Оглавление:
Ряд геометрической прогрессии
Исследуем сходимость ряда
который называется рядом геометрической прогрессии. Ряд (59.6) часто используется при исследовании рядов на сходимость.
Как известно, сумма первых членов прогрессии находится по формуле . Найдем предел этой суммы:
Рассмотрим следующие случаи в зависимости от величины :
- Если , то при . Поэтому , ряд (59.6) сходится, его сумма равна .
- Если , то при . Поэтому , ряд (59.6) расходится;
- Если , то при ряд (59.6) принимает вид , для него и , т. е. ряд (59.6) расходится; при ряд (59.6) принимает вид — в этом случае при четном и при нечетном . Следовательно, не существует, ряд (59.6) расходится.
Итак, ряд геометрической прогрессии сходится при и расходится при .
Пример №59. 1.
Показать, что ряд сходится.
Решение:
Данный ряд можно переписать так:
Как видно, он представляет собой ряд геометрической прогрессии с и . Этот ряд сходится согласно свойству 1 числовых рядов.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
Метод вариации произвольных постоянных ЛНДУ |
Интегрирование нормальных систем |
Необходимый признак сходимости числового ряда |
Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов |