Оглавление:
Решение задачи на треугольник
Задача №18.
Даны координаты вершин : (1; 1), (7; 4), (4; 5). Найти: 1) длину стороны ; 2) уравнение стороны ; 3) уравнение медианы ; 4) внутренний угол ; 5) координаты точки пересечения высот. Сделать чертеж.
Решение:
1) Длину стороны будем вычислять по формуле:
2) уравнение прямой, проходящей через две точки, имеет вид
Подставив координаты точек (1; 1) и (4; 5) в уравнение, получим:
— уравнение стороны ; угловой коэффициент ;
3) так как медиана делит сторону пополам, то координаты точки найдем по формуле:
Значит, (4; 2,5).
Уравнение медианы запишем в виде:
или
— уравнение медианы ;
4) внутренний угол будем вычислять по формуле:
где — угловой коэффициент стороны ; — угловой коэффициент стороны . Угловой коэффициент будем вычислять по формуле:
, где и — координаты точек, через которые проходит прямая. Угловой коэффициент стороны : , а стороны : . Подставив эти данные в формулу, имеем: , ;
5) чтобы найти координаты точки пересечения всех высот треугольника, надо знать их уравнения. Так как три высоты пересекаются в одной точке, то достаточно найти уравнение двух высот, решить систему и найти координаты точки их пересечения.
Пусть . Так как , то из условия перпендикулярности прямых имеем: .
Высота проходит через точку (Т; 4) и имеет угловой коэффициент . Напишем уравнение высоты в виде уравнения пучка прямых .
Имеем:
— уравнение .
Аналогично найдем уравнение высоты .
Пусть . Так как , то .
Подставляя в координаты точки (4; 5) и , имеем:
— уравнение высоты .
Координаты точки пересечения высот находим, решая систему двух уравнений:
или
т. е. точка (3; 7) является точкой пересечения высот .
Этот материал взят со страницы кратких лекций с решением задач по высшей математике:
Решение задач по высшей математике
Возможно эти страницы вам будут полезны:
Угол между прямыми задача с решением |
Расстояние от точки до прямой задача с решением |
Векторы и операции над ними задачи с решением |
Плоскость и прямая в пространстве задача с решением |