимых испытаниях:

Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №17

  • Прибор состоит из четырех узлов. Вероятность безотказной работы в течение смены для каждого узла равна 0,85. Узлы выходят из строя независимо друг от друга. Найти вероятность того, что в течение смены откажут ровно два узла.

Решение:

Из условия задачи

Примеры решения задач по теории вероятности

Используя формулу Бернулли, получим:

Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №18

  • Определить вероятность того, что в семье, имеющей пять детей, будет три девочки и два мальчика. Вероятности рождения мальчика и девочки предполагаются одинаковыми.

Решение:

Из условия задачи

Примеры решения задач по теории вероятности

Используя формулу Бернулли, получим:

Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №19

  • В условиях предыдущей задачи найти вероятность того, что среди детей будет не больше трех девочек.

Решение:

Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №20

  • Вероятность попадания в цель стрелком равна 0,75. Сделано 20 выстрелов. Определить наивероятнейшее число попаданий в цель.

Решение:

Здесь

Примеры решения задач по теории вероятности

Следовательно, применим формулу

Примеры решения задач по теории вероятности

Получим:

Примеры решения задач по теории вероятности

т.е.

Примеры решения задач по теории вероятности

Наивероятнейшее число попаданий в цель равно 15.

Предельные теоремы в схеме Бернулли

Схема независимых испытаний служит вероятностной моделью многих реальных явлений, поэтому представляет значительный интерес задача подсчета вероятности Примеры решения задач по теории вероятности. При больших значениях Примеры решения задач по теории вероятности и Примеры решения задач по теории вероятности есть трудности в получении численного значения этих вероятностей.

Естественным образом возникает задача нахождения асимптотических форм, позволяющих приближенно вычислять вероятности Примеры решения задач по теории вероятности для достаточно больших Примеры решения задач по теории вероятности и малых Примеры решения задач по теории вероятности.

Теорема (Локальная предельная теорема Пуассона). Если Примеры решения задач по теории вероятности, так что Примеры решения задач по теории вероятности то

Примеры решения задач по теории вероятности

Теорема (Интегральная предельная теорема Пуассона). В схеме Бернулли для любого натурального числа Примеры решения задач по теории вероятности, любого Примеры решения задач по теории вероятности и для любого числового множества Примеры решения задач по теории вероятности справедливо неравенство:

Примеры решения задач по теории вероятности

Теперь рассмотрим асимптотическую формулу для вероятности не близкой к нулю.

Теорема (Локальная предельная теорема Муавра-Лапласа). Если в схеме Бернулли Примеры решения задач по теории вероятности, то для любого положительного с равномерно по всем Примеры решения задач по теории вероятности таких:

Примеры решения задач по теории вероятности

справедливо соотношение:

Примеры решения задач по теории вероятности

где Примеры решения задач по теории вероятности — бесконечно малая величина при Примеры решения задач по теории вероятности.

Теорема (Интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа). При выполнении условий предыдущей теоремы равномерно Примеры решения задач по теории вероятности выполнено предельное соотношение:

Примеры решения задач по теории вероятности

Заметим, что при использовании интегральной формулы Муавра-Лапласа формула обеспечивает достаточную точность уже при Примеры решения задач по теории вероятности.

По полученным теоремам составим таблицу.

Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №21

  • В каждом из 5 опытов событие Примеры решения задач по теории вероятности может появится с вероятностью Примеры решения задач по теории вероятности. Найти вероятность того, что событие Примеры решения задач по теории вероятности появится 3 раза.

Решение:

Применим формулу Бернулли:

Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №22

  • Найти вероятность того, что в 243 испытаниях событие Примеры решения задач по теории вероятности наступит ровно 70 раз, если вероятность появления этого события Примеры решения задач по теории вероятности в каждом испытании.

Решение:

Применим локальную теорему Муавра-Лапласа:

Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №23

  • Фабрика выпускает 70% продукции I сорта. Чему равна вероятность того, что в партии из 1000 изделий число изделий I сорта будет в диапазоне [652, 760]?

Решение:

Применим интегральную теорему Муавра-Лапласа.

Примеры решения задач по теории вероятности

Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях

Вероятность того, что в Примеры решения задач по теории вероятности независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна Примеры решения задач по теории вероятности, абсолютная величина отклонения относительной частоты появления события не превысит положительного числа Примеры решения задач по теории вероятности, приближенно равна удвоенной функции Лапласа при Примеры решения задач по теории вероятности.

Примеры решения задач по теории вероятности

Относительная частота события Примеры решения задач по теории вероятности определяется равенством Примеры решения задач по теории вероятности, где Примеры решения задач по теории вероятности — число испытаний, в которых Примеры решения задач по теории вероятности наступило, Примеры решения задач по теории вероятности — общее число произвольных испытаний.

Пример №24

  • Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,5. Найти число испытаний Примеры решения задач по теории вероятности, при котором с вероятностью 0,7698 можно ожидать, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,02.

Решение:

Их рассмотренной формулы:

Примеры решения задач по теории вероятности

получим, что

Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №25

  • Вероятность выигрыша на турнире по баскетболу равна 0,58. Найти количество турниров Примеры решения задач по теории вероятности, при котором с вероятностью приблизительно равной 0,9 можно ожидать, что относительная частота побед отклонится от вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,1.

Решение:

Примеры решения задач по теории вероятности
Примеры решения задач по теории вероятности

Случайные величины и их распределения

В азартных играх интерес играющих вызывает не наступление случайного исхода, а связанный с ним выигрыш или проигрыш, т.е. определенная числовая величина, которая соответствует исходу.

Примером случайной величины может быть число очков, выпавших при подбрасывании кубика, число бракованных изделий среди общего числа изделий.

Случайная величина Примеры решения задач по теории вероятности есть число, которое ставится в соответствие каждому возможному исходу эксперимента, т.е. ее можно рассматривать как функцию Примеры решения задач по теории вероятности на пространстве элементарных событий Примеры решения задач по теории вероятности.

Пусть Примеры решения задач по теории вероятности — произвольное вероятностное пространство. Случайной величиной называется функция Примеры решения задач по теории вероятности, такая что для любого Примеры решения задач по теории вероятности выполняется следующее:

Примеры решения задач по теории вероятности

Определим функцию распределения случайной величины, которая несет всю информацию, заложенную в случайной величине.

Функцией распределения случайной величины Примеры решения задач по теории вероятности называется функция

Примеры решения задач по теории вероятности

такая, что для любого действительного Примеры решения задач по теории вероятности выполняется:

Примеры решения задач по теории вероятности

Любая функция распределения обладает следующими свойствами:

1) Примеры решения задач по теории вероятности

2) существуют пределы Примеры решения задач по теории вероятности.

3) функция непрерывна слева, т.е. Примеры решения задач по теории вероятности.

4) Примеры решения задач по теории вероятности

5) Примеры решения задач по теории вероятности

Классификация дискретных случайных величин

Дискретная случайная величина — это случайная величина, которая принимает не более чем счетное число значений.

Пусть ее значения Примеры решения задач по теории вероятности… такие, что Примеры решения задач по теории вероятности….

Тогда

Примеры решения задач по теории вероятности

Совокупность значений Примеры решения задач по теории вероятности и соответствующих вероятностей Примеры решения задач по теории вероятности называется распределением дискретной случайной величины.

Закон распределения такой величины может быть таблично следующим образом:

Примеры решения задач по теории вероятности
Примеры решения задач по теории вероятности

Закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки Примеры решения задач по теории вероятностиПримеры решения задач по теории вероятности, где Примеры решения задач по теории вероятности — возможные значения Примеры решения задач по теории вероятности — соответствующие вероятности; и соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения (полигоном).

Пример №26

  • Найти функцию распределения случайной величины, которая представлена таблицей:
Примеры решения задач по теории вероятности

Решение:

Запишем функцию распределения в виде сложной функции:

Примеры решения задач по теории вероятности
  • Два шахматиста Миша и Коля делают по одному ходу. Вероятность удачного хода Мишей равна 0,7, а для Коли эта вероятность равна 0,76. Найти ряд распределения суммарного числа удачных ходов шахматистами.
Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №26.7

  • Партия изделий содержит 10% нестандартных. Пусть случайная величина Примеры решения задач по теории вероятности — число стандартных изделий в партии из пяти изделий. Требуется составить закон распределения случайной величины и записать функцию распределения.

Решение:

Случайная величина Примеры решения задач по теории вероятности может принимать значения Примеры решения задач по теории вероятности.

ВероятностьПримеры решения задач по теории вероятности найдем по формуле Бернулли:

Примеры решения задач по теории вероятности

По условию задачи

Примеры решения задач по теории вероятности
Примеры решения задач по теории вероятности

Запишем закон распределения случайной величины:

Примеры решения задач по теории вероятности

Найдем функцию распределения. По определению:

Примеры решения задач по теории вероятности
Примеры решения задач по теории вероятности

Окончательно получим:

Примеры решения задач по теории вероятности

Классификация абсолютно непрерывных случайных величин

Если случайная величина Примеры решения задач по теории вероятности принимает любые значения из некоторых интервалов или отрезков числовой оси, то она называется непрерывной случайной величиной. Примерами такой величины являются дальность полета снаряда, время безотказной работ прибора.

Плотностью распределения вероятностей случайной величины Примеры решения задач по теории вероятности в точке Примеры решения задач по теории вероятности Примеры решения задач по теории вероятности называется предел:

Примеры решения задач по теории вероятности

Теорема. Для того, чтобы случайная величина Примеры решения задач по теории вероятности была абсолютно непрерывной, необходимо и достаточно, чтобы:

Примеры решения задач по теории вероятности

Распределение случайной величины Примеры решения задач по теории вероятности называется непрерывным, а сама случайная величина — абсолютно непрерывной случайной величиной, если

Примеры решения задач по теории вероятности

где Примеры решения задач по теории вероятности — минимальная Примеры решения задач по теории вероятности — алгебра.

Свойства плотности распределения:

Примеры решения задач по теории вероятности

Эти три свойства выполняются для любой точки непрерывности функции.

Примеры решения задач по теории вероятности
Примеры решения задач по теории вероятности
Примеры решения задач по теории вероятности
Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №27

  • Плотность вероятности случайных амплитуд боковой качки корабля подчиняется закону Рэлея с параметрами Примеры решения задач по теории вероятности. Найти вероятность того, что значение случайной амплитуды будет находиться в диапазоне 0,1 до 0,6.

Решение:

Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №28

  • Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения:
Примеры решения задач по теории вероятности

Требуется найти значение параметра с и записать функцию распределения.

Решение:

Значение параметра с определим, используя свойство плотности распределения:

Примеры решения задач по теории вероятности
Примеры решения задач по теории вероятности

Функцию распределения определим из условия:

Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №29

  • Дана функция распределения случайной величины. Найти ее плотность распределения.
Примеры решения задач по теории вероятности

Решение:

Плотность распределения определим из свойства плотности распределения:

Примеры решения задач по теории вероятности
Примеры решения задач по теории вероятности

Некоторые законы распределения случайных величин

Примеры решения задач по теории вероятности
Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №30

  • Автобусы некоторого маршрута ходят строго по расписанию. Интервал движения 5 мин. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее 3 минут.

Решение:

Случайная величина Примеры решения задач по теории вероятности — время прихода пассажира на остановку, распределена равномерно на [0; 5]. Плотность распределения вероятностей имеет вид:

Примеры решения задач по теории вероятности

Пассажир будет ожидать автобус менее 3 минут, если он подойдет к остановке в интервале времени от 2 до 5 минут после отправления автобуса.

Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №31

  • Телефонная станция обслуживает 400 абонентов. Вероятность того, что в течение часа абонент позвонит на станцию, равна 0,01 и постоянна для всех абонентов. Найти вероятность того, что на станцию в течение часа позвонят не более двух абонентов.

Решение:

Дискретная случайная величина распределена по закону Пуассона. Воспользуемся формулой Пуассона:

Примеры решения задач по теории вероятности

По условию задачи

Примеры решения задач по теории вероятности
Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №32

  • Время Примеры решения задач по теории вероятности безотказной работы двигателя автомобиля распределено по показательному закону. Известно, что среднее время наработки двигателя на отказ между техническим обслуживанием — 100 ч. Определить вероятность безотказной работы двигателя в течение 80 ч.

Решение:

По условию задачи математическое ожидание случайной величины Примеры решения задач по теории вероятности равно 100 ч. Следовательно,

Примеры решения задач по теории вероятности

Тогда плотность распределения времени безотказной работы двигателя имеет вид:

Примеры решения задач по теории вероятности

Функция распределения случайной величины Примеры решения задач по теории вероятности принимает вид:

Примеры решения задач по теории вероятности

и определяет вероятность отказа двигателя за время продолжительностью Примеры решения задач по теории вероятности. Тогда вероятность безотказной работы двигателя за это время будет равна:

Примеры решения задач по теории вероятности

Функцию Примеры решения задач по теории вероятности называют функцией надежности. Для нашего случая

Примеры решения задач по теории вероятности

Основные числовые характеристики случайных величии

Примеры решения задач по теории вероятности

Свойства математического ожидания:
1) Математическое ожидание числа появлений события Примеры решения задач по теории вероятности в одном испытании равно вероятности Примеры решения задач по теории вероятности наступления этого испытания.

Примеры решения задач по теории вероятности

Заметим, что математическое ожидание случайной величины Примеры решения задач по теории вероятности можно трактовать как вероятностное среднее этой величины.

Для любой случайной величины Примеры решения задач по теории вероятности случайная величина Примеры решения задач по теории вероятности называется центрированной случайной величиной или отклонением.

Пусть случайная величина Примеры решения задач по теории вероятности определена на вероятностном пространстве Примеры решения задач по теории вероятности. Для Примеры решения задач по теории вероятности величина Примеры решения задач по теории вероятности, если она определена, называется моментом Примеры решения задач по теории вероятности-го порядка случайной величины

Величина Примеры решения задач по теории вероятности называется абсолютным моментом Примеры решения задач по теории вероятности-го порядка случайной величины

Моменты случайной величины Примеры решения задач по теории вероятности называются центральными моментами случайной величины Примеры решения задач по теории вероятности.

Центральные моменты четного порядка случайной величины Примеры решения задач по теории вероятности характеризуют степень разброса значений относительно ее среднего значения.

Дисперсией случайной величины Примеры решения задач по теории вероятности называется число Примеры решения задач по теории вероятности, число Примеры решения задач по теории вероятности называется среднеквадратическим отклонением случайной величины Примеры решения задач по теории вероятности.

Примеры решения задач по теории вероятности

Свойства дисперсии случайной величины:

Примеры решения задач по теории вероятности

Формулы вычисления математического ожидания и дисперсии для некоторых случайных величин:

Примеры решения задач по теории вероятности
Примеры решения задач по теории вероятности

Ковариацией случайной величины Примеры решения задач по теории вероятности и Примеры решения задач по теории вероятности называется число:

Примеры решения задач по теории вероятности

Если математическое ожидание случайной величины Примеры решения задач по теории вероятности является характеристикой ее положения, средним значением, около которого группируются значения случайной величины, то дисперсия и среднеквадратического отклонение являются характеристиками рассеяния случайной величины около математического ожидания.

Пример №33

  • Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины Примеры решения задач по теории вероятности
Примеры решения задач по теории вероятности

Решение:

Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №34

  • Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение непрерывной случайной величины Примеры решения задач по теории вероятности, заданной плотностью распределения:
Примеры решения задач по теории вероятности

Решение:

Примеры решения задач по теории вероятности

Другие характеристики случайных величин

Примеры решения задач по теории вероятности

Кроме рассмотренных выше числовых характеристик случайной величины, в приложениях используются так называемые квантили.

Квантилью уровня Примеры решения задач по теории вероятности случайной величины Примеры решения задач по теории вероятности называется решение уравнения:

Примеры решения задач по теории вероятности

Квантили Примеры решения задач по теории вероятности имеют названия нижняя квартиль, медиана, верхняя квартиль. Они делят числовую прямую на четыре части, вероятности попадания в которые равны 0,25.

Пример №35

  • Найти моду случайной величины Примеры решения задач по теории вероятности, заданной распределением:
Примеры решения задач по теории вероятности

Решение:

Поскольку для моды выполняется равенство:

Примеры решения задач по теории вероятности

Наибольшая вероятность достигается при

Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №36

  • Найти эксцесс случайной величины Примеры решения задач по теории вероятности:
Примеры решения задач по теории вероятности

Решение:

Найдем начальные моменты случайной величины Примеры решения задач по теории вероятности первых четырех порядков:

Примеры решения задач по теории вероятности

Найдем центральные моменты случайной величины Примеры решения задач по теории вероятности первых четырех порядков:

Примеры решения задач по теории вероятности

Тогда среднеквадратическое отклонение случайной величины Примеры решения задач по теории вероятности:

Примеры решения задач по теории вероятности

Эксцесс случайной величины Примеры решения задач по теории вероятности найдем по формуле:

Примеры решения задач по теории вероятности

Свойства нормальной случайной величины:

1) Примеры решения задач по теории вероятности, график функции расположен выше оси Примеры решения задач по теории вероятности.

2) Ось Примеры решения задач по теории вероятности служит асимптотой графика функции Примеры решения задач по теории вероятности, т.к. Примеры решения задач по теории вероятности.

3) Функция Примеры решения задач по теории вероятности имеет один максимум при Примеры решения задач по теории вероятности равный Примеры решения задач по теории вероятности.

4) График функции Примеры решения задач по теории вероятности симметричен относительно прямой Примеры решения задач по теории вероятности.

5) Точки

Примеры решения задач по теории вероятности

являются точками перегиба графика функции Примеры решения задач по теории вероятности.

Вероятность попадания случайной величины

Примеры решения задач по теории вероятности

на заданный участок Примеры решения задач по теории вероятности:

Примеры решения задач по теории вероятности

Случайная величина Примеры решения задач по теории вероятности принимает свое значения в промежутке Примеры решения задач по теории вероятности с вероятностью 0,9973.

Вероятность отклонения нормально распределенной случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине определяется по формуле:

Примеры решения задач по теории вероятности

Вероятность отклонения относительной частоты Примеры решения задач по теории вероятности от вероятности наступления события Примеры решения задач по теории вероятности в серии из Примеры решения задач по теории вероятности независимых испытаний выражается формулой:

Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №37

  • Суточное потребление электроэнергии исправной печью является случайной величиной, распределенной по нормальному закону со средним 1000 кВт и среднеквадратичным отклонением 50. Если суточное потребление превысит 1100 кВт, то по инструкции печь отключают и ремонтируют. Найти вероятность ремонта печи.

Решение:

Случайная величина Примеры решения задач по теории вероятности есть суточное потребление электроэнергии печью.

Примеры решения задач по теории вероятности

Найдем вероятность попадания случайной величины Примеры решения задач по теории вероятности в интервал (0; 1100). Для этого воспользуемся формулой:

Примеры решения задач по теории вероятности

Тогда вероятность ремонта печи равна 1-0,9544 = 0,0456.

Пример №38

  • Рост мальчиков возрастной группы 15 лет есть нормально распределённая случайная величина Примеры решения задач по теории вероятности с параметрами
Примеры решения задач по теории вероятности

Какую долю костюмов для мальчиков, имеющих рост от 152 до 158 см, нужно предусмотреть в объёме производства для данной возрастной группы.

Решение:

Примеры решения задач по теории вероятности

Найдем вероятность попадания случайной величины Примеры решения задач по теории вероятности в интервал (152; 158). Для этого воспользуемся формулой:

Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №39

  • Текущая оценка ценной бумаги представляет собой нормально распределенную случайную величину со средним значением 100 у. е. и дисперсией 9. Найти вероятность того, что цена актива (ценной бумаги) будет находиться в пределах от 91 до 109 у. е.

Решение:

Так как

Примеры решения задач по теории вероятности

тогда

Примеры решения задач по теории вероятности

Неравенство Чебышева

Необходимо рассмотреть условия, при выполнении которых совокупное действие очень многих случайных причин приводит к результату, почти не зависящему от случая, так как позволяет предвидеть ход явлений. Эти условия и указываются в теоремах, носящих общее название закона больших чисел. К ним относятся теоремы Чебышева и Бернулли.

Теорема Чебышева является наиболее общим законом больших чисел, теорема Бернулли — простейшим.

Теорема (Неравенство Чебышева). Вероятность того, что отклонение случайной величины Примеры решения задач по теории вероятности от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа Примеры решения задач по теории вероятности, не меньше чем

Примеры решения задач по теории вероятности
Примеры решения задач по теории вероятности

Теорема Чебышева. Если последовательность попарно независимых случайных величин Примеры решения задач по теории вероятности… имеет конечное математическое ожидание и дисперсии этих величин равномерно ограничены (не превышают постоянного числа С), то среднее арифметическое случайной величины сходится по вероятности к среднему арифметическому их математического ожидания, т.е. если Примеры решения задач по теории вероятности — любое положительное число, то

Примеры решения задач по теории вероятности

В этом случае среднее арифметическое достаточно большого числа независимых случайных величин (дисперсии которых равномерно ограничены) утрачивает характер случайной величины.

Если проводится серия измерений какой-либо физической величины, причем:

1) результат каждого измерения не зависит от результатов остальных (измерения попарно независимы);

2) измерения производятся без систематических ошибок, (имеют одно и то же математическое ожидание);

3) обеспечена определенная точность измерений, (дисперсии их ограничены)

то при достаточно большом числе измерений их среднее арифметическое окажется сколь угодно близким к истинному значению измеряемой величины.

Теорема Бернулли. Если в каждом из независимых опытов вероятность появления события Примеры решения задач по теории вероятности постоянна, то при достаточно большом числе испытаний вероятность того, что модуль отклонения относительной частоты появлений Примеры решения задач по теории вероятности в Примеры решения задач по теории вероятности опытах от Примеры решения задач по теории вероятности будет сколь угодно малым, как угодно близка к 1.

Закон больших чисел не исследует вид предельного закона распределения суммы случайных величин. Этот вопрос рассмотрен в группе теорем, называемых центральной предельной теоремой. Они утверждают, что закон распределения суммы случайных величин, каждая из которых может иметь различные распределения, приближается к нормальному при достаточно большом числе слагаемых. Этим объясняется важность нормального закона для практических приложений.

Центральная предельная теорема. Если Примеры решения задач по теории вероятности — независимые случайные величины с одинаковым законом распределения, математическим ожиданием Примеры решения задач по теории вероятности и дисперсией Примеры решения задач по теории вероятности, то при неограниченном увеличении Примеры решения задач по теории вероятности закон распределения суммы Примеры решения задач по теории вероятности неограниченно приближается к нормальному.

Пример №40

  • Найти вероятность того, что Примеры решения задач по теории вероятности для случайной величины Примеры решения задач по теории вероятности:
Примеры решения задач по теории вероятности

Решение:

По неравенству Чебышева:

Примеры решения задач по теории вероятности

Найдем математическое ожидание случайной величины Примеры решения задач по теории вероятности.

Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №41

  • Найти вероятность того, что Примеры решения задач по теории вероятности для случайной величины Примеры решения задач по теории вероятности:
Примеры решения задач по теории вероятности

Решение:

Математическое ожидание случайной величины принимает значение:

Примеры решения задач по теории вероятности

Дисперсия равна

Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №42

  • В ящике 20 деталей, из которых 4 бракованные.

Найти вероятность того, что наугад взятая из ящика деталь окажется бракованной.

Решение:

Так как каждая из имеющихся деталей может быть из ящика, то число всех равновозможных элементарных исходов Примеры решения задач по теории вероятности. Число исходов, благоприятствующих появлению бракованной детали, Примеры решения задач по теории вероятности. Если событие Примеры решения задач по теории вероятности означает, что взятая деталь бракованная, то

Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №43

  • Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго.

Найти, вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.

Решение:

Вероятности появления каждого из двух независимых событий Примеры решения задач по теории вероятности и Примеры решения задач по теории вероятности соответственно равны Примеры решения задач по теории вероятности и Примеры решения задач по теории вероятности.

Примеры решения задач по теории вероятности — появилось только событие Примеры решения задач по теории вероятности;

Примеры решения задач по теории вероятности — появилось только событие Примеры решения задач по теории вероятности.

Появление события Примеры решения задач по теории вероятности равносильно появлению события Примеры решения задач по теории вероятности (появилось первое событие и не появилось второе), т.е. Примеры решения задач по теории вероятности.

Появление события Примеры решения задач по теории вероятности равносильно появлению события Примеры решения задач по теории вероятности (появилось второе событие и не появилось первое). Примеры решения задач по теории вероятности.

Таким образом, чтобы найти вероятность появления одного из событий Примеры решения задач по теории вероятности и Примеры решения задач по теории вероятности достаточно найти вероятность появления одного, безразлично какого, из событий Примеры решения задач по теории вероятности и Примеры решения задач по теории вероятности. События Примеры решения задач по теории вероятности и Примеры решения задач по теории вероятности несовместны, поэтому применима теорема сложения:

Примеры решения задач по теории вероятности

События Примеры решения задач по теории вероятности и Примеры решения задач по теории вероятности — независимы, следовательно, независимы события Примеры решения задач по теории вероятности и Примеры решения задач по теории вероятности, а также Примеры решения задач по теории вероятности и Примеры решения задач по теории вероятности, поэтому применима теорема умножения:

Примеры решения задач по теории вероятности

Подставив эти вероятности, найдем искомую вероятность появления только одного из событий Примеры решения задач по теории вероятности и Примеры решения задач по теории вероятности:

Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №44

  • В вычислительной лаборатории имеется 6 компьютеров одного типа и 4 другого. Вероятность того, что на время выполнения некоторого расчета компьютер I типа не выйдет из строя, равна 0,95; для компьютера другого типа — 0,8. Студент производит расчет на наудачу взятом компьютере.

Найти вероятность того, что до окончания расчета компьютер не выйдет из строя.

Решение:

Обозначим через Примеры решения задач по теории вероятности — компьютер не выйдет из строя до окончания расчета. Возможны следующие предположения (гипотезы) о первоначальном качестве компьютеров; всего компьютеров в лаборатории — 10, из них:

Примеры решения задач по теории вероятности

В сумме гипотезы всегда равны 1, проверим:

Примеры решения задач по теории вероятности

Условная вероятность того, что студент воспользуется компьютером 1-го типа, равна Примеры решения задач по теории вероятности; 2-го типа — Примеры решения задач по теории вероятности.

Искомая вероятность того, что до окончания расчета компьютер любого типа не выйдет из строя, равна:

Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №45

  • Два автомата производят одинаковые детали, которые сбрасываются на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 78% деталей отличного качества, а второй — 86%.

Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом.

Решение:

Обозначим событие Примеры решения задач по теории вероятности — деталь отличного качества. Можно сделать два предположения (гипотезы): Примеры решения задач по теории вероятности — деталь произведена первым автоматом;

Примеры решения задач по теории вероятности — деталь произведена вторым автоматом; Примеры решения задач по теории вероятности.

Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена первым автоматом, равна

Примеры решения задач по теории вероятности

Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена вторым автоматом, равна

Примеры решения задач по теории вероятности

Вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется отличного качества, по формуле полной вероятности равна

Примеры решения задач по теории вероятности

Искомая вероятность того, что взятая отличная деталь произведена первым автоматом, по формуле Байсса равна

Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №46

  • При измерении роста у 18 студентов установлено, что у трех рост — 188 см; у четверых — 182 см; у пятерых — 180 см; у шестерых 178 см. Примеры решения задач по теории вероятности — рост студента.

Записать закон распределения Примеры решения задач по теории вероятности. Вычислить математическое ожидание Примеры решения задач по теории вероятности, дисперсию Примеры решения задач по теории вероятности и среднеквадратическое отклонение Примеры решения задач по теории вероятности.

Решение:

Вероятность обнаружения среди 18 студентов троих с ростом 188 см:

Примеры решения задач по теории вероятности

Аналогично вероятность обнаружения среди 18 студентов четверых с ростом 182 см:

Примеры решения задач по теории вероятности

Получаем закон распределения в виде следующей таблицы:

Примеры решения задач по теории вероятности

Далее находим:

Примеры решения задач по теории вероятности

Пример №47

  • Устройство состоит из четырех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента равна 0,2.

Записать закон распределения числа отказавших элементов устройства, найти математическое ожидание и дисперсию.

Решение:

Дискретная случайная величина Примеры решения задач по теории вероятности может принимать значения Примеры решения задач по теории вероятности Примеры решения задач по теории вероятности. Так как Примеры решения задач по теории вероятности то по формуле Бернулли находим:

Примеры решения задач по теории вероятности

Математическое ожидание равно

Примеры решения задач по теории вероятности

Элементы теории вероятностей

Событие и вероятность

Под событием мы будем понимать всякое явление, которое происходит или не происходит. Легко понять, что эта фраза отнюдь не может служить точным определением в том смысле, как мы понимаем математическое определение, однако мы вынуждены ею ограни­читься.

Для большей ясности приведем некоторые примеры. Так, например, событием является выпадение герба при бросании монеты, выпадение того или иного числа очков (например, шестерки) при бросании игральной кости, попадание в цель при выстреле, нахож­дение молекулы газа в заранее выделенном объеме, опоздание в шко­лу, приход в школу вовремя, прочтение (или непрочтение) этой книги (или «Евгения Онегина»)…

Различные события мы будем обозначать буквами A, B, C, … .

Событие называют достоверным, если оно непременно должно произойти. Так, достоверным является выпадение не более шести очков при бросании обычной игральной кости, появление белого шара при извлечении из урны, содержащей только белые ша­ры, и т. п.

Наоборот, событие называют невозможным, если оно заведомо не наступит. Примерами невозможных событий являются извлечение более четырех тузов из обычной карточной колоды, появление красного шара из урны, содержащей лишь белые и черные шары, и т. п.

Пусть А — некоторое событие. Под событием, противоположным ему, будем понимать событие, состоящее в том, что А не наступило. Его обозначают через Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры Если, скажем, событие A состоит в появле­нии красной масти при вытаскивании карты из колоды, то Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры озна­чает появление черной.

События А и В называют несовместными, если наступление одного из них исключает возможность наступления другого. Так, появление любого возможного числа очков при бросании игральной кости (событие А) несовместно с появлением иного числа (событие В). Выпадение четного числа очков несовместно с выпадением нечетного числа. Наоборот, выпадение четного числа очков (событие А) и числа очков, кратного трем (событие В), не будут несовместными, ибо выпадение шести очков означает наступление и события А , и события В у так что наступление одного из них не исключает наступ­ления другого. Легко понять, что события А и Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры всегда будут не­ совместными.

Рассмотрим некоторую совокупность событий А , В, …, L. Эти события принято называть единственно возможными, если в резуль­тате каждого испытания хотя бы одно из них наверное наступит. Говорят также, что рассматриваемые события образуют полную группу событий. Так, например, при бросании игральной кости полную группу образуют события, состоящие в выпадении одного, двух, трех, четырех, пяти и шести очков.

Теперь мы можем перейти к рассмотрению важнейшего понятия вероятности события.

Рассмотрим систему конечного числа событий Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры относительно которой сделаем следующие предположения:

1. Эти события попарно несовместны; иначе говоря, для любых двух событий Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры появление одного из них исключает появление другого.

2. События Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры единственно возможны, то есть какое-либо одно из них непременно должно наступить.

3. События Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры равновозможны. Это означает, что не существует никаких объективных причин, вследствие которых одно из них могло бы наступать чаще, чем какое-либо другое.

Пусть имеется событие А , которое наступает при появлении некоторых из наших «элементарных» событий Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры и не на­ступает при появлении других. Мы будем говорить в таком случае, что те из «элементарных» событий Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры при наступлении которых наступает также событие A, благоприятствуют событию A.

Допустим, что из общего числа n рассматриваемых событий Теория вероятностей решение задач, заданий  и примерыТеория вероятностей решение задач, заданий  и примеры событию A благоприятствует m из них. Тогда вероятностью события А называется отношение числа событий, благо­приятствующих событию А , к общему числу всех равновозможных событий. Если, как это принято, обозначить вероятность события A через Р (A), то мы получаем по определению

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Поясним приведенное нами определение примером. Рассмотрим бросание игральной кости и обозначим через Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

события, состоящие в выпадении соответственно одного, двух шести оч­ков. Легко проверить, что эти события удовлетворяют всем сделан­ным выше предположениям.

Отсюда следует, что

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

потому что каждому из этих событий благоприятствует только оно само, так что здесь m = 1, а n = 6.

Если событие А означает появление четного числа очков, то ему благоприятствуют события Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры состоящие в появлении двух, четырех и шести очков. Поэтому для события А имеем m = 3, так что Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Пусть событие В состоит в появлении числа очков, кратного трем. Тогда событию B благоприятствуют «элементарные» события Теория вероятностей решение задач, заданий  и примерыоткуда следует, что для события В имеем m = 2. ПоэтомуТеория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Легко заметить, что для любого события А число благоприятствующих событий m удовлетворяет неравенствам Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры Поэтому вероятность любого события А подчинена условиям

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Далее, если обозначить через Е некоторое достоверное событие, то ему, очевидно, должны благоприятствовать все элементарные» события Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры так что для него должно быть m = n. Поэтому вероятность достоверного события равна единице:

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Если, наоборот, UI — невозможное событие, то из самого определения следует, что здесь m — 0, так что вероятность невозможно­го события равна нулю:

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Рассмотрим несколько примеров, разъясняющих введенное нами понятие вероятности.

Пример:

В урне находятся три синих, восемь красных и девять белых шаров одинакового размера и веса, неразличимых наощупь. Шары тщательно перемешаны. Какова вероятность по­явления синего, красного и белого шаров при одном вынимании шара из урны.

Решение:

Так как появление любого шара можно считать равновозможным, то мы имеем всего n = 3 + 8 + 9 = 20 элементарных событий. Если через A, В, С обозначить события, состоя­щие в появлении соответственно синего, красного и белого шаров, а через Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры — число благоприятствующих этим событиям случаев, то ясно, что Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры Поэтому

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Пример:

Одновременно брошены две монеты. Какова вероятность появления m гербов (m = 0, 1, 2)?

Решение:

Рассмотрим возможные при бросании двух монет исходы. Очевидно, их можно описать схемой

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

где Г означает выпадение герба, а Р — надписи. Таким образом, возможны четыре элементарных события. Поскольку монеты пред­полагаются однородными и имеющими геометрически правильную форму, то нет никаких оснований предполагать, что одна из сторон какой-либо монеты выпадает чаще других. Поэтому все четыре слу­чая следует считать равновозможными. Но тогда, обозначив через Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры вероятность выпадения m гербов, легко получим:

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Пример:

Одновременно бросаются две игральные кости, на гранях которых нанесены очки 1, 2, 3, 4, 5, 6. Какова вероят­ность того, что сумма очков, выпавших на двух костях, равна восьми?

Решение:

Так как любое из возможного числа очков на од­ной кости может сочетаться с любым числом очков на другой, то общее число различных случаев равно n = 6 • 6 = 36. Легко убе­диться в том, что все эти случаи попарно несовместны, равновозмож­ны и образуют полную группу событий. Для ответа на вопрос следует подсчитать, в каком числе случаев сумма очков равна восьми. Это будет, если число очков на брошенных костях равно

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

причем первое слагаемое означает число очков на первой, а второе — на второй кости. Отсюда видно, что событию A, состоящему в том, что сумма очков, выпавших на двух костях, равна восьми, благо­приятствует m=5 случаев. Поэтому

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Сложные вероятности. Теоремы сложения и умножения. Условные вероятности

Непосредственный подсчет случаев, благоприятствующих дан­ному событию, может оказаться затруднительным. Поэтому для определения вероятности события бывает выгодно представить дан­ное событие в виде комбинации некоторых других, более простых событий. При этом, однако, надо знать правила, которым подчи­няются вероятности при комбинации событий. Именно к этим пра­вилам и относятся упомянутые в названии параграфа теоремы.

Первая из них относится к подсчету вероятности того, что осуществится хотя бы одно из нескольких событий.

Теорема сложения:

Пусть А и В — два несовместных события. Тогда вероятность того, что осуществится хотя бы одно из этих двух событий, равна сумме их вероятностей:

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Доказательство:

Пусть Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры — полная группа попарно несовместных событий. Если Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры, Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры то среди этих n элементарных событий имеется ровно Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры событий, благоприятствующих A, и ровно Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры событий, благоприятствующих В. Так как события А и В несовместны, то никакое из событий не может благоприятствовать обоим этим собы­тиям. Событию (А или В), состоящему в том, что наступает хотя бы одно из этих двух событий, благоприятствует, очевидно, как каждое из событий Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры благоприятствующих А, так и каждое из событий Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры благоприятствующих В . Поэтому общее число событий, благо­приятствующих событию (А или В), равно сумме Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры откуда следует:

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

что и требовалось доказать .

Нетрудно видеть, что теорема сложения, сформулированная выше для случая двух событий, легко переносится на случай любого конечного числа их. Именно если A, В, С, …L— попарно не­ cовместные события, то

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Для случая трех событий, например, можно написать

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

откуда уже вытекает наше утверждение. Далее следует воспользоваться методом математической индукции.

Важным следствием теоремы сложения является утверж­дение: если события Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры попарно несовместны и единствен­но возможны, то

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Действительно, событие (Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры или Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры или … или Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры) по предполо­жению достоверно и его вероятность, как было указано в § 1, равна единице. В частности, если A и Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры означают два взаимно противо­положных события, то

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Проиллюстрируем теорему сложения примерами.

Пример:

При стрельбе по мишени вероятность сделать отличный выстрел равна 0,3, а вероятность сделать выстрел на оценку «хорошо» равна 0,4. Какова вероятность получить за сделанный выстрел оценку не ниже «хорошо»?

Решение:

Если событие A означает получение оценки «от­лично», а событие В — получение оценки «хорошо», то

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Пример:

В урне, содержащей n шаров белого, красного и черного цвета, находятся к белых шаров и l красных. Какова вероятность вынуть шар не черного цвета?

Решение:

Если событие Л состоит в появлении белого, а событие В — красного шара, то появление шара не черного цвета означает появление либо белого, либо красного шара. Так как по определению вероятности

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

то по теореме сложения вероятность появления шара не черного цвета равна;

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Эту задачу можно решить и так. Пусть событие С состоит в появлении черного шара. Число черных шаров равно n — (k + l), так что Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры Появление шара не черного цвета является противоположным событием Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры поэтому на основании указанного выше следствия из теоремы сложения имеем:

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

как и раньше.

Пример:

В денежно-вещевой лотерее на серию в 1000 би­летов приходится 120 денежных и 80 вещевых выигрышей. Какова вероятность какого-либо выигрыша на один лотерейный билет?

Решение:

Если обозначить через А событие, состоящее в выпадении денежного выигрыша и через В — вещевого, то из опре­деления вероятности следует

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Интересующее нас событие представляет (А или В), поэтому из теоремы сложения вытекает

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Таким образом, вероятность какого-либо выигрыша равна 0,2.

Прежде чем перейти к следующей теореме, необходимо ознакомиться с новым важным понятием — понятием условной вероятно­сти. Для этой цели мы начнем с рассмотрения следующего примера.

Пусть на складе имеется 400 электрических лампочек, изготовленных на двух различных заводах, причем на первом изготовлено 75% всех лампочек, а на втором — 25%. Допустим, что среди лампо­чек, изготовленных первым заводом, 83% удовлетворяют условиям определенного стандарта, а для продукции второго завода этот про­цент равен 63. Определим вероятность того, что случайно взятая со склада лампочка окажется удовлетворяющей условиям стандарта.

Заметим, что общее число имеющихся стандартных лампочек состоит из 400 • 0,75 • 0,83 = 249 лампочек, изготовленных первым заводом, и 63 лампочек, изготовленных вторым заводом, то есть равно 312. Так как выбор любой лампочки следует считать равновоз­можным, то мы имеем 312 благоприятствующих случаев из 400, так что

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

где событие В состоит в том, что выбранная нами лампочка стандартна.

При этом подсчете не делалось никаких предположений о том, к продукции какого завода принадлежит выбранная нами лампочка. Если же какие-либо предположения такого рода сделать, то очевидно, что интересующая нас вероятность может измениться. Так, например, если известно, что выбранная лампочка изготовлена на первом заводе (событие А), то вероятность того, что она стандартна, будет уже не 0,78, а 0,83.

Такого рода вероятность, то есть вероятность события В при условии, что имеет место событие А , называют условной вероятностью события В при условии наступления события А и обозначают Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Если мы в предыдущем примере обозначим через А событие, состоящее в том, что выбранная лампочка изготовлена на первом заводе, то мы можем написать Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Теперь мы можем сформулировать важную теорему, относящую­ся к подсчету вероятности совмещения событий.

Теорема умножения:

Вероятность совмещения событий А и В равна произведению вероятности одного из событий на условную вероятность другого в предположении, что первое имело место:

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

При этом под совмещением событий А и В понимается наступление каждого из них, то есть наступление как события А , так и события В .

Доказательство:

Рассмотрим полную группу из п рав­новозможных попарно несовместных событий Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры каж­дое из которых может быть благоприятствующим или неблагоприятствующим как для события А , так и для события В.

Разобьем все эти события на четыре различные группы следующим образом. К первой группе отнесем те из событий Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры которые благоприятствуют и событию А , и событию В; ко второй и третьей группам отнесем такие события Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры которые благоприятст­вуют одному из двух интересующих нас событий и не благоприятст­вуют другому, например ко второй группе — те, которые благо­приятствуют А , но не благоприятствуют В, а к третьей — те, кото­рые благоприятствуют В , но не благоприятствуют А; наконец, к четвертой группе отнесем те из событий Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры которые не благоприят­ствуют ни A, ни В.

Так как нумерация событий Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры не играет роли, то можно предположить, что это разбиение на четыре группы выглядит так: I группа: Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

II группа: Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

III группа: Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

IV группа: Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Таким образом, среди n равновозможных и попарно несовместных событий Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры имеется k событий, благоприятствую­щих и событию A, и событию В, l событий, благоприятствующих событию A, но не благоприятствующих событию В, m событий, бла­гоприятствующих В, но не благоприятствующих A, и, наконец, n — (k + I + m) событий, не благоприятствующих ни A, ни В.

Заметим, между прочим, что какая-либо из рассмотренных нами четырех групп (и даже не одна) может не содержать ни одного события. В этом случае соответствующее число, означающее количество событий в такой группе, будет равно нулю.

Произведенная нами разбивка на группы позволяет сразу на­ писать

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

ибо совмещению событий А и В благоприятствуют события первой группы и только они. Общее число событий, благоприятствующих А, равно общему числу событий в первой и второй группах, а благо­приятствующих В — общему числу событий в первой и третьей группах.

Подсчитаем теперь вероятность Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры то есть вероятность события В при условии, что событие А имело место. Теперь события, вхо­дящие в третью и четвертую группы, отпадают, так как их появле­ние противоречило бы наступлению события A, и число возможных случаев оказывается равным уже не n, а k + l. Из них событию В благоприятствуют лишь события первой группы, так что мы получаем:

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Для доказательства теоремы достаточно теперь написать очевид­ное тождество:

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

и заменить в нем все три дроби вычисленными выше вероятностями. Мы придем к утверждавшемуся в теореме равенству:

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Ясно, что написанное нами выше тождество имеет смысл лишь при Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры что справедливо всегда, если только А не есть невоз­можное событие.

Так как события А и В равноправны, то, поменяв их местами, получим другую форму теоремы умножения:

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Впрочем, это равенство можно получить тем же путем, что и предыдущее, если заметить, что Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры и воспользоваться тождеством Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Сравнивая правые части двух выражений для вероятности Р (А и В), получим полезное равенство:

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Рассмотрим теперь примеры, иллюстрирующие теорему умножения.

Пример:

В продукции некоторого предприятия признаются годными (событие А) 96% изделий. К первому сорту (событие В) оказываются принадлежащими 75 изделий из каждой сотни годных. Определить вероятность того, что произвольно взятое изделие бу­дет годным и принадлежит к первому сорту.

Решение:

Искомая вероятность есть вероятность совмещения событий А и В. По условию имеем: Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры Поэтому теорема умножения дает

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Пример:

Вероятность попадания в цель при отдельном выстреле (событие А) равна 0,2. Какова вероятность поразить цель, если 2% взрывателей дают отказы (т. е. в 2% случаев выстре­ла не произойдет)?

Решение:

Пусть событие В состоит в том, что выстрел произойдет, а Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры означает противоположное событие. Тогда по условию Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры и согласно следствию из теоремы сложения Р(В)=1- Р(В) = 0,98. Далее, по условию Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Поражение цели означает совмещение событий А а В (выстрел произойдет и даст попадание), поэтому по теореме умножения

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Важный частный случай теоремы умножения можно получить, если воспользоваться понятием независимости событий.

Два события называются независимыми, если вероятность одного из них не изменяется в результате того, наступило или не наступи­ло другое.

Примерами независимых событий являются выпадение различного числа очков при повторном бросании игральной кости или той или иной стороны монет при повторном бросании монеты, так как очевидно, что вероятность выпадения герба при втором бросании равна Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры независимо от того, выпал или не выпал герб в первом.

Аналогично, вероятность вынуть во второй раз белый шар из урны с белыми и черными шарами, если вынутый первым шар пред­варительно возвращен, не зависит от того, белый или черный шар был вынут в первый раз. Поэтому результаты первого и второго вынимания независимы между собой. Наоборот, если шар, вынутый первым, не возвращается в урну, то результат второго вынимания зависит от первого, ибо состав шаров, находящихся в урне после первого вынимания, меняется в зависимости от его исхода. Здесь мы имеем пример зависимых событий.

Пользуясь обозначениями, принятыми для условных вероятно­стей, можно записать условие независимости событий А в В в виде

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

или

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Воспользовавшись этими равенствами, мы можем привести теорему умножения для независимых событий к следующей форме.

Если события А и В независимы, то вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий:

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Действительно, достаточно в первоначальном выражении теоремы умножения положить Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры что вытекает из независи­мости событий, и мы получим требуемое равенство.

Рассмотрим теперь несколько событий: А, В, …, L. Будем называть их независимыми в совокупности, если вероятность появле­ния любого из них не зависит от того, произошли ли какие-либо другие рассматриваемые события или нет.

В случае событий, независимых в совокупности, теорема умножения может быть распространена на любое конечное число их, благодаря чему ее можно сформулировать так:

Вероятность совмещения событий A, В , …, L, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Пример:

Рабочий обслуживает три автоматических станка, к каждому из которых нужно подойти для устранения неисправно­сти, если станок остановится. Вероятность того, что первый станок не остановится в течение часа, равна 0,9. Та же вероятность для вто­рого станка равна 0,8 и для третьего — 0,7. Определить вероят­ность того, что в течение часа рабочему не потребуется подойти ни к одному из обслуживаемых им станков.

Решение:

Если считать станки работающими независимо друг от друга, то в силу теоремы умножения искомая вероятность совмещения трех событий равна произведению

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Пример:

Вероятность сбить самолет винтовочным выстрелом р = 0,004. Какова вероятность уничтожения неприятельского самолета при одновременной стрельбе из 250 винтовок?

Решение:

Вероятность того, что при одиночном выстреле самолет не будет сбит, по теореме сложения равна 1 — р = 0,996. Тогда можно подсчитать с помощью теоремы умножения вероятность того, что самолет н е будет сбит при 250 выстре­лах, как вероятность совмещения событий. Она равна Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры После этого мы можем снова воспользоваться теоремой сложения и найти вероятность того, что самолет будет сбит, как вероят­ность противоположного события

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Отсюда видно, что, хотя вероятность сбить самолет одиночным винтовочным выстрелом ничтожно мала, тем не менее при стрельбе из 250 винтовок вероятность сбить самолет оказывается уже весьма ощутимой. Она существенно возрастает, если число винтовок уве­личить. Так, при стрельбе из 500 винтовок вероятность сбить само­лет, как легко подсчитать, равна Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры а при стрель­бе из 1000 винтовок — даже Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Доказанная выше теорема умножения позволяет несколько расширить теорему сложения, распространив ее на случай совмести­мых событий. Ясно, что если события А и В совместимы, то вероят­ность наступления хотя бы одного из них не равна сумме их вероят­ностей. Например, если событие А означает выпадение четного числа очков при бросании игральной кости, а событие В — вы­падение числа очков, кратного трем, то событию (А или В) благо­приятствует выпадение 2, 3, 4 и б очков, то есть

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

С другой стороны, Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры и Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры то есть Теория вероятностей решение задач, заданий  и примерыТеория вероятностей решение задач, заданий  и примеры Таким образом, в этом случае

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Отсюда видно, что в случае совместимых событий теорема сложения вероятностей должна быть изменена. Как мы сейчас уви­дим, ее можно сформулировать таким образом, чтобы она была справедлива и для совместимых, и для несовместных событий, так что ранее рассмотренная теорема сложения окажется частным слу­чаем новой.

Расширенная теорема сложения:

Пусть А и В — произволь­ные события. Вероятность того, что осуществится хотя бы одно из этих двух событий, равна сумме их вероятностей без вероятнос­ти их совмещения:

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Доказательство:

Пусть Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры — полная группа n попарно несовместных событий. Если Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры, то событию А благоприятствует Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры из n элементарных событий. Допу­стим, что среди них есть k событий, благоприятствующих также и событию В, а Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры ему не благоприятствуют. Тогда сре­ди n элементарных событий имеется ровно k событий, благоприятствующих и A и В. Поэтому если Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры, то среди Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры событий, благоприятствующих В, имеется k событий, благоприятствующих A, и Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры событий, которые A не благоприятст­вуют.

Все элементарные события, которые благоприятствуют событию (A или В), должны благоприятствовать либо только A, либо толь­ко В, либо и A и В. Таким образом, общее число таких событий равно

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

а вероятность

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

что и требовалось доказать.

Применяя формулу (9) к рассмотренному выше примеру выпа­дения числа очков при бросании игральной кости, получим:

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

что совпадает с результатом непосредственного подсчета.

Очевидно, что формула (1) является частным случаем (9). Действительно, если события А и В несовместны, то k = 0 и вероятность совмещения Р (А и В) = 0.

Пример:

В электрическую цепь включены последователь­но два предохранителя. Вероятность выхода из строя первого предохранителя равна 0,6, а второго 0,2. Определим вероятность пре­кращения питания в результате выхода из строя хотя бы одного из этих предохранителей.

Решение:

Так как события A и В, состоящие в выходе из строя первого и второго из предохранителей, совместимы, то искомая вероятность определится по формуле (9):

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Примеры вычисления вероятностей

В этом параграфе мы рассмотрим ряд примеров вычисления вероятностей. При этом будет использоваться непосредственный подсчет общего числа равновозможных случаев и числа благоприятствующих случаев на основе комбинаторных задач, а также теоре­мы сложения и умножения вероятностей, рассмотренные в начале настоящей главы.

Пример:

Бросаются две игральные кости (кубики). Найти вероятность того, что на обеих костях окажется: а) одинаковое число очков; б) различное число очков.

Решение:

Подсчитаем сначала общее число возможных результатов. Каждый результат бросания двух костей можно описать в виде некоторого размещения из шести элементов (шесть возмож­ностей для числа выпавших очков) по два (бросаются две кости) с повторениями (может выпасть одно и то же число очков на обеих костях). Поэтому общее число элементарных событий есть

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Очевидно, все элементарные события следует считать равновероятными.

Число случаев, благоприятствующих появлению одинакового числа очков, равно 6. Отсюда следует, что ответом для задачи а) является вероятность

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Событие, указанное в задаче б), является противоположным первоначальному, и его вероятность Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры удовлетворяет усло­вию

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

откуда

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Пример:

В городе имеется 10 ООО велосипедов, занумеро­ванных различными номерами от 0000 до 9999. Какова вероятность того, что номер первого встречного велосипеда будет содер­жать хотя бы одну цифру 8?

Решение:

Найдем сначала вероятность того, что ни одна цифра случайно встреченного номера не будет восьмеркой.

Для первой цифры вероятность не быть восьмеркой равна 0,9, так как всех равновероятных возможностей — различных цифр — десять, а отличных от восьмерки — девять. Значения цифр в раз­личных разрядах независимы. Тогда вероятность того, что все четы­ре цифры отличны от 8, можно определить как вероятность совме­щения событий. Она равна Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Искомая вероятность есть вероятность противоположного собы­тия, а потому равна 1 — 0,6561 = 0,3439.

Пример:

Абонент, забывший одну цифру нужного ему номера телефона, набирает эту цифру наудачу. Какова вероят­ность, что ему придется звонить не более двух раз?

Решение:

Представим для удобства рассуждений, что або­нент всегда звонит дважды, независимо от результата первой попытки. Общее число равновозможных случаев представляет здесь число размещений из 10 цифр по две без повторений, по­скольку два раза звонить по одному телефону не имеет смысла. Следовательно, это будет Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры Благоприятствующими будут те случаи, когда нужная цифра встретится на первом или втором месте в комбинации с любой другой. Ясно, что таких случаев 9 + 9=18. Искомая вероятность равна, следовательно, р = 0,2.

Пример:

В отделении 12 солдат. В наряд назначаются два человека наугад. Какова вероятность попасть в наряд для каждого данного солдата?

Решение:

Общее число различных парных нарядов в этом случае мы уже подсчитывали в примере 4 из § 1 предыдущей главы. Оно разно Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры Число парных нарядов, не содержащих данного солдата, по тем же соображениям равно Теория вероятностей решение задач, заданий  и примерыПоэтому вероятность не попасть в наряд равна Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры, а искомая вероятность попасть в наряд Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Пример:

В некоторой партии изделий число бракованных составляет 4%. Из числа годных изделий 75% являются первосортными. Какова вероятность того, что случайно выбранное изделие будет первосортным?

Решение:

Пусть событие А означает, что изделие является годным, а событие В — что изделие относится к первому сорту. Тогда по условию

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Искомая вероятность есть вероятность совмещения событий и по теореме умножения равна:

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Пример:

В некоторой лотерее имеется всего n билетов, из которых m являются выигрышными. Определить вероятность хотя бы одного выигрыша для лица, обладающего k билетами.

Решение:

Общее число равновозможных случаев выбора k билетов из имеющихся n равно числу сочетаний Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры Так как не­выигрышных билетов имеется n — m, то число элементарных событий, благоприятствующих событию «не выиграть ни на один би­ лет», равно Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры Следовательно, вероятность не выиграть ни на один билет равна Теория вероятностей решение задач, заданий  и примерыТребуемое событие выиграть хотя бы на один билет является противоположным, и его вероятность равна

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Пример:

Из карточной колоды с 36 картами извлекается наугад одна карта. Какова вероятность извлечь картинку (короля, даму или валета) любой масти или карту пиковой масти?

Решение:

Так как в колоде всего 12 картинок, то вероятность извлечь картинку равна Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры. Вероятность извлечь карту пиковой масти равна Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры. Остается воспользоваться теоремой сложения.

Однако необходимо учесть, что рассматриваемые события совместимы, так что следует воспользоваться расширенной теоремой сложения (см. формулу (9) из § 2), которая дает:

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Это и есть искомая вероятность.

Пример:

Шесть пассажиров садятся на остановке в трам­вайный поезд, состоящий из трех трамвайных вагонов. Какова вероятность того, что: а) все пассажиры сядут в один вагон; б) хотя бы в один вагон не сядет ни один пассажир; в) в каждый вагон сядут по два пассажира?

Решение:

Число различных способов, которыми пассажиры могут разместиться в вагонах, подсчитывалось в примере 6 из § 5 предыдущей главы. Так как нас заведомо интересует лишь число пассажиров в каждом вагоне, то это число различных способов есть число сочетаний с повторениями Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры Число благоприятствующих событий подсчитывается непосредст­венно. а) Благоприятствующих событий три — все пассажиры сели в первый вагон, или во второй, или в третий. Искомая вероятностьТеория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

б) Благоприятствующих событий 6: в трех случаях свободным остается один вагон и в трех случаях — два вагона. Искомая вероятность Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

в) Благоприятствующих событий одно. Вероятность равна Теория вероятностей решение задач, заданий  и примерыТеория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Полная вероятность. Формула Бейеса

При вычислении вероятностей сложных событий часто приходит­ся одновременно применять теоремы сложения и умножения. Рассмотрим следующий пример.

Пример:

Имеется три одинаковых на вид урны с различным составом белых и черных шаров. Пусть в первой урне находит­ся Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры белых и Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры черных шаров, во второй урне соответственно Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры белых и Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры черных и, наконец, в третьей — Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры белых и Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры черных шара. Выбирается наугад одна из урн, и из нее вынимается один шар. Требуется определить вероятность того, что вынутый шар ока­жется белым.

Решение:

Сделаем сначала предположение, что шар вынут из первой урны. Можно сказать, что это предположение означает наступление события Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры или осуществление гипоте­зы Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры Так как выбор любой урны равновероятен, то вероятность этой гипотезы равна Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры. Из предположения о составе шаров следует, что вероятность вынуть белый шар из первой урны (событие Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры) равна

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Рассмотрим сложное событие, состоящее в том, что выбрана пер­вая урна и вынутый из нее шар оказался белым. Тогда вероятность такого события в силу теоремы умножения будет равна:

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

(см. формулу (4) предыдущего параграфа). Точно так же вероятность вынуть белый шар из второй урны есть вероятность сложного

события, состоящего в совмещении события Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры (выбрана вторая урна) и события Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры (из второй урны вынут белый шар), в результа­те чего эта вероятность равна

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

а для третьей урны

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Пусть теперь событие А означает извлечение белого шара независимо от того, из какой именно урны он был вынут. Тогда, учиты­вая, что события Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры являются несовместными, ибо выби­рается лишь одна урна, мы можем воспользоваться для нахожде­ния вероятности события теоремой сложения, которая дает

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Сформулируем теперь общую задачу. Пусть события Теория вероятностей решение задач, заданий  и примерыТеория вероятностей решение задач, заданий  и примеры образуют полную группу событий и при наступлении каждого из них, например Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры событие А может наступить с некоторой ус­ловной вероятностью Теория вероятностей решение задач, заданий  и примерыКакова вероятность наступления со­бытия A?

Воспользовавшись, как и в примере, с которого мы начали, тео­ремой умножения, найдем, что вероятность наступления A при условии наступления равна

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Аналогично

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Теперь для нахождения вероятности события A можно воспользоваться теоремой сложения, так как события Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры несов­местны. Складывая все равенства (1) и (2), приходим к формуле:

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

или, короче,

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Формула (3) называется формулой полной вероятности.

События Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры обычно называют в таких случаях гипотезами . В рассмотренном выше примере 1 имелось три гипоте­зы (n = 3), которые были равновероятны между собой:

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Пример:

При разрыве снаряда образуются крупные, средние и мелкие осколки, причем число крупных осколков составляет 0,1 их общего числа, а число средних и мелких — соответственно 0,3 и 0,6 общего числа осколков. При попадании в танк крупный осколок пробивает броню с вероятностью 0,9, средний — с вероятностью 0,3 и мелкий — с вероятностью 0,1. Какова вероятность того, что попавший в броню осколок пробьет ее?

Решение:

В нашем примере имеется три гипотезы, вероятности которых Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры Поль­зуясь формулой полной вероятности (3), находим:

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Используя формулу полной вероятности, можно получить еще одну важную формулу, которая называется формулой Бейеса или формулой вероятностей гипотез.

Пусть мы имеем некоторую полную группу событий — гипотез Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры вероятность каждой из которых Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры до производства опыта имеет определенное значение. Пред­положим, что в результате опыта наступило некоторое событие А. Появление этого нового сведения — наступление события А — может повлечь за собой изменение первоначальных вероятностей ги­потез.

Поясним сказанное примером. Пусть урна содержит три шара белого и черного цвета, однако распределение числа шаров по цве­там неизвестно. До производства опыта о содержимом урны можно сделать четыре гипотезы:

1) 3 белых и 0 черных Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

2) 2 белых и 1 черный Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

3) 1 белый и 2 черных Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

4) 0 белых и 3 черных Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

которые мы будем считать равновероятными: Теория вероятностей решение задач, заданий  и примерыТеория вероятностей решение задач, заданий  и примерыДопустим, что в результате опыта был вынут белый шар (событие А). В таком случае вероятность гипотезы Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры делается равной нулю. Вероятности остальных трех гипотез также изменятся, причем их уже нельзя будет считать равновероятными; вероятность гипотезы Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры например, больше, чем вероят­ность гипотезы Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Поставим вопрос в общем виде: выяснить, каковы будут вероятности гипотез Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры после опыта в предположении, что в результате опыта наступило событие А.

Обозначим вероятности гипотез Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры до производства опыта соответственно через Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Вероятности тех же гипотез после опыта, в результате которого наступило событие A, обозначим через Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

причем снова

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

так как события Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры по-прежнему несовместны и един­ственно возможны. Обозначим условную вероятность Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры через Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры и полную вероятность события А через Р .

Пользуясь равенством (6) предыдущего параграфа, которое сле­дует из теоремы умножения, напишем:

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

или с введенными обозначениями

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Отсюда

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Подставляя сюда выражение для полной вероятности Р из формулы (3), получим:

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Нетрудно проверить, что сумма всех вероятностей Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры действитель­но равна единице.

Формула (4), дающая выражение вероятности гипотезы Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры пос­ле опыта, и есть нужная нам формула Бейеса.

Вернемся снова к нашему примеру. В соответствии с приняты­ ми обозначениями имеем:

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Далее находим:

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Окончательно получим:

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Аналогично:

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Повторение испытаний

Правила сложения и умножения вероятностей дают возмож­ность определять вероятности достаточно сложных комбинаций событий. Одной из наиболее простых и вместе с тем весьма распро­страненных ситуаций, с которой мы сейчас познакомимся, является схема повторения независимых испытаний.

Пусть при некотором испытании событие А может наступить или не наступить. Обозначим вероятность наступления события А через Р (А) = р и вероятность его ненаступления — через Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Рассмотрим возможные исходы двух последовательных независимых испытаний. Они описываются в т а б л. 1, в которой приведе­ны также вероятности различных исходов. Теперь нетрудно под­считать, что вероятность двукратного появления события А равна

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры вероятность его однократного появления (безразлично, при каком испытании, то есть вероятность того, что при двух испытаниях один раз наступит А и один раз Теория вероятностей решение задач, заданий  и примерыравна 2pq, а вероятность то­го, что А не наступит ни разу, равна Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры Очевидно, что эти результаты единственно возможны, причем

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Приведенное рассуждение без труда переносится на случай большего числа испытаний. Например, при трех испытаниях вероятность наступления события A три раза подряд равна Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры как вероятность совмещения событий. Чтобы найти вероятность наступления события А два раза, безразлично в каком порядке, заметим, что это возможно при следующих трех исходах: Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры вероятность каждого из которых Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры так что вероятность двукратного наступления события A при трех испытаниях Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры Аналогич­но подсчитывается вероятность однократного наступления Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры и вероятность того, что событие A не наступит ни разу, которая равна Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры Как и выше,

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Мы можем теперь формулировать общую задачу. Производится серия из п независимых испытаний, причем вероятность наступления события А при каждом отдельном испытании равна р. Требуется определить вероятность Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры того, что событие наступит точно m раз.

Такая задача может встретиться, например, при подсчете вероятности т попаданий в цель при п выстрелах и во многих аналогичных случаях, которые будут рассмотрены ниже.

Заметим прежде всего, что два крайних частных случая

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

легко находятся по теореме умножения как вероятности совмещения событий.

Подсчитаем теперь вероятность того, что при n испытаниях событие A появится ровно m раз в определенном порядке, например, как в выражении

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Ясно, что эта вероятность равна Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры. Очевидно, что вероятность появления события A также m раз, но в другом порядке, будет той же самой. Число всех возможных выражений из n элементов, в ко­торых m раз встречается A в различном порядке, равно числу со­четаний Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Поэтому, пользуясь теоремой сложения вероятностей, получаем:

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Из этой формулы видно, что вероятности Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры представляют отдельные слагаемые в разложении бинома:

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Поэтому формулу (1) называют биномиальной.

Итак, сформулированная выше задача полностью решена. Проиллюстрируем теперь полученную формулу двумя примерами.

Пример:

Бросается монета 6 раз. Какова вероятность вы­ падения герба 0,1, …, 6 раз?

Решение:

В данном случае Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры. Пользуясь полученной формулой, приходим к результатам:

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Эти результаты можно изобразить графически, отложив по оси абсцисс значения m , а по оси ординат — значения Теория вероятностей решение задач, заданий  и примерыОчевидно, что наиболее вероятное число выпадений герба m = 3, однако вероятность эта невелика.

Пример:

Производится восемь выстрелов по резервуару с горючим, причем первое попадание вызывает течь, а второе — воспламенение горючего. Какова вероятность того, что резервуар будет подожжен, если вероятность попадания при отдельном выстреле равна р = 0,2?

Решение:

Найдем сначала вероятность противоположного события, т. е. вероятность того, что резервуар не будет подожжен. Это произойдет лишь тогда, когда число попаданий не превзойдет единицы. Вероятность этого равна:

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Так как здесь р = 0,2 и q = 0,8, то

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

откуда следует, что вероятность того, что резервуар будет подожжен, равна:

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Примеры вычисления вероятностей

Рассмотрим еще несколько примеров на вычисление вероятностей.

Пример:

При разрыве бронебойного снаряда крупные осколки составляют по весу 20% от общего веса снаряда, средние — 30% и мелкие — 50%. Вероятность того, что крупный осколок пробьет броню танка, равна 0,8. Для средних и мелких осколков та же вероятность равна соответственно 0,5 и 0,2. Подсчитаем вероятность того, что броня танка будет пробита.

Решение:

Здесь следует воспользоваться формулой полной вероятности. Приняв в качестве гипотез различные размеры оскол­ка, получим, что их вероятности равны соответственно 0,2, 0,3 и 0,5. Поэтому искомая вероятность равна

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Пример:

В условиях предыдущего примера, если броня танка оказалась пробитой, какова вероятность того, что пробоина произошла от мелкого осколка?

Решение:

Здесь мы можем применить формулу Бейеса, которая дает:

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Пример:

Для данного стрелка вероятность попадания в десятку равна 0,7, а в девятку — 0,3. Определить вероятность того, что этот стрелок при трех выстрелах выбьет не менее 29 очков.

Решение:

Чтобы набрать не менее 29 очков, необходимо либо три раза попасть в десятку, либо два раза в десятку и один раз в девятку. Вероятность попасть три раза подряд в десятку находится по теореме умножения как вероятность совмещения событий. Она равна:

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Вероятность попадания два раза в десятку и один раз в девятку можно найти по биномиальной формуле:

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Искомая вероятность находится по теореме сложения и равна:

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Пример:

Что вероятнее выиграть у равносильного противника: а) три партии из четырех или пять партий из восьми; б) не менее трех партий из четырех или не менее пяти партий из восьми (считая, что ничейный исход партии исключен)?

Решение:

Указание на равносильность противника следует рассматривать как утверждение, что вероятность выигрыша партии равна Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры, так же как и вероятность проигрыша Теория вероятностей решение задач, заданий  и примерыТеория вероятностей решение задач, заданий  и примеры . Теперь мы можем воспользоваться формулой повторения испытаний. а) Вероятность выиграть три партии из четырех находится по формуле:

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Аналогично для выигрыша пяти партий из восьми получаем:

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Отсюда видно, что вероятность выиграть три партии из четырех больше, чем вероятность выиграть пять партий из восьми, хотя на первый взгляд может показаться, что это не так. б) Выигрыш не менее трех партий из четырех означает, что долж­ны быть выиграны три либо четыре партии. По теореме сложения и формуле повторения испытаний находим:

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Точно так же

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Сравнивая между собой полученные вероятности, замечаем, что вероятность выиграть не менее трех партий из четырех меньше, чем вероятность выиграть не менее пяти партий из восьми.

Пример:

Из колоды, содержащей 36 карт, извлекаются одна за другой четыре карты. Какова вероятность того, что среди вынутых карт окажется не более одного туза? Рассмотреть два раз­ личных случая: а) после проверки вынутой карты она снова возвращается в колоду; б) вынутая карта в колоду не возвращается.

Решение:

а) Задача решается очень просто с помощью биномиальной формулы. Действительно, так как карта возвращается после каждого вынимания, то вероятность вынуть туз каждый раз остается одной и той же и равна Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры( в колоде четыре туза). Среди вынутых карт окажется не более одного туза, если число вынутых тузов будет равно либо нулю, либо единице.

Таким образом, искомая вероятность равна:

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

б) В случае, когда вынутая карта в колоду не возвращается, дело обстоит сложнее, так как вероятность вынуть туз меняется от одного вынимания к другому и зависит от результатов предыдущего вынимания.

В первом вынимании вероятность вынуть туз равна Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры Что касается второго вынимания, то эта вероятность будет иной. Именно, если в первом случае был вынут туз, то вероятность вынуть туз во второй раз будет равнаТеория вероятностей решение задач, заданий  и примеры Если же в первом случае был вынут не туз, то вероятность вынуть туз во второй раз равна уже Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Можно таким же способом проследить, какова будет вероятность вынуть туз в третий и четвертый раз в зависимости от исхода предыдущих выниманий. Однако это чересчур сложно и громоздко. Гораз­до проще решать этот вопрос иначе в более общем виде. Для этой цели обратимся к следующему примеру.

Пример:

Имеется N предметов, из которых М обладают некоторым признаком. Из этого множества предметов выбираются наугад (то есть выбор каждого из N предметов равновозможен) n предметов. Какова вероятность того, что среди них ровно m будут обладать этим признаком?

Решение:

Найдем, прежде всего, общее число возможных комбинаций. Ясно, что оно равно числу сочетаний Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры По условию, извлечение каждой из этих комбинаций следует считать равновоз­можным. Подсчитаем теперь число благоприятствующих собы­тий.

Группу из m элементов, обладающих нужным признаком, из общего числа М таких элементов можно выбрать Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры различными спо­собами. Далее, оставшиеся n — m элементов, нужным признаком не обладающие, могут быть выбраны Теория вероятностей решение задач, заданий  и примерыразличными спосо­бами, поскольку общее число таких элементов есть N — М. Так как любая группа элементов, обладающих нужным признаком, может комбинироваться с любой группой элементов, им не обладающих, то общее число благоприятствующих событий равно произведению Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Окончательно находим, что искомая вероятность равна:

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Теперь мы можем возвратиться к решению задачи б) из предыдущего примера. Здесь у нас N = 36, М = 4, n = 4. Как и в а), нас интересуют случаи m = 0 (ни одного туза) и m = 1 (ровно один туз). Эти события несовместны, и по теореме сложения для искомой вероятности находим:

Теория вероятностей решение задач, заданий  и примеры

Теория вероятностей — основные формулы и примеры с вычислением

Испытания и события

Предметом теории вероятностей является изучение законов, управляющих случайными событиями (явлениями). К основным понятиям теории вероятностей относятся испытание и событие.
Под испытанием (опытом) понимают реализацию данного комплекса условий, в результате которого непременно произойдет какое-либо событие

Пример:

Брошена монета — испытание. Появление герба или цифры — события.

Пример:

Произведен выстрел по мишени — испытание. Попадание или промах — события.

Пример:

В урне имеются цветные шары. Из урны наудачу берут один шар. Извлечение шара из урны — испытание. Появление шара определенного цвета — событие.

Случайным событием называется событие, связанное с данным испытанием, которое при осуществлении этого испытания может произойти, а может и не произойти. Прилагательное «случайное» для краткости часто опускают и говорят просто «событие».

Пример:

Брошена игральная кость (кубик, на гранях которого отмечено от одного до шести очков). Выпадение четырех очков — случайное событие.

Пример:

В урне имеются белые и черные шары. Из урны наугад берут два шара. Оба шара белые — случайное событие.

Достоверным событием называется событие, которое в результате данного испытания непременно произойдет.

Пример:

Брошена игральная кость. Выпадение не более шести очков — достоверное событие.

Невозможным событием называется событие, которое заведомо не произойдет в результате данного испытания.

Пример:

Брошена игральная кость. Выпадение десяти очков — невозможное событие.

Пример:

Камень брошен вверх. Камень остается висеть в воздухе — невозможное событие.

Случайные события обозначаются большими буквами латинского алфавита A, B, С, … Например, событие А — попадание в мишени при стрельбе, событие В — появление герба при бросании монеты. Достоверное событие: будем обозначать буквой U, невозможное V.

Отметим, что всякое случайное событие является следствием очень многих причин. Например, выпадение герба или цифры при бросании монеты зависит от силы, с которой брошена монета, ее формы, сплава и многих других причин. Попадание или промах при стрельбе зависит от расстояния до мишени, веса пули (снаряда), от направления и силы ветра и других случайных причин. В связи с этим невозможно заранее предсказать, произойдет единичное событие или нет. Иначе обстоит дело при изучении многократно повторяющихся событий. Оказывается, что однородные случайные события при многократном повторении подчиняются определенным закономерностям. Изучением этих закономерностей и занимается теория вероятностей.

Виды случайных событий

Пусть произведено испытание, в результате которого возможны события Теория вероятностей События Теория вероятностей Называются несовместными, или осуществление одного из них исключает осуществление других

Пример:

В ящике имеются стандартные и нестандартные детали. Наудачу берут одну деталь. События Теория вероятностей — «появилась стандартная деталь» и Теория вероятностей — «появилась нестандартная деталь» являются несовместными событиями.

Пример:

Брошена игральная кость. Событие Теория вероятностей — «появление двух очков» и событие Теория вероятностей — «появление четного числа очков» совместны, так как появление одного из них не исключает появление другого.

События Теория вероятностей Называют равновозможными, если условия испытания обеспечивают одинаковую возможность осуществления каждого из них.

Пример:

Появление того или иного числа очков при бросании игральной кости есть события равновозможные, так как игральная кость изготовляется из однородного материалу и имеет строго симметричную форму.

Пример:

Появление герба и появление цифры при бросании симметричной монеты есть события равновозможные.

События Теория вероятностей образуют полную группу событий, если в результате одного испытания непременно произойдет хотя бы одно из них.

Пример:

В урне имеются три белых шара, перенумерованных цифрами 1, 2, 3, и пять черных шаров перенумерованных цифрами
1, 2, 3, 4, 5. Из урны наугад берут один шар. События:

Теория вероятностей — «появление шара с цифрой 1»,
Теория вероятностей — «появление шара с цифрой 2»,
Теория вероятностей — «появление шара с цифрой 3»,
Теория вероятностей — «появление шара с цифрой 4»,
Теория вероятностей — «появление шара с цифрой 5»

образуют полную группу. Важную роль играет полная группа несовместных событий, т. е. такая группа событий, что в результате
данного испытания непременно произойдет одно и притом только одно события данной группы.

Пример:

При бросании игральной кости возможны события:

Теория вероятностей — «появление одного очка»,
Теория вероятностей — «появление двух очков»,
Теория вероятностей — «появление трех очков»,
Теория вероятностей —«появление четырех очков»,
Теория вероятностей — «появление пяти очков»,
Теория вероятностей — «появление шести очков».

Эти события образуют полную группу несовместных событий.

Два случайных события называются противоположными, если одно из них происходит в той и только том случае, когда не происходит другое.

Событие, противоположное событию А обозначают через Теория вероятностей ( читаю «не А » ).

Пример:

Попадание и промах при выстреле по мишени противоположные события. Если А — попадание, то Теория вероятностей — промах.

Пример:

Появление четного числа очков при бросании игральной кости — событие, противоположное появлению нечетного числа очков.

Очевидно, что противоположные события образуют полную группу событий.

Отметим, что любое случайное событие может быть представлено в виде некоторого множества. Поясним сказанное на конкретном примере.

Пример:

При бросании игральной кости непременно произойдет одно из событий Теория вероятностей (см. пример 6). Каждое из этих событий назовем элементарным событием. Все элементарные события Теория вероятностей Теория вероятностей образуют множество элементарных событий Теория вероятностей

Очевидно, что: 1) событие В — «появление четного числа очков» может быть представлено в виде множества Теория вероятностей;
2) событие С — «появление числа очков, не большего трех», может быть представлено множеством Теория вероятностей 3) событие D
«появление числа очков, которое делится на 3», может быть
представлено множеством Теория вероятностей и т. д.

Нетрудно заметить, что множества В, С и D являются подмножествами множества элементарных событий A. Таким образом, любое случайное событие может быть представлено подмножеством множества всех элементарных событий данного испытания.

Операции над событиями

Прежде всего установим некоторые отношения между событиями. Рассмотрим события:

А — «появление трех очков при бросании игральной кости»,
В —«появление нечетного числа очков при бросании игральной кости».

Очевидно, что если произошло событие А, то непременно произошло и событие В. В этом случае говорят «А влечет за собой В» (или «В является следствием А») и записывают Теория вероятностей (или Теория вероятностей).

Если события А и В таковы, что Теория вероятностей то они называются равными (равносильными) при этом пишут Теория вероятностей

Пример:

Брошена симметричная монета. Событие A — «появление герба», событие В — «непоявление цифры». Очевидно, что Теория вероятностей и Теория вероятностей и, следовательно, Теория вероятностей.

Пример:

В урне имеются пять белых шаров, перенумерованных от 1 до 5, и семь черных шаров, перенумерованных от 6 до 12. Очевидно, что событие А — «появление шара с номером 8», влечет за собой событие В — «появление черного шара». Поэтому Теория вероятностей.

Так как события могут быть представлены в виде подмножеств множества элементарных событий, то действия над событиями выполняются аналогично действиям над множествами.

Сложение

Определение:

Сумой или объединением двух событий А и В называют событие С, состоящие в осуществлении хотя бы одного из событий А или В (безразлично, какого именно, или обоих, если это возможно).

Символически записывают так: Теория вероятностей или Теория вероятностей.

Сумма событий интерпретируется как объединение (сумма) множеств (подмножеств множества элементарных событии) — см. рис. 118.

Теория вероятностей

Суммой или объединением нескольких событий Теория вероятностей называется событие С, состоящее в осуществлении хотя бы одного из событий Теория вероятностей Символически:

Теория вероятностей

Пример:

Найти сумму событий: А — «появление одного очка при бросании игральной кости» и В — «появление двух очков при бросании игральной кости».

Суммой А + В является событие С — «появление не больше двух очков при бросании игральной кости», поэтому

Теория вероятностей

Если события А и В — несовместные, то сумма А + В является событием, состоящим в осуществлении одного из этих событий, безразлично какого (их совместное осуществление невозможно).

Непосредственно из определения суммы событий вытекают следующие свойства сложения:

Теория вероятностей (коммутативность); Теория вероятностей (ассоциативность);
Теория вероятностей

Умножение

Определение:

Произведением или пересечением двух событий А и В называется событие С, состоящее в одновременном осуществлении
А и В.

Символически произведение записывают так:

Теория вероятностей

Теоретико — множественная интерпретация произведения событий дана на рис. 119.

Теория вероятностей

Произведением или пересечением нескольких событий Теория вероятностей называется событие С, состоящее в одновременном осуществлении всех событий Теория вероятностей Символически:

Теория вероятностей

Пример:

Найти произведение событий A — «студенту попался экзаменационный билет с четным номером» и В — «студенту попался экзаменационный билет с номером, кратным пяти».

Решение:

Произведением является событие С — «студенту попался экзаменационный билет с номером, кратным десяти», поэтому AВ = С.

Если события А и В— несовместные, то AВ = V, т. е.. произведение — невозможное событие. Можно показать, что для умножения событий имеют место свойства:

1) AВ = ВA (коммутативность);
2) А () = ()С (ассоциативность);
3) А (В + С) = AВ + АС (дистрибутивность);
4) Теория вероятностей

Вероятность события

Известно, что случайное событие в результате испытания может произойти, а может и не произойти. Однако объективная возможность различных событий в одном и том же испытании может, вообще говоря, быть различной.

Рассмотрим пример. В урне 12 одинаковых, тщательно перемешанных шаров, причем 3 из них белые и 9 черные. Из урны наудачу вынимают один шар. Очевидно, что возможность появления черного шара «больше», чем возможность появления белого шара. В этом случае говорят: «вероятность появления черного шара
больше вероятности появления белого шара». Под вероятностью события понимают численную меру объективной возможности появления этого события.

Поставим своей задаче научиться находить эту численную меру объективной возможности события, т. е. находить вероятность события, причем ограничимся лишь вычислением вероятностей в классической модели.

Под классической моделью понимают такое множество элементарных событий, которое образует полную группу несовместных событий и все элементарные события равновозможны.

Например при бросании игральной кости множество элементарных событий:

Теория вероятностей — «появление одного очка»,
Теория вероятностей — «появление двух очков»,
Теория вероятностей — «появление трех очков»,
Теория вероятностей — «появление четырех очков»,
Теория вероятностей — «появление пяти очков»,
Теория вероятностей — «появление шести очков»

образует классическую модель. Вероятность каждого из этих элементарных событий Теория вероятностей считаем равной 1/6.

Рассмотрим теперь события: A — «появление четного числа очков»,
В — «появление не больше двух очков», Нетрудно заметить, что событие A произойдет, если произойдет по крайней мере одно из событий Теория вероятностей. В этом случае говорят, что событию А благоприятствуют события Теория вероятностей. Очевидно, что событию В
благоприятствуют события Теория вероятностей и Теория вероятностей.

То элементарное событие, при котором интересующее нас событие наступит, называется благоприятствующим этому событию.

При бросании игральной кости имеем 6 элементарных событий, из них 3 благоприятствуют событию А. Вероятность события А считаем равной Теория вероятностей . Аналогично вероятность события В равна Теория вероятностей Кратко это записывается так:

Теория вероятностей

Определение:

Вероятностью P(А) события А называется отношение числа m элементарных событий, благоприятствующих этому событию, к общему числу n равновозможных событий:

Теория вероятностей

Это определение носит название классического определения вероятности.

Из (1) следует, что

Теория вероятностей

т. е. вероятность достоверного события равна единице, а вероятность невозможного события равна нулю. Если Теория вероятностей

Итак, вероятность любого события A удовлетворяет неравенствам

Теория вероятностей

Рассмотрим ряд примеров непосредственного вычисления вероятностей.

Пример:

В урне 3 белых и 9 черных шаров. Из урны наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется черным (событие А)?

Решение:

Имеем Теория вероятностей и поэтому

Теория вероятностей

Пример:

В урне 4 белых и 7 черных шаров. Из урны одновременно вынимают два шара. Какова вероятность того, что оба шара белые (событие А)?

Решение:

Здесь число элементарных событий

Теория вероятностей

Число случаев, благоприятствующих событию А:

Теория вероятностей

Следовательно,

Теория вероятностей

Пример:

В урне а белых и b черных шаров. Из урны наугад вынимают Теория вероятностей шаров. Найти вероятность того, что среди них будет Теория вероятностейбелых, а следовательно, Теория вероятностей черных Теория вероятностей.

Решение:

Число элементарных событий Теория вероятностей Подсчитаем число элементарных событий, благоприятствующих интересующему нас событию А — среди Теория вероятностей взятых шаров будет. Теория вероятностей белых и Теория вероятностейчерных. Очевидно, что число способов, которыми можно выбрать Теория вероятностей белых шаров из а, равно Теория вероятностей, а число способов, которыми можно к ним «добавить» Теория вероятностей черных шаров, равно Теория вероятностей. Каждая комбинация белых шаров может сочетаться с каждой комбинацией черных, поэтому Теория вероятностей Следовательно,

Теория вероятностей

Пример:

В партии из 12 деталей имеется 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди шести взятых наугад деталей 4 стандартных.

Решение:

Нетрудно заметить сходство между этой и предыдущей задачами. Здесь в качестве «урны» фигурирует партия деталей, среди которых 7 стандартных («белые шары») и 5 нестандартных («черные шары»), а роль вынимаемых шаров играет контрольная партия из шести деталей. Поэтому искомую вероятность находим по формуле (2) для случая Теория вероятностей,Теория вероятностей

Теория вероятностей

Пример:

Десять различных книг расставляются наудачу на одной полке. Найти вероятность того, что три определенные книги окажутся поставленными рядом.

Решение:

Представим себе, что три определенные книги связаны вместе. Тогда число возможных способов расположения связки на полке равно числу перестановок из 8 элементов (связка плюс остальные 7 книг), т. е. Теория вероятностей Внутри связки 3 книги можно переставлять Теория вероятностей раз. При этом каждая комбинация внутри
связки может сочетаться с каждой из Теория вероятностей комбинацией. Поэтому число m благоприятствующих случаев равно Теория вероятностей
Число n возможных случаев, очевидно, равно Теория вероятностей. Таким образом, искомая вероятность

Теория вероятностей

Пример:

Первенство по футболу оспаривают 18 команд, среди которых 5 лидирующих. Путем жеребьевки команды распределяются на две группы по 9 команд в каждой. Какова вероятность попадания всех лидирующих команд в одну группу (событие A)? Какова вероятность попадания двух лидирующих команд в одну группу и трех — в другую (событие B)?

Решение:

Очевидно, что

Теория вероятностей

Событию А благоприятствуют столько событий, сколькими способами 5 лидирующих команд могут образовать девятки с четырьмя командами из числа остальных 13 команд. Поэтому обе группы могут быть образованы Теория вероятностейспособами. Следовательно, Теория вероятностей и

Теория вероятностей

Рассуждая аналогично, находим, что число Теория вероятностей событий, благоприятствующих событию В, равно

Теория вероятностей

Следовательно,

Теория вероятностей

Операции над вероятностями

Сложение

Теорема:

Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий, т. е.

Теория вероятностей

Доказательство:

Пусть n — общее число равновозможных несовместных элементарных событий испытания, в результате которого может произвести одно из событий A или В, Теория вероятностей — число элементарных событий, благоприятствующих событию A, Теория вероятностей — число элементарных событий, благоприятствующих событию В. Тогда, так как события A и В несовместны, имеем:

Теория вероятностей

что и требовалось доказать.

Из теоремы 1 вытекают некоторые следствия.

Следствие 1. Вероятность суммы нескольких несовместных событий Теория вероятностей равна сумме вероятностей этих событий, т. е.

Теория вероятностей

Это следствие получается из теоремы 1 применением метода математической индукции.

Следствие 2. Если события Теория вероятностей несовместны и образуют полную группу, то сумма их вероятностей равна единице:

Теория вероятностей

Предлагаем читателю самостоятельно доказать это следствие.

Следствие 3. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, т. е.

Теория вероятностей

Это непосредственно следует из формулы (3), так как противоположные события образуют полную группу»

Пример:

Военный летчик получил задание уничтожить два рядом расположенных склада боеприпасов противника. На борту самолета. осталась лишь одна бомба. Вероятность попадания в первый склад равна 0,225, во второй — 0,325. В результате-детонации любое
попадание взрывает оба склада. Какова вероятность того, что склады будут уничтожены?

Решение:

События А —«попадание в первый склад» и В — «попадание во второй склад» несовместны, поэтому вероятность попадания хотя бы в один из складов

Теория вероятностей

Пример:

На заочное отделение техникума поступают контрольные работы по математике из городов А, В и С. Вероятность поступления контрольной работы из города А равна 0,6, из города В — 0,1. Найти
вероятность того, что очередная контрольная работа поступит из города С.

Решение:

События «контрольная работа поступила из города А», «контрольная работа поступила из города В»* и «контрольная работа поступила из города С» образуют полную группу, поэтому сумма их вероятностей равна единице:

Теория вероятностей

Пример:

Вероятность того, что день будет ясным, Теория вероятностей. Найти вероятность q того, что день будет облачным.

Решение:

События «день ясный» и «день облачный» противоположные, поэтому

Теория вероятностей

Теорема:

Если события А и В совместны, то вероятность их суммы выражается формулой

Теория вероятностей

т. е. вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения (совместного осуществления).

Доказательство:

Пусть m — число равновозможных элементарных событий, благоприятствующих событию А, Теория вероятностей — число равновозможных элементарных событий, благоприятствующих событию В. Допустим, что среди m + Теория вероятностей элементарных событий содержится l таких, которые благоприятствуют как событию A, так и
событию В. Тогда, если n — общее число равновозможных элементарных событий,

Теория вероятностей

Так как событие A + В состоит в том, что произошло или событие A, или событие В, или и то и другое, то ему благоприятствуют Теория вероятностей элементарных событий. Поэтому

Теория вероятностей

или

Теория вероятностей

что и требовалось доказать.

Пример:

Найти вероятность того, что при бросании двух игральных костей хотя бы один раз выпадет 6 очков.

Решение:

Обозначим события:

А — «выпадение шести очков при бросании первой
игральной кости»;

В — «выпадение шести очков при бросании второй
игральной кости».

Так как события А и В совместны, то

Теория вероятностей

Но

Теория вероятностей

поэтому

Теория вероятностей

Умножение

Определение:

Два события А и В называются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от того, произошло или не произошло другое.

Пример:

Игральная кость брошена два раза. Вероятность появления трех очков в первом испытании (событие А) не зависит от появления или непоявления трех очков во втором испытании (событие В). Аналогично, вероятность появления трех очков во втором испытании не зависит от результата первого испытания. Следовательно, события А и В — независимые.

Теорема:

Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий, т. е.

Теория вероятностей

Доказательство:

Пусть Теория вероятностей — число равновозможных элементарных событий испытания, в результате которого событие А может произойти или не произойти; Теория вероятностей —число элементарных событий, благоприятствующих событию Теория вероятностей, Теория вероятностей — число равновозможных элементарных событий испытания, в результате
которого может произойти событие В, Теория вероятностей — число элементарных событий, благоприятствующих событию Теория вероятностей

Нетрудно заметить, что общее число элементарных событий испытания, в результате которого может произойти (или не произойти) событие , равно Теория вероятностей Так как события А и В независимы, то число элементарных событий, благоприятствующих событию , равно Теория вероятностей. Поэтому

Теория вероятностей

что и требовалось доказать.

Если имеем n попарно независимых событий Теория вероятностей, то можно доказать, что

Теория вероятностей

Пример:

Два стрелка стреляют по одной и той же цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,9, для второго — 0,8. Найти вероятность того, что оба стрелка попадут в цель.

Решение:

Обозначим события:

A — «попадание в цель первым стрелком»,
В — «попадание в цель вторым стрелком».
Так как события A и В независимы, то

Теория вероятностей

Пример:

Вероятность попадания в цель при стрельбе из первого орудия (событие A) равна Теория вероятностей, из второго орудия (событие В) равна Теория вероятностей. Найти вероятность попадания в цель хотя бы одним из орудий (событие A + В) при одновременной стрельбе из обоих орудий.

Решение:

Так как вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результата стрельбы из другого орудия, то события А и В независимы. Но

Теория вероятностей

Поэтому искомая вероятность

Теория вероятностей

Определение:

Два события А и В называются зависимыми, если вероятность одного из них зависит от того, произошло или не произошло другое.

Пример:

В ящике имеется 90 стандартных деталей и 10 нестандартных. Из ящика наудачу берут одну за другой две детали. Вероятность появления стандартной детали при первом испытании (событие А) равна Теория вероятностей Вероятность появления стандартной детали при втором испытании (событие В) зависит от
результата первого испытания: если в первом испытании событие А произошло, то Теория вероятностей если же событие В не произошло, то Теория вероятностей Следовательно, события А и В — зависимые.

Определение:

Вероятность события А, вычисленная при условии, что событие В произошло, называется условной вероятностью события А при условии В и обозначается Теория вероятностей.

Пример:

В урне а белых и b черных шаров. Из урны наудачу последовательно вынимают два шара. Найти вероятность того, что второй шар окажется черным при условии, что первый шар был черным.

Решение:

Обозначим события:

A — «первый шар черный»;
В — «второй шар черный».

Если произошло событие A, то в урне осталось всего Теория вероятностейшаров, из них b — 1 черных. Поэтому условная вероятность события В при условии, что произошло событие A, есть:

Теория вероятностей

Для зависимых событий справедлива следующая теорема, которую мы приводим без доказательства.

Теорема:

Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие произошло:

Теория вероятностей

В случае n произвольных событий Теория вероятностей справедлива формула

Теория вероятностей

где Теория вероятностей — вероятность события Теория вероятностей, вычисленная при условии, что произошли события Теория вероятностей

Пример:

В учебных мастерских техникума изготовляются детали на трех станках. Вероятность изготовления детали на первом станке равна 0,6. Вероятность появления годной детали на первом станке равна 0,8. Найти вероятность того, что годная деталь изготовлена на первом станке.

Решение:

Обозначим события:

A —«деталь изготовлена на первом станке»,
В — «деталь годная».

Имеем: Теория вероятностей По первой формуле (8) находим:

Теория вероятностей

Пример:

В ящике находится 7 деталей первого сорта, 5 второго сорта и 3 третьего сорта. Из ящика последовательно вынимают три детали. Найти вероятность того, что первая наугад вынутая деталь окажется первого сорта (событие Теория вероятностей ), вторая деталь — второго сорта (событие Теория вероятностей) и третья деталь — третьего сорта (событие Теория вероятностей).

Решение:

Очевидно, что

Теория вероятностей

По формуле (8) находим

Теория вероятностей

Формула полной вероятности

Операции над вероятностями представляют собой правила, служащие для вычисления вероятностей случайных событий через вероятности элементарных событий. При решении многих задач оказывается полезным одно следствие из этих правил, известное под
названием формулы полной вероятности. Выведем эту формулу.

Пусть событие А может произойти только с одним из событий Теория вероятностей образующих полную группу несовместных равновозможных событий. Тогда вероятность события A вычисляется по формуле полной вероятности:

Теория вероятностей

или

Теория вероятностей

В самом деле, так как событие A может произойти только с одним из событий Теория вероятностей образующих полную группу, то

Теория вероятностей

Из несовместности событий Теория вероятностей следует несовместность событий Теория вероятностей. Поэтому

Теория вероятностей

Применив к каждому слагаемому последнего равенства правило умножения вероятностей Теория вероятностей, получим формулу (1).

Пример:

В учебных мастерских на станках a, b и с изготовляют соответственно 25, 35 и 40% всех деталей. В их продукции брак составляет соответственно 15, 12 и 6%. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь дефектна.

Решение:

Обозначим события:

Теория вероятностей — «наугад взятая деталь дефектна»,
Теория вероятностей — «деталь изготовлена на станке а»,
Теория вероятностей — «деталь изготовлена на станке 6»,
Теория вероятностей — «деталь изготовлена на станке с».

Очевидно, что события Теория вероятностейобразуют полную группу и Теория вероятностей Кроме того, числа Теория вероятностей являются условными вероятностями события А при выполнении событий (гипотез) Теория вероятностей соответственно, т. е.

Теория вероятностей

По формуле (1) находим

Теория вероятностей

Пример:

По цели произведено три последовательных выстрела. Вероятность попадания при первом выстрелеТеория вероятностей, при втором Теория вероятностей, при третьем Теория вероятностей. При одном попадании вероятность поражения цели равна 0,4, при двух — 0,7, при трех—1,0. Найти
вероятность поражения цели при трех выстрелах.

Решение:

Обозначим события:

Теория вероятностей — «поражение цели при трех выстрелах»,
Теория вероятностей — «одно попадание»,
Теория вероятностей — «два попадания»,
Теория вероятностей — «три попадания»,
Теория вероятностей — «ни одного попадания».

Согласно формуле полной вероятности

Теория вероятностей

Из условия задачи имеем:

Теория вероятностей

Вычислим вероятности событий Теория вероятностей Подчеркнем, что если Теория вероятностей — соответственно вероятности попаданий при первом, втором и третьем выстрелах, то Теория вероятностей — соответственно вероятности промахов при тех же выстрелах. Следовательно,

Теория вероятностей

Подставив полученные значения вероятностей в равенство (2), найдем

Теория вероятностей

С помощью формулы полной вероятности легко можно доказать так называемую формулу Бейеса

Теория вероятностей

В самом деле, по формулам (8) § 5 имеем: Заменив в последнем равенстве Теория вероятностей его значением из формулы (1), получаем формулу Бейеса (3).

Формула Бейеса позволяет переоценить вероятности гипотез, принятые до испытания, по результатам уже произведенного испытания.

Пример:

Имеются три одинаковые по виду урны. В первой урне 15 белых шаров, во второй— 10 белых я 5 черных, в третьей—15 черных шаров. Из выбранной наугад урны вынули белый шар. Найти вероятность того, что шар вынут из первой урны.

Решение:

Введем обозначения: событие А — «появление белого шара»,
гипотезы:

Теория вероятностей — «выбор первой урны»,
Теория вероятностей — «выбор второй урны»,
Теория вероятностей — «выбор третьей урны»;

имеем:

Теория вероятностей

Искомую вероятность Теория вероятностей находим по формуле (3):

Теория вероятностей

Пример:

Двадцать учащихся, уезжающих в студенческий строительный отряд, пришли сдавать экзамен по математике досрочно. Шестеро из них подготовились отлично, восемь хорошо, четыре удовлетворительно, а двое совсем не подготовились — понадеялись, что все помнят. В билетах 50 вопросов. Отлично
подготовившиеся учащиеся могут ответить на все 50 вопросов, хорошо — на 40, удовлетворительно — на 30 и не подготовившиеся — на 10 вопросов. Приглашенный учащийся ответил правильно на все три заданных ему вопроса. Найти вероятность того, что он отлично
подготовился к экзамену.

Решение:

Обозначим события:

Теория вероятностей — «приглашен учащийся, подготовившийся отлично»,
Теория вероятностей — «приглашен учащийся, подготовившийся хорошо»,
Теория вероятностей — «приглашен учащийся, подготовившийся удовлетворительно»,
Теория вероятностей — «приглашен учащийся, не подготовившийся к экзамену»,
Теория вероятностей — «приглашенный учащийся ответил на все три вопроса».

Имеем:

Теория вероятностей

Находим условные вероятности:

Теория вероятностей

Согласно условию задачи требуется найти Теория вероятностей Применив формулу Бейеса, получим:

Теория вероятностей

Искомая вероятность сравнительно невелика. Поэтому для уточнения оценки желательно предложить учащемуся дополнительные вопросы.

Повторение испытаний. Формула Бернулли

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность того, что произойдет событие A, равна p, а следовательно, вероятность того, что оно не произойдет, равна Теория вероятностей. Требуется найти вероятность того, что при n повторных испытаниях событие А произойдет m раз. Искомую вероятность обозначим Теория вероятностей.

Событие, состоящее в том, что событие А происходит при каждом из m первых испытаний и не происходит при остальных nm испытаниях, можно записать в виде

Теория вероятностей

Так как все n испытаний, по условию, независимы, то можно применить правило вычисления вероятности произведения независимых событий; получим

Теория вероятностей

Событие A может произойти m раз при n испытаниях, но jipn этом может получиться и другая последовательность чередований событий A и Теория вероятностей, однако каждый раз получим одну и ту же вероятностьТеория вероятностей . Очевидно, что число чередований событий A и Теория вероятностей равно числу сочетании Теория вероятностей из, n элементов по m, поэтому по теореме сложения вероятностей для несовместных событий искомая вероятность вычисляется по формуле

Теория вероятностей

Эта формула называется формулой Бернулли.

Пример:

В урне 20 шаров: 15 белых и 5 черных. Вынули подряд 5 шаров, причем каждый вынутый шар возвращается в урну и перед извлечением следующего шары в урне тщательно перемешиваются. Найти вероятность того, что из пяти вынутых шаров будет два белых.

Решение:

Вероятность появления белого шара в каждом испытании равна Теория вероятностей а вероятность непоявления белого шара равна Теория вероятностей По формуле Бернулли находим

Теория вероятностей

Пример:

Вероятность того, что расход электроэнергии в техникуме в течение одних суток не превысит установленной нормы, равна Теория вероятностей. Найти вероятность того, что в ближайшие 25 суток расход
электроэнергии в течение 20 суток не превысит нормы.

Решение:

Так как вероятность нормального расхода электроэнергии на протяжении каждых из 25 суток постоянна и равна Теория вероятностей, то вероятность перерасхода электроэнергии в каждые сутки также
постоянна и равна Теория вероятностей.

По формуле Бернулли находим искомую вероятность:

Теория вероятностей

Математическое ожидание дискретной случайной величины. Закон распределения

Определение:

Случайной величиной называется переменная X, которая в результате испытания может принять одно и только одно значение, не известное заранее и зависящее от исхода испытания.

Пример:

При бросании игральной кости случайной является величина X — число очков, которое выпадет на верхней грани. Возможными значениями величины X служат числа 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Пример:

Число родившихся мальчиков среди ста новорожденных есть случайная величина X, возможными значениями которой являются числа 0, 1, 2, 3, ,…., 100.

Определение:

Величина X называется дискретной случайной величиной, если множество ее возможных значений представляет собой конечную или бесконечную последовательность чисел Теория вероятностей и если каждое соотношение Теория вероятностей Теория вероятностей является элементарным случайным событием и имеет определенную вероятность Теория вероятностей.

Мы будем рассматривать дискретные случайные величины лишь с конечными множествами значений.

Определение:

Законом распределения дискретной случайной величины X называется соответствие между возможными значениями Теория вероятностей и их вероятностями Теория вероятностей.

Закон распределения (как и всякую функцию) можно задать таблично, аналитически и графически. Если случайная величина X может принимать лишь конечное число различных значений Теория вероятностей, то элементарные события Теория вероятностей образуют полную группу и поэтому сумма их вероятностей равна единице, т. е.

Теория вероятностей

Закон распределения такой величины может быть представлен в виде таблицы:

Теория вероятностей

Вот, например, как выглядит таблица распределения вероятностей дискретной случайной величины X — числа очков, выпадающего при бросании правильной игральной кости:

Теория вероятностей

Математическое ожидание

Определение:

Математическим ожиданием M(X) дискретной случайной величины X называется сумма произведений всех ее возможных значений Теория вероятностей на их вероятности Теория вероятностей

Теория вероятностей

Пример:

Найти математическое ожидание случайной величины X зная закон ее распределения;

Теория вероятностей

Решение:

По формуле (1) находим

Теория вероятностей

Пусть при проведений n независимых испытаний дискретная случайная величина X может принимать Теория вероятностей раз значение Теория вероятностейраз значение Теория вероятностей раз значение Теория вероятностей. Тогда сумма всех значений величины X равна

Теория вероятностей

Найдем среднее арифметическое Теория вероятностей значений, принимаемых величиной X:

Теория вероятностей

поэтому

Теория вероятностей

Таким образом, Теория вероятностей, т. е. математическое ожидание дискретной случайной величины X равно среднему арифметическому полученных значений этой величины.

Математическое ожидание обладает следующими свойствами.

1) Математическое ожидание постоянной величины С равно самой постоянной:

Теория вероятностей

2) Математическое ожидание суммы случайных
величин равно сумме математических ожиданий
слагаемых
:

Теория вероятностей

3) Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин:

Теория вероятностей

4) Постоянный множитель можно выносить за знак
математического ожидания
:

Теория вероятностей

Докажем, например, второе свойство для случая случайных величин X и Y, заданных следующими законами распределения:

Теория вероятностей

Составим возможные значения величины X+Y, для чего к каждому возможному значению величины X прибавим каждое возможное значение величины Y:

Теория вероятностей

Обозначим вероятности этих значений соответственно через Теория вероятностей Согласно определению математического ожидания имеем

Теория вероятностей

или

Теория вероятностей

Так как событие, состоящее в том, что X принимает значение Теория вероятностей(вероятность этого события равна Теория вероятностей) влечет за собой событие, состоящее в том, что X + Y примет значение Теория вероятностей или значение Теория вероятностей (вероятность этого события по теореме сложения равна Теория вероятностей) и обратно, то Теория вероятностей.

Рассуждая аналогично, найдем

Теория вероятностей

Таким образом,

Теория вероятностей

Но Теория вероятностей Поэтому

Теория вероятностей

Доказательство остальных свойств аналогично.

Пример:

Найти математическое ожидание случайных величин
X и Y, зная законы их распределения:

Теория вероятностей

Решение:

По формуле (1) имеем:

Теория вероятностей

Мы получили любопытный результат: законы распределения величин X и Y разные, а их математические ожидания одинаковы.

Из рис. 120 видно, что значения величины Y сосредоточены около математического ожидания M(Y)

Теория вероятностей

(рис. 120, б), а значения величины X разбросаны (рассеяны) подальше от математического ожидания M(X) (рис. 120, а). Основной числовой характеристикой рассеяния возможных значений случайной величины X служит дисперсия D (X), которая определяется по формуле

Теория вероятностей

Величина Теория вероятностей называется средним квадратическим отклонением случайной величины X.

Преобразуем формулу (2) следующим образом:

Теория вероятностей

Здесь мы воспользовались свойствами математического ожидания и тем, что M(X) — величина постоянная. Таким образом,

Теория вероятностей

По формуле (3) вычислять значение дисперсии проще, чем по формуле (2). Пример 5 Дискретная случайная величина распределена по закону:

Теория вероятностей

Найти D(X).

Решение. Сначала находим

Теория вероятностей

а затем

Теория вероятностей

По формуле (3) имеем:

Теория вероятностей

Закон больших чисел

Основная особенность случайной величины состоит в том, что нельзя заранее предвидеть, какое из возможных значений она примет в результате испытания. Однако при достаточно большом числе испытаний суммарное поведение случайных величин почти утрачивает случайный характер и становится закономерным. Весьма важным при этом является знание условий возникновения закономерностей случайной величины. Эти условия составляют содержание ряда теорем, получивших общее название закона больших чисел. Впервые этот закон (в простейшей его форме) был сформулирован Яковом Бернулли в виде теоремы, устанавливающей
связь между вероятностью случайного события и его относительной частотой.

Относительной частотой W(A) случайного события A называют отношение числа Теория вероятностей испытаний, в результате которых событие произошло, к общему числу n проведенных испытаний:

Теория вероятностей

Оказывается, что при многократном повторении испытания относительная частота случайного события принимает значения, близкие к вероятности того, что оно произошло в результате одного испытания. Например, знаменитый статистик К. Пирсон бросил монету 24000 раз и получил при этом 12012 гербов, что дает
относительную частоту, очень близкую к вероятности, равной 1/2, появления герба в одном испытании.

Теорема Бернулли:

С вероятностью, сколь угодно близкой к единице, можно утверждать, что при достаточно большом числе независимых испытаний относительная частота случайного события как угодно мало отличается от его вероятности при отдельном испытании.

Наиболее общим законом больших чисел является Теорема П. Л. Чебышева, которую, как и теорему Бернулли, мы приводим без доказательства, пояснив лишь ее сущность.

Теорема Чебышева:

Если Теория вероятностей — независимые случайные величины, причем дисперсии их равномерно ограничены (не превышают постоянного числа С), то последовательность Теория вероятностей сходится по вероятности к нулю при Теория вероятностей , т. е.

Теория вероятностей

или

Теория вероятностей

где

Теория вероятностей

Отметим, что если все случайные величины Теория вероятностей имеют
одно и то же математическое ожидание а:

Теория вероятностей

то математическое ожидание среднего арифметического Теория вероятностей также совпадает с а:

Теория вероятностей

В этом случае соотношение (1) принимает вид (2)

Теория вероятностей

Сущность теоремы Чебышева состоит в том, что среднее арифметическое достаточно большого числа независимых случайных величин с равномерно ограниченными дисперсиями утрачивает характер случайной величины.

Основные понятия теории вероятностей

Теория вероятностей есть математическая наука, изучающая массовые закономерности в случайных явлениях независимо от их конкретной природы и дающая методы количественной оценки влияния случайных факторов на различные явления.

Случайные события

В теории вероятностей событием А называют все то, что может произойти, а может и не произойти при осуществлении некоторого комплекса условий G. Событие наступает в результате реализации различных процессов, которые называют опытами (экспериментами). Примеры событий:

Теория вероятностей — появление орла при бросании монеты;

Теория вероятностей — выпадение четного числа очков при игре в кости;

Теория вероятностей — выход из строя компьютера после пяти часов работы;

Теория вероятностей — замерзание воды при сильном морозе;

Теория вероятностей— в перечне месяцев года после января следует-апрель.

Все эти события отличаются в первую очередь тем, что возможность их появления различна. Одно событие (Теория вероятностей) происходит всегда, другое (Теория вероятностей) никогда не наступает, остальные могут произойти или не произойти в результате проведения одного опыта.

Если при реализации условий G событие А всегда происходит, то оно называется достоверным. Если же это событие при заданных условиях никогда не наступает, то его называют невозможным. Пример. При бросании одной игральной кости невозможно выпадение целого числа, большего шести. В то же время гарантировано выпадение натурального числа, меньшего семи.

Если в результате опыта при реализации определенного комплекса условий данное событие может наступить или не наступить, то оно называется случайным. Условия проведения такого опыта часто называют случайным опытом (экспериментом). Очевидно, что после бросания игральной кости число три может выпасть, но оно может и не выпасть. Через пять часов после включения компьютер может быть исправным, но может и выйти из строя. Стреляя в мишень можно попасть с первого выстрела, можно с третьего, но можно не попасть и никогда.

Элементарными событиями называют события, не разложимые на более простые. Пусть при данных условиях проводится случайный опыт, в результате которого обязательно наступает одно и только одно из возможных элементарных событий. Множество всех Теория вероятностейэлементарных событий Теория вероятностей образует пространство элементарных событий. Например, при бросании игральной кости множество элементарных событий —исходов образует пространство из шести элементарных исходов Теория вероятностей : выпало одно очко, выпало два очка и т. д.

Теория вероятностей

Наряду с элементарными рассматриваются так называемые составные или разложимые события. Событие В называется составным, если можно указать, по меньшей мере, два таких элементарных события Теория вероятностей, и Теория вероятностей что из существования каждого из них в отдельности следует существование события В. Этот факт записывается в виде: Теория вероятностей Используя введенную ранее терминологию, случайным событием А называют любое подмножество S пространства элементарных событий Теория вероятностей Содержательно это означает, что появление любого из элементарных событий, входящих в S, влечет за собой появление события А.

Например, при бросании игральной кости составное событие А = {число очков четное} можно записать так: А = {2,4,6}, подразумевая при этом, если выпадет число 2 или 4, или 6, то наступит событие А.

Таким образом, случайным событием А можно называть такой элемент подмножества всех элементарных событий F (А

Теория вероятностей про которое мы можем сказать, наступило это событие в результате опыта или нет.

Правила действий над событиями

Объединением (суммой) событий Теория вероятностей называется событие А, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий. Обозначается одним из следующих способов

Теория вероятностей

Пример:

В урне 6 шаров, которые отличаются лишь номером Теория вероятностей Событие Теория вероятностей — наугад выбрать шар под номером i. Событие Теория вероятностей состоит в том, что будет выбран шар с номером 1 или 3, или 5, т. е. с нечетным номером.

Пересечением (произведением) событий Теория вероятностей называется событие В, состоящее в обязательном наступлении всех этих событий. Обозначается пересечение событий так

Теория вероятностей

Пример:

В урне 12 шаров, среди которых одна половина белых с номерами от 1 до 6, а другая — черных с такими же номерами. Пусть А — «вынуть белый шар», В — «вынуть шар с нечетным номером». Тогда событие Теория вероятностей означает « выбрать белый шар с нечетным номером».

Как следует из определения, пересечение событий не изменится, если поменять местами сомножители:

Теория вероятностей

Разностью событий А и В (обозначается А — В) называется событие, заключающееся в наступлении события А и одновременном ненаступлении события В. Для предыдущего примера событие

Теория вероятностей

означает «выбрать белый шар с четным номером».

Дополнение (противоположное к А) — это событие Теория вероятностей, состоящее в ненаступлении события А. Так, если А — «вынуть белый шар», то Теория вероятностей — «вынуть не белый шар».

Достоверным можно считать событие Теория вероятностей состоящее из всех элементарных событий, т. е. Теория вероятностей

Невозможным же событием считаем пустое событие Теория вероятностей т. е. событие, противоположное по отношению к достоверному.

Теория вероятностей

События Теория вероятностей называются несовместными, если в результате одного опыта никакие два из них не могут произойти одновременно. Это означает, что среди событий Теория вероятностей нельзя найти такую пару событий Теория вероятностей, в которой обнаружилось бы хотя бы по одному общему элементарному событию. Формально несовместность событий Теория вероятностей определяется следующим образом

Теория вероятностей

Например, при однократном бросании игральной кости выпадение четного и нечетного числа — несовместные события. Несовместными являются также промах и попадание при одном выстреле по мишени.

События Теория вероятностей называются равновозможными, если нет оснований считать, что одно событие встречается чаще, чем другое. Пример: выпадение герба или решки при бросании монеты.

Совокупность событий Теория вероятностей называется полной группой несовместных событий, если

Теория вероятностей

Примером полной группы несовместных событий является пространство элементарных событий. Другим характерным примером является пара двух противоположных событий (А, Теория вероятностей). Например, выпадение герба и цифры в результате подбрасывания монеты, работоспособность компьютера и его неисправность в данный момент времени, попадание и не попадание в мишень при одном выстреле и т. д.

События А и В называются независимыми, если появление одного из них не изменяет шансы появления другого. Напри-

мер, одновременно бросаются две игральные кости. Появление на одной из них трех очков ни коим образом не зависит от того,-какое количество очков появилось на верхней грани другой кости.

Если появление одного события влияет на появление другого, то такие события называются зависимыми. Рассмотрим пример. В урне два красных и два черных шара. Вынимается один шар, записывается его цвет, а шар откладывается в сторону, затем вынимается второй шар. Событие А — первый вынутый шар красный. Событие В — вынутый второй шар, тоже красный. Очевидно, что эти события зависимы: если первым вынули красный шар, то шанс вынуть красный шар и во втором опыте (событие А • В) будет меньше, чем, если бы первым был вынут черный шар (событие Теория вероятностей • В).

Понятие вероятности

Аксиоматический подход. Аксиоматическое определение вероятности.

Числовая функция Теория вероятностей называется вероятностью события А, если она удовлетворяет следующим аксиомам:

1.Вероятность Теория вероятностей есть неотрицательное число, заключенное между нулем и единицей: Теория вероятностей

2.Вероятность достоверного события равна единице;

3.Вероятность невозможного события равна нулю;

4.Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий

Теория вероятностей

Тройка Теория вероятностей где Теория вероятностей — множество элементарных событий, F — допустимое множество составных событий (множество подмножеств Теория вероятностей), Р — множество вероятностей случайных событий, называется вероятностным пространством.

Классическая вероятность

Классический подход. Классическая вероятность. Рассмотрим полную группу из n несовместных равновозможных событий. Примерами таких групп являются число очков при бросании игральных костей, число попаданий в мишень при выстрелах, проводимых в одинаковых условиях, появление шара с за-

данным номером при наличии в урне нескольких неразличимых на ощупь шаров.

Пусть среди всех n возможных исходов опыта, только m исходов, образующих m-подмножество в полной группе, влекут за собой наступление события А. Случаи, входящие в m подмножество будем называть благоприятными. Например, в урне два белых, три черных и пять красных одинаковых на ощупь шаров. Будем считать благоприятным выбор белого шара, таких случаев два. Появление же черного или красного шара — случай неблагоприятный, таких случаев восемь.

Вероятность события А вычисляется как отношение числа благоприятных событию А случаев к общему числу исходов опыта:

Теория вероятностей

Эта формула называется классической формулой для вычисления вероятностей. Схема применения классической формулы следующая:

1.Удостоверяются в том, что возможные исходы образуют полную группу несовместных равновозможных событий;

2.Выбирается интересующее нас случайное событие А;

3.Вычисляется число возможных исходов (n) и число благоприятных исходов (m);

4.Вычисляется искомая вероятность Теория вероятностей.

Априорно-частотный подход. Статистическая вероятность.

Рассмотрим пример: пусть в урне 10 одинаковых по размеру шаров, из них: два белых, три черных и пять красных. Случайный опыт заключается в том, что вынимается наугад один шар. При этом шар может оказаться белым или черным, или красным. Будем в каждом опыте вытаскивать шар, фиксировать его цвет, опускать вынутый шар обратно в урну и тщательно перемешивать там шары. В результате каждого проведенного опыта можно вытащить шар любого из трех возможных цветов (Теория вероятностей -вынут белый шар, Теория вероятностей — вынут черный шар, Теория вероятностей — красный шар).

Пусть проведено n рассматриваемых опытов, в результате которых белый шар вынимался Теория вероятностей раз, черный Теория вероятностей а красный —

Теория вероятностей раз. Частота появления каждого из возможных событий есть отношение

Теория вероятностей

В общем случае частотой появления события А в n опытах называется отношение числа появлений этого события (m) к числу проведенных опытов n

Теория вероятностей

Если проводить такой опыт значительное число раз (n — велико), то окажется, что примерно в половине случаев вынули красный шар, в двадцати процентах случаев — белый, а в тридцати — черный. По мере увеличения числа проведенных опытов уверенность в соотношении шансов возможных событий соответственно 5: 2 : 3 будет подтверждаться со все большей точностью. Поэтому статистическая вероятность вычисляется по формуле

Теория вероятностей

Введенная таким образом вероятность события носит название статистической или априорно-частотной. Она фиксирует связь между частотой события, как непосредственно измеряемой величиной, и вероятностью, являясь формальной характеристикой случайного события.

Непосредственной проверкой можно установить, что и классическая вероятность, и статистическая события удовлетворяет сформулированным выше аксиомам.

Замечание:

При использовании классического определения вероятности используют формулы комбинаторики.

Задача:

Имеется колода из 36 карт. Наугад вынимаются три карты. Найти вероятность того, что среди них окажется ровно один валет.

Решение:

В выбранных трех картах может быть три валета, два, один или ни одного валета. Всего в колоде четыре валета.

Поэтому реализовать благоприятный случай А — выбрать один из них (любой!) можно Теория вероятностей различными способами, две другие карты (не валеты) можно выбрать Теория вероятностей различными способами. Следовательно, Теория вероятностей (здесь логическое «и»). Общее же число исходов есть число сочетаний из 36 по 4, т. е. Теория вероятностей Искомая вероятность вычисляется по формуле

Теория вероятностей

Задача:

Замок имеет четырехзначный цифровой шифр. Наугад выбираются четыре цифры. Какова вероятность открыть при этом замок, если известно, что в коде все цифры различные?

Решение:

Поскольку в шифре замка важен не только набор цифр, но и их порядок, то число благоприятных событий равно

1.Общее же число возможных упорядоченных комбинаций из четырех различных цифр определяется по формуле Теория вероятностей Таким образом, искомая вероятность

Теория вероятностей

Геометрические вероятности

Пусть пространство элементарных событий является несчетным, но выполняются следующие условия:

1.Любые два элементарных события несовместны;

2.Все события являются равновозможными.

В таких опытах вероятности некоторых событий можно вычислить геометрически как отношение длин отрезков, площадей фигур, объемов соответствующих областей

Теория вероятностей

здесь Теория вероятностей — «благоприятная» площадь (длина, объем), а S — общая площадь (длина, объем).

Задача:

Поезда в метро идут с интервалом в три минуты. Чему равна вероятность того, что пассажир будет ждать поезда более двух минут?

Решение:

Считаем, что моменты появления пассажира в интервале между поездами равновероятны. Если время интервала принять за три единицы длины Теория вероятностей то время ожидания «более двух минут» равно одной единице длины Теория вероятностей(А), т. к. благоприятствующее событие (А — прождать более двух минут) занимает одну минуту в трехминутном интервале движения поездов. Следовательно, искомая вероятность равна отношению двух длин временных интервалов

Теория вероятностей

Теорема умножения вероятностей

Пусть рассматриваются два события А и В, для которых известны вероятности их появления Р(А) и Р(В). В общем случае вероятность произведения двух событий Р(АТеория вероятностейВ) равна произведению вероятности появления события А на условную вероятность Р(В|А) события В, т. е. вероятность, вычисленную при условии, что событие А имело место

Теория вероятностей

Теорему можно распространить на произведение n событий

Теория вероятностей

Так как Теория вероятностей то

Теория вероятностей

Для независимых событий, когда Теория вероятностей

Теория вероятностей

т. е. вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Критерий независимости двух событий

События А и В называются независимыми, если

Теория вероятностей

Несколько событий называются независимыми, если независимы любые два из них, и каждое событие, и все произведения

остальных. Вероятность произведения п независимых событий

Теория вероятностей

Задача:

Механизм собирается из трех одинаковых дета-лей и считается неработоспособным, если все три детали вышли из строя. В сборочном цехе осталось 15 деталей, из которых 5 нестандартных (бракованных). Какова вероятность того, что собранный из взятых наугад оставшихся деталей механизм будет неработоспособным. Решение. Обозначим искомое событие через А, а выбор первой нестандартной детали через Теория вероятностей второй — через Теория вероятностей и третьей -через Теория вероятностей. Событие А произойдет, если произойдет и событие Теория вероятностей и событие Теория вероятностей, и событие Теория вероятностей. Однако события Теория вероятностей зависимы и, если вероятность выбрать первую нестандартную деталь равна 5/15, то вероятность выбрать и вторую нестандартную деталь равна 4/14, и третью нестандартную деталь равна 3/13. Следовательно, используя формулу (4.2), имеем

Теория вероятностей

Теорема сложения вероятностей

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность произведения этих же событий:

Теория вероятностей

Если события несовместны, то Теория вероятностей следовательно,

Теория вероятностей

Задача:

Производится два независимых выстрела в одну и ту же мишень. Вероятность попадания при первом выстреле 0,6, а во втором — 0,8. Найти вероятность попадания в мишень при двух выстрелах.

Решение:

Обозначим попадание при первом выстреле как событие Теория вероятностей при втором — как событие Теория вероятностей. Попадание в мишень предполагает хотя бы одно попадание: или только при первом выстреле, или только при втором, или, и при первом, и при втором. Следовательно, в задаче требуется определить вероятность суммы двух совместных событий Теория вероятностей И Теория вероятностей

Теория вероятностей

Поскольку события независимы, то Теория вероятностей

Поэтому

Теория вероятностей

Вероятность суммы трех событий

Теория вероятностей

Если события Теория вероятностей образуют полную группу, то сумма вероятностей событийТеория вероятностей равна 1.

Теория вероятностей

В частности, вероятность суммы противоположных событий равна единице, т. е.

Теория вероятностей

Вероятность «хотя бы одного события»

Если события Теория вероятностей независимы в совокупности, то вероятность появления хотя бы одного из событий Теория вероятностей вычисляется по формуле

Теория вероятностей

Пример:

Ремонтное ателье обслуживает пять клиентов. Вероятность вызова на обслуживание от каждого клиента равна 0,2. Какова вероятность того, что в данный момент ателье занято обслуживанием клиентов?

Решение:

Очевидно, что событие А «быть занятым обслуживанием клиентов» есть сумма событий Теория вероятностейТеория вероятностей«быть занятым обслуживанием i-го клиента». Противоположное событие «не быть занятым обслуживанием клиентов» определяется так: Теория вероятностей Следовательно, можно применить формулу (4.4).

Теория вероятностей

Формула полной вероятности

Пусть некоторое событие А может произойти с какой-то вероятностью только как следствие каждого из событий Теория вероятностей образующих полную группу несовместных событий. Такие события Теория вероятностей называются гипотезами. Заданы вероятности гипотез Р(Теория вероятностей) и условные вероятности наступления события А с каждой из гипотез Р(А|Теория вероятностей). Вероятность наступления события А дается формулой полной вероятности

Теория вероятностей

Пример:

Имеется три одинаковых урны. В первой два белых и один черный шар, во второй три белых и один черный шар, в третьей урне два белых и два черных шара. Из выбранной наугад урны выбирается один шар. Какова вероятность того, что он окажется белым?

Решение:

Гипотезой Теория вероятностей будем считать выбор i-ой урны. Все урны считаются одинаковыми, следовательно, вероятность выбрать i-ую урну есть Теория вероятностей Зная состав шаров в каждой из урн, легко определить вероятности вынуть белый шар из каждой урны: Теория вероятностей Подставляя найденные значения, имеем:

Теория вероятностей

Формула апостериорной вероятности

Рассмотрим ситуацию в некотором смысле противоположную предыдущей. Пусть событие А уже произошло, Требуется определить вероятность того, что событие произошло именно совместно с гипотезой Теория вероятностей. Ответ на подобный вопрос дает формула апостериорной вероятности или формула Байеса

Теория вероятностей

Задача:

Пусть сохраняются условия предыдущей задачи, но из урны уже вынут белый шар. Требуется определить вероятность, что шар вынут из первой урны.

Решение:

Поскольку все вероятности, необходимые для применения формулы найдены, то имеем

Теория вероятностей

Схема опытов Бернулли

Если проводится п одинаковых и независимых опытов, в каждом из которых событие А может произойти с вероятностью р, то говорят, что реализуется схема опытов Бернулли.

Пример:

Определить вероятность того, что в схеме опытов Бернулли событие А появится ровно m раз Теория вероятностей

Решение:

Пусть событие В заключается в том, что событие А в п опытах происходит подряд m раз, а затем (m — n) раз происходит событие Теория вероятностей т. е.

Теория вероятностей

Вероятность такого события В равна

Теория вероятностей

Поскольку в задаче не требуется учитывать порядок следования этих событий, то необходимо учесть все события типа В. Событий же подобных B и отличающихся лишь порядком наступления событий А и Теория вероятностей равно числу сочетаний из n по m. Следовательно, искомая формула, носящая имя Бернулли, имеет вид

Теория вероятностей

Пример:

Вероятность прибытия англоязычной группы туристическое агентство оценивает величиной 0,6. Прибывает шесть групп. Найти вероятность того, что: а) из прибывших ровно четыре — англоговорящие группы; б) прибудет не более двух таких групп.

Решение:

Ответ на вопрос а) получаем подстановкой данных в формулу (4.7)

Теория вероятностей

Чтобы получить ответ на вопрос б), необходимо вычислить сумму вероятностей прибытия двух, одной или ни одной группы.

Случайные величины

Определение случайной величины:

Величина, которая в результате опыта может принимать одно и только одно определенное значение, до опыта не известное и зависящее от причин, которые нельзя учесть заранее, называется случайной величиной. Названия случайных величин обычно обозначают заглавными буквами: X, Y, Z,…, а их возможные значения — прописными буквами: х, у, z,….

Рассмотрим примеры:

1.Проводятся выборы в представительные органы власти. Случайным событием является факт выбора (или не выбора) конкретного кандидата. При этом несомненный интерес представляет количество поданных за него голосов — случайная величина, количественно характеризующая результаты выборов.

2.Исследуется надежность нового прибора. Случайным событием является факт прохождения тестовых испытаний (удовлетворяет — не удовлетворяет оговоренному уровню требований). Случайной величиной может выступать процент приборов, прошедших испытание. В рамках испытаний может рассматриваться та или иная группа характеристик. Например, факты безотказной работы «не менее заданного срока» могут измеряться конкретным параметром — временем безотказной работы.

3.Проводится социальное обследование, в котором изучается социальный портрет жителей данного города. Случайно выбранному жителю задаются вопросы о его социальной принадлежности, профессии, возрасте, семейном положении, количестве детей, обеспеченности жильем и т. п. Случайным событием является факт опроса того или иного жителя. Количественным же результатом опроса выступает вектор значений, каждый компонент которого есть количественная мера соответствующей характеристики опрашиваемого.

Эти и многие другие примеры приводят к выводу, что случайные величины обычно имеют конкретный физический смысл и могут быть как скалярными, так и векторными.

Формальное определение: случайной величиной называется измеримая функция Теория вероятностей отображающая пространство элементарных событий Теория вероятностей на множество действительных чисел R.

Если множество Теория вероятностей конечно или счетно, то случайная величина называется дискретной. Примеры дискретной величины: количество уголовных дел, рассматриваемых данным судом за определенное время; количество клиентов; количество диалектов в данном языке; количество избирателей округа, которые примут участие в предстоящих выборах, количество телевизоров, которые необходимо проверить до выявления первого неисправного и т. п. Итак, дискретной считают такую случайную величину, возможные значения которой можно пронумеровать.

Непрерывной называют такую случайную величину, возможные значения которой непрерывно заполняют некоторый промежуток числовой оси, т. е. множество Теория вероятностей имеет мощность континуума. Например, время выхода из строя работающего компьютера, ошибка указателя скорости автомобиля, вес выбранного яблока и т. п.

Законы распределения случайных величин

Всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими вероятностями, называется законом распределения этой случайной величины. Закон распределения — исчерпывающая характеристика случайной величины, и знание закона распределения позволяет решить практически любую задачу теории вероятности, связанную с данной случайной величиной. Знание закона распределения позволяет заранее (до опыта!).установить, какое значение случайной величины будет появляться чаще, а какое реже и на сколько.

Для дискретной случайной величины законом распределения выступает правило сопоставления каждому возможному значению Теория вероятностей случайной величины X вероятности его появления Теория вероятностей Последнее выражение читается так: «вероятность того, что случайная величина X примет значение Теория вероятностей«. Для дискретной случайной, при небольшом числе ее возможных значе-

ний величины закон распределения проще всего задавать в виде таблицы

Теория вероятностей

Вернемся к примеру предыдущей главы. Вероятность прибытия одной англоязычной группы туристов оценивается величиной Теория вероятностей В случае прибытия шести групп возможно прибытие различного числа таких групп (от 0 до 6). Можно предсказать вероятность наступления любого из исходов. Так вероятность прибытия двух англоязычных групп равна Теория вероятностей в два раза меньше, чем прибытие трех таких групп Теория вероятностей Следовательно, формула

Теория вероятностей

есть закон распределения случайной величины m: «число англоговорящих туристических групп при ожидаемом прибытии шести, каждая из которых прибывает из неизвестной заранее страны».

Закон распределения для непрерывной случайной величины

X есть всякое соотношение, сопоставляющее с каждой измеримой областью ее возможных значений Теория вероятностей соответствующую вероятность Теория вероятностей Например, если среднее время безотказной работы компьютеров данного типа равна s часов, то вероятность проработать без отказа не менее t часов, т. е. Теория вероятностей в некоторых случаях может быть выражена экспоненциальным законом распределения

Теория вероятностей

Функция распределения

Существует много различных форм законов распределения. Наиболее универсальной из форм является функция распределения.

Функцией распределения F(x) или интегральным законом распределения случайной величины X называется функция, за-

дающая вероятность выполнения неравенства Теория вероятностей

Теория вероятностей
Теория вероятностей

Функция распределения определена для случайных величин любого типа: дискретных и непрерывных. Определение функции распределения имеет наглядную геометрическую интерпретацию. Если рассматривать значение случайной величины X как случайную точку на числовой оси, то F(х) есть вероятность того, что случайная точка попадет левее выбранной величины х (рис. 4.1).

Свойства функции распределения непосредственно вытекают из ее определения:

1)F(х) — неотрицательная функция, значения которой заключены между 0 и 1, т. е. Теория вероятностей

Теория вероятностей

4)F(x) — неубывающая функция своего аргумента, т. е. если Теория вероятностей то

Теория вероятностей
Теория вероятностей

Пример:

Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,4. Производится 4 выстрела. Какова вероятность того, что будет менее двух попаданий?

Решение:

Поиск ответа задачи заключается в определении значения функции распределения для значения аргумента Теория вероятностей Действительно, F(2) есть вероятность того, что произойдет менее двух попаданий, т. е. ни одного или одно. Следовательно,

Теория вероятностей

Здесь Теория вероятностей определена по формуле (4.7).

Пример:

Время безотказной работы прибора имеет функцию распределения Теория вероятностей

Вероятность того, что прибор безотказно проработает не менее 30 и не более 40 часов находится следующим образ